1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Soluţie
1.
2
 − +  − − − − =   = = =
 
2 1 i 3 1 2 i 3 3 1 i
3
z z
2 4 2
.
2. Considerăm funcţia g :→, g (x) = −x2 + 4x − 3. Tabelul de semn al lui g este:
x −∞ 1 3 ∞
g (x) − − − − 0 + + + + 0 − − − − g (x) ≥ 0 ⇔ x∈[1; 3].
3. Avem ( ) ( ) ( )( )
= ⇒ x 2 + 1 = y
2 + 1
⇒ − − 1 = 0 ⇒ = sau = 1
.
f x f y x y xy x y xy
x y
Dar x, y∈(1, ∞) ⇒ xy >1. Avem
( )
( ) ( )
 x, y ∈ 1,
∞  ⇒ =
 =
x y
f x f y
, deci f este injectivă.
4. O funcţie f :{1,2,3}→{0,1,2,3} pentru care f (1) este număr par este unic determinată de un tabel de tipul
x 1 2 3
unde a∈{0, 2} iar b,c∈{0,1,2,3}.
f (x) a b c
Vor fi 2⋅ 4 ⋅ 4 = 32 funcţii cu proprietatea cerută.
5
25. Din teorema cosinusului, avem BC2 = AB2 + AC2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos A .
JJJG JJJG
2 2 Atunci
⋅ = ⋅ = AB + AC − BC
cos
=
2 2
AB AC AB AC A
.
6. sin15D = sin (45D − 30D ) = sin 45D ⋅ cos 30D − cos 45D ⋅ sin 30D
D = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 = 6 − 2
.
sin15
2 2 2 2 4
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1