fdokumen.com_bab-ii-teori-probabilitas-kombinasi-dan-permutasi.ppt

1. TEORI PROBABILITAS
KEJADIAN
RUANG SAMPEL
PROBABILITAS

2. TEORI PROBABILITAS
 Untuk menggambarkan konsep dasar teori
probabilitas kita akan menggunakan
beberapa ide dari teori himpunan
yang didefinisikan sebagai gabungan
atau kumpulan objek.

3. ISTILAH YG DIGUNAKAN DLM TEORI
PROBABILITAS
 EKSPERIMEN : adalah suatu aktivitas atau proses yang
menghasilkan keluaran yang dapat diamati
 SAMPEL SPACE (SEMESTA) : adalah himpunan semua hasil yang
mungkin dari suatu percobaan statistik dan dinyatakan dengan
lambang S
 SAMPEL POINT (TITIK SAMPEL) : adalah elemen atau anggota
sampel space
Untuk mendapatkan list / daftar elemen dari semesta secara
bersistem dapat dibantu melalui diagram pohon (tree diagram)

4. Contoh
1. Suatu eksperimen melempar dadu, jika sebagai keluaran
eksperimen adalah cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke
atas, maka :
S ={1,2,3,4,5,6}
2. Suatu eksperimen dilakukan sebagai berikut; yaitu melemparkan
sebuah mata-uang, keluarannya adalah gambar (G) dan angka (A).
Bila keluarannya adalah G maka pelemparan matauang diulangi
lagi; tetapi bila keluarannya A maka sebuah dadu dilemparkan
dengan keluarannya cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke
atas, tentukan semesta dari eksperimen tersebut !

5. Ruang Sampel & Kejadian
 Himpunan (set) adalah kumpulan objek.
 Himpunan semua outcome yang mungkin muncul
dalam suatu percobaan/pengamatan disebut
dengan himpunan semesta sampel (sample
space)
 Masing-masing outcome disebut dengan elemen
atau titik sampel

6.  Fakta bahwa a anggota (elemen) himpunan (semesta) A
dapat dituliskan dalam simbol a € A
 Jika tiap anggota himpunan A1 juga merupakan anggota dari
himpunan A2, maka himpunan A1 disebut dengan himpunan
bagian dari himpunan A2 atau dapat dituliskan dalam bentuk
simbol A1  A2
 Jika himpunan A tidak memiliki anggota maka A disebut
dengan himpunan kosong dan dituliskan sebagai A = ∅.
Ruang Sampel & Kejadian

7.  Himpunan dari semua elemen yang setidaknya menjadi
anggota salah satu dari himpunan A1 dan himpunan A2
disebut union dari A1 dan A2. Union ini disimbolkan
dengan A1  A2
 Himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam
himpunan A1 dan juga dalam himpunan A2 disebut dengan
interseksi dari A1 dan A2. Interseksi A1 dan A2
disimbolkan dengan A1 ∩ A2.
Ruang Sampel & Kejadian

8.  Himpunan yang terdiri atas elemen yang bukan elemen A
disebut dengan komplemen A (mengacu pada A) dan
disimbolkan dengan A*.
 Dua buah himpunan dikatakan saling bebas (mutually
exclusive) atau disjoint, jika interseksi keduanya adalah
himpunan kosong. Himpunan A dikatakan mutually exclusive
terhadap himpunan B jika A ∩ B = ∅
Ruang Sampel & Kejadian

9.  Ruang sample atau set kejadian adalah set dari semua hasil
yang mungkin ada dari sebuah percobaan
contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)
 Kejadian adalah kumpulan dari hasil dengan karakteristik
yang sama (himpunan bagian dari ruang sampel)
Contoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)
 Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadi
 Probabilitas sebuah kejadian Jumlah probabilitas dari setiap
hasil yang muncul
 P(A) = P(2) + P(4) + P(6)
Kejadian

10. Hukum Probabilitas dlm Teori
Himpunan
 Identity laws (A∩S=A, A∩∅=∅),
 Complement law (A  A’=S, A∩A’=∅)
 Commutative law (A  B=B  A, A∩B=B∩A)
 Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ; A (B  C)=(A  B)  C
 Distributive law A∩(B  C)= (A∩B) (A∩C)

11. Konsep Kombinatorial (1)
 Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparan
pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan
kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin
dari dua kali pelemparan.
 Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni
cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian
akan muncul adalah N1N2...Nn.
 Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – dengan pengembalian
52*52*52*52*52=525 …… 380,204,032 hasil yang mungkin
 Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – tanpa pengembalian
52*51*50*49*48 =311,875,200 hasil yang mungkin

12. Konsep Kombinatorial (2)
Diagram Pohon (Tree Diagram)

13. MENGHITUNG SAMPEL POINT
 ATURAN PERKALIAN : jika suatu operasi dapat
ditangani dua tahap; tahap ke-1 ditangani dengan n1 cara
dan tahap ke-2 dengan n2 cara, maka operasi tersebut dapat
ditangani dengan n1 x n2 cara
 CONTOH :
 Berapa banyaknya titik sampel bila dua buah mata uang
dilempar serentak dan peristiwa yang mungkin
 Jawab:
- ruang sampel : (A,G), (A,A), (G,A), (G,G)
- Titik sampel : G (gambar), A (angka)
- peristiwa : A dg A, A dg G, dan G dg G

14.  Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan.Jika terdapat 7
orang calon yaitu A,B,C,D,E,F,G. Perusahaan akan memutuskan
untuk menerima dari salah satu dari 7 calon tersebut, tentukan :
 probabilitas B diterima jadi karyawan
 Probabilitas C atau D diterima jadi karyawan
 Jawab:
 P(B) = 1/7 = 0,143
 P(C atau D) = 1/7 + 1/7 = 0,286

15. PERMUTASI
 SUATU SUSUNAN YANG DAPAT DIBENTUK DARI SATU
KUMPULAN OBYEK YANG DIAMBIL SEBAGIAN ATAU
SELURUHNYA
 PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA DIAMBIL
SELURUHNYA SEKALIGUS DIHITUNG DENGAN :
n
x
....
x
3
x
2
x
1
faktorial
n
n!
obyek
banyaknya
permutasi
:
keterangan
!
n
Pn
n





n
P

16.  PERMUTASI KE-1
- BANYAKNYA PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA
ADALAH :
n! = (n . (n-1). (n-2). …. .1)
- PERMUTASI KE-2
 SEDANGKAN PERMUTASI DARI N OBYEK YANG DIAMBIL R OBYEK
SETIAP KALI TANPA DIULANGI DIHITUNG DENGAN :
n
pengambila
kali
setiap
banyaknya
r
obyek
banyaknya
permutasi
:
keterangan
r)!
-
(n
!
n
Pn
r




n
P
TEOREMA PERMUTASI

17.  PERMUTASI KE-3/PERMUTASI MELINGKAR :
 Banyaknya permutasi n oyek yg disusun melingkar : (n -1 )!
 PERMUTASI KE-4 :
 Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1
diantaranya berjenis ke-1, n2 berjenis ke-2,…, nk berjenis ke-
k, dihitung dengan :
k
-
ke
obyek
banyaknya
nk
2
-
ke
obyek
banyaknya
n2
1
-
ke
obyek
banyaknya
n1
permutasi
P
:
keterangan
n2!...nk!
n1!
!
n
P





TEOREMA PERMUTASI

18. KOMBINASI
 BANYAKNYA KOMBINASI DARI n OBYEK YANG
BERLAINAN BILA DIAMBIL SEBANYAK r
SEKALIGUS, DIHITUNG DENGAN :
n
pengambila
kali
setiap
banyaknya
r
obyek
banyaknya
kombinasi
:
keterangan
r)!
-
(n
r!
!
n
n
r
n
r













n
C
r
n
C

19. Contoh :
 Panitia karya wisata mahasiswa terdiri dari 4 orang
mahasiswa angkatan 2000 dan 3 orang mahasiswa
angkatan 2001. carilah banyaknya panitia 3 orang
mahasiswa yang dapat disusun yang beranggotakan 2
orang mhs angkt 2000 dan 1 orang mhs angkt 2001?
 Banyaknya cara memilih 2 orang mhs angk 2000 :
 Banyaknya cara memilih 1 orang mhs angk 2001 :
 Sehingga : n1.n2 = 6 x 3 = 18
6
2)!
-
(4
2!
!
4
2
4
4
2 










C
3
1)!
-
(3
1!
!
3
1
3
3
1 










C

20. PROBABILITAS
 Sebuah ukuran ketidak-pastian.
 Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinya sebuah
kejadian yang tidak pasti (uncertain event).
 Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of
occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak pasti
(uncertain event).
 Diukur dengan nilai antara 0 sampai 1 (atau antara 0%
sampai 100%).

21.  PELUANG SUATU KEJADIAN A, adalah jumlah bobot
peluang semua elemen dalam A → P(A)
 Probabilitas suatu kejadian dapat dibatasi sebagai
perbandingan frekuensi kejadian itu dengan kejadian
seluruhnya.
 SIFAT-SIFAT PROBABILITAS :
1. 0  P(A)  1
2. P(Ø) = 0
3. P(S) =1
PROBABILITAS

22.  Jika, dalam N percobaan, ada x sukses, maka akan
ada (N – x) kegagalan, sehingga :
1
)
(
)
(
)
A
(
ditulis
sehingga
(A)
komplemen
merupakan
A)
(bukan
1
A)
(bukan
P
(A)
P
A)
(bukan
)
(
)
(
)
(
,
1
)
(

















A
P
A
P
P
gagal
P
N
x
N
dan
A
P
sukses
P
N
x
tetapi
N
x
N
N
x
N
x
N
x
PROBABILITAS

23. Pokok utama :
 Probabiltas empiris dari munculnya suatu
kejadian A adalah banyaknya, x, sukses
yang dialami dalam N percobaan
sebelumnya dibagi dengan N, yaitu P(A)=x
/ N
 Banyaknya sukses E yang diharapkan
dalam suatu sampel dari m percobaan
adalah E = m x P(A) yaitu Harapan =
(banyaknya percobaan) x (probabilitas
sukses pd suatu percobaan tertentu)

24. Contoh :
 Diketahui bahwa pengalaman sebelumnya 8%
cetakan plastik adalah cacat. Hitunglah :
 Probabilitas cetakan (i) cacat; (ii) dapat
diterima
 Banyaknya cetakan dapat diterima
kemungkinan besar dapat ditemukan dalam
tumpukan sampel berukuran 4500

25. Solusi :
 (i) P(A) = 8/100 = 2/25;
 (ii) P(B) = 92/100 = 23/25
 E = m x P(B) = 4500 x (23/25) =
4140
 Perhatikan bahwa P(A) + P(B) = 1

26. HUBUNGAN ANTAR PERISTIWA
 SALING MENIADAKAN/TERPISAH (MUTUALLY
EXCLUSIVE) adalah peristiwa yang tidak mungkin
terjadi secara serentak / bersamaan
 CONTOH : Pada pelemparan mata uang logam,
muncul sisi G (gambar) tidak mungkin
bersamaan terjadinya dengan munculnya sisi A
(angka).
 Hal ini berarti bahwa (G) dan (A) saling
meniadakan/terpisah

27.  PASTI TERWAKILI (COLLECTIVELY
EXHAUSTIVE) adalah peristiwa yang
sekurang-kurangnya salah satu
diantaranya pasti terjadi.
 Contoh : pada pelemparan uang logam,
salah satu dari kedua sisinya pasti akan
muncul.
 Hal ini berarti (A) dan (G) pasti terwakili
HUBUNGAN ANTAR PERISTIWA

28.  SALING BEBAS (INDEPENDENT) adalah peristiwa2 yg
terjadi diantara peristiwa2 itu tidak mempengaruhi peluang
terjadinya peristiwa yang lainnya.
 Contoh : pada 2 kali pelemparan mata uang logam,
munculnya sisi G pada pelemparan pertama tidak
mempengaruhi peluang munculnya sisi A pada pelemparan
kedua
 Hal ini berarti bahwa (G1) dan (A2) saling bebas
HUBUNGAN ANTAR PERISTIWA

29. NOTASI PELUANG
serentak
secara
B
peristiwa
dan
A
peristiwa
kedua
a
terjadiny
peluang
B)
dan
P(A
B)
P(A
B
peristiwa
atau
A
peristiwa
dari
satu
salah
a
terjadiny
peluang
B)
atau
P(A
B)
P(A
A
peristiwa
a
terjadiny
peluang
P(A)








30. 30
Contoh : Pada pelemparan mata
uang logam
0
belakang
dan
muka
sisi
munculnya
A)
P(G
1
0
belakang
atau
muka
sisi
munculnya
)
P(G
belakang
sisi
munculnya
P(A)
muka
uang
sisi
munculnya
P(G)
2
1
2
1
2
1
2
1













A

31. RUMUS PELUANG
P(A).P(B)
B)
P(A
maka
nt)
(independe
bebas
saling
B
dan
A
Jika
3.
P(B)
P(A)
B)
P(A
0
B)
P(A
:
maka
exclusive)
(mutually
an
terpisahk
saling
B
dan
A
Jika
2.
B)
P(A
-
P(B)
P(A)
B)
P(A
.
1












32. Contoh : Pada pelemparan sebuah
dadu
6
1
6
5
2
1
2
1
T)
P(G
)
2
(
tiga
maksimal
dan
genap
bernilai
sisi
munculnya
T)
(G
T)
P(G
)
(1,2,3,4,6
tiga
maksimal
atau
genap
bernilai
sisi
munculnya
T)
(G
P(T)
;
(1,2,3)
tiga
maksimal
bernilai
sisi
munculnya
(T)
P(G)
(2,4,6)
genap
bernilai
sisi
munculnya
(G)

















33. PELUANG BERSYARAT
(CONDITIONAL PROBABILITY)
0
P(B)
,
P(B)
B)
P(A
B
A
P
0
P(A)
,
P(A)
B)
P(A
A
B
P






apabila
apabila

34. CONTOH:
 Hasil penelitian terhadap 500 orang laki-laki
tentang hubungan kebiasaan merokok (R) dan
penyakit kanker (K) adalah :
Kebiasaan
merokok
Penyakit Kanker jumlah
Ya Tidak
Ya 30 (6%) 170 (34%) 200 (40%)
Tidak 20 (4%) 280 (56%) 300 (60%)
Jumlah 50 (10%) 450 (90%) 500 (100%)

35.  Apabila pada suatu saat ditemukan sorang laki-laki
perokok, berapa peluang laki-laki tsb penderita kanker ?
 Apabila ada penderita kanker, berapa peluang bahwa dia
seorang perokok?
15
,
0
0,4
0,06
P(R)
R)
P(K
R
K
P 



6
,
0
0,1
0,06
P(K)
K)
P(R
K
R
P 



JAWAB:

36. TEORI JUMLAH PELUANG
 Bila kejadian B1, B2, …, Bn membentuk partisi suatu sampel
space S sehingga :
P(Bi) ≠0, untuk i = 1, 2, 3, …, k , maka untuk kejadian A
dalam S berlaku :
 
 


k
i
k
i
i
i
i B
A
P
B
P
A
B
P
A
P
1 1
)
(
).
(
)
(
)
( 

37. Contoh :
 Intersection / irisan kejadian A dengan kejadian B1, B2, B3,
…, Bk yang merupakan partisi atau penyekatan S.
 Jadi :
B2
B1
B3
Bk B4
A



k
i
i A
B
P
A
P
1
)
(
)
( 

38. TEOREMA BAYES
B
a
terjadiny
peluang
P(B)
A
a
terjadiny
peluang
P(A)
serentak
secara
B
dan
A
a
terjadiny
peluang
B)
P(A
0
P(A)
bila
A,
syarat
dg
B
a
terjadiny
peluang
A
B
P
0
P(B)
bila
B,
syarat
dg
A
a
terjadiny
peluang
B
A
P
,...,
3
,
2
,
1
;
)
(
).
(
)
(
).
(
)
P(B
)
P(B
A
B
P
1
k
1
i
i
r
r













 

k
r
B
A
P
B
P
B
A
P
B
P
A
A
i
k
i
i
r
r

Teorema Bayes memungkinkan untuk mengetahui
probabilitas B bersyarat A jika diketahui probabilitas A bersyarat B.
Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum
probabilitas total.

39.  Tiga orang anggota senat PT dicalonkan menjadi Rektor,
peluang A terpilih sbg rektor 0,3. Peluang B terpilih sbg
rektor 0,5. Dan peluang C terpilih sbg rektor 0,2. Jika A
terpilih, maka peluang kenaikan SPP sebesar 0,8. Tetapi
jika B atau C menang, maka peluang kenaikan SPP
sebesar 0,1 dan 0,4.
a. Berapa peluang SPP naik
b. Bila seorang mhs merencanakan masuk PT tsb dan
tahu SPP naik, berapa peluang C terpilih sbg rektor?
Contoh :

40.  Jika kejadian :
 A : orang terpilih menaikan SPP
 B1 : A terpilih sbg Rektor
 B2 : B terpilih sbg Rektor
 B3 : C terpilih sbg Rektor
 Maka peluang SPP naik :
P(B1) = 0,3 B1 P(A|B1) = 0,8 P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24
P(B2) = 0,5 B2 P(A|B2) = 0,1 P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05
P(B3) = 0,2 B3 P(A|B3) = 0,4 P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08 +
A
A
A P(A) = 0,37

41.  Sedangkan peluang C yang terpilih sebagai Rektor adalah :
0,22
0,37
0,08
B
A
).P
P(B
B
A
).P
P(B
B
A
).P
P(B
B
A
).P
P(B
A
B
P
3
3
2
2
1
1
3
3
3




