Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
TUGAS
STATISTIK MATEMATIKA

OLEH
NAMA : ANI AGUSTINA
NPM : A1C011007
DOSEN : NURUL ASTUTI YENSY B, S.Si, M.Si

PROGRAM STU...
A. Jenis-jenis Distribusi Diskrit
a. Distribusi Binomial
Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, sepert...
Grafik dari fungsi peluang distribusi Bernoulli sebagai berikut:

GAMBAR 8.1
GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BERNOULLI

b...
pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n - x) kali
terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung be...
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah B(x;n,p),
artinya peubah acak X berdistribusi binom...
Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial bisa dilihat dalam Gambar 8.2.

GAMBAR 8.2
GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI...
pertama dan kedua masing-masing x dan y.
Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial bisa dilihat dalam Dalil 8.3.
D...
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya...
d. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi
binomial berlaku...
•

Sehingga akan diperoleh :

Jadi distribusi pendekatannya adalah:

Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan merupakan d...
e. Distribusi Geometrik
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua
peristiwa, seperti peristiwa ...
P(X = x) = (1 - p)

x-1

.p

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan distribusi geometrik.
Definisi 8.5: FUN...
Misalnya sebuah populasi suatu barang yang berukuran N terdiri atas k buah barang
baik dan sisanya (N - k) buah barang rus...
Peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik disebut juga peubah acak
hipergeometrik. Penulisan
hipergeometrik

adalah
...
Peubah acak X yang berdistribusi seragam dikatakan juga peubah acak seragam.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdis...
Karena x > 0, α > 0, dan β > 0, maka k > 0

•

Sifat (ii) dari fungsi densitas:

Integral di atas diselesaikan dengan meng...
Dari uraian di atas, kita peroleh definisi distribusi gamma, yaitu sebagai
berikut.
Definisi 9.2: FUNGSI DENSITAS GAMMA
Pe...
c. Distribusi Eksponansial
Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan α = 1 dan β = θ.
Sehingga ki...
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi eksponensial adalah

,

artinya peubah acak X berdistribusi eksponens...
Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khikuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang b...
e. Distribusi Beta
Misalnya fungsi densitas dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk:
h(y) = 1 ; 0 < y < 1
...
Dalil 9.5: PARAMETER DISTRIBUSI BETA
Rataan dan varians dari distribusi betas sebagai berikut:

1.

f. Distribusi Normal U...
Peubah acak X yang berdistribusi normal umum disebut juga peubah acak normal
umum.
Penulisan notasi dari peubah acak yang ...
h. Distribusi Normal Dua Peubah Acak
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

STATISTIK MATEMATIKA

11,549 views

Published on

STATISTIK MATEMATIKA

Published in: Education
  • Be the first to comment

STATISTIK MATEMATIKA

  1. 1. TUGAS STATISTIK MATEMATIKA OLEH NAMA : ANI AGUSTINA NPM : A1C011007 DOSEN : NURUL ASTUTI YENSY B, S.Si, M.Si PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS BENGKULU 2013
  2. 2. A. Jenis-jenis Distribusi Diskrit a. Distribusi Binomial Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, seperti “sukses” dan “gagal”, dengan masing-masing peluangnya p dan (1 - p), maka peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal akan berdistribusi Bernoulli. Definisi 8.1: FUNGSI PELUANG BERNOULLI Peubah acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: x 1-x p(x) = P(X = x) = p (1 - p) ; x = 0, 1 Peubah acak X yang berdistribusi Bernoulli dikatakan juga peubah acak Bernoulli. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Bernoulli adalah B(x;1,p), artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal dinyatakan dengan x, banyak eksperimen yang dilakukan satu kali, dan peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Bernoulli, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Eksperimennya diperhatikan terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa yang (sering disebut peristiwa sukses) dan peristiwa yang tidak diperhatikan (sering disebut peristiwa gagal). 2. Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja. Dalil Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli 8.1: PARAMETER DISTRIBUSI BERNOULLI bisa dilihat dalam Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli sebagai berikut: 1. µ = p 2 2. σ = p(1 - p)
  3. 3. Grafik dari fungsi peluang distribusi Bernoulli sebagai berikut: GAMBAR 8.1 GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BERNOULLI b. Distribusi Binomial Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G). Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G), sebesar 1 - p. Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali
  4. 4. pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n - x) kali terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa sukses dalam eksperimen itu sebanyak x kali. Dalam hal ini, salah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai n kali itu adalah: S S S...S G G G...G x kali (n-x) kali Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p berharga tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari peristiwa susunan di atas adalah: P(S S S…S G G G…G) = P(S).P(S).P(S). … . P(S).P(G).P(G).P(G). … . P(G) = (p)(p)(p)…(p)(1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p) x n-x = p (1 - p) Karena banyak susunan keseluruhan peristiwa S terjadi ada cara, maka peluang bahwa peristiwa S terjadi dalam x kali adalah: Berdasarkan uraian diatas , kita peroleh definisi distribusi binomial berikut: Definisi 8.2: FUNGSI PELUANG BINOMIAL Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi binomial dikatakan juga peubah acak binomial.
  5. 5. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah B(x;n,p), artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimen sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses sebesar p, dan banyak peristiwa sukses terjadi ada x. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi binomial, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal. 2. Eksperimennya diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya. 3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap. 4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas. Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial bisa dilihat dalam Dalil 8.2: PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial sebagai berikut: 1. µ = np 2 2. σ = np(1 - p) t n 3. MX(t) = [(1 - p) + p.e ] ; t ∈ℜ
  6. 6. Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial bisa dilihat dalam Gambar 8.2. GAMBAR 8.2 GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BINOMIAL c. Distribusi Trinomial Distribusi binomial bisa diperluas menjadi distribusi trinomial. Definisi 8.3: FUNGSI PELUANG TRINOMIAL Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi trinomial, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi trinomial dikatakan juga peubah acak trinomial. Penulisan notasi dari peubah acak X dan Y yang berdistribusi trinomial adalah T(x,y;n,p1,p2), artinya peubah acak X dan Y berdistribusi trinomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses pertama dan kedua berturut - turut p1(x) dan p2(y), dan banyak peristiwa sukses
  7. 7. pertama dan kedua masing-masing x dan y. Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial bisa dilihat dalam Dalil 8.3. Dalil 8.3: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN TRINOMIAL Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial adalah: Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita bisa menentukan fungsi pembangkit momen marginal masing-masing dari X dan Y. Fungsi pembangkit momen marginal dari X adalah: Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses pertama sebesar p1, sehingga bisa ditulis: X ~ B(x; n,p1) Maka fungsi peluang dari X berbentuk: Rataan dan varians dari X adalah: • E(X) = n.p1 • Var(X) = n.p1(1 - p1) Fungsi pembangkit momen marginal dari Y adalah:
  8. 8. Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses kedua sebesar p2, sehingga bisa ditulis: Y ~ B(y;n,p2) Maka fungsi peluang dari Y berbentuk: Rataan dan varians dari Y adalah: • E(Y) = n.p2 • Var(Y) = n.p2(1 - p2) Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jika X dan Y berdistribusi trinomial, maka distribusi marginal masing-masing dari X dan Y adalah distribusi binomial. Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y berasal dari distribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - y) dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar sehingga bisa ditulis: Dan distribusi bersyarat dari Y diberikan X = x berasal dari distribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - x) dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar , sehingga bisa ditulis:
  9. 9. d. Distribusi Poisson Distribusi Poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut: a. banyak pengulangan eksperimennya sangat besar (n → ∞). b. peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol (p → 0). c. Perkalian Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial dengan menggunakan persyaratan di atas. Kita akan menghitung harga limitnya satu persatu. • •
  10. 10. • Sehingga akan diperoleh : Jadi distribusi pendekatannya adalah: Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan merupakan distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku: • n ≥ 100 dan np ≤ 10 • n ≥ 20 dan p ≤ 0,05 Berdasarkan uraian diatas, kita peroleh definisi distribusi Poissin berikut. Definisi 8.4: FUNGSI PELUANG POISSON Peubah acak X dikayakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi Poisson dikatakan juga peubah acak poisson. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah P(x; ), artinya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter . Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson bisa dilihat dalam Dalil 8.4. Dalil 8.4: PARAMETER DISTRIBUSI POISSON Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson sebagai berikut: 1. 1. 2. 2.
  11. 11. e. Distribusi Geometrik Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G). Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G) sebesar 1 - p. Kemudian eksperimen itu diulang beberapa kali sampai peristiwa S terjadi pertama kali. Jika peubah acak X menyatakan banyak eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai peristiwa S terjadi pertama kali, maka X = x artinya banyak eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai menghasilkan peristiwa S terjadi pertama kali, adalah x kali. Ini berarti bahwa sampai pengulangan ke-(x 2) menghasilkan peristiwa G dan pada pengulangan ke-(x-1) menghasilkan peristiwa S. Kita akan menghitung peluang bahwa peristiwa S terjadi pertama kali pada pengulangan eksperimen ke-(x-1). Susunan yang akan terjadi pada eksperimen itu adalah: x kali G G G … 1-p 1-p 1-p Pengulangan ke- 1 2 G G 1-p 1-p G p x-3 x-2 x-1 Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p berharga tetap untuk setiap pengulangan eksperimen, maka peluang dari peristiwa susunan di atas adalah: P(G G G … G G S) = P(G).P(G).P(G). … . P(G).P(G).P(S) = (1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p)(1 - p)(p) P(G G G … G G S) = (1 - p) x-1 .p Sehingga peluang bahwa peristiwa sukses terjadi pertama kali pada pengulangan eksperimen ke-x adalah:
  12. 12. P(X = x) = (1 - p) x-1 .p Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan distribusi geometrik. Definisi 8.5: FUNGSI PELUANG GEOMETRIK Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk: p(x) = P(X = x) = (1 - p) x-1 .p ; x = 1, 2, 3, … Peubah acak X yang berdistribusi geometrik disebut juga peubah acak geometrik. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah X ~ G(x;p), artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi geometrik, jika eksperimen itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. Ekeperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal. 2. Eksperimennya diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali. 3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen bersifat tetap. 4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas. Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik bisa dilihat dalam Dalil 8.5. Dalil 8.5: PARAMETER DISTRIBUSI GEOMETRIK Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik sebagai berikut: 1. 2. f. Distribusi Hipergeometrik
  13. 13. Misalnya sebuah populasi suatu barang yang berukuran N terdiri atas k buah barang baik dan sisanya (N - k) buah barang rusak. Kemudian diambil sebuah sampel acak berukuran n (n N) secara sekaligus, ternyata dari sampel acak itu berisi x buah barang baik dan sisanya (n - x) buah barang rusak. Dalam hal ini, kita akan menghitung peluang bahwa dari sampel acak itu akan berisi x buah barang baik. Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan x buah barang baik dari k buah barang baik ada cara yang berbeda. Banyak susunan yang mungkinuntuk mendapatkan (n-x) buah barang rusak ada cara yang berbeda. Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan n buah barang dari N buah barang ada cara yang berbeda. Maka peluang bahwa sampel acak itu akan berisi x buah barang baik adalah: Berdasarkan uraian di atas, ita peroleh definisi distribusi hipergeometrik berikut. Definisi 8.6: FUNGSI PELUANG HIPERGEOMETRIK Peubah acak X dikatakan berdistribusi hipergeometrik, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk:
  14. 14. Peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik disebut juga peubah acak hipergeometrik. Penulisan hipergeometrik adalah notasi X dari peubah acak X yang berdistribusi ~ H(x;N,n,k), artinya peubah acak X berdistribusi hipergeometrik dengan banyak barang baik dari sampel acak sebanyak x, banyak barang dari populasi sebanyak N, banyak barang dari sampel acak sebanyak n, dan banyak barang baik dari populasi sebanyak k. Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik bisa dilihat dalam Dalil 8.6. Dalil 8.6: PARAMETER DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik sebagai berikut: 1. 2. B. Jenis-jenis Distribusi Kontinu a. Distribusi Seragam Peubah acak yang berdistribusi seragam ini mempunyai fungsi densitas berupa konstanta yang didefinisikan atas sebuah interval nilai peubah acaknya. Jadi fungsi densitas seragam ini mempunyai nilai yang sama sepanjang interval nilai yang diberikan. Definisi 9.1: FUNGSI DENSITAS SERAGAM Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
  15. 15. Peubah acak X yang berdistribusi seragam dikatakan juga peubah acak seragam. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi seragam adalah S(x; α,β), artinya peubah acak X berdistribusi seragam dengan parameter α dan β. Peubah acak X yang berdistribusi seragam dengan parameternya α dan β bisa juga ditulis sebagai: �~�(�,�) Dalil 9.1: PARAMETER DISTRIBUSI SERAGAM Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam bisa dilihat sebagai berikut: dalam dalil 9.1. 1. 2. 3. b. Distribusi Gamma Distribusi gamma ini mempunyai fungsi densitas berbentuk: Kita akan menentukan nilai konstanta k sedemikian hingga fungsi di atas memenuhi sebuah fungsi densitas. • Sifat (i) dari fungsi densitas : f(x) ≥ 0
  16. 16. Karena x > 0, α > 0, dan β > 0, maka k > 0 • Sifat (ii) dari fungsi densitas: Integral di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan fungsi gamma, yaitu: Keterangan lebih lanjut dari fungsi gamma ini bisa dilihat dalam Lampiran 1. Misalnya : y = x/β , maka x = β y dx = β dy Batas-batas: Untuk x = 0, maka y = 0 Untuk x = ∞, maka y = ∞
  17. 17. Dari uraian di atas, kita peroleh definisi distribusi gamma, yaitu sebagai berikut. Definisi 9.2: FUNGSI DENSITAS GAMMA Peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi gamma adalah G(x;α,β), artinya peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter α dan β. Peubah acak X yang berdistribusi gamma dengan parameternya α dan β bisa juga ditulis sebagai: Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma bisa dilihat dalam dalil 9.2 Dalil 9.2: PARAMETER DISTRIBUSI GAMMA Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma sebagai berikut: 1.
  18. 18. c. Distribusi Eksponansial Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan α = 1 dan β = θ. Sehingga kita bisa mendefinisikan distribusi eksponensial. Definisi 9.3: FUNGSI DENSITAS EKSPONENSIAL Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial disebut juga peubah acak eksponensial.
  19. 19. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi eksponensial adalah , artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ bisa juga di tulis sebagai: Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial bisa dilihat dalam Dalil 9.3 Dalil 9.3: PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial sebagai berikut: 1. d. Distribusi Khi-kuadrat Distribusi khi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan α = v/2 dan β = 2. Sehingga kita peroleh definisi distribusi khi-kuadrat berikut. Definisi 9.4: FUNGSI DENSITAS KHI-KUADRAT Peubah acak X dikatakan berdistribusi khi-kuadrat, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
  20. 20. Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khikuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat adalah , peubah acak X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan bisa juga ditulis sebagai: Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat bisa dilihat dalam Dalil 9.4. Dalil 9.4: PARAMETER DISTRIBUSI KHI-KUADRAT Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat sebagai berikut: 1. 2.
  21. 21. e. Distribusi Beta Misalnya fungsi densitas dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk: h(y) = 1 ; 0 < y < 1 = 0 ; y lainnya. Apabila kita memperhatikan fungsi densitas di atas, maka sebenarnya fungsi densitas tersebut merupakan hal khusus dari distribusi lain, yang disebut distribusi beta. Definisi 9.5: FUNGSI DENSITAS BETA Peubah acak X dikatakan berdistribusi beta, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk: Peubah acak X yang berdistribusi beta disebut juga peubah acak beta. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi beta adalah B(x; α,β), artinya peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α dan β. Peubah acak X yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β bisa juga ditulis sebagai: Rataan dan varians dari distribusi beta bisa dilihat dalam Dalil 9.5.
  22. 22. Dalil 9.5: PARAMETER DISTRIBUSI BETA Rataan dan varians dari distribusi betas sebagai berikut: 1. f. Distribusi Normal Umum Distribusi normal umum ini merupakan distribusi dari peubah acak kontinu yang paling banyak sekali dipakai sebagai pendekatan yang baik dari distribusi lainnya dengan persyaratan tertentu. Sifat-sifat distribusi normal umum secara matematika dipelajari pertama kali oleh tiga orang ahli, yaitu: 1. Abraham de Moivre (1667 - 1745) 2. Pierre Laplace (1749 - 1827) 3. Karl Gauss (1777 - 1855) Abraham de Moivre, seorang matematikawan dari Inggris yang menenmukan distribusi normal pada tahun 1733 sebagai hasil dari pendekatan distribusi binomial bersifat dan penggunaannya terhadap masalah dalam permainan yang untung-untungan. Kemudian Laplace tahun 1774 mengenal distribusi normal sebagai hasil dari beberapa kekeliruan dalam Astronomi. Gauss tahun 1809 menggunakan kurva normal untuk menggambarkan teori kekeliruan pengukuran meliputi penghitungan orbit bintang di langit. Sepanjang abad ke-18 dan ke-19, beberapa upaya dibuat untuk menetapkan model normal sebagai dasar hukum untuk semua peubah acak kontinu. Berikut ini kita akan mendefinisikan distribusi normal umum. Definisi 9.6: FUNGSI DENSITAS NORMAL UMUM Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
  23. 23. Peubah acak X yang berdistribusi normal umum disebut juga peubah acak normal umum. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah N(x; , artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan dan varians dan varians Beberapa sifat dari kurva fungsi densitas distribusi normal umum sebagai berikut: ii. Rataan, median, dan modus dari distribusi berimpitan. iii. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di x = sebesar iv. Kurvanya berasimtut sumbu datar x. v. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x,f(x)), dengan: g. Distribusi Normal Baku . bisa juga ditulis sebagai: i. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x = ),
  24. 24. h. Distribusi Normal Dua Peubah Acak

×