Downloaded 24 times
More Related Content
Matrice
- 2. DefiniţieDefiniţie un tablou:un tablou: * Nn∈ formatdin m×n elemente aranjate în m linii şi n coloane. Se notează : = mnmm n n aaa aaa aaa A ... ................. ... ... 21 22221 11211 ( ) ,,1, miaA ij == nj ,1= Cazuri particulare 1) O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma: 2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma: ( )naaaA ...21= n×1 1×m = ma a a B ... 2 1 Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip ) m×n (m, )Se numeşte matrice de dimensiuni ( de tip ) m×n (m, )
- 3. O matrice detip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O: nm × = 0...00 ............ 0...00 0...00 O Se numeşte matrice unitate matricea care pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar restul elementelor sunt egale cu 0. Se notează cu: = 1...00 ............ 0...10 0...01 nI
- 4. Definiţie: Dacă numărulde linii este egal cu numărul de coloane (m = n), atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n. = nnnn n n aaa aaa aaa A ... ............ ... ... 21 22221 11211 Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A notată Tr(A) ( )nnaaa ...2211 nnaaa ...2211 +++ ∑= = n i iia 1 Sistemul de elemente reprezintă diagonala secundară a matricii A. ( )1121 ... nnn aaa −
- 5. Operaţii cu matrici Definiţie.Fie . Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem A = B dacă : , ( ),ijaA = ( )ijbB = ( )Cnm,Μ∈ ijij ba = 1. Egalitatea a două matrici. ( ) ( ) .,1,,1 njmi =∀=∀ Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea matricelor : − −− = − ++ x x yx yxx 290 12 20 1 Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică: Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3. =+ 1x 2 =+ yx 1−− x 00 = xyx 292 −=−
- 6. Suma matricelor Definiţie: Senumeşte suma matricelor ),( ijaA = , )( ijbB = de dimensiuni m×n matricea de aceleaşi dimensiuni ),( ijdD = unde ,ijijij bad += ;,1 mi = , .,1 nj = Se notează: BAD += Exemplu: −− = 401 312 A şi este matricea : − −− = 032 571 B =D 1− 2 1 7− 53 + 21+− 30 − 04 +− −− − = 431 861 Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a ÷ ÷+ ÷ ÷ ÷ 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn b b b b b b b b b ÷ ÷= ÷ ÷ ÷ 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷+ + +
- 7. Proprietăţi ale adunăriimatricelor 1A (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: ( ) ( ) ,A B C A B C+ + = + + ( ),, , m nA B C C∀ ∈ Μ . 2A (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică: ,A B B A+ = + ( ),, m nA B C∀ ∈Μ 3A ( ), ,m n m nO C∃ ∈Μ (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică astfel încît: ( ), ,,m n m nA O A A C+ = ∀ ∈Μ 4A ( ),m nA C∈ Μ(Elemente opuse). Orice matrice are un opus, notat , astfel încât: ( ) ,m nA A O+ − =A−
- 8. Exerciţii de control 11 2 0 5 3 , . 3 0 1 10 1 5 A B − − = = ÷ ÷ 1 1 0 1 , . 1 1 1 0 A B = = ÷ ÷ − Să se calculeze A + B pentru: . 1:Ex . 2 :Ex 1 3 8 2 9 14 6 8 10 , 13 5 6 . 5 2 4 7 1 0 A B ÷ ÷ = − = ÷ ÷ ÷ ÷− . 3 :Ex
- 9. C∈λ ( )ijbB= ijij ab ×= λ .,1,,1 njmi == nmij MaA ×∈= )(Definiţie: Se numeşte produsul matricei cu numărul matricea de aceleaşi dimensiuni unde Se notează : Produsul unei matrici cu un scalar AB λ= Observaţie: A înmulţi o matrice cu un scalar înseamnă a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar. Deci, 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ÷ ÷= ÷ ÷ ÷ .
- 10. Proprietăţi ale înmulţiriimatricei cu scalar ( )CMBAС mn∈∀∈∀ ,,λ ( )CMAС mn∈∀∈∀ ,, µλ ( )CMAC mn∈∀∈ ,1 1S ( ) ( )A Aλ µ λµ= ( ), , , mnС A M Cλ µ∀ ∈ ∀ ∈ 2S ( )A B A Bλ λ λ+ = + , 3S ( ) ,A A Aλ µ λ µ+ = + 4S 1 ,A A× =
- 11. Înmulţirea matricelor Definiţie. Fie( ) ( ) ( ) ( ), ,,ki m n i j n pA a M R B b M R= ∈ = ∈ ( ) ( ),kj m pC c M R= ∈ Produsul dintre matricile A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea definită prin: ( ) ( ) 1 , 1, , 1, . n k j ki ij i c a b k m j n = = ∀ = ∀ =∑ ( ) ( ), ,, B ,m n n pA R R∈ Μ ∈ Μ ( ), nA B R∈Μ2) Dacă matricile sunt pătratice atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. AB BA≠ Observaţii 1.) Produsul AB a două matrici se poate efectua numai dacă adică numărul de coloane i ale lui B este egal cu numărul de linii ale lui A, obţinîndu-se o matrice C = AB
- 12. Exemplu: = = 724 421 310 , 543 235 021 BA = 60219 411511 1152 1* +2* +0* AB= 1*1+2*2+0*2 1*3+2*4+0*7 5*0+3*1+2*4 5*1+3*2+2*2 5*3+3*4+2*7 3*0+4*1+5*4 3*1+4*2+5*2 3*3+4*4+5*7 0 1 4 =
- 13. Proprietăţi ale înmulţiriimatricelor 1I (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,, , ,m n n pAB C A BC A C B C= ∀ ∈ Μ ∀ ∈ Μ ( ) ( ),p sC C∀ ∈Μ 2I (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică ( ) ( ) ( ), , , ,A B C AC BC C A B CA CB A B C+ = + + = + ∀ matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. ( )n nI C∈ Μ3I Dacă este matricea unitate, atunci ( ) ( ), ,n n nI A AI A A M C= = ∀ ∈ unde este elementul neutru.nI
- 14. Exerciţii de control .1:Ex . 2 :Ex 2 1 5 0 .) 3 5 1 3 a AB − = ÷ ÷ − Să se calculeze produsul matricelor: 1 0 3 0 2 3 .) 5 1 2 0 2 4 3 b AB ÷− ÷= ÷ ÷ ÷− Să se calculeze (în caz dacă există), unde 2 2 A B− 1 3 4 0 ; 2 5 7 6 A B − = = ÷ ÷
- 15. Ex. 3: Săse calculeze suma(diferenţa) matricelor: − − + − − − + − − + − − − 40 323 4 05 210 2.) ; 012 325 4 203 1211 3.) ; 34 12 5 81 37 2.) ; 31 20 21 13 .) i i i i id c b a
- 16. Să se calculezeAB, BA dacă: ; 111 110 101 ,111.) ; 730 529 1161 , 100 020 003 .) = = − = = B zyx cba Ab BAa ; 22 13 02 14 31 32 .) ; 10 13 22 11 23 10 .) − − b a Să se calculeze: Ex 4. Ex 5.