1. KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG
Disusun Oleh :
Fatria Anggita (06081181520005)
Lorent Agustina Arissanti (06081181520004)
Putri Maya Sari (06081181520026)
Robiatul Bangka Wiyah (06081281520069)
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sriwijaya
2016
2. KOMBINASI
Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek
tanpa memperhatikan urutan objek dari objek-objek tersebut ( ππ’ππππ¦πππ:2014)..
ο Kombinasi k objek dari n objek yang berbeda π β€ π, dirumuskan :
nCk =
π!
π!( πβπ)!
nCk juga dapat ditulis sebagai (
π
π
).
dimana n! (dibaca: n faktorial) = n Γ (n-1) Γ (n-2) Γ ... Γ 1 dan 0! = 1.
Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1.
Contoh soal :
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di
Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak
pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara
yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?
Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:
nCk =
π!
π!( πβπ)!
16C11 =
16!
11!(16β11)!
=
16Γ15Γ14Γ13Γ12Γ11!
11!5!
=
524160
5 x 4 x 3 x 2 x 1
=
524160
120
= 4368
3. ο Kombinasi k objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1 , sejumlah
n2 objek q2, β¦, dan sejumlah ne objek qe dengan n1 + n2 + β¦+ nk = n dan
beberapa objek sama, misalnya sejumlah m1 objek q1, sejumlah m2 objek q2, β¦ ,
dan sejumlah me objek qe dengan m1 + m2 + β¦+ me = k dirumuskan :
n1Cm1 . n2Cm2 . β¦ neCme atau (
π1
π1
) (
π2
π2
)β¦ (
π3
π π
)
Contoh :
Dalam sebuah kotak berisi 5 buah bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru.
Banyaknya cara untuk mengambil tiga bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, 1
bola biru adalah ?
Penyelesaian :
5C1 . 3C1 .2C1 =
5!
1!(5β1)!
Γ
3!
1!(3β1)!
Γ
2!
1!(2β1)!
= 5 Γ 3 Γ 2
= 30
PERMUTASI
Permutasi adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu
himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi
arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut (ππ’πππππ¦πππ: 2014).
Dengan demikian permutasi dapat diakatakan bahwa permutasi adalah suatu susunan
yang dibentuk dari keseluruhan atau sebagian kumpulan objek
( ππ’πππππ¦πππ: 2014). Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga π΄π΅ β π΅π΄.
Permutasi k unsur dari n unsur π β€ π adalah semua urutan yang berbeda yang
mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda.
4. ο Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda dirumuskan:
nPk =
π!
( πβπ)!
Dimana n! (dibaca: n faktorial) = n Γ (n-1) Γ (n-2) Γ ... Γ 1 dan 0! = 1.
jika n = r, rumus untuk nPr = n!.
Contoh soal:
Dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2
elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}.
Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain
{a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah ?
Penyelesian :
3P2 =
3!
(3 β 2)!
=
3Γ2Γ1
1!
=
6
1
= 6
Contoh soal:
Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?
Penyelesaian :
Diketahui: n = 5 dan r = 5.
Jadi, 5P5 =
5!
(5β5)!
=
5!
0!
=
5Γ4Γ3Γ2Γ1
1
= 120
5. ο Beberapa Jenis Permutasi:
1. Permutasi atas seluruh objek
ο§ Secara umum sejumlah n benda yang berbeda akan memberikan
susunan sebanyak jumlah objek faktorial (ππ’πππππ¦πππ: 2014).
Dengan demikian dapat dirumuskan dengan:
π ππ=
π!
( π!βπ!)= π!
2. Permutasi atas sebagian dari seluruh objek
ο§ Bila seluruh objek n yang berbeda dipermutasikan sebagian r objek,
pemilihan sebagian objek tersebut akan memberikan susunan sebagai
alternatif sebanyak permutasi n faktorial dari seluruh objek dibagi
sebanyak sisa permutasi dari sisa banyaknya objek yang tidak terpilih,
yaitu ( π β π) ππππ‘πππππ ( ππ’πππππ¦πππ: 2014). Permutasi atas
sebagian objek dari seluruh objek dapat dinyatakan dengan rumus:
π π
π=
π!
( πβπ)!
3. Permutasi dari objek dengan pemulihan
ο§ Suatu pemutasi sebanyak r objek dengan pengulangan, artinya objek
dapat digunakan beberapa kali ( ππ’πππππ¦πππ: 2014). Dapat
dinyatakan dengan rumus berikut:
ππ β π= π π
4. Permutasi atas sebagian objek dari seluruh objek yang tidak dapat dibedakan
ο§ Jika terdapat suatu kelompok n objek yang terdiri atas π1, π2, β¦ , π π
permutasi dari kelompok n objek tersebut bisa dinyatakan dengan
rumus sebagai berikut (ππ’πππππ¦πππ: 2014):
( π1, π2, β¦ . , π π) = (
π!
π1!. π2!!β¦ . π π!
)
6. 5. Permutasi siklis
ο§ Permutasi siklis adalah banyaknya permutasi untuk n objek atau
elemen yang berbeda dalam suatu lingkaran, atau suatu permutasi
yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan
secara melingkar (ππ’πππππ¦πππ: 2014).. Permutasi siklis dapat
dirumuskan :
ππβ1 = ( π β 1)!
Contoh :
Dalam suatu rapat yang diikuti 5 orang peserta akan ditempatkan pada kursi yang
mengelilingi sebuah meja bundar. Banyak susunan yang terjadi jika 2 orang
selalu duduk berdampingan adalah ?
Penyelesaian :
Dua orang saling berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu.
Sehingga terdapat 4 objek yang akan di susun secara siklis.
Maka, nPsiklis= (n-1)!
4Psiklis= (4-1)!
= 3!
= 3.2.1
= 6 cara
Karena berdampingan maka ada 2 cara sehingga : 2 Γ 6 = 12 ππππ
PELUANG
ο Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu
percobaan disebut ruang sampel. n(S) = banyak anggota ruang sampel. (Aksin,
Miyanto, & Astuti, 2015) Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel
atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
(Aksin, Miyanto, & Astuti, 2015)
7. Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-
masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua
angka, tentukan S, P (kejadian)!
Penyelesaian :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
ο Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang
merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan
rumus : π( π΄) =
π
π
.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian
muncul bilangan genap!
Penyelesaian :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
π( π΄) =
π( π΄)
π( π)
=
3
6
=
1
2
8. ο Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P
(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya
mata dadu 1?
Penyelesaian :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : π(π΄) =
π( π΄)
π( π)
=
1
6
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
π Γ π( π΄) = 720 Γ
1
6
= 120
ο Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n(S) = n.A adalah kejadian pada
ruang sampel S, dengan n(A) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai
n(Ac) = n β k. Sehingga :
π( π΄ π) =
π β π
π
= 1 β
π
π
= 1 β π(π΄)
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak
terjadi adalah (1 β P(A)).
ο Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas
Dua kejadian yang disebut saling lepas (mutually xclusive) atau saling
asing (disjoint) jika irisan kejadian tersebut merupakan himpunan kosong.
12. Daftar Pustaka
Aksin, N., Miyanto, & Astuti, A. Y. (2015). Detik-Detik Ujian Nasional Matematika
Tahun Pelajaran 2014/2015. Klaten: Intan Pariwara.
https://www.idomaths.com/id/permutasi_kombinasi.php
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/Penjelasan-Perbedaan-Permutasi-
dan-Kombinasi-Matematika-Contoh-Soal-dan-Pembahasan-Lengkap.html
Sulasmono, B. (2009). Contekan Rumus Matematika. Jakarta: Hikmah.
Sundaryono.(2014).Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta:Andi.