(beserta juga contoh soalnya)

1. Anggota : M. Emirzaki
M. Goldy M
Rizky Ferdiansyah
Yehezkiel Miracle

2. (matematika peminatan)

3. SAMPEL, FUNGSI
DISTRIBUSI, DAN
PENARIKAN KESIMPULAN
Sampel dan
Fungsi
Distribusi
Variabel
Acak
Fungsi
Distribusi
Binomial
• Hanya memiliki 2
hasil
• Peluang hipotesis
sama
• Independen
Penarikan
Kesimpulan
Menyatakan
Hipotesis
Menentukan
Tingkat
Kesalahan
Menyatakan
Hipotesis
Dilakukan Uji
Hipotesis
Uji Hipotesis
Rata-rata
Uji Hipotesis
Persentase
dilakukan pada digunakan untuk
berupa
disebut
Memenu
hi syarat

4. 1. Sampel, variabel acak, dan fungsi distribusi
• Sampel merupakan bagian dari populasi, sedangkan
populasi adalah himpunan semua unsur yang memiliki
beberapa karakteristik yang sama.
• Hasil pengukuran dari sampel itulah yang kemudian
dijadikan penaksiran terhadap populasi, misalnya dari
ribuan barang produksi diambil hanya 100 barang untuk
diuji.

5. • Pemilihan secara acak adalah pemilihan yang dilakukan
di mana setiap unsur dalam suatu populasi memiliki
kesempatan yang sama untuk terpilih.
• Suatu eksperimen terdiri atas beberapa percobaan.
Percobaan yang bersifat acak disebut eksperimen acak
atau percobaan acak.

6. Eksperimen: satu buah mata uang logam
dilemparkan sebanyak 3 kali, lalu ditentukan ruang
sampelnya (contoh: AAG, AAA, GAG, GGA, GGG,
AGA, AGG, GAG). Dan yang diperlukan adalah
jumlah angka yang muncul dalam percobaan
tersebut.
Contoh:Jumlah sisi
angka yang
muncul
frekuensi
0 1
1 4
2 2
3 1

7. Nah, dalam eksperimen tersebut dapat disimpulkan
bahwa 0, 1, 2, dan 3 adalah nilai yang didapat dari
pemilihan satu sampel secara acak. Nilai-nilai itu pun tidak
selalu sama tergantung dari hasil eksperimen.
• Variabel seperti ini disebut variabel acak, yaitu variabel
yang nilainya ditentukan berdasarkan hasil suatu
percobaan.
• Nilai peluang dari setiap variabel acak disebut fungsi
peluang.

8. Berikut contoh variabel acak yang berupa jumlah mata
dadu dan fungsi peluangnya untuk pengetosan 2 buah
dadu.
Perhatikan bahwa jika nilai semua fungsi dijumlahkan,
hasilnya adalah 1
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 jmlh
F(x) 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
36
36
= 1

9. 2. Percobaan dan eksperimen binomial
• Dalam setiap percobaan pasti selalu menghasilkan 2
hasil yang berbeda.
• Misalnya, pada pengambilan sebuah kartu secara acak
dari 1 set kartu bridge, maka kemungkinan kartu yang
terpilih dapat berupa “kartu as” atau “bukan kartu as”.
Contoh lain adalah kualitas produk pabrik, dapat berupa
“memenuhi standar kualiatas” atau “tidak memenuhi
standar kualitas”.

10. • Dengan demikian, secara statistik dapat kita nyatakan
salah satu dari hasil percobaan disebut “sukses”, dan
hasil lainnya disebut “gagal”. “sukses-gagal” ini sangat
bergantung jenis dan objek percobaannya.
• Percobaan dengan 2 hasil tersebut (sukses-gagal)
dikenal dengan istilah percobaan bernoulli atau
percobaan binomial. Sedangkan serangkaian percobaan
yang hanya terdiri dari percobaan-percobaan binomial
disebut eksperimen bernoulli atau eksperimen binomial.

11. Suatu percobaan dinamakan percobaan bernoulli jika dan
hanya memiliki ciri-ciri:
1. Setiap percobaan hanya memiliki 2 hasil, yaitu sukses
atau gagal
2. Peluang sukses untuk setiap percobaan harus sama,
misalnya p
3. Setiap percobaan harus bersifat independen
4. Banyaknya rangkaian percobaan pada suatu
percobaan bernoulli harus tertentu

12. • Pada percobaan binomial, karena hasilnya hanya ada 2,
yaitu “sukses” dan “gagal”, maka ruang sampelnya pun
juga hanya dua, yaitu S (sukses) dan G (gagal), ditulis
{S,G}.
• Peluang dari kedua hasil tersebut adalah :
P(S) = p
P(G) = 1 – p , dgn 0 ≤ p ≤ 1
Jika 1 – p = q maka p + q = 1

13. 3. Distribusi binomial
Sebuah eksperimen terdiri atas n percobaan binomial
dengan peluang p untuk sukses dan q untuk gagal pada
setiap percobaannya, maka fungsi peluang variabel x
dapat dinyatakan dalam persamaan:
b(x|𝑛, 𝑝) = 𝐶
𝑛
𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥, dengan x = 0, 1, 2, …, n

14. Keterangan :
b(x|𝑛, 𝑝) : peluang binomial x bila dilakukan n
kali percobaan dengan peluang sukses
adalah p.
𝐶
𝑛
𝑥 : kombinasi x unsur dari n unsur, yang dirumuskan
dengan 𝐶
𝑛
𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
, dengan n! = 1 × 2 × 3 × … × x
Perlu diingat pula bahwa 0! = 1
p : peluang sukses
q : peluang gagal
n : banyaknya percobaan

15. 1. Setelah dilakukan penelitian bertahun-tahun terhadap
hasil panen buah apel, diketahui dari setiap 1.200 buah
apel yang dipanen akan terdapat 120 buah apel yang
busuk. Jika diambil 4 buah apel secara acak, berapakah
peluang ditemukannya:
a. tidak ada buah apel yang busuk ?
b. ada 1 buah apel yang busuk ?
c. ada 2 buah apel yang busuk ?
d. ada 3 buah apel yang busuk ?
e. Semua buah apel busuk ?

16. Peluang ditemukannya buah apel yg busuk adalah
120
1.200
=
1
10
. Karena penelitian sudah dilakukan bertahun-tahun,
maka kita anggap peluang tersebut konstan. Kita pilih
peluang terambil apel yang busuk adalah p, dan peluang
tidak terambil apel yang busuk adalah q. Dengan demikian,
p =
1
10
dan q = 1 – p
= 1 -
1
10
=
9
10

17. a) Peluang tidak ada apel yang busuk adalah:
b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 0 dan n = 4, yaitu
b(0|4,
1
10
) = 𝐶
4
0× (
1
10
)0
× (
9
10
)4
= 0,6561
b) Peluang ditemukan 1 apel yang busuk adalah:
b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 1 dan n = 4, yaitu
b(1|4,
1
10
) = 𝐶
4
1× (
1
10
)1× (
9
10
)3 = 0,2916
c) Peluang ditemukan 2 apel yang busuk adalah:
b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 2 dan n = 4, yaitu
b(2|4,
1
10
) = 𝐶
4
2× (
1
10
)2× (
9
10
)2 = 0,0486

18. d) Peluang ditemukan 3 apel yang busuk adalah:
b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 3 dan n = 4, yaitu
b(3|4,
1
10
) = 𝐶
4
3× (
1
10
)3× (
9
10
)1 = 0,0036
e) Peluang ditemukan semua apel busuk adalah:
b(x|𝑛, 𝑝) untuk x = 4 dan n = 4, yaitu
b(4|4,
1
10
) = 𝐶
4
4× (
1
10
)4
× (
9
10
)0
= 0,0001

19. 4. Statistik deskriptif distribusi binomial
a) rata-rata (µ)
µ = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
= 𝑥1 𝑓 𝑥1 +𝑥2 𝑓(𝑥2)+𝑥3 𝑓 𝑥3 +…+𝑥 𝑛 𝑓(𝑥 𝑛)
Ket:
𝑥 merupakan variabel acak
𝑓 𝑥 merupakan peluang dari setiap variabel tersebut
*Khusus untuk distribusi binomial, nilai rata-rata dapat
dicari dengan rumus : µ = np

20. Data diambil dari contoh 1.2
Berapa rata-ratanya?
Jawab :
µ = 0 × (0,6561) + 1 × (0,291) + 2 × (0,0486) + 3 ×
(0,0036) + 4 × (0,0001) = 0,4
Atau dgn cara lain:
Dik : n = 4 dan p = 0,1
Jawab : µ = np µ = 4 × (0,1) = 0,4

21. b) Varians dan simpangan baku
- Varians (σ2
)
σ2 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2 𝑓(𝑥𝑖) - µ2
- Simpangan baku
σ = σ2
Khusus untuk distribusi
binomial, nilai varians
dapat dihitung dengan
cara lain :
σ2
= npq

22. Data diambil dari contoh 1.2
a) Berapa nilai variansnya?
b) Berapa nilai simpangan bakunya?
Jawab :
a) σ2 = 02 × (0,6561) + 12 × (0,291) + 22 ×
(0,0486) + 32 × (0,0036) + 42 × (0,0001) – (0,4)2
= 0,36
*dgn cara lain: σ2 = npq σ2 = 4 × (0,1) × (0,9)
= 0,36
b) σ = 0,36 = 0,6

23. 1. Populasi dan sampel
• Populasi adalah keseluruhan unsur-unsur yang memiliki
beberapa karakteristik yang sama. Misalnya populasi
yang terdiri atas semua siswa SMAN dj indonesia.
Populasi dapat berbentuk kriteria (kualitatif) atau angka
(kuantitatif).
• Untuk mengukur karakteristik dari suatu populasi,
diperlukan observasi atau pengukuran, atau juga disebut
dengan istilah sensus.
• Penaksiran karakteristik dari suatu populasi berdasarkan
pengukuran sampelnya disebut pengambilan atau
penarikan kesimpulan

24. 2. Hipotesis
• Tujuannya untuk memfokuskan atau membatasi
pengukuran sehingga hasilnya dapat lebih tepat sasaran,
tidak melebar kemana-mana.
• Dalam menguji suatu hipotesis, perlu dihindari kesalahan
hasil pengujian. Kesalahan tersebut terdiri dari 2 macam,
yaitu:
a) Kesalahan jenis pertama (type-1 error), yaitu “bila
menolak suatu hipotesis yang seharusnya diterima”
b) Kesalahan jenis kedua (type-2 error), yaitu bila
“menerima hipotesis yang seharusnya ditolak”

25. 3. Jenis-jenis hipotesis
• Penelitian untuk menguji sebuah hipotesis yang
selanjutnya disebut pengujian hipotesis pada ujungnya
adalah kesimpulan untuk menerima atau menolak
hipotesis yang telah ditetapkan sebelumnya.
• Hipotesis yang mengandung pengertian sama atau tidak
ada perbedaan dilambangkan (𝐻0).
• Setiap penetapan suatu hipotesis, diperlukan hipotesis
lain yang isinya berlawanan sebagai alternatif
(dilambangkan 𝐻1).

26. • Misalnya yang akan diuji adalah parameter 𝜃 (berupa
rata-rata, persentase, varians, dsb) terhadap nilai 𝜃0
yang diketahui. Pasangan hipotesis antara 𝐻0 dan 𝐻1
dapat dirumuskan sebagai berikut.
a. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0
𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃
b. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0
𝐻1 : 𝜃 > 𝜃
c. 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0
𝐻1 : 𝜃 < 𝜃
, atau
, atau
.

27. 4. Jenis-jenis pengujian hipotesis
a. Uji 2 pihak
Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1 mempunyai
perumusan “tidak sama”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 ≠ 𝜃 maka pengujian
yang digunakan adalah uji 2 pihak. Luas daerah penolakan
ini pada setiap ujungnya adalah
1
2
α .
𝑑1 𝑑2
Daerah
penolakan
𝐻0
Luas :
1
2
α
Daerah
penolakan
𝐻0
Luas :
1
2
α
Daerah
penerimaa
n 𝐻0

28. • Dari gambar tersebut, 𝑑1dan 𝑑2 adalah batas-batas
antara daerah penolakan dan daerah penerimaan.
• Nilai α sudah ditentukan sebelumnya
• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima 𝐻0 jika
nilai rasio uji berdasarkan sampel berada di daerah
penerimaan, yaitu di antara 𝑑1dan 𝑑2. Jika tidak demikian
maka 𝐻0 ditolak”

29. b. Uji 1 pihak: pihak kanan
Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1 mempunyai
perumusan “lebih besar”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 > 𝜃 maka pengujian
yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu pihak kanan.
Luas daerah penolakan adalah α.
Daerah
penerimaa
n 𝐻0
Daerah
penolakan
𝐻0
Luas : α
𝑑

30. • Dari gambar tersebut, 𝑑 adalah batas-batas antara
daerah penolakan dan daerah penerimaan 𝐻0
• Nilai α sudah ditentukan sebelumnya
• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “tolak 𝐻0 jika
nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak kurang dari 𝑑 .
Jika tidak demikian maka 𝐻0 ditolak”

31. c. Uji 1 pihak: pihak kiri
Apabila hipotesis tandingan yaitu 𝐻1mempunyai
perumusan “lebih kecil”, yaitu 𝐻1 : 𝜃 < 𝜃 maka pengujian
yang digunakan adalah uji satu pihak, yaitu uji pihak kiri.
Luas daerah penolakan adalah α.
Daerah
penerimaa
n 𝐻0
Daerah
penolakan
𝐻0
Luas : α

32. • Dari gambar tersebut, 𝑑 adalah batas-batas antara
daerah penolakan dan daerah penerimaan 𝐻0
• Nilai α sudah ditentukan sebelumnya
• Kriteria pengambilan kesimpulan adalah “terima 𝐻0 jika
nilai rasio uji berdasarkan sampel tidak lebih besar dari
𝑑 . Jika tidak demikian maka 𝐻0 ditolak”

33. 5. Menentukan distribusi pengujian yang digunakan
• Untuk menguji hipotesis, diperlukan nilai-nilai distribusi-
distribusi probalbilitas atau distribusi peluang secara
teoritis
• Nilai-nilai tersebut disajikan dalam bentuk tabel dan
merupakan nilai-nilai standar penelitian
• Nilai-nilai probabilitas yang paling sering digunakan
adalah distribusi normal (z) dan distribusi student (t)
• Pengujian hipotesis yang dipelajari pada bab ini adalah
pengujian rata-rata dan pengujian persentase. Apabila
nilai simpangan baku populasi sudah diketahui maka
yang digunakan adalah distribusi-z

34. • Apabila nilai simpangan baku populasi tidak diketahui,
dapat digunakan nilai varians atau simpangan baku
sampel. Dan distribusi yang digunakan adalah distribusi-t
• Pada distribusi-t, perlu ditentukan terlebih dahulu nilai
derajat kebebasannya, yaitu dk = n -1, dengan n adalah
banyak sampel yang digunakan

35. 6. Menghitung nilai rasio uji
• Rasio uji adalah hasil perbandingan data statistik sampel
yang telah dihitung dengan data populasi.
• Ada 2 jenis uji hipotesis:
a. uji hipotesis rata-rata
b. uji hipotesis persentase

37. a. Uji hipotesis rata-rata
• Rasio uji (RU) untuk uji hipotesis rata-rata populasi yang
menggunakan tabel-z adalah
RU =
𝑛( 𝑥 − µ 𝐻0
)
σ
• ket:
n = banyaknya sampel
𝑥 = rata-rata sampel
µ 𝐻0
= rata-rata asumsi populasi yang dinyatakan pada
𝐻0
σ = simpangan baku atau deviasi standar populasi

38. • jika simpangan baku populasi tidak diketahui, maka
rumus yang digunakan adalah
RU = =
𝑛( 𝑥 − µ 𝐻0
)
𝑠
• ket :
s = simpangan baku sampel

39. Direktur pemasaran sebuah perusahaan minuman
mengatakan bahwa rata-rata produk minuman yang terjual
setiap harinya adalah 2.000 botol. Seorang wartawan ingin
menguji pernyataan direktur pemasaran itu. Ia memeriksa
catatan perusahaan, dan adalah 150 botol, lalu melakukan
penelitian selama 49 hari. Dia mencatat bahwa jumlah
penjumlahan rata-rata per hari adalah 1.950 botol. Dengan
menggunakan tingkat kesalahan 𝛼 = 0,05, apa kesimpulan
yang dapat ditarik oleh wartawan itu?

40. Diketahui :
µ 𝐻0
= 2.000 σ = 150 𝛼 = 0,05
𝑥 = 1.950 n = 49
Jawab :
Langkah 1 : merumuskan hipotesis
Hipotesis :
• 𝐻0 : µ = 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang
terjual setiap hari adalah 2.000 botol
• 𝐻0 : µ ≠ 2.000, artinya rata-rata produk minuman yang
terjual setiap hari bukan 2.000 botol

41. Langkah 2 : menentukan tabel yang digunakan
• Karena simpangan baku populasi diketahui maka tabel
distribusi yang digunakan adalah tabel distribusi normal
(tabel-z)
Langkah 3 : menentukan batas-batas daerah
penolakan hipotesis
• Karena 𝐻0 : µ ≠ 2.000 maka uji yang dilakukan adalah uji
2 pihak
• Luas daerah penolakan uji 2 pihak =
1
2
α =
1
2
x
0,05
= 0,025

42. • Dari tabel distribusi-z (slide ke-36), batas yang
bersesuaian adalah ±𝛼 = 𝑧0,025 = ±1,96
0,025 0,025
Daerah
penerimaan 𝑯 𝟎
-1,96 +1,96

43. Langkah 4 : menentukan kriteria pengambilan kesimpulan

44. b. Uji hipotesis persentase
• RU =
𝑝 − 𝜋 𝐻0
σ 𝑝
=
𝑝 − 𝜋 𝐻0
𝜋 𝐻0
(100−𝜋 𝐻0
)
𝑛
• ket: :
𝑝 = persentase sampel
𝜋 𝐻0
= persentase asumsi populasi yang dinyatakan dlm
𝐻0