1. ‫‪Pr:HAMID‬‬ ‫الدورة العادية 9002 ‬ ‫9 نقط‬
‫✔ الجزء اللول :‬
‫نعتب لاللالة ‪ f‬للمتغي لاليقيق ‪ x‬بيث: )2+ ‪f ( x )=2ln (e x −2 √ e x‬‬
‫2‬
‫1_ تيقق من أن : 1+ )1− ‪ e x −2 √ e x +2=( √ e x‬لك ‪ x‬من ‪ ℝ‬ثم إستنتج أن مموعة ‬ ‫57,0‬
‫ تعريف لاللالة ‪ f‬ه ‪ ℝ‬وأن: 0>‬
‫2‬ ‫2‬
‫−1) ‪(∀ x ∈ℝ‬‬ ‫+‬ ‫‪x‬‬
‫‪√e‬‬ ‫‪x‬‬
‫‪e‬‬
‫2_أحسب )‪ lim f (x‬ثم بي أن: 4‪ lim f (x)=ln‬وأول هذه لالتيجة هندسيا .‬ ‫57,0‬
‫∞−→ ‪x‬‬ ‫∞+→ ‪x‬‬
‫)1− ‪2 √ e ( √ e x‬‬
‫‪x‬‬
‫=)‪ f ' ( x‬لك ‪ x‬من ‪ ℝ‬وتيقق من أن 0=)0( ' ‪f‬‬ ‫2‬
‫ 3_أ( بي أن:‬ ‫1‬
‫1+ )1− ‪( √ e‬‬
‫‪x‬‬
‫ع ‪ ℝ‬ولاستنتج أن لاللالة ‪ f‬تزلايدية ع لالجال [ ∞+; 0 [‬ ‫1−‪√ e x‬‬ ‫ب( أدرس إشارة‬ ‫1‬
‫الدوال السية واللوغاريتمية‬
‫وتناقصية ع لالجال ] 0 ; ∞−] .‬
‫2‬ ‫2‬
‫‪∀ x∈ℝ‬‬ ‫4_أ(تيقق من أن : ) ‪f ( x)=2x+2ln(1− x + x‬‬ ‫52,0‬
‫‪√e e‬‬
‫ب(بي أن لالستيقيم )‪ ( D‬لال ي معادله ‪ y=2x‬ميقارب للمنحن ) ‪ (C‬بولار ∞+‬ ‫5,0‬
‫5_أ(تيقق من أن : )2− ‪ e −3 √ e +2=( √ e −1)( √ e‬لك ‪ x‬من ‪ℝ‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫52,0‬
‫و )2− ‪ ( √ e −1)( √ e‬ع ‪. ℝ‬‬ ‫ب(أدرس إشارة ك من 2−‪√ e x‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬
‫5,0‬
‫لك ‪ x‬من لالجال ] 4‪. [ 0; ln‬‬ ‫ج(إستنتج أن : ‪e x −2 √ e x +2⩽ √ e x‬‬ ‫52,0‬
‫د( بي أن : ‪ f ( x )⩽x‬لك ‪ x‬من لالجال ] 4‪. [ 0; ln‬‬ ‫5,0‬
‫6_ أنشئ لالنحن ) ‪) (C‬نيقبل أن للمنحن نيقطت إنعطاف أفصول إحدلاهما أصغر من 1−‬ ‫57,0‬
‫و أفصول لالرخرى أكب من 2 تديدهما غي مطلوب ونأرخد 4,1≃4‪( ln‬‬
‫✔ الجزء الثاني :‬
‫نعتب لالتتالة ) ‪ (u n‬لالعرفة بما يل :‬
‫1= 0 ‪ u‬و ) ‪ u n+1 =f (u n‬لك ‪ n‬من ‪) ℕ‬يمكنك فيما يل إستعمال نتائج درلاسة لاللالة ‪( f‬‬
‫1_ بي بالتعجع أن : 4‪ 0⩽u n ⩽ln‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬ ‫57,0‬
‫2_ بي أن لالتتالة ) ‪ (u n‬تناقصية‬ ‫57,0‬
‫3_ لاستنتج أن لالتتالة ) ‪ (u n‬متيقاربة و حدد نهايتها.‬ ‫1‬