2. Random Variable
Definisi 1:
• Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang
sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S ??R
Contoh 1:
• Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang
sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}.
Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random
yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan
real. Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah
X = banyaknya sisi gambar yang muncul.
Maka nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik
sampel.
2
3. Random Variable
Definisi 2 :
• Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya
mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung
banyaknya.
• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit
disebut variabel random diskrit.
Contoh 2 :
• banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar
X barang.
• banyaknya yang meninggal karena terserang suatu
infeksi pernafasan setiap tahun di Surabaya.
5. Random Variable
Definisi 3 :
• Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya
mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya,
dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval.
• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu
disebut variabel random kontinu.
Contoh 3 :
• lamanya reaksi kimia tertentu
• jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter bensin.
4
6. Distribusi Probabilitas
Kunci aplikasi probabilitas adalah memperkirakan
terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan
dengan terjadinya peristiwa dalam beberapa keadaan.
Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari
kemungkinan yang akan terjadi, seluruh probabilitas
kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi
probabilitas.
5
7. Distribusi Probabilitas
Diskrit
Kontinyu
• Distribusi dimana peubahnya secara
teoritis tidak dapat menerima
sembarang nilai diantara dua nilai
yang diberikan.
• Distribusi peluang dengan
variabel random bersifat diskrit
pada suatu waktu.
• Distribusi kontinyu merupakan model
matematik yang menghubungkan nilai
variabel dengan probabilitas
terjadinya nilai itu. Dimana untuk
distribusi kontinyu variabel yang
diukur dinyatakan dalam skala
kontinyu.
6
8. Distribusi Probabilitas
Beberapa distribusi yang termasuk dalam Distribusi
Probabilitas Diskrit yang dibahas di sini adalah:
1. Distribusi Peluang Binomial
2. Distribusi Peluang Multinomial
3. Distribusi Peluang Binomial Negatif
4. Distribusi Peluang Geometrik
5. Distribusi Peluang Hipergeometrik
6. Distribusi Peluang Poisson
7
9. [Diskrit]
Distribusi Binomial
Distribusi Bernoulli
Distribusi Bernoulli berdasarkan oleh suatu
percobaan Bernoulli (Bernoulli trial).
Percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:
? Hasil percobaan yang mungkin hanya
salah satu dari “Berhasil” atau “Gagal”
? Jika probabilitas berhasil p, maka probabilitas
gagal q = 1 – p
8
10. [Diskrit]
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial berasal dari percobaan binomial, yaitu
suatu percobaan Bernoulli yang diulang sebanyak n kali
dan tidak saling terikat:
Syarat distribusi Binomial:
1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.
2. Pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (sehingga
percobaan tsb saling bebas)
3. Tiap usaha hanya mempunyai 2 kemungkinan yaitu “sukses atau gagal”,
Peluang sukses (atau laki-laki, atau angka, dsb), dinyatakan
dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang
berikutnya, dan peluang gagal (atau opposite-nya)
dinyatakan dengan q.
9
11. [Diskrit]
Distribusi Binomial
Formula Peluang Binomial
Dengan n = banyaknya
percobaan x =
banyaknya kejadian
p = peluang sukses
Notasi
C ??C(n,
x)
??C
??
n
?
??Cn
?
n!
? ??
n x x ?
15. [Diskrit]
Distribusi Binomial
Contoh 1
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan
probabilitas ¾. Hitunglah probabilitas bahwa tepat dua dari empat suku
cadang yang diuji tidak akan rusak.
Diketahui
probabilitas sukses (p) = ¾
Banyak percobaan (n) = 4
Kejadian (x)=2
Jika pengujian bersifat bebas maka
13
16. [Diskrit]
Distribusi Binomial
Contoh 2
Keluarga Markus berencana memiliki 3 anak. Bila x menyatakan banyaknya
kelahiran anak laki-laki,
a. Hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki
b. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki
c. Hitung rata-rata dan simpangan bakunya
14
22. [Diskrit]
Distribusi Binomial
1. Hitung Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan
sebuah mata uang homogen sebanyak 10 kali!
2. 10 % dari hasil produksi tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berjumlah
30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda
kategori A :
a. semuanya,
b. sebuah,
c. dua buah,
d. paling sedikit sebuah,
e. paling banyak dua buah
f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.
3. Debit puncak banjir sungai periode T=5 tahun adalah 400m3/det. Tentukan
dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:
a. Tidak terjadi ?
b. Terjadi satu kali ?
c. Terjadi dua kali ?
d. Terjadi tiga kali ?
e. Rata-rata dan deviasi standarnya ?
20
25. [Diskrit]
Distribusi Multinomial
Dalam teori probabilitas, distribusi multinomial merupakan
generalisasi dari distribusi binomial. Percobaan binomial menjadi
percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih
dari dua hasil.
Syarat distribusi Multinomial:
1. Percobaan terdiri atas n usaha yang
berulang.
2. percobaan tsb saling lepas dan saling
meniadakan (mutually exclusive)
3. Tiap usaha mempunyai lebih dari 2 kemungkinan
27. [Diskrit]
Distribusi Multinomial
Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k hasil yg berbeda, E1
, E
2
, …,E
k
masing-,masing dengan probabilitas p
1
, p
2
, …,p
k
. Maka distribusi multinomial f(x
1
,x
2
,…,x
k
; p
1
,p
2
, ..,p
k
, n) akan memberikan
probabilitas bahwa E
1
akan muncul sebanyak x
1
kali, E
2
akan muncul sebanyak x
2
kali, dst dalam pengambilan independen
sebanyak n kali, jadi
x1
+ x
2
+ ….+ x
k
=n p
1
+p
2
+ …+ p
k
=1
24
28. [Diskrit]
Distribusi Multinomial
Rata – Rata (μ) dan Varian Distribusi Multinomial (??
2
)
??= ??
??
?
??
??
??
= ??
??
?
??
?
??
Contoh 1.
Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan
melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah 8:4:4.
Hitung peluang akan lahir anak dengan warna merah 5 ekor, hitam 2 ekor,
dan putih 1 ekor, dari seluruh kelahiran sejumlah 8 ekor.
?
8 4 4
?
?
8
??
8
5
42
4 8! 8
5
?4
3
1 168
f
?
5, 2,1; , ,
??
??
? ? ? ? ? ?168? ? ??0,656
?
16 16 16
? ??
5,2,1
?
16
5
162
16 5!2!1!
168
44
256
32. [Diskrit]
Distribusi Multinomial
Contoh 3.
Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas
sebuah runway dipilih oleh pesawat yg akan mendarat adalah:
runway 1 : 2/9
runway 2 : 1/6
runway 3 : 11/18
Hitung probabilitas 6 pesawat yang datang didistribusikan secara acak ke
dalam runways tersebut dengan komposisi:
runway 1 : 2 pesawat
runway 2 : 1 pesawat
runway 3 : 3 pesawat
27
34. [Diskrit]
Distribusi Binomial Negatif
Suatu percobaan independen dapat mendapatkan hasil sukses dengan
probabilitas “p” dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1 – p, Sebanyak k
kali adalah “sukses” berarti (x-k) gagal.
Banyak kombinasi yg berbeda dari (x-1) elemen yg terdiri dari (k-1) “sukses”
dan (x-k) “gagal” adalah kombinasi (x-1) diambil (k-1) elemen:
Probabilitas untuk mendapatkan “sukses” pada percobaan ke-x, yg didahului
oleh (k-1) sukses – berarti urutan ke-x tsb adalah “sukses” ke k, dan (x-k)
“gagal”, dengan urutan “sukses” dan “gagal” tertentu adalah:
p
k-1
q
x-k
p = p
k
q
x-k
36. [Diskrit]
Distribusi Binomial Negatif
Contoh
1.
Sebuah obat diketahui efektif 60% dari total pemakaiannya. Kita ingin tahu
probabilitasnya bahwa pasien ke lima yg sembuh memakai obat ini adalah
pasien ke tujuh yg diberikan obat ini. Jadi jika S:sembuh dan G:gagal, salah
satu kemungkinan urutan peristiwanya adalah SGSSSGS. Untuk urutan spt ini
akan muncul dengan probabilitas :
(0.6)(0.4) (0.6)(0.6) (0.6)(0.4) (0.6) = (0.6)5
(0.4)
2
.
Kita bisa mencari seluruh permutasi urutan S dan G, dengan kendala bahwa
elemen ketujuh (terakhir) harus S yg kelima. Jadi banyaknya konfigurasi
adalah sama dengan banyak cara mempartisi 6 elemen, menjadi 2 grup, yg
terdiri dari 4S dan 2G, yang tak lain adalah kombinasi 6 elemen diambil 4!
Jadi jika X adalah variabel random yg menyatakan bahwa no urutan hasil
sukses kelima terjadi, maka
38. [Diskrit]
Distribusi Binomial Negatif
Keterangan:
Kita bisa memandang bahwa dalam kasus ini kita punya 6 elemen,
yaitu : S1
S
2
S
3
S
4
G
1
G
2
. Pertama kita pikirkan banyaknya seluruh permutasi yg mungkin dari 6 elemen ini adalah
6! Tetapi karena sebenarnya S
1
=S
2
=S
3
=S
4
=S, maka banyak konfigurasi yg berbeda harus dibagi 4! Misal :
S
1
G
1
S
2
S
3
G
2
S
4
= S
2
G
1
S
1
S
3
G
2
S
4
= S
2
G
1
S
2
S
4
G
2
S
3
= ….
yaitu seluruh permutasi yg mungkin dari label 1,2,3,4 pada S
Demikian juga untuk G1
dan G
2
, sehingga total konfigurasinya harus dibagi
2!, jadi total konfigurasi yg berbeda yg melibatkan 4S dan 2G adalah:
6 =
6 !
4
4! 2!
31
39. [Diskrit]
Distribusi Binomial Negatif
Contoh 2.
Carilah peluang bahwa seseorang yang melemparkan tiga uang logam
sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk
kedua kalinya pada lemparan kelima.
untuk x = 5, k = 2, dan p = ¼ diperoleh
32
40. [Diskrit]
Distribusi Geometrik
Jika probabilitas sebuah “sukses” = p dan probabilitas “gagal” q
= 1 - p, dan x adalah variabel random yg menyatakan jumlah
percobaan yg diperlukan agar didapatkan “sukses” yg pertama
kali, maka probabilitas g(x,p) = pqx-1
Ini disebut distribusi geometrik, yg tak lain adalah kasus khusus
dari distribusi binomial negatif, di mana banyak sukses k=1 dan
terjadi di akhir percobaan yg sebanyak x :
33
41. [Diskrit]
Distribusi Geometrik
Jika μ dan σ2
menyatakan mean (rata-rata) dan variansi dari variabel random x yg memiliki distribusi geometrik, maka:
34
42. [Diskrit]
Distribusi Geometrik
Contoh 1.
Dalam sebuah proses produksi diketahui, secara rata-rata 1 dari 100 hasil
produksinya cacat. Berapakah probabilitasnya jikalau pada pengambilan
kelima dari hasil produksinya dijumpai hasil produksi yg cacat pertama kali
(jadi 4 yg pertama bagus)?
Jumlah percobaan x=5, probabilitas “sukses” yaitu produk cacat p=0.01,
berarti probabilitas “gagal” q=1-p = 1-0.01 =0.99.
Jadi probabilitas mendapatkan hasil produk kelima adalah cacat
yg pertama adalah :
g(x=5;p=0.01)= (0.01)(0.99)5-1 = 0.0096 = 0.96%
35
43. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
Perbedaan diantara distribusi binomial dan distribusi
hipergeometrik adalah terletak pada cara penarikan sampel.
• Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan
yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus
dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).
• Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak
diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan
dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).
36
44. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
• Andaikan sebuah populasi berisikan N elemen terhingga, k elemen sukses dan N –
k merupakan elemen gagal. Sampel berukuran n diambil secara acak dari populasi
tersebut. X merepresentasikan jumlah sukses dalam sampel. Peubah acak X
disebut berdistribusi Hipergeometrik dengan notasi h(x:N:n:k) jika dan hanya jika :
?
? ℎ ??: ??: ??: ??=?
?
??−
??
??−
??
??
??
x = 0, 1, 2, 3, …, n
• Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yg terjadi jika dari N
obyek diambil n tiap kali.
• Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari
obyek berjenis “sukses” yg berjumlah k jika tiap kali diambil sebanyak x buah.
• Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari
obyek berjenis “gagal” sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak (n-x) buah.
46. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
• Penggunaan distribusi hipergeometrik terdapat pada pengujian yang
dilakukan terhadap barang yang diuji mengakibatkan barang yang teruji
tersebut menjadi rusak, jadi tidak dapat dikembalikan.
Contohnya pada pengujian elektronik, dan pengendalian mutu.
• Nilai rata-rata dan varian dari distribusi hipergeometrik adalah :
38
47. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
Contoh
1.
Suatu jenis suku cadang mobil dijual dalam bentuk paket yg isinya 10 buah.
Produsen merasa bahwa bahwa paket tsb dinyatakan “dapat diterima” jikalau
tak lebih dari 1 buah suku cadang/ paket yg cacat. Untuk memeriksa
kualitasnya dilakukan sampling secara random diambil beberapa paket, dan
ditiap paket dilakukan pemeriksaan terhadap 3 buah suku cadang dari paket
yg disampel. Kemudian paket dinyatakan baik jika dari 3 yg diperiksa tsb tidak
satupun yg cacat. Berapakah probabilitasnya seandainya sampel yg diambil
sebenarnya mengandung 2 buah suku cadang cacat (jadi unacceptable), tapi
ketika diambil sampel 3 ternyata tak satupun juga cacat, sehingga salah
mengambil kesimpulan!
49. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
Jawab
• Misalkan bahwa ada lot yg benar-benar tak bisa diterima, karena 2 dari 10
isinya cacat. Kita hitung berapa probabilitasnya bahwa teknik sampling yg
kita lakukan dapat menemukan hal ini
• Misal X adalah banyak suku cadang yg cacat, maka probabilitas bahwa dari
3 suku cadang yg diambil tak satupun cacat adalah sbb:
• Jumlah yg cacat di paket k=2, yg terambil tidak ada, X=0. Isi satu paket
N=10, jadi yg baik N-k=10-2=8. Dari paket diambil n=3 sampel.
• Banyaknya kombinasi bahwa dari k=2 cacat di paket tidak terambil sama
=
sekali (x=0) adalah C
2
0
2!/(0!2!)=1. Dan kombinasi dari 8 yg cacat diambil
3 buah ada sebanyak C
8
= 8!/(3!5!) = 8x7x6/6=56.
3
• Sedangkan kalau dari 10 diambil 3 buah item, banyak kombinasi item yg
10
51. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
• Jadi probabilitas bahwa yg terambil mengandung 3 buah item dan tak
satupun cacat adalah :
• Jadi ada probabilitas 47% bahwa walaupun sebenarnya paketnya
mengandung 2 cacat, tapi dari 3 sampel suku cadang yg diperiksa tak
satupun juga yg cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan bahwa paket
tsb bagus! (Acceptable).
41
52. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
Contoh
2.
Paket yg terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tsb
mengandung item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yg diterapkan adalah
dengan mengambil sampel 5 item, dan memeriksanya jikalau ditemui yg
cacat, maka keseluruhan paket ditolak.
a) berapakah probabilitasnya bahwa jika ternyata paket mengandung 3
item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yg dipilih?
b) jika X menyatakan banyak item yg cacat, hitunglah mean dan variansi,
c) pergunakan teorema Chebysev untuk menaksir interval μ ±
2σ.
54. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
Jawab
a) Banyak item cacat terambil x=1, banyak total item N=40, sampel yg
diambil n=5, total item cacat di populasi k=3. Probabilitas 1 item cacat
terambil dari 5 yg diambil:
b) Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yg terambil dan
variansinya adalah:
43
55. [Diskrit]
Distribusi Hipergeometrik
c) Standard deviasinya σ = 0.558, sehingga interval μ±2σ adalah:
0.375 ± 2(0.558) = -0.741 s/d 1.491.
Teorema Chebysev menyatakan terdapat probabilitas 75% dari sampel 5
yg diambil tersebut akan mengandung jumlah item yg cacat sebanyak -
0.741 dan 1.491. Jadi berarti 3 dari 4 kesempatan, dari 5 buah sampel
item yg diambil mengandung komponen yg cacat kurang dari 2.
44
56. [Diskrit]
Distribusi Poisson
Percobaan yg menghasilkan variabel random X yg menyatakan banyaknya
outcome selama interval waktu tertentu atau dalam “area” atau “luas”
tertentu dinamakan percobaan Poisson.
Contoh:
X : banyak panggilan telepon per jam
X : banyak hari-hari sekolah tutup karena bencana alam dalam setahun
X : banyaknya penundaan pertandingan bola karena hujan dalam semusim
pertandingan
X : banyak tikus per hektare
X : banyaknya kesalahan ketik per halaman
45
57. [Diskrit]
Distribusi Poisson
Karakteristiknya :
1) Tidak punya memori atau ingatan, yaitu banyaknya outcome dalam satu
interval waktu (atau daerah) tidak bergantung pada banyaknya outcome
pada waktu atau daerah yg lain.
2) Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu (atau daerah) yg
sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb
(atau luas daerahnya). Dan tidak bergantung pada kejadian atau
outcome di luar interval ini.
3) Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam interval waktu yg
sangat pendek di (2) tsb sangat kecil atau bisa diabaikan.
46
58. [Diskrit]
Distribusi Poisson
X : variabel random Poission yg menyatakan banyaknya outcome selama
percobaan.
μ : rata-rata banyak outcome = λt dimana t adalah lama intervalnya dan λ
adalah laju terjadinya outcome.
Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yg menyatakan
banyaknya outcome dalam interval waktu tertentu t (atau daerah tertentu)
dengan λ menyatakan laju terjadinya outcome persatuan waktu atau per
satuan daerah diberikan oleh :
47
60. [Diskrit]
Distribusi Poisson
Contoh 1.
Dalam percobaan radioaktif, rata-rata jumlah cacahan radioaktif yg
terekam di counter adalah 4 cacahan per mili detik. Berapakah
probabilitasnya dalam 1 milidetik tertentu tercacah sebanyak 6
cacahan?
Jawab:
Rata-rata jumlah outcome per milidetik : μ = λt = 4
Probabilitas tercacah X=6 dalam 1 milidetik:
49
