2. 1. f ’ (x);
f ( x ) − f ( −2 )
2. lim ;
x →−2
x +2
3. ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul
A(2,4);
4. asimptotele funcţiei f;
5. monotonia funcţiei f, punctele de extrem ale
funcţiei f; demonstraţia inegalităţii f(x)≥4, pentru
orice x>1, etc.;
6. f convexă pe intervalul (1,∞);
7. g este continuă în punctul x0=0

9. REGULI DE DERIVARE
( f + g) ' = f ' + g' ( c ⋅ f) ' = c ⋅ f'
( f1 + f2 + ... + fn ) 1 2
' = f ' + f ' + ... + f '
n
( f ⋅ g) ' = f' ⋅ g + f⋅g'
f
'
  =
f ⋅g '
−
f ⋅g '  1
  =
'
− g'
 g g 2 g g2

12. x 2 - 1 + 1 x2 − 1 1
 f ( x) =
x - 1 = x −1 + x −1 =
( x − 1) ( x + 1) 1 1
= + = x +1+
( x − 1) x −1 x +1
'
 1  1
 f ( x ) = ( x + 1) + 
'
÷= 1−
'
( x − 1)
2
 x − 1
x2 − 2x
Aducând la acelaşi numitor obţinem: f ' ( x) = 2
( x − 1)

17. y− f(x 0
) = f (x
'
0
) ×( x − x )
0
y − f ( 2 ) = f ( 2 ) ×( x − 2 )
'
22
f ( 2) = =4 ⇒ y=4
2−1
22 − 2 ×2
f ( 2) = =0
'
( 2 − 1)
2

25. punctele critice: punctele ecuaţiei f’ (x)=0funcţiei f
soluţiile de extrem ale
x −∞ 0 1 3
2< 3
3 2 2009 < 2010 +∞
' +++++ 0 0 ++++++++
f (x)
+ f ( 2)
3
+∞
0 f(2010)
f (x) −∞ −∞ ∞ f ( 3)3 4 f(2009)
(M) (m)
3g 009 < ln2008 + 2g
ln2 ln2010 ⇔
ln20093Funcţia f g are⇔ orizontale spre ±∞ ⇒ caut
< ln2008 nu 2 asimptote
2010
x esteasimptotele ⇔ minimă funcţiei ⇒ f(x)≤ 0,4,∀∀x<1
x pe 20102 oblice a funcţiei f f ⇒ f(x)≥ ( ( ) ) x>1
0 < 4 esteI valoarea 
valoarea maximă
20093 < 2008g
f de
1 2
(2 ⇒ f (fx=(-∞ ,0]∪ [4,∞ )3 2 ≥ f 3 3
) ≥ ( x2 ) : f
 Im estef asimptotă verticală pentru
2 Dreapta de ecuaţie x=1 1
2009screscatoare pe I
2010
( ) ( )
< ⇒ f ( 2009 ) Valorile) extreme ale funcţiei f
< f ( 2010
2008 funcţia f
2009

26. 2 1 3
x − 0 < 3 ≤ x <1 < x ≤ < 2 +∞
2
∞
f '(x) ++++0 0 ++++++++
0 −4 ≥ +
f (x) 3  1 f(x) +∞
−∞ (M) f ÷ ∞ ≥ 9
4
x−∞ 2
(m)
3
Fie 1 < x ≤ 9
Din f ( x) ≥2 ( *) s i − f  1  ≥ 4 ( * *) prin adunare
 ÷
23 ' x  3
( 1 2
Dar din 1 < xf≤este descrescatoareinverse ⇒ 1 > [ o,1) > 0.
Cum functia ⇒ prin trecere la pe int ervalul ≥
' 2 x 3
1  9 4
membru cu membru ⇒ f ( x ) − f  ÷ ≥ + ( ⇒
Cum functia f este descrescatoare pe 4
1 2 1 4  x  2 1 3

⇒ f  ÷ ≤ f  ' ÷ ⇒ f  ÷ ≤ − ×( −1) ⇒ − f  ÷ ≥ ( * *)
x  3 x 3 x 3
 1  35 3
⇒ fervalul ( 1,2] ⇒ f( ( x )1 < x 3  ⇒ f ( x ) ≥ 9 ( *)
int ( x ) − f  ÷≥ , ∀) ≥ f  ≤÷
x  6  2
2  2

27. f ( x ) ≥ 4 , pentru orice x>1 ⇔
2
x
⇔ ≥ 4, ( ∀ ) x > 1 ⇔
x−1
2
x x −1)
⇔ − 4 ≥ 0, ( ∀) x > 1 ⇔
x −1
2
x − 4x + 4
⇔ ≥ 0, ( ∀ ) x > 1 ⇔
x −1
2
⇔
( x − 2) ≥ 0, ( ∀ ) x > 1 adevărat.
x−1

28. '
 1 
f' ' ( x ) = ( f' ( x ) )
'
= 1 − ÷ =
 2 ÷
( x − 1) 

( ( x − 1) )
'
2
2 × ( x − 1) ×( x − 1)
'
=0+ = =
( ( x − 1) )
2 4
2
( x − 1)
2
= 3
⇒ f ' ' ( x ) > 0, ( ∀) x > 1 ⇒
( x − 1)
funcţia f este convexă pe intervalul (1, ∞ )
'
1 g '
 g÷ = − g 2
 

29. x2 02
d lim g ( x ) = lim f ( x ) = lim = =0
x→ 0 x→ 0 x→ x − 1
0 0 −1
x<0 x<0 x<0
0×
∞
d lim g ( x ) = lim h ( x ) = lim x × x =
ln2
x→0 x→0 x→0
x>0 x>0 x>0
∞ 1
∞ ( ln x ) = lim
'
ln x x
= lim = lim =
0 1 ' x→
lH x < 0  1 
'
x→ 0 x→0 2x
x>0
x 2  2÷
x 
x>0 − 4 ⇒
x
1  x3   x2 
= lim × −
 ÷ = lim  − ÷= 0
x→ x
0  2 ÷ x→0  2 
0
x>0   x>
d g ( 0) = f ( 0) = 0
⇒ funcţia g este continuă în punctul x0=0