Materi Statistika Dasar yang membahas tentang Kombinasi, permutasi dan Peluang

1. KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG
Disusun Oleh :
Fatria Anggita (06081181520005)
Lorent Agustina Arissanti (06081181520004)
Putri Maya Sari (06081181520026)
Robiatul Bangka Wiyah (06081281520069)
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sriwijaya
2016

2. KOMBINASI
Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek
tanpa memperhatikan urutan objek dari objek-objek tersebut ( 𝑆𝑢𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜:2014)..
 Kombinasi k objek dari n objek yang berbeda 𝑘 ≤ 𝑛, dirumuskan :
nCk =
𝑛!
𝑘!( 𝑛−𝑘)!
nCk juga dapat ditulis sebagai (
𝑛
𝑘
).
dimana n! (dibaca: n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.
Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1.
Contoh soal :
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di
Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak
pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara
yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?
Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:
nCk =
𝑛!
𝑘!( 𝑛−𝑘)!
16C11 =
16!
11!(16−11)!
=
16×15×14×13×12×11!
11!5!
=
524160
5 x 4 x 3 x 2 x 1
=
524160
120
= 4368

3.  Kombinasi k objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1 , sejumlah
n2 objek q2, …, dan sejumlah ne objek qe dengan n1 + n2 + …+ nk = n dan
beberapa objek sama, misalnya sejumlah m1 objek q1, sejumlah m2 objek q2, … ,
dan sejumlah me objek qe dengan m1 + m2 + …+ me = k dirumuskan :
n1Cm1 . n2Cm2 . … neCme atau (
𝑛1
𝑚1
) (
𝑛2
𝑚2
)… (
𝑛3
𝑚 𝑒
)
Contoh :
Dalam sebuah kotak berisi 5 buah bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru.
Banyaknya cara untuk mengambil tiga bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, 1
bola biru adalah ?
Penyelesaian :
5C1 . 3C1 .2C1 =
5!
1!(5−1)!
×
3!
1!(3−1)!
×
2!
1!(2−1)!
= 5 × 3 × 2
= 30
PERMUTASI
Permutasi adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu
himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi
arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut (𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014).
Dengan demikian permutasi dapat diakatakan bahwa permutasi adalah suatu susunan
yang dibentuk dari keseluruhan atau sebagian kumpulan objek
( 𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014). Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.
Permutasi k unsur dari n unsur 𝑘 ≤ 𝑛 adalah semua urutan yang berbeda yang
mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda.

4.  Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang berbeda dirumuskan:
nPk =
𝑛!
( 𝑛−𝑘)!
Dimana n! (dibaca: n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.
jika n = r, rumus untuk nPr = n!.
Contoh soal:
Dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2
elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}.
Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain
{a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah ?
Penyelesian :
3P2 =
3!
(3 − 2)!
=
3×2×1
1!
=
6
1
= 6
Contoh soal:
Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?
Penyelesaian :
Diketahui: n = 5 dan r = 5.
Jadi, 5P5 =
5!
(5−5)!
=
5!
0!
=
5×4×3×2×1
1
= 120

5.  Beberapa Jenis Permutasi:
1. Permutasi atas seluruh objek
 Secara umum sejumlah n benda yang berbeda akan memberikan
susunan sebanyak jumlah objek faktorial (𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014).
Dengan demikian dapat dirumuskan dengan:
𝑛 𝑃𝑛=
𝑛!
( 𝑛!−𝑛!)= 𝑛!
2. Permutasi atas sebagian dari seluruh objek
 Bila seluruh objek n yang berbeda dipermutasikan sebagian r objek,
pemilihan sebagian objek tersebut akan memberikan susunan sebagai
alternatif sebanyak permutasi n faktorial dari seluruh objek dibagi
sebanyak sisa permutasi dari sisa banyaknya objek yang tidak terpilih,
yaitu ( 𝑛 − 𝑟) 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 ( 𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014). Permutasi atas
sebagian objek dari seluruh objek dapat dinyatakan dengan rumus:
𝑛 𝑃
𝑛=
𝑛!
( 𝑛−𝑟)!
3. Permutasi dari objek dengan pemulihan
 Suatu pemutasi sebanyak r objek dengan pengulangan, artinya objek
dapat digunakan beberapa kali ( 𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014). Dapat
dinyatakan dengan rumus berikut:
𝑃𝑛 − 𝑟= 𝑛 𝑟
4. Permutasi atas sebagian objek dari seluruh objek yang tidak dapat dibedakan
 Jika terdapat suatu kelompok n objek yang terdiri atas 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑟
permutasi dari kelompok n objek tersebut bisa dinyatakan dengan
rumus sebagai berikut (𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014):
( 𝑛1, 𝑛2, … . , 𝑛 𝑟) = (
𝑛!
𝑛1!. 𝑛2!!… . 𝑛 𝑟!
)

6. 5. Permutasi siklis
 Permutasi siklis adalah banyaknya permutasi untuk n objek atau
elemen yang berbeda dalam suatu lingkaran, atau suatu permutasi
yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan
secara melingkar (𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦𝑜𝑛𝑜: 2014).. Permutasi siklis dapat
dirumuskan :
𝑃𝑛−1 = ( 𝑛 − 1)!
Contoh :
Dalam suatu rapat yang diikuti 5 orang peserta akan ditempatkan pada kursi yang
mengelilingi sebuah meja bundar. Banyak susunan yang terjadi jika 2 orang
selalu duduk berdampingan adalah ?
Penyelesaian :
Dua orang saling berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu.
Sehingga terdapat 4 objek yang akan di susun secara siklis.
Maka, nPsiklis= (n-1)!
4Psiklis= (4-1)!
= 3!
= 3.2.1
= 6 cara
Karena berdampingan maka ada 2 cara sehingga : 2 × 6 = 12 𝑐𝑎𝑟𝑎
PELUANG
 Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu
percobaan disebut ruang sampel. n(S) = banyak anggota ruang sampel. (Aksin,
Miyanto, & Astuti, 2015) Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel
atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
(Aksin, Miyanto, & Astuti, 2015)

7. Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-
masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua
angka, tentukan S, P (kejadian)!
Penyelesaian :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
 Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang
merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan
rumus : 𝑃( 𝐴) =
𝑘
𝑛
.
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian
muncul bilangan genap!
Penyelesaian :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
𝑃( 𝐴) =
𝑛( 𝐴)
𝑛( 𝑆)
=
3
6
=
1
2

8.  Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P
(A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya
mata dadu 1?
Penyelesaian :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 𝑃(𝐴) =
𝑛( 𝐴)
𝑛( 𝑆)
=
1
6
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
𝑛 × 𝑃( 𝐴) = 720 ×
1
6
= 120
 Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n(S) = n.A adalah kejadian pada
ruang sampel S, dengan n(A) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai
n(Ac) = n – k. Sehingga :
𝑃( 𝐴 𝑐) =
𝑛 − 𝑘
𝑛
= 1 −
𝑘
𝑛
= 1 − 𝑃(𝐴)
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak
terjadi adalah (1 – P(A)).
 Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas
Dua kejadian yang disebut saling lepas (mutually xclusive) atau saling
asing (disjoint) jika irisan kejadian tersebut merupakan himpunan kosong.

9. Misalkan E1 dan E2 adalah dua kejadian pada percobaan yang sama :
𝑃( 𝐸1 ∪ 𝐸2) = 𝑃( 𝐸1) + 𝑃( 𝐸2) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
Peluang dua kejadian E1 dan E2 saling lepas adalah :
𝑃( 𝐸1 ∪ 𝐸2) = 𝑃( 𝐸1) + 𝑃( 𝐸2)
Contoh :
Pada percobaan pelemparan dadu satu kali,
A : kejadian muncul mata dadu ganjil = (1,3,5), n=3
B : kejadian muncul mata dadu genap = (2,4,6), n=3
Kejadian muncul mata dadu ganjil atau genap adalah 𝐴 ∪ 𝐵 = (1,2,3,4,5,6), 𝑛( 𝐴 ∪
𝐵) = 6
Kejadian Muncul mata dadu ganjil dan genap adalah 𝐴 ∩ 𝐵 = ( ), 𝑛( 𝐴 ∩ 𝐵) = 0
Jadi, 𝑃( 𝐴 ∪ 𝐵) =
3
6
=
3
6
= 1
 Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas
Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan saling bebas
apabila kejadian A tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian B (Sulasmono,
2009). Apabila A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka peluang
terjadinya kejadian A dan B adalah sebagai berikut :
Dua kejadian A dan B saling bebas jika dan hanya jika :
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) × 𝑃( 𝐵)

10. Contoh soal:
Peluang A untuk hidup 20 tahun lagi adalah 0,75 sedangan peluang B untuk hidup 20
tahun lagi adalah 0,82. Peluang A dan B untuk hidup 20 tahun lagi adalah ?
Penyelesaian :
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) × 𝑃( 𝐵)
= (0,75)× (0,82)
= 0,615
Contoh soal:
Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi sekali. Peluang munculnya angka
pada mata uangdan bilangan ganjil pada dadu adalah ?
Penyelesaian :
Peluang Angka pada mata uang 𝑃( 𝐴) =
1
2
Peluang bilangan ganjil pada dadu 𝑃( 𝐺) =
3
6
Dua kejadian tersebut saling bebas maka
𝑃( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( 𝐴) × 𝑃( 𝐺)
=
1
2
×
3
6
=
1
4

11.  Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian A dan B yang terjadi secara berurutan dikatakan tidak saling
bebas (saling bersyarat) jika kejadian A memengaruhi peluang kejadian B. Peluang
kejadian bersyarat dirumuskan sebagai berikut :
𝑃( 𝐴 ∣ 𝐵 ) =
𝑛( 𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛( 𝐵)
↔P( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( 𝐵) × 𝑃( 𝐵 ∣ 𝐴 )
Contoh soal :
Sebuah kartu diambil dari delapan kartu identik yang dinomori 1,2,3, … , 8. Peluang
kartu terambil bernomor prima jika diketahui kartu yang terambil bernomor ganjil .
Penyelesaian :
Misal : A1 : Kejadian terambil kartu bernomor prima = (2,3,5,7), n(A1) = 4
A2 : Kejadian terambil kartu bernomor ganjil = (1,3,5,7), n(A2) = 4
Maka, 𝐴1 ∩ 𝐴2 = (3,5,7); 𝑛( 𝐴1 ∩ 𝐴2) = 3
𝑃( 𝐴1 ∣∣ 𝐴2 ) =
𝑛( 𝐴1∩𝐴2)
𝑛( 𝐴2)
=
3
4

12. Daftar Pustaka
Aksin, N., Miyanto, & Astuti, A. Y. (2015). Detik-Detik Ujian Nasional Matematika
Tahun Pelajaran 2014/2015. Klaten: Intan Pariwara.
https://www.idomaths.com/id/permutasi_kombinasi.php
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/Penjelasan-Perbedaan-Permutasi-
dan-Kombinasi-Matematika-Contoh-Soal-dan-Pembahasan-Lengkap.html
Sulasmono, B. (2009). Contekan Rumus Matematika. Jakarta: Hikmah.
Sundaryono.(2014).Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta:Andi.