Dokumen tersebut membahas tentang aturan perkalian, pencacahan, ruang sampel, peluang suatu kejadian, frekuensi harapan, dan kejadian majemuk dalam konteks matematika.

1. MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMA/MA KELAS X
MATEMATIKA

2. BAB 7
ATURAN PENCACAHAN dan
PELUANG
Sumber gambar: Shutterstock.com

3. 7.1 Aturan Perkalian & Aturan Pencacahan
Misalkan kita melemparkan sekeping uang logam.
 Hasil yang mungkin adalah muncul Gambar (G) atau Angka (A) dan keduanya tidak bersamaan.
 Jika S melambangkan “hasil yang mungkin”, maka S = {G, A}.
 Semua kemungkinan hasil dari suatu peristiwa disebut ruang sampel.
 Setiap gugus suatu ruang sampel disebut titik contoh.
Banyaknya titik contoh dalam S adalah
2, ditulis 𝑛 𝑆 = 2.
Banyaknya titik contoh dalam S adalah
6, ditulis semua kemungkinan hasil
yang muncul: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan
𝑛 𝑆 = 6.

4. Aturan Perkalian
Percobaan: Mengundi sebuah dadu sisi enam dan sekeping uang logam bersama-sama.
Kesimpulan:
 Jika 𝑃 = {unsur − unsur dadu} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝑛 𝑃 = 6,
𝑄 = {unsur − unsur uang logam} = {𝐺, 𝐴} dan 𝑛(𝑄) = 2,
 Maka 𝑛 𝑃 × 𝑄 = 6 × 2 = 12, artinya ada 12 pasangan terurut yang memuat unsur-
unsur P dan Q.
Dadu
1 2 3 4 5 6
Uang
G (1, G) (2, G) (3, G) (4, G) (5, G) (6, G)
A (1, A) (2, A) (3, A) (4, A) (5, A) (6, A)
∴ 𝑃 × 𝑄 = 1, 𝐺 , 2, 𝐺 , 3, 𝐺 , … , 5, 𝐴 , 6, 𝐴

5. Aturan Penjumlahan
ILUSTRASI
Untuk mengikuti kompetisi matematika, sebuah sekolah diwajibkan mengirimkan 1 siswa perwakilan. Jika
dalam tahap akhir seleksi terpilih 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan, tentukan banyak cara sekolah
tersebut memilih wakilnya untuk mengikuti kompetisi matematika.
Kasus di atas merupakan peristiwa yang saling lepas karena peristiwa
tersebut bukan peristiwa berpasangan.
Jadi, banyak cara sekolah memilih wakilnya untuk mengikuti kompetisi
matematika adalah 3 + 2 = 5 cara berbeda.

6. 7.2 Ruang Sampel
1K
1M
1H
Jika diambil satu bola dari dalam kantong di samping
secara acak, maka
 Ruang sampelnya 𝑆 = {𝐾, 𝑀, 𝐻} maka, 𝑛(𝑆) = 3
 Titik-titik contohnya adalah K, M, dan H.
Jika dari dalam kantong diambil 2 bola, maka:
 Ruang sampelnya 𝑆 = {𝐾𝑀, 𝐾𝐻, 𝑀𝐻} dan 𝑛(𝑆) = 3.
Ruang sampel adalah himpunan
semua kemungkinan hasil dari suatu
percobaan, dilambangkan dengan S.

7. Contoh
Pada percobaan melemparkan dua mata uang logam bersama-sama, di mana sisi-
sisi uang logam adalah gambar (G) dan angka (A). Tuliskan:
a. ruang sampel sisi-sisi uang logam,
b. ruang sampel sisi gambar.
Jawab:
a. Ruang sampel sisi-sisi uang logam yamng muncul, yatu:
𝑆1 = 𝐴, 𝐴 , 𝐴, 𝐺 , 𝐺, 𝐴 , (𝐺, 𝐺) atau 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺
b. Jika yang diamati munculnya sisi gambar yang muncul, maka ruang
sampelnya adalah 𝑆2 = 0, 1, 2 .
 Unsur 0 menyatakan tidak ada gambar yang muncul
 Unsur 1 menyaakan sebuah gambar yang muncul, dan
 Unsur 2 menyatakan dua gambar yang muncul pada kedua sisi.

8. 7.3 Peluang Suatu kejadian
Suatu kejadian E adalah himpunan hasil yang dimaksud dari suatu ruang sampel S, dimana 𝐸 ⊆ 𝑆.
Pada percobaan melempar undi sebuah dadu, adalah kejadian muncul mata dadu prima dan K
adalah kejadian muncul mata dadu kelipatan tiga, maka:
 Ruang sampel 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
 𝐾1 = kejadian mata dadu prima ⇔ 𝐾1 = 2, 3, 5 .
 𝐾2 = kejadian mata dadu kelipatan 3 ⇔ 𝐾1 = 3, 6 .
𝐹(𝑅) =
Banyaknya hasil yang dimaksud
Banyaknya percobaan
Percobaan mengundi sebuah dadu sebanyak
200 kali, dan angka yang muncul lebih dari 4
adalah 65 kali.
 Angka pada dadu lebih dari 4 adalah
5, 6
 Frekuensi Relatif, 𝐹(𝑅) =
65
200
=
13
40

9. Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan yang dilakukan n kali, dan A adalah suatu kejadian
dengan frekuensi munculnya A yaitu n(A), maka peluang kejadian A adalah:
𝑷 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏(𝑨)
𝒏
𝑷 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏(𝑺)
Contoh
1. Percobaan melambungkan sekeping uang logam satu
kali, berapakah peluang munculnya sisi angka?
Jawab:
Ruang sampel, 𝑆 = 𝐴, 𝐺 ; 𝑛 𝑆 = 2
Misalkan B adalah kejadian munculnya sisi angka,
maka
𝐵 = 𝐴 ; 𝑛 𝐵 = 1
∴ peluang munculnya angka adalah 𝑃 𝐵 =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
=
1
2
2. Pada percobaan melemparkan sebuah dadu
bersisi enam, berapakah peluang munculnya
mata dadu faktor dari 12?
Jawab:
Ruang sampel, 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5,

10. Note:
• 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
• 𝑃(𝑆) = 1
• 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 +
𝑃(𝐴2), untuk 𝐴1 dan 𝐴2
dua kejadian saling lepas
atau 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅
Kejadian bukan 𝐴 dari himpunan 𝑆 ditulis dengan simbol atau 𝐴𝑐
dan disebut
komplemen dari 𝐴. Jadi, 𝑃(𝐴𝑐
) adalah peluang tidak terjadinya 𝐴, dan
𝑷 𝑨𝒄
= 𝟏 − 𝑷(𝑨)

11. 7.4 Frekuensi Harapan
Jika 𝐸 adalah suatu kejadian dalam ruang sampel 𝑆 dan 𝑃(𝐸) adalah peluang
terjadinya 𝐸 dalam n kali percobaan, maka frekuensi harapan kejadian 𝐸
didefinisikan:
𝑭 𝑬 = 𝑷(𝑬) × 𝒏
Contoh
2. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 300 kali,
maka frekuensi harapan muncul mata dadu 5
adalah:
Frekuensi harapan =
𝟏
𝟔
× 𝟑𝟎𝟎 = 𝟓𝟎 kali
1. Sekeping uang logam dilemparkan 50 kali,
maka frekuensi harapan muncul gambar adalah
𝑭 𝑮 =
𝟏
𝟐
× 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 kali

12. 7.5 Kejadian Majemuk
Jika 𝐴 dan 𝐵 dua kejadian yang saling lepas, maka
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩
Contoh
A
1 3
5 7
9
B
2 4
6 8
S
10 11 12
Ruang sampel 𝑆 adalah bilangan asli kurang dari 13.
𝐴 adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 10, sedangkan 𝐵
adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10.
Maka 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ; 𝑛 𝑆 = 12
𝐴 = 1, 3, 5, 7, 9 ; 𝑛 𝐴 = 5; 𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
5
12
𝐵 = 2, 4, 6, 8, 10, 12 ; 𝑛 𝐵 = 4; 𝑃 𝐵 =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
=
4
12
=
1
3
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 ⇔
5
12
+
4
12
=
9
12

13.  Jika 𝐸1dan 𝐸2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa
peluang bagi kejadian 𝐸1 tidak mempengaruhi kejadian 𝐸2
maka 𝐸1 dan 𝐸2 disebut sebagai kejadian-kejadian saling
bebas dan berlaku rumus
𝑷 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 = 𝑷(𝑬𝟏) ⋅ 𝑷(𝑬𝟐)
 Jika 𝐸1dan 𝐸2 adalah dua kejadian dengan syarat bahwa
peluang bagi kejadian 𝐸1 mempengaruhi kejadian 𝐸2 maka
𝐸1 dan 𝐸2 disebut sebagai kejadian-kejadian bersyarat
tidak saling bebas dan berlaku rumus
𝑷 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 = 𝑷(𝑬𝟏) ⋅ 𝑷(𝑬𝟐|𝑬𝟏)

14. Contoh
Sebuah dadu bersisi enam dilemparkan dua kali. Berapakah peluang bahwa nomor yang
muncul pada lemparan pertama adalah 3 dan nomor yang muncul pada lemparan kedua lebih
dari 3?
Jawab:
𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , maka 𝑛 𝑆 = 6
Misalkan:
𝐸1 ={kejadian nomor 3 muncul pada lemparan pertama}
𝐸1 = {3}; 𝑛(𝐸1) = 1
𝐸2 ={kejadian mendapatkan nomor > 3 pada lemparan ke-2}
𝐸2 = {4, 5, 6}; 𝑛(𝐸2) = 3
Sehingga
𝑃 𝐸1 =
𝑛(𝐸1)
𝑛(𝑆)
=
1
6
dan 𝑃 𝐸2 =
𝑛(𝐸2)
𝑛(𝑆)
=
3
6
=
1
2
Karena kejadian 𝐸1 dan 𝐸2 saling bebas
maka
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑃 𝐸1 ⋅ 𝑃 𝐸2
=
1
6
⋅
1
2
=
1
12
Jadi,peluang berlakunya 𝐸1 dan 𝐸2 adalah
1
12