Dokumen tersebut membahas tentang distribusi peluang binomial dan variabel acak binomial. Secara singkat, distribusi peluang binomial terjadi ketika terdapat percobaan yang berulang dengan dua kemungkinan hasil (sukses/gagal), peluang tetap pada setiap percobaan, dan jumlah percobaan tetap. Variabel acak binomial merepresentasikan jumlah kejadian sukses yang dihasilkan dari serangkaian percobaan binomial.

1. DISTRIBUSI PELUANG BINOMIAL
Konsep Variabel Acak
Untuk memahami apa yang dimaksud dengan variabel acak, caba Anda lakukan kegiatan
berikut.
Lakukan secara berpasangan!
Lemparkan dua uang logam Rp500,- secara bersamaan. Dapatkan Anda menentukan kemungkinan
permukaan uang logam yang kan muncul? Jelaskan jawaban Anda! Bandingkan jawaban Anda
dengan jawaban teman Anda! Diskusikan dan buat kesmpulan bersama!
Dari percobaan pada kegiatan di atas, ada empat kemungkinan hasil percobaan yangmuncul,
di antaranya
 AA (Angka-angka)
 GA (gambar-angka)
 AG (angka-gambar)
 GG (gambar-gambar)
Atau ditulis dalam bentuk hinpunan yang disebut ruang sampel 𝑆 = {𝐺𝐺, 𝐺𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐺}. Misalkan X =
banyak sisi gambar yang terlihat pada percobaan, maka
a. Nilai 𝑋 = 0 jika muncul AA
b. Nilai 𝑋 = 1 jika muncul AG atau GA
c. Nilai 𝑋 = 2 jika muncul GG
Perhatikan bahwa X memiliki nilai tidak tunggal. Sesuatu yang memiliki nilai tidak tunggal
atau suatu besaran yang bisa mengambil nilai-nilai berbeda disebut variabel. Misalnya, jumlah roda
sepeda dan jumlah hari dalam satu minggu adalah konstanta, sedangkan bilangan real yang
kuadratnya lebih kecil dari 25 dan jumlah orang yang menunggu di pemberhentian bus adalaha
variabel. sedangkan suatu besaran yang hanya bisa memiliki satu nilai tunggal disebut konstanta,
sedangkan
Variabel ada dua macam yaituvariabel diskrit dan variabel kontinu. Variabel diskrit memiliki
nilai-nilai yang dapat dihitung (berhingga, sedangkan variabelkontinu memiliki nilai-nilai yangtidak
bisa dihitung (tak berhingga).
Variabel yang nilainya ditentukan dalam percobaan disebut variabel acak. Variabel acak
adalah variabel yang menghubungkan kemungkinan hasil acak (ruang sampel) dari sebuah
percoabaan dengan nilai berupa bilangan real, dimana hanya ada satu nilai untuk setiap titiksampel.
Variabel acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, Y dan Z, sedangkan nilai variabel acak
dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya x,y dan z. sedangkan peluang kejadian X nilainya kurang
atau sama dengan x ditulis 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥).
Variabel acak diperoleh dari hasil menghitung/membilang dan nilainya berupa bilangan
bulat. X = banyak sisi gambar yang terlihat pada percobaan melambungkan sekeping uang logam
sebanyak tiga kalimerupakan contohvariabelacak diskrit. Variabel acakkontinudiperoleh dari hasil
mengukur dan nilainya berupa bilangan real. Misalnya hasil penimbangan berat badan , hasil
pengukuran tinggi badan, dan hasil pencatatan waktu yang diperlukan peserta lomba lari mencapai
garis finish.
Distribusi Peluang Diskrit

2. Distribusi peluang variabel acak diskrit meruapakan suatu cara untuk menyajikan nilai
peluang nilai-nilai variabel acak diskrit. Peluang nilai variabel acak 𝑋 dinotasikan dengan 𝑓( 𝑥) =
𝑃(𝑋 = 𝑥). Distribusi peluang variabel acak diskrit dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik atau
fungsi. Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi
probabilitas.
Contoh. Pada percobaan melambungkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Jika 𝑋 adalah
variabel acak diskrit yang menyatakan banyak sisi gambar yang muncul.
a. Tentukan ruang sampel percobaan
b. Buatlah tabel distribusi peluang variabel acak 𝑋
c. Gambar grafik distribusi peluang variabel acak 𝑋
d. Tuliskan fungsi distribusi peluang variabel acak 𝑋
Jawab.
a. Ruang sampel 𝑆 = { 𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐴𝐴,𝐺𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐺𝐺}
Banyak anggota ruang sampel S adalah 𝑛( 𝑆) = 8
b.
Nilai 𝑥 Titik sampel Banyaknya
0 𝐴𝐴𝐴 𝑛1 =1
1 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴 𝑛2 =3
2 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴 𝑛3 =3
3 𝐺𝐺𝐺 𝑛4 1
Dari tabel di atas diperoleh
𝑃( 𝑋 = 0) =
𝑛1
𝑛(𝑆)
=
1
8
𝑃( 𝑋 = 0) =
𝑛2
𝑛(𝑆)
=
3
8
𝑃( 𝑋 = 0) =
𝑛3
𝑛(𝑆)
=
3
8
𝑃( 𝑋 = 0) =
𝑛4
𝑛(𝑆)
=
1
8
Sehingga dapat dibuat tabel distribusi peluang variabel acak 𝑋
𝑋 = 𝑥 0 1 2 3 Jumlah
𝑃(𝑋) 1
8
3
8
3
8
1
8
1

3. c. Gambar grafik distribusi peluang variabel acak 𝑋
d. fungsi distribusi peluang variabel acak 𝑋
𝑓( 𝑥) =
{
0, untuk x yang lain
1
8
,untuk x = 0,3
3
8
,untuk x = 1,2
Sifat-sifat distribusi peluang
Misalkan 𝑥 adalah variabel acak diskrit yang bernilai 𝑥1,𝑥2,𝑥3,… , 𝑥 𝑛 dan 𝑓(𝑥 𝑖) merupakan peluang
nilai-nilai variabel acak 𝑋 dengan 𝑖 = 1,2,3,4, …, 𝑛 maka 𝑓(𝑥 𝑖) memenuhi dua sifat berikut
a. 0 ≤ 𝑓(𝑥𝑖) ≤ 1 untuk 𝑖 = 1,2,3,4,… , 𝑛
b. ∑ 𝑓( 𝑥 𝑖) = 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯+ 𝑓( 𝑛) = 1𝑛
𝑥=1
Contoh. Diketahui distribusi peluang variabel acak diskrit 𝑋 berikut.
𝑿 = 𝒙 3 4 5 6
𝒇(𝒙) 1
3
𝑘
9
2𝑘 + 1
18
1
6
a. Tentukan nilai 𝑘
b. Hitunglah nilai 𝑃(𝑋 ≥ 5)
Jawab.
a. ∑ 𝑓( 𝑥 𝑖
) = 1𝑛
𝑥=1
𝑓(3) + 𝑓(4) + 𝑓(5) + 𝑓(6) = 1
1
3
+
𝑘
9
+
2𝑘 + 1
18
+
1
6
= 1
b. 𝑃( 𝑋 ≥ 5) = 𝑓(5) + 𝑓(6)
𝑃( 𝑋 ≥ 5) =
2𝑘 + 1
18
+
1
6
𝑃( 𝑋 ≥ 5) =
2.2 + 1
18
+
1
6
𝑃( 𝑋 ≥ 5) =
5
18
+
1
6

4. 6 + 2𝑘 + (2𝑘 + 1) + 3
18
= 1
4𝑘 + 10 = 18
𝑘 =
18 − 10
4
=
8
4
= 2
𝑃( 𝑋 ≥ 5) =
5
18
+
3
18
𝑃( 𝑋 ≥ 5) =
8
18
=
4
9
Distribusi Peluang Kumulatif Variabel Acak diskrit
Peluang variabel aacak 𝑋 yang kurang dari atau sama dengan suatu nilai 𝑥, ditulis dengan 𝐹( 𝑥) =
𝑃( 𝑋 ≤ 𝑥). Nilai 𝐹(𝑥) dinamakan peluang kumulatif. Misalkan 𝑥 = 𝑐 merupakan salah satu nilai
variabel acak 𝑥 yang memiliki peluang 𝑓( 𝑥), maka nilai 𝐹(𝑐) dinyatakan dengan:
𝐹( 𝑐) = 𝑃( 𝑋 ≤ 𝑐) = ∑ 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯+ 𝑓(𝑐)
Contoh . pada percobaan melambungkan melambungkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali.
Jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit yang menyatakan banyak sisi gambar yang muncul.
a. Tentukan fungsi distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
b. Buatlah Tabel distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
c. Gambar grafik distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
Jawab.
a.
𝐹(0) = 𝑃( 𝑋 ≤ 0) = ∑ 𝑓(𝑥)
0
𝑥=0
= 𝑓(0) =
1
8
𝐹(1) = 𝑃( 𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑥)
1
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) =
1
8
+
3
8
=
4
8
=
1
2
𝐹(2) = 𝑃( 𝑋 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑥)
2
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =
1
8
+
3
8
+
3
8
=
7
8
𝐹(3) = 𝑃( 𝑋 ≤ 3) = ∑ 𝑓(𝑥)
3
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) =
1
8
+
3
8
+
3
8
+
1
8
= 1
Fungsi distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
𝐹( 𝑥) =
{
0, untuk x < 0
1
8
,untuk 0 ≤ x < 1
1
2
,untuk 1 ≤ x < 2
7
8
,untuk 2 ≤ x < 3
1, untuk 𝑥 ≥ 3

5. b. Tabel distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
𝑋 = 𝑥 0 1 2 3
𝐹(𝑋) 1
8
1
2
7
8
1
c. Grafik distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋
Dari suatu distribusi peluang kumulatif 𝐹(𝑥) dapat diperoleh nilai 𝑓( 𝑥𝑖) = 𝑃( 𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝐹( 𝑥 𝑖) −
𝐹(𝑥𝑖−1)dan 𝑃( 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹( 𝑏) − 𝐹(𝑎)
Distribusi Binomial
Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil
atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar,
maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut
merupakan bayi laki-laki atau perempuan. Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa
menang atau kalah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua
kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau
tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal
atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaan-pertanyaan pilihan
ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar
atau salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial
Variabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil
percobaan binomial. Percobaan binomial merupakan percobaan yang memenuhi empat syarat
berikut.
a. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang sebanyak 𝑛 kali, dengan 𝑛 bilangan bulat positif
b. Percobaan bersifat saling bebas (independent) atau dengan pengembalian, artinya hasil
percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain
c. Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan yang disebut
sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal
d. Peluang kejadian tetap pada setiap percobaan.

6. Oleh karena dalam setiap percobaan hanya memiliki dua macam kejadian, maka jumlah peluang
kejadian dalam setiap percobaan sama dengan satu. Misalkan peluang sukses 𝑝 dan peluang gagal 𝑞
maka 𝑝 + 𝑞 = 1.
Percobaan binomial disebut juga dengan percobaan Bernoulli, diberi sesuai dengan nama
penemunya James Bernoulli seorang matematikawan Swiss.
Contoh.Percobaanmelemparkan satu dadu sekali. Jika kejadian mendapatkan mata daduu 5 adalah
sukses, maka kejadian tidak mendapatkan dadu 5 adalah gagal. 𝑃( 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠) = 𝑝 =
1
6
dan 𝑃( 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙) =
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
1
6
=
5
6
Contoh. Sebuahkotakberisi 2 bola merah dan 4 bolaputih. Darikotakdiambil sebuah bola kemudian
dikembalikan lagi. Pengambilan bola diulang sebanyak 3 kali. Pada setiap pengambilan dilakukan
pencatatan terhadap banyak bola merah yang terambil. Jika 𝑋 merupakan banyak bola merah yang
terambil, berikan alasan mengapa variabel 𝑋 merupakan variabel acak.
Jawab.
Variabel acak 𝑋 adalah suatu variabel acak binomial karena ia memenuhi semua karakteristik yang
dinyatakan di atas.
a. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang yaitu pengambilan bola diulang sebanyak 3 kali
b. Percobaan bersifat saling bebas (independent) atau dengan pengembalian yaitu setelah bola
diambil bola dikembalikan lagi ke kotak
c. Percobaan memiliki dua macam kejadian yaituterambil bola merah (sukses) dan terambil bola
bukan merah (gagal)
d. Bola yang diambil dikembalikan lagi, maka peluang termabil bola merah dalam setiap percobaan
adalah sama yaitu
2
6
Jika peluang nilai-nilai variabel acak binomial didaftar dalambentuk tabel atau grafik, diperoleh
distribusi peluang variabel acak binomial. distribusi peluang variabel acak binomial disebut
distribusi binomial. Peluang suatu nilai vaiabel acak binomial dinamakan peluang binomial. Secara
umum persamaan peluang binomial 𝑥 kejadian yang diharapak dari 𝑛 percobaan binomial
dinyatakan:
𝑓( 𝑥) = 𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝑏( 𝑥; 𝑛; 𝑝) = 𝐶( 𝑛, 𝑥) 𝑝 𝑥.𝑞 𝑛−𝑥
Keterangan:
Variabel acak 𝑋 yang peluangnya berdistirbusi binomial dilambangkan dengan 𝑏( 𝑥; 𝑛; 𝑝) dibaca x
berdistribusi Binomial dengan banyaknyakejadian n dan peluang berhasilnya p. kadang dituliskan
dalam bentuk 𝑋~𝐵( 𝑛, 𝑝)
𝐶(𝑛, 𝑥) disebut koefisien binomial
𝑥 = banyaknya kejadian yang diharapkan 𝑥 = 0,1,2, …, 𝑛
𝑝 = peluang kejadian yang diharapkan
𝑞 = peluang kejadian tidak diharapakn 𝑞 = 1 − 𝑝

7. Persamaan di atas dinamakan fungsi distribusi binomial. Peluang paling banyak 𝑥 kejadian yang
diharapkan dinamakan fungsi distribusi binomial kumulatif. Misalkan 𝑥 = 𝑡, maka peluang paling
banyak 𝑡 kejadian yang diharapkan dinyatakan dengan:
𝐹( 𝑡) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡)
𝐹( 𝑡) = ∑ 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥
𝑡
𝑥=0
𝐹( 𝑡) = 𝐶( 𝑛, 𝑥) 𝑝0 𝑞 𝑛−0 + 𝐶( 𝑛, 𝑥) 𝑝1 𝑞 𝑛−1 + 𝐶( 𝑛, 𝑥) 𝑝2 𝑞 𝑛−2 + ⋯+ 𝐶(𝑛, 𝑡)𝑝 𝑡 𝑞 𝑛−𝑡
Contoh. Tentukan 𝑏 (3,8,
1
2
)
Jawab
𝑛 = 8; 𝑥 = 3; 𝑝 =
1
2
dan 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
1
2
=
1
2
𝑏 (3,8,
1
2
) = 𝐶(8,3)(
1
2
)
3
. (
1
2
)
5
=
8!
3! .5!
.
1
8
.
1
32
=
8.7.6.5!
3.2.1.5!
.
1
256
=
56
256
=
7
32
Contoh. jika 𝑋~𝐵(4,
3
4
) maka tentukan
a. 𝑃( 𝑋 = 2)
b. 𝐹(2)
Jawab.
a. 𝑋~𝐵(4,
3
4
) ↔ 𝑋~𝐵( 𝑛, 𝑝)
Diperoleh 𝑛 = 3 dan 𝑝 =
3
4
dan 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
3
4
=
1
4
𝑃( 𝑋 = 2) = 𝐶(4,2).(
3
4
)
2
(
1
4
)
2
= 6 ×
9
16
×
1
16
=
27
128
b. 𝐹(2) = 𝑃( 𝑋 ≤ 2) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2)
𝐹(2) = 𝐶(4,0).(
3
4
)
0
(
1
4
)
4
+ 𝐶(4,1).(
3
4
)
1
(
1
4
)
3
+ 𝐶(4,2).(
3
4
)
2
(
1
4
)
2
𝐹(2) = (1 × 1 ×
1
256
) + (4 ×
3
4
×
1
64
) + (6 ×
9
16
×
1
16
)
𝐹(2) =
1
256
+
12
256
+
54
256
=
33
128
Penerapan Distribusi Binomial
Contoh. Sebuah tes terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda dengan empat pilihan. Seorang siswa
dapat memilih jawaban dapat dipilih secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang
siswa menjawab 6 pertanyaan dengan benar?

8. Jawab.
𝑝 = peluang menjawab pertanyaan dengan benar 𝑝 =
1
4
𝑞 = 1 −
1
4
=
3
4
𝑛 = 10, karena tes terdiri atas 10 pertanyaan
𝑥 = 6
𝑃( 𝑋 = 6) = 𝐶(10,6)(
1
4
)
6
.(
3
4
)
10−6
𝑃( 𝑋 = 6) =
10!
6! 4!
(
1
4
)
6
(
3
4
)
4
𝑃( 𝑋 = 6) =
10.9.8.7.6
4.3.2.1
.
1
46 .
34
44
𝑃( 𝑋 = 6) = 210.
810
410
𝑃( 𝑋 = 6) = 0,016
Jadi, peluang siswa menjawab tepat 6 pertanyaan dari 10 pertanyaan yang diberikan oleh 0,016
Contoh. sebuah dadu dilemparkan sebanyak 12 kali. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu 6
sebanyak 3 kali.
Jawab.
𝑝 = peluang muncul mata dadu 6, 𝑝 =
1
6
𝑞 = 1 −
1
6
=
5
6
𝑛 = 12, karena dadu dilemparkan sebanyak 12 kali
𝑥 = 3, diharapkan sukses 3 kali
𝑃( 𝑋 = 3) = 𝐶(12,3)(
1
6
)
3
.(
5
6
)
12−3
𝑃( 𝑋 = 3) =
12!
3! 9!
(
1
6
)
3
(
5
6
)
9
𝑃( 𝑋 = 3) = 220 ×
1
216
× 0,1938
𝑃( 𝑋 = 3) = 0,197
Jadi, peluang munculnya mata dadu 6 sebanyak 3 kali adalah 0,197

9. Contoh.Dalamsuatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah
5
6
, jika ronaldo
diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali
gol!
Jawab
𝑝 =
5
6
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −
5
6
𝑛 = 5
𝑥 = 4
𝑃( 𝑋 = 4) = 𝐶(5,4).(
5
6
)
4
.(
1
6
)
5−4
𝑃( 𝑋 = 4) =
5!
4! .1!
(
5
6
)
4
. (
1
6
)
1
𝑃( 𝑋 = 4) = 5.
54
65 =
55
65 =
3125
7776
Contoh. Peluang seorang pasien yang tidak dipasang kawat gigi adalah 0,2. Pada suatu hari di klinik
dokter gigi ada 4 orang pasien. Hitunglah peluang dari pasien tersebut jika 2 orang belum dipasang
kawat gigi.
Jawab.
𝑝 = 0,2
𝑞 = 1 − 0,2 = 0,8
𝑛 = 4
𝑥 = 2
𝑃( 𝑋 = 2) = 𝐶(4,2).(0,2)2.(0,8)4−2
𝑃( 𝑋 = 2) =
4!
2! .2!
× 0,04 × 0,64
𝑃( 𝑋 = 2) = 6 × 0,0256
𝑃( 𝑋 = 2) = 0,1536
Contoh. Pada mata kuliah tertentu peluang seorang dosen datang pada setiap
pertemuannya adalah 0,9 . Dari 16 kali tatap muka, maka tentukan peluang dosen tersebut
minimal tidak masuk dua kali
Jawab.

10. 𝑝 = 0,9
𝑞 = 1 − 0,9 = 0,1
𝑛 = 16
𝑥 = 14 minimal tidak masuk dua kali sama maknanya dengan maksimal 14 kali masuk
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝑃( 𝑋 > 4) (peluang saling komplemen)
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝑃(15) − 𝑃(16)
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝐶(16,15).(0,9)15.(0,1)16−15 − 𝐶(16,16). (0,9)16.(0,1)16−16
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 1 −
16!
15!.1!
× 0,2059 × 0,1 −
16!
16! .0!
× 0,1853 × 1
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 1 − 0,3294 − 0,1853
𝑃( 𝑋 ≤ 14) = 0,4852