DISTRIBUSI PROBABILITAS

2
 Kunci probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang
yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa
keadaan.
 Jika diketahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang
terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu
distribusi probabilitas
 Distribusi peluang mempunyai hubungan yang erat dengan distribusi frekuensi.
 Frekuensi dalam distribusi diperoleh berdasarkan percobaan atau hasil
observasi. Frekuensi dalam distribusi peluang merupakan hasil yang
diharapkan jika percobaan dilakukan.

3
Distribusi Peluang Diskret Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi Probabilitas/ Distibusi Peluang terdiri atas dua, yaitu:
Distribusi Seragam/ Uniform Distribusi Normal
Distribusi Binomial Hampiran Normal terhadap Binomial
Distribusi Multinomial Distribusi Gamma
Distribusi Hipergeometrik Distribusi Eksponensial
Distribusi Poisson Distribusi Chi- Square
Distribusi Geometrik Distribusi Weibull

4
10. Distribusi Probabilitas Diskret
1. Distribusi Uniform
 Distribusi Diskrit Uniform disebut juga peluang seragam
 Bila variabel acak X mempunyai nilai-nilai 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 dengan probabilitas
yang sama maka distribusi probabilitas uniformnya diberikan oleh:
𝑓 𝑥, 𝑘 =
1
𝑘
, 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛
Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Probabilitas Kontinu

5
1. Distribusi Uniform
Contoh :
Jika sebuah dadu dilemparkan dan setiap unsur ruang sampel adalah {1,2,3,4,5,6}
serta mempunyai peluang yang sama untuk muncul yaitu 1/6. Oleh karena itu
diperoleh distribusi uniformnya adalah :
𝑓(𝑥; 6) = 1/6, 𝑥 = 1,2,3,4,5,6
Contoh :
Misalkan seorang staf dipilih secara acak, dari 10 staf yang tersedia, untuk
mengawasi suatu proyek tertentu. Bila para staf itu dinomori dari 1 sampai
dengan 10, maka distribusinya adalah uniform dengan
𝑓 𝑥; 10 =
1
10
, 𝑥 = 1,2,3,4,5, … , 10

6
2. Distribusi Binomial
Sifat percobaan Binomial adalah:
 percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
 tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal.
 Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke
berikutnya.
 Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
Variabel acak binomial adalah banyaknya sukses 𝑋 dalam 𝑛 usaha suatu
percobaan binomial.

7
 Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang 𝑝 dan
gagal dengan peluang 𝑞 = 1 − 𝑝 , maka distribusi peluang variable acak
binomial 𝑋, yaitu: banyaknya sukses dalam 𝑛 usaha bebas:
𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 , 𝑥 = 0,1,2,3, … , 𝑛
dan
𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 =
𝑛
𝑥=0
1

8
Contoh :
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.
Hitunglah peluang bahwa tepat dua dari empat suku cadang yang diuji tidak akan
rusak.
Jawab:
Untuk tiap pengujian, peluang sukses 𝑝 =
3
4
sehingga peluang gagal 𝑞 =
1
4
𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
𝑏 2; 4,
3
4
=
4
2
3
4
2
1
4
2

9
Jawab:
𝑏 2; 4,
3
4
=
4
2
3
4
2
1
4
2
=
4!
2! 2!
.
32
44
=
33
2. 43
=
27
128

10
Contoh :
Hitung peluang muncul mata dadu 1 sebanyak 3 kali dalam 5 kali lantunan!
Jawab:
Misalkan 𝑋 muncul mata dadu 1, dimana peluang sukses 𝑝 =
1
6
sehingga peluang
gagagl 𝑞 =
5
6
, sehingga:
b 3; 5,
1
6
=
5
3
1
6
3
5
6
2
=
5!
3! 2!
.
52
65
= 0.03215

11
Contoh :
Seorang penderita penyakit darah yang jarang terjadi mempunyai peluang 0.4
untuk sembuh. Bila diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut,
berapakah peluangnya:
a. paling sedikit 10 akan sembuh?
b. antara 3 sampai 8 yang sembuh?
c. tepat 5 yang sembuh?
Jawab:
Misalkan 𝑋 banyaknya yang sembuh, dimana setiap pasien mempunyai peluang
sembuh 𝑝 = 0.4 sehingga peluang tidak sembuh 𝑞 = 0.6

12
Jawab:
Penyelesaian dapat menggunakan bantuan table Jumlah peluang Binomial
ataupun dengan perhitungan manual.
a. Peluang paling sedikit 10 yang sembuh
𝑃 𝑋 ≥ 10 = 1 − 𝑃 𝑋 < 10
= 1 − 𝑏 𝑥; 15, 0.4
9
𝑥=0
= 1 − 0.9662
= 0.0338

13
Jawab:
b. Peluang antara 3 sampai 8 orang sembuh
𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑏 𝑥; 15, 0.4
8
𝑥=3
= 𝑏 𝑥; 15, 0.4
8
𝑥=0
− 𝑏 𝑥; 15, 0.4
2
𝑥=0
= 0.9050 − 0.0271
= 0.8779

14
Jawab:
c. Peluang tepat 5 orang sembuh
𝑃 𝑋 = 5 = 𝑏 5; 15, 0.4
= 𝑏 𝑥; 15, 0.4
5
𝑥=0
− 𝑏 𝑥; 15, 0.4
4
𝑥=0
= 0.4032 − 0.02173
= 0.1859

15
3. Distribusi Multinomial
 Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat
memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin.
 Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 dengan peluang
𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘 maka distribusi peluang variable acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 yang
menyatakan terjadinya 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 dalam 𝑛 usaha bebas adalah:
𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘; 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑘, 𝑛 =
𝑛
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘
𝑝𝑥1𝑝𝑥2 … 𝑝𝑥𝑘
Dengan
𝑥𝑖 = 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑝𝑖 = 1
𝑘
𝑖=1
𝑘
𝑖=1

16
Contoh :
Bila dua buah dadu dilantunkan enam kali, berapakah peluang mendapat jumlah 7
atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan pasangan
lainnya tiga kali?
Jawab:
Misalkan kejadian berikut menyatakan:
𝐸1 : Jumlah 7 atau 11 muncul
𝐸2 : pasangan bilangan yang muncul
𝐸1 : pasangan lainnya (bukan pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11)

17
Lantunan kedua
1 2 3 4 5 6
Lantunan
Pertama
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
𝑬𝟏
𝑬𝟐

18
Jawab:
Peluang masing-masing kejadian tersebut adalah:
𝑝1 =
2
9
, 𝑝2 =
1
6
, 𝑝3 =
11
18
untuk sekali lantunan. Dengan 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 3, maka
diperoleh peluang sebagai berikut:
𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3; 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑛 =
𝑛
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3
𝑝𝑥1𝑝𝑥2𝑝𝑥3
𝑓 2, 1, 3;
2
9
,
1
6
,
11
18
, 6 =
6
2,1,3
2
9
2
1
6
11
18
3
=
6!
2! 1! 3!
2
9
2
1
6
11
18
3
= 0.1127

19
11. Distribusi Probabilitas Kontinu
4. Distribusi Normal
Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah
distribusi normal.
Grafiknya disebut kurva normal yang berbentuk lonceng.
Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal
yang menjadi dasar banyak teori statistika.
Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss.

19
Fungsi padat variable acak normal X, dengan rataan 𝜇 dan variansi 𝜎2, ialah:
𝑁 𝜇, 𝜎2 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
, −∞ < 𝑥 < ∞
Dengan 𝜋 = 3.14159 … dan 𝑒 = 2.71828 …

19
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-4 -2 0 2 4 6 8 10
x
𝑵 𝟐, 𝟏
𝑵 𝟑, 𝟒

19
Sifat kurva normal yaitu:
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat
pada 𝑥 = 𝜇.
2. Kurva simetris terhadap garis tegak yang melalui rataan 𝜇.
3. Kurva mempunyai titik belok pada 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎, cekung ke bawah bila 𝜇 − 𝜎 <
𝑋 < 𝜇 + 𝜎 dan cekung ke atas untuk 𝑥 lainnya.
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimptot sumbu datar bila 𝑥 bergerak
menjauhi 𝜇 baik ke kiri maupun ke kanan
5. Seluruh luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.

19
Disebutkan bahwa seluruh luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu datar
sama dengan 1, dengan kata lain:
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
∞
−∞
𝑑𝑥 = 1
Untuk menghitung luas I bawah kurva antara 𝑥1 dan 𝑥2 sama dengan menghitung
peluang variable acak X antara 𝑥1 dan 𝑥2, yaitu:
𝑃 𝑥1 < 𝑋 < 𝑥2 = 𝑁(𝜇, 𝜎2)
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥

19
-4 -2 0 2 4 6 8 10
x
𝑃 2 < 𝑋 < 5 = 𝑁(3,4)
5
2
𝑑𝑥

19
Untuk mengatasi kesulitan pengintegralan fungsi padat normal, dilakukan
transformasi ke dalam distribusi normal baku yaitu dengan:
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Distribusi variable acak normal dengan rataan 0 dan variansi 1 disebut distribusi
normal baku.
𝑁(0,1) =
1
2𝜋
𝑒
−
1
2 𝑧2
, −∞ < 𝑧 < ∞

19
-6 -4 -2 0 2 4 6

19
-4 -2 0 2 4 6 8 10
x
𝑃 2 < 𝑋 < 5 = 𝑁(3,4)
5
2
𝑑𝑥
-6 -4 -2 0 2 4 6
𝑃 −
1
2
< 𝑍 < 1 = 𝑁(0,1)
1
−1/2
𝑑𝑧
=

19
Dengan menggunakan bantuan table luas di bawah kurva normal, maka:
𝑃 2 < 𝑋 < 5 = 𝑃 −
1
2
< 𝑍 < 1
= 𝑃 𝑍 < 1 − 𝑃 𝑍 < −
1
2
= 𝑃 𝑍 < 1 − 𝑃 𝑍 < −
1
2
= 0.8413 − 0.3085
= 0.5328

19
Contoh:
Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur3.0 tahun dengan simpangan baku
standar deviasi 0.5 tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal,
carilah peluang suatu baterai tertentu akan berumur kurang dari 2.3 tahun!
Jawab:
Diketahui 𝜇 = 3, 𝜎 = 0.5 , 𝑥 = 2.3
Nilai baku 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
2.3−3
0.5
= −1.4
Dengan demikian, mencari P X < 2.3 = 𝑃 𝑍 < −1.4 = 0.080

Semoga Bermanfaat!!!!
Terima kasih

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to DISTRIBUSI PROBABILITAS

Similar to DISTRIBUSI PROBABILITAS (20)

More from Jurnal IT

More from Jurnal IT (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

DISTRIBUSI PROBABILITAS