Bab ii peluang dan distribusi peluang

4,560 views

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,560
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
80
Actions
Shares
0
Downloads
169
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab ii peluang dan distribusi peluang

  1. 1. BAB II. PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG2.1 Pengertian Peluang Suatu KejadianDefinisi secara klasikModel sebuah peristiwa E dapat terjadi, sebanyak n kali diantara N peristiwa yangsaling ekslusif (asing) dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang samamaka peluang peristiwa E terjadi adalah nP(E) = NContoh 2.1.1Undian sebuah dadu bermuka enam menghasilkan 6 peristiwa yang saling asingsehingga N = 6. Jika E = muka bermata 4 diatas, maka n = 1. Jadi peluang mukabermata 4 diatas = P(E) = P(mata 4) = 1/6Definisi secara empirisPeluang empiris dari suatu kejadian ditetapkan sebagai frekuensi relatif dariterjadinya pengamatan sangat besar, peluang tersebut adalah limit dari frekuensirelatif dengan banyaknya pengamatan yang bertambah besar secara tak terhingga.Contoh 2.1.2Undian dengan sebuah mata uang yang homogen 1.000 kali, misalnya didapat mukaG sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519. Bila dilakukan 2.000kali maka didapat muka G sebanyak 1.020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,510. Jikadilakukan 5.000 kali didapat muka G = 2.530, maka frekuensi relatifnya = 0,506. Jikaproses demikian diteruskan, nilai frekuensi relatifnya lambat laun makin dekat kepadasebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka G. Dalam hal ini bilangantersebut adalah 0,5.Sifat dasar dari peluang Batasan dari besarnya peluang adalah 0 ≤ P(E) ≤ 1 Jika P(E) = 0 → peristiwa E pasti tidak terjadi
  2. 2. Jika P(E) = 1 → peristiwa E pasti terjadi Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka P(E) = 1 – P(E) Atau dengan kata lain jumlah semua peluang yang saling asing adalah satu Jika n buah peristiwa E1, E2, ....., En yang saling asing maka P(E1 atau E2 atau En) = P(E1) + P(E2) + .... + P(E3)2.2 Teori Himpunan2.2.1 Irisan Irisan dua kejadian A dan B dinotasikan dengan A ∩ B adalah kejadian yangmengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan BDua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah / asing bila A ∩ B ≠ 0 artinya A danB tidak memiliki unsur persekutuan2.2.2 GabunganGabungan 2 kajadian A dan B dilambangkan dengan A ∪ B adalah kejadian yangmencakup anggota A atau B.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dan jika A dan B saling terpisah maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)Contoh 2.2.1Peluang seorang mahasiswa lulus Matematika adalah 2/3, dan peluang ia lulusBahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang seorang lulus sekurang-kurangnya satupelajaran di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua pelajaran itu ?Penyelesaian : Misal M = kejadian lulus Matematika E = kejadian lulus Bahasa Inggris Sehingga : P(M ∩ E) = P(M) + P(E) - P(M ∪ E) = 2/3 + 4/9 – 4/5 = 14/45
  3. 3. 2.3 Permutasi dan Kombinasi Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian darisekumpulan benda.Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah : n!nPr = dimana n! = n(n-1) (n-2) ... 1 (n − r )!Contoh 2.3.1Berapa banyak cara sebuah regu bola basket dapat menjadwalkan 3 pertandingandengan 3 regu lainnya bila semuanya bersedian pada 5 kemungkinan tanggal yangberbeda !Penyelesaian : 5!Banyaknya kemungkinan jadwal 5P3 = = 5.4.3 = 60 cara 2!Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenispertama, n2 berjenis kedua, ...,nk berjenis ke-k adalah n!n1!n 2!...n 2!Contoh 2.3.2Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaianlampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning dan 2 lampu biru ?Penyelesaian :N = 3 + 4 + 2 = 9; n1 = 3 n2 = 4 n3 = 2Maka banyaknya susunan yang berbeda ada ...... cara (silakan selesaikan)Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyak cara mengambil r benda dari nbenda tanpa memperhatikan urutan, pengambilan ini disebut kombinasi.Banyaknya kombinari r benda dari n benda yang berbeda adalah
  4. 4. n! Cr =  n  =   r  r!(n − r )!n Contoh 2.3.3Dari 4 orang anggota Partai Republik dan 3 orang anggota Partai Demokrat. Hitungbanyaknya komisi yang terdiri atas 3 orang dengan 2 orang dari Partai Republik dan 1orang dari Partai Demokrat yang dibentuk !Penyelesaian :Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang Partai Republik ada  4  = 4! = 6  2   2 ! 2!Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang Partai Demokrat ada  3  = 3! = 3 1   1!2!sehingga banyaknya komisi yang dapat dibentuk dengan 2 orang Partai Republik dan1 orang Partai Demokrat adalah 6 x 3 = 18 komisi2.4 Peluang Bersyarat Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain Atelah terjadi disebut peluang bersyarat, dilambangkan P(BA) dibaca “peluang B,bila A diketahui”. P(A ∩ B)P(BA) = , P(A) > 0 P( A )Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya saat terjadi sekaligus, makaP(A ∩ B) = P(A) P(BA)Dan bila dua kejadian A dan B bebas (saling asing) maka P(A ∩ B) = P(A) P(B)Contoh 2.4.1Sebuah kota kecil memilih satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulans,peluang mobil kebakaran itu dapat digunakan pada saat diperlukan adalah 0,98 dan
  5. 5. peluang ambulans tersedia waktu diperlukan adalah 0,92. Dalam hal terjadikecelakaan akibat kebakaran, hitung peluang ambulans dan mobil pemadamkebakaran itu keduanya tersedia dan siap digunakan.Penyelesaian : Misal A dan B masing-masing menyatakan bahwa mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap digunakan, keduanya merupakan kejadian yang saling bebas sehingga : P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = ..... x ...... = 0,9016Contoh 2.4.2Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar adalah 0,7. Biladiketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, bahwa pasien akan menuntut kepengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasienmenuntutnya ?(silakan coba)2.5 Distribusi Peluang Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiapunsur dalam ruang sampel disebut variabel acak. Jika variabel x dan t menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai x1, x2,....., xn dengan peluang masing-masing p1, p2, ....., pn dimana p1 + p2 +.....+ pn =1dikatakan suatu distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang mempunyai nilai masing-masing p1, p2, ....., pn untuk x = x1,x2, ....., xn disebut fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x.X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebutvariabel acak diskrit.Contoh 2.5.1
  6. 6. Misalkan sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yangdiperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut : X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah 4/36 = 1/9. Jadi dalam 900pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5.Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapatmenghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku : ∞ ∫ f (x ) dx = 1 −∞Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah : bP(a<X<b) = ∫ f ( x ) dx aContoh 2.5.2Sebuah variabel acak kontinue x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyaifungsi densitas x +1 f(x) = 8a. Tunjukkan P(2<X<4) = 1b. Hitung P(2<X<3) !Penyelesaian :
  7. 7. Gambar 2.5.1 x +1 Grafik untuk fungsi, f(x) = 8Pada Gambar 2.5.1 berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisiyang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua. ( jumlah sisi sejajar ) x alasLuas = 2 (f (2) + f (4))(2) = 2karena f(2) = 3 f(4) = 5 2 8 (38 + 58 )2maka P(2<X<4) = =1 2Terbukti (f (2) + f (3))(2)b. Bahwa jika P(2<X<3) = = 3 +4 =7 2 8 8 8Jika menggunakan atau x +1 3P(2<X<3) = ∫ 2 8 dx
  8. 8. 3 1 8∫ = x + 1 dx 2 3 1 1  =  x 2 + x 8 2 2 1  9 4  =  2 + 3 − 2 − 2  8   = ............................2.5.1 Distribusi Binom dan Multinom Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagaldan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan binom, sehingga ciri-ciripercobaan binom adalah : 1. Percobaan terdiri atas n peristiwa 2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal 3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p 4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatupercobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n,p) Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, makadistribusi peluang untuk variable acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilandalam n peristiwa yang bebas adalah : n!b(x; n,p) =  n  = x   x! (n − x )!Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,;) = p(x) =P(X=x)
  9. 9. Contoh 2.5.3Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanyaternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluangbahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluanuang untuk membeli ganja ?Penyelesaian: Diketahui p = 75 % = 0,75 → q = 1 – p = 0,25 P(X=2) = b(2; 4; 0,75) =  4  (0,75)2 (0,25)2 = 0,211  2   Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211Contoh 2.5.3Jika 20 % kancing yang dihasilkan oleh sebuah mesin adalah cacat, hitung peluangbahwa dari antara 4 kancing yang dipilih secara acak, yang akan cacat :a) satu b) tidak ada c) paling banyak 2Penyelesaian :Peluang kancing cacat = p = 0,2 → q = 0,8a. P(X=1) = b(1;4;0,2) =  4  (0,2)1 (0,8)3 = ......... 1  b. P(X=0) = b(0;4;0,2) =  0  (0,2)0 (0,8)4 = ......... 4    c. P(paling banyak 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = ....... (lanjutkan sebagai latihan)Parameter distribusi binomial adalah µ dan σ, dimana µ = np dan σ = npqJika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xkperistiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinom. n! x1 x xkP(x1,x2, ....,xk) = p p 2 2 ...p k x ! x 2 !....x k !Notasi lain P(x1,x2, ....,xk) = f(x1,x2, ....,xk; p1,p2, ....,pk,n)
  10. 10. Contoh 2.5.4Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yangmuncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadusekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “Penyelesaian : Misal : E1 : terjadi total 7 atau 11 E2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 = 2/9, p2 = 1/6 dan p3 = 11/18, dengan distribusi multinom dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka peluang yang ditanyakan : P(2,1,3) = 6! 2 ( ) (16 )(1118) = 0,1127 2!1!3! 9 2 1 32.5.2 Distribusi HipergeometrikDua sifat percobaan hipergeometrik adalah : Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda diklasifikasikan sebagai gagalDengan demikian distribusi peluang bagi variabel acak hypergeometrik X yangmenyatakan banyaknya keberhasilan adalah  k  N − k   x  n − x h(x; N, n, k) =    untuk x = 0, 1, 2, ..., n  N n  Contoh 2.5.5Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluangdiperoleh 3 kartu hati ?
  11. 11. Penyelesaian : Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah 13  39   3  2  h(3; 52, 5, 13) =    = 0,0815  52  5  2.5.3 Distribusi PoisonCiri-ciri percobaan poisson adalah : Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebu, dapat diabaikanDistribusi peluang bagi variabel acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasilpercobaan yang terjadi selama satu selang waktu atau daerah tertentu adalah e −λ λxP(X=x) = p(x;λ) = x!Contoh 2.5.6Seorang administrator rumah sakit, setelah mempelajari kejadian darurat pada ditahun-tahun lampau, menyimpulkan bahwa kejadian darurat menyebar menurutdistribusi Poisson. Catatan rumah sakit tersebut menunjukkan kejadian darerat terjadi
  12. 12. rata-rata 3 kali perhari selama periode tersebut. Jika administrator tersebut benarmenurut distribusi Poisson, maka dapatkan probabilitas dari :a. Tepat ada 2 kejadian darurat akan terjadi pada hari yang diberikanb. Tidak ada kejadian darurat yang akan terjadiPenyelesaian :a. Ambil λ = 3 dan X sebagai variabel random yang menunjukkan jumlah kejadian darurat setiap hari. Jika x mengikuti distribusi Poisson, maka : e −3 3 2 .050 × 9 P(X=2) = f(2) = = = 0,225 2! 2 .1b. Tidak ada kejadian darurat yang akan terjadi e −3 3 0 .050(1) f(0) = = = .05 0! 1Hubungan antara distribusi binomial dan PoissonJika dalam hal distribusi binom, N cukup besar dengan peluang p maka λ = NpContoh 2.5.7Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005.Dari 4000 orang yang disuntuk, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk :a) Tidak adab) Ada 2 orangc) Lebih dari 2 orangPenyelesaian :a. Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom, maka λ = Np = 4000 x 0,0005 = 2 Jika X = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan maka e −2 2 0 p(0) = = 0,1353, jadi peluang yang tidak ada mendapat reaksi buruk 0! adalah 0,1353
  13. 13. e −2 2 2b. Karena ada 2 orang berarti X = 2 sehingga p(2) = = 0,2706, jadi peluang 2! dua orang mendapat reaksi buruk adalah 0,2706c. Karena lebih dari 2 berarti X = 3, 4, 5, ... dan dari sifat peluang p(0) + p(1) + p(2) + ... = 1 sehingga p(3) + p(4) + ... = 1 – [p(0) + p(1) + p(2)] (lanjutkan sendiri) Jadi peluang yang mendapat reaksi buruk lebih dari 2 orang adalah ...........2.5.4 Distribusi NormalVariabel acak kontinue X dengan fungsi densitas pada X = x  x −µ  2 1 −1   2 σ f(x) = e  σ 2πdengan :π = nilai konstan, π = 3,1416e = bilangan konstan, e = 2,7183µ = parameter rata-rataσ = parameter simpangan bakuSifat-sifat distribusi normal : Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar Bentuknya simetrik terhadap x = µ Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegiUntuk menentukan peluang harga X antara a dan b yakni P(a<X<b) adalah  x −µ  2 b =1  1 2 σ P(a<X<b) = ∫σ a 2π e  dxGrafik kurva normalP(A<X<B) = luas daerah yang terarsir
  14. 14. Transformasi untuk sebarang variabel acak normal X menjadi suatu nilai variabelacak normal z, adalah x −µ z= σDistribusi normal dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1 disebut distribusinormal standart atau distribusi normal bakuFenomena berdistribusi normal : Kira-kira 68,27 % dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ Ada 95,45 dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata- rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ Hampir 99,73 dari kasus terletak dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σContoh 2.5.8Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normaldengan rata-rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitung peluang sebuah bohlamhasil produksinya akan mencapai umur 778 dan 834 jam.Penyelesaian :Diketahui µ = 800 dan σ = 40 sehingga : 778 − 800 834 − 800z1 = = -0,55, z2 = = 0,85 40 40P(778<X<834) = P(-0,50<Z<0,85) berdasarkan tabel untuk distribusi normal makaluas daerah yang perlu adalah 0,2008 + 0,3023 = 0,5111Contoh 2.5.9Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm dan simpangan bakunya 4,1cm.a) Berapa % banyaknya anjing pudel tersebut tingginya melebihi 35 cm ?
  15. 15. b) Berapa % banyak anjing pudel tersebut tingginya kurang dari 35 cm ?Penyelesaian : 35 − 30z= = 1,22 4,1a. P(x > 35) = P(z > 1,22)Dengan demikian luas daerah yang perlu adalah 0,5 – 0,3888 = 0,1112Jadi persentase banyaknya anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm adalah 11,12%.b. P(x < 35) = P(z < 35)(Silakan dicoba sendiri)Hubungan antara distribusi Binomial dan NormalJika n jumlahnya besar dan p ataupun q tidak terlalu dekat ke nol, distribusi binomialdapat diaproksimasi oleh suatu distribusi normal dengan transformasi x − np z= npqPenyelesaian yang perlu dilakukan adalah dengan jalan menambah atau mengurangidengan 0,5.Contoh 2.5.10Sebuah ujian terdiri atas 200 pilihan berganda, masing-masing dengan 4kemungkinan jawaban tetapi hanya 1 yang benar, seseorang yang menjawab secaraacak 80 diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya. Berapa peluang : a. Mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar b. Mendapatkan lebih dari 30 jawaban yang benar c. Mendapatkan kurang dari 18 jawaban yang benarPenyelesaian :
  16. 16. a. Peluang jawab benar = p = ¼ ; q = ¾ µ = np = 80. ¼ = 20 σ= npq = 80. 1 . 3 = 3.87 4 4 luas daerah antara x1 = 25 – 0,5 = 24,5 dan x2 = 30 + 0,5 = 30,5 sehingga 24,5 − 20 z1 = = 1,16 3,87 30,5 − 20 z2 = = 2,71 3,87 Luas daerah yang perlu adalah 0,4966 – 0,3770 = 0,1196Jadi peluang mendapatkan jawaban benar antara 25 sampai 30 adalah 0,1196 b. Silakan coba c. Silakan coba2.5.5 Distribusi StudentDistribusi student atau distribusi t mempunyai fungsi densitas kf(t) = 1 n  t2  2 1 +  n −1    −Dimana -~ < t < ~ dan k suatu bilangan tetap. Bila x dan s masing-masing adalahrata-rata dan simpangan baku suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatupopulasi normal dengan µ dan σ, maka : − x− µt= s nMerupakan sebuah nilai variabel acak T yang mempunyai distribusi t dengan derajatkebebasan, ν = dk = n – 1
  17. 17. Harga tp yang dicari dengan p sudah diberikan.2.5.6 Distribusi Chi KuadratFungsi densitasF(u) = K.U1/2 v – 1 e-1/2 Udengan : u = χ2 , u>0 ν = dk = derajat kebebasan n – 1 K = bilangan tetap e = 2,7183Grafik dari distribusi Chi Kuadrat adalah miring ke kanan

×