1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Soluţie
1. Fie r raţia progresiei. Avem a6 = a3 + 3r şi a16 = a19 − 3r , deci a6 + a16 = a3 + a19 ⇒ a6 + a16 =10 .
2. Ecuaţia dată are două rădăcini reale distincte dacă şi numai dacă Δ > 0 . Avem Δ = m2 + 4m− 4 .
Δ > 0 ⇔ m∈(−∞, − 2 − 2 2 )∪(−2 + 2 2 , + ∞).
3. Făcând substituţia lg x = y , ecuaţia devine y2 + y − 6 = 0 de unde obţinem y1 = 2, y2 = −3 .
Avem lg x = 2 ⇔ 1
x =100 , iar
lg x = − 3
⇔ x = .
1000
4. f (1) > f (2) > f (3) =1⇒numărul funcţiilor f este egal cu numărul funcţiilor g :{1,2}→{2,3,4,5} strict
descrescătoare, adică 2
C4 = 6 .
JJJJG G G JJJG G G
5. Fie Q(a,b) . Avem MQ = (a − 2)i + ( b +1) j şi NP = i + 2 j
.
JJJJG JJJG
MNPQ este paralelogram ⇔ MQ = NP ⇔ a − 2 =1 şi b +1= 2
. Punctul căutat este Q(3, 1) .
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG
6. Fie M mijlocul lui [BC] . Avem = 1 ( + ) ⇒ 2 1 ( )2
AM AB AC AM = AB + AC
2 4
JJJG JJJG JJJG JJJG
AM = AB + AC + AB ⋅ AC = AB + AC + AB ⋅ AC ⋅ A
AB AC BC
AM = .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
de unde obţinem
2 1 ( 2 2 ) 1 2 ( 2 2 2 cos
)
4 4
. Din teorema cosinusului
avem BC2 = AB2 + AC2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos A ⇒ 2AB ⋅ AC ⋅ cos A = AB2 + AC2 − BC2 .
2
( 2 2 ) 2
Atunci 2
4
AM
+ −
= , de unde 10
2