SlideShare a Scribd company logo
1 of 50
‫القطع المكافئ‬       ‫مقدمة‬


 ‫القطع الزائد‬    ‫القطع الناقص‬


 ‫مواقع مفيدة‬    ‫مصطلحات رياضية‬
‫القطوع المخروطية ‪Conic Sections‬‬



                  ‫إذا قطع مستوى مخروطين‬
                   ‫قائمين مقلوبين ل نهائيين في‬
                  ‫أوضاع واتجاهات مختلفة فإننا‬
                ‫نحصل على قطوع مختلفة تسمى‬
                            ‫قطوعا مخروطية .‬
                                      ‫ ً‬
‫القطع المكافئ ‪Parabola‬‬



‫محور التماثل‬            ‫مجمـــــــوعـة‬   ‫القطـع المكافئ هـو :‬
    ‫البؤرة‬                    ‫كل النقـــــاط في المستوى‬
                            ‫المتساويــــة البعدين عن نقطة‬
                        ‫معطـــاة ومستقيــــم معطى .‬
     ‫الرأس‬
               ‫الدليل‬
                        ‫تسمى النقطة بالبؤرة والمستقيم بالدليل‬

                            ‫يوجد للقطع المكافئ محور تماثل‬
‫‪y‬‬
                                                   ‫معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (‬
                            ‫0> ‪p‬‬

    ‫مفتوح للعلى‬
                                  ‫) ‪A (x , y‬‬
                                ‫) ‪A (x , y‬‬            ‫وبؤرته ) 0 , ‪ ( p‬ودليله ‪y = - p‬‬
                                                             ‫1‬
                                                        ‫= ‪y‬‬    ‫‪x‬‬         ‫2‬
                                                                                     ‫المعادلة هي :‬
                  ‫) ‪(0, p‬‬
                                                            ‫‪4p‬‬
                                               ‫‪x‬‬
‫‪y = −p‬‬

                                                                              ‫والصورة القياسية هي :‬
                        ‫‪y‬‬




                 ‫‪y =−p‬‬
                                       ‫0< ‪p‬‬
                                                          ‫‪y = ax‬‬              ‫2‬

                                               ‫‪x‬‬
                                                                                           ‫حيث أن :‬
                      ‫) ‪(0, p‬‬
                                                           ‫1‬                        ‫1‬
                                                   ‫−= ‪y‬‬        ‫والدليل‬       ‫,0(‬      ‫)‬    ‫البؤرة هي‬
         ‫) ‪A (x , y‬‬                                       ‫‪4a‬‬                       ‫‪4a‬‬
                                 ‫مفتوح للسفل‬
                                                               ‫توضيح‬
‫بفرض أن 0 > ‪ p‬وينطبق ذلك عندما تكون 0 < ‪P‬‬
                                               ‫‪:A‬‬     ‫بعد البؤرة عن النقطة‬

                   ‫) ‪A (x , y‬‬            ‫2 ) ‪= (x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = x 2 + ( y − p‬‬
               ‫‪y‬‬


                                           ‫بعد النقطة ‪A‬عن الدليل ‪y = - p‬‬

                   ‫) ‪A (x , y‬‬                ‫| ‪=| y − − p |=| y + p‬‬

         ‫) ‪(0, p‬‬
                                    ‫2 ) ‪| y + p |= x 2 + ( y − p‬‬

‫‪y = −p‬‬
                                ‫‪x‬‬   ‫2 ) 2 ) ‪| y + p |2 = ( x 2 + ( y − p‬‬
                                    ‫2 ‪y 2 + 2 py + p 2 = x 2 + y 2 − 2 py + p‬‬
                                    ‫2 ‪−− − −−4 py = x‬‬
                                                 ‫2 1‬
                         ‫= ‪ −− − − −y‬مثال ) 1 (‬    ‫‪x‬‬
                                                ‫‪4p‬‬
‫أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )2− ,0( ودليله 2 = ‪y‬‬   ‫مثال ) 1 (‬


                     ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                                               ‫الحل‬

                            ‫1‬            ‫1‬      ‫1−‬
             ‫,0( = )2− ,0(‬    ‫= 2 −−⇒ )‬    ‫= ‪⇒a‬‬
                           ‫‪4a‬‬           ‫‪4a‬‬      ‫8‬


                                        ‫2 1−‬
                            ‫‪y = ax ⇒ y = x‬‬
                                        ‫2‬

                                        ‫8‬

‫مثال ) 2 (‬
‫أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ 2 ‪y = 2x‬‬       ‫مثال ) 2(‬


              ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                                           ‫الحل‬
            ‫2=‪a‬‬   ‫حيث‬      ‫‪y = ax‬‬    ‫2‬
                                         ‫على الصورة‬   ‫‪y = 2x‬‬       ‫2‬




                            ‫1‬   ‫1‬   ‫1‬
                              ‫=‬   ‫=‬
                           ‫8 )2(4 ‪4a‬‬
                                    ‫1‬        ‫1‬                 ‫البؤرة هي :‬
                               ‫,0(‬    ‫) ,0( = )‬
                                   ‫‪4a‬‬        ‫8‬

                        ‫1‬          ‫1‬                    ‫والدليل هو المستقيم :‬
‫مثال ) 3(‬         ‫−= ‪y‬‬    ‫− = ‪⇒ −y‬‬
                       ‫‪4a‬‬          ‫8‬
‫أوجد في الصورة القياسية معادلة القطع المكافئ حيث دليله‬
                                                              ‫مثال ) 3(‬
                   ‫هو المستقيم 4− = ‪ y‬وبؤرته )4 ,0(‬
      ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                                 ‫الحل‬
‫وهو مستقيم أفقي والبؤرة تقع إلى العلى‬      ‫الدليل هو 4− = ‪y‬‬

                   ‫القطع له خط تماثل رأسي ومفتوح إلى العلى‬

          ‫1‬              ‫1‬
  ‫− = ‪−y‬‬    ‫= ‪= −4 ⇒ −a‬‬
         ‫‪4a‬‬             ‫61‬
                         ‫2 1‬
        ‫‪y = ax − ⇒ − y = x‬‬
                       ‫2‬

                        ‫61‬
‫‪y‬‬


                                     ‫) ‪A (x , y‬‬           ‫معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (‬
        ‫‪x = −p‬‬


                                 ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                            ‫وبؤرته ) 0 , ‪ ( p‬ودليله ‪x = - p‬‬
  ‫0> ‪p‬‬

                          ‫)0 , ‪( p‬‬                ‫‪x‬‬

                                                                      ‫1‬
                                                                 ‫= ‪x‬‬    ‫‪y‬‬        ‫2‬
                                                                                              ‫المعادلة هي :‬
 ‫مفتوح نحو اليمين‬                                                    ‫‪4p‬‬
                                                                                         ‫والصورة القياسية هي :‬
                      ‫‪y‬‬


‫مفتوح نحو اليسار‬              ‫‪x = −p‬‬
                                                                      ‫‪x = ay‬‬             ‫2‬

                                                                                                    ‫حيث أن :‬
           ‫)0 , ‪( p‬‬
                                                                  ‫1‬                       ‫1‬
                                                          ‫−= ‪x‬‬
                                                      ‫‪x‬‬
                                                                       ‫والدليل‬       ‫(‬      ‫)0 ,‬    ‫البؤرة هي‬
                                           ‫0< ‪p‬‬                  ‫‪4a‬‬                      ‫‪4a‬‬

   ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                                       ‫توضيح‬
‫بفرض أن 0 > ‪ p‬وينطبق ذلك عندما تكون 0 < ‪P‬‬
              ‫‪y‬‬


                              ‫) ‪A (x , y‬‬
                                                          ‫‪:A‬‬     ‫بعد البؤرة عن النقطة‬
     ‫‪x = −p‬‬



‫0> ‪p‬‬
                          ‫) ‪A (x , y‬‬                ‫2 ‪= (x − p ) 2 + ( y − 0) 2 = (x − p )2 + y‬‬
                   ‫)0 , ‪( p‬‬                ‫‪x‬‬

                                                     ‫بعد النقطة ‪A‬عن الدليل ‪y = - p‬‬
‫مفتوح نحو اليمين‬
                                                        ‫| ‪=| x − − p |=| x + p‬‬

                                               ‫=| ‪| x + p‬‬      ‫2 ) ‪y 2 + (x − p‬‬
                                               ‫2 ) 2 ) ‪| x + p |2 = ( y 2 + (x − p‬‬
                                               ‫2 ‪x 2 + 2 px + p 2 = y 2 + x 2 − 2 px + p‬‬
                                                ‫2 ‪−− −−−4 px = y‬‬
                                                             ‫1‬
                                     ‫= ‪ −− − − −x‬مثال ) 1 (‬    ‫2‪y‬‬
                                                            ‫‪4p‬‬
‫1‬           ‫1‬                                            ‫مثال ) 1 (‬
       ‫−= ‪x‬‬     ‫أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )0 , ( ودليله‬
            ‫4‬           ‫4‬

                                                                         ‫الحل‬

         ‫1‬         ‫1‬          ‫1‬  ‫1‬
      ‫(‬    ‫− ⇒ )0 , ( = )0 ,‬    ‫1 = ‪= ⇒a‬‬
        ‫‪4a‬‬         ‫4‬         ‫4 ‪4a‬‬

                                ‫‪x = ay‬‬         ‫2‬


                                ‫‪x = 1y‬‬         ‫2‬



‫مثال ) 2 (‬
                                ‫‪x =y‬‬       ‫2‬
‫مثال ) 2(‬
             ‫‪x = 3y‬‬   ‫2‬
                              ‫أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ‬

       ‫) ‪A (x , y‬‬                                                       ‫الحل‬
‫3= ‪a‬‬   ‫حيث‬     ‫‪x = ay‬‬     ‫2‬
                                ‫على الصورة‬        ‫‪x = 2y‬‬          ‫2‬




                 ‫1‬   ‫1‬   ‫1‬
                   ‫=‬   ‫=‬
                ‫21 )3(4 ‪4a‬‬
                                                              ‫البؤرة هي :‬
                        ‫1‬        ‫1‬
                      ‫)0 , ( = )0 , (‬
                       ‫‪4a‬‬       ‫21‬
                                                       ‫والدليل هو المستقيم :‬
                   ‫1‬         ‫1‬
             ‫− = ‪x = − ⇒ −x‬‬
                  ‫‪4a‬‬        ‫21‬
‫إزاحة القطوع المكافئة ‪Translations of Parabolas‬‬

         ‫‪y‬‬




                                                    ‫عندما يجرى إزاحة قطع مكافئ‬
                              ‫) ‪(h + p , k‬‬
               ‫) ‪(h , k‬‬
                                                      ‫أو ‪y = ax‬‬
                                                             ‫2‬
                                                                      ‫معادلته ‪x = ay‬‬
                                                                             ‫2‬


                          ‫‪k‬‬
             ‫) ‪(h , k‬‬                                      ‫ ً‬
                                                           ‫وحدة ورأسيا‬         ‫ ً‬
                                                                               ‫أفقيا‬
                                                          ‫‪k‬‬                    ‫‪h‬‬
‫)0 ,0(‬                           ‫) ‪(h + p , k‬‬   ‫‪x‬‬
                  ‫‪h‬‬                                 ‫فإن رأس القطـــع المكــافئ يتحرك‬

                                                                    ‫إلى‬                ‫من‬
                                                         ‫) ‪(h , k‬‬         ‫)0 ,0(‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) ‪(h , k‬‬


                                 ‫الصورة القياسية لمعادلة‬
     ‫البؤرة ومعادلة الدليل‬
                                           ‫القطع المكافئ‬

              ‫1‬
    ‫+ ‪(h , k‬‬    ‫)‬
             ‫‪4a‬‬
                                ‫2 ) ‪y − k = a (x − h‬‬
               ‫1‬
    ‫− ‪y =k‬‬
              ‫‪4a‬‬

        ‫1‬
    ‫+ ‪(h‬‬  ‫) ‪,k‬‬
       ‫‪4a‬‬
            ‫1‬                 ‫2) ‪x − h = a ( y − k‬‬
    ‫− ‪x =h‬‬
           ‫‪4a‬‬
‫أوجد الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه )4 ,3( وبؤرته )4 ,5(‬      ‫مثال ) 1(‬



            ‫بما أن الرأس والبؤرة يقعان على خط أفقي ، والبؤرة إلى يمين الرأس‬      ‫الحل‬
  ‫يكون القطع المكافئ مفتوحا إلى اليمين وصورة معادلته 2 ) ‪x − h = a ( y − k‬‬

                                                          ‫الرأس هو ) ‪( h , k‬‬
         ‫4 = ‪( h , k ) = (3, 4) ⇒ h = 3, k‬‬
                                                                ‫1‬
                                                        ‫+ ‪(h‬‬      ‫البؤرة هي ) ‪, k‬‬
          ‫1‬                    ‫1‬                               ‫‪4a‬‬
     ‫+ ‪(h‬‬   ‫+ ⇒ )4 ,5(= ) ‪, k‬‬
                           ‫3‬     ‫5=‬
         ‫‪4a‬‬                   ‫‪4a‬‬
        ‫1‬
     ‫=‪a‬‬
        ‫8‬
                                             ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ هي :‬
                          ‫1‬
                   ‫2 )4 − ‪x − 3 = ( y‬‬
                          ‫8‬
‫الصورة العامة لمعادلة القطع المكافئ‬

                   ‫الصورة العامة للقطع المكافئ تأخذ إحدى الصورتين :‬

    ‫‪y‬‬
                                               ‫* قطع مكافئ رأسي‬


                          ‫0 ≠ ‪y = ax +bx + c − , − a‬‬
                                    ‫2‬

        ‫‪x‬‬




‫‪y‬‬


                                               ‫* قطع مكافئ أفقي‬

                          ‫0 ≠ ‪x = ay + by + c − , −a‬‬
                                   ‫2‬
            ‫‪x‬‬
‫هي لقطع مكافئ ؟‬ ‫0 = 6 − ‪x 2 − 4x + 2 y‬‬     ‫هل المعادلة‬      ‫مثال ) 1(‬

                           ‫إذا كانت كذلك ، فأوجد الرأس والبؤرة والدليل .‬

                                       ‫بما أن المعادلة تربيعية في المتغير ‪x‬‬       ‫الحل‬
                      ‫نكمل المربع بالنسبة إلى ‪ x‬لنحصل على الصورة القياسية‬
                  ‫6 + ‪x 2 − 4x + 2 y − 6 = 0 ⇒ x 2 − 4x = −2 y‬‬
                  ‫2 4−‬                ‫2 4−‬
   ‫‪x‬‬   ‫2‬
           ‫( + ‪− 4x‬‬  ‫( + 6 + ‪) = −2 y‬‬     ‫01+ ‪) ⇒( x − 2) 2 = −2 y‬‬
                  ‫2‬                    ‫2‬
                                                           ‫−‬‫1‬
‫وهذه المعادلة على الصورة ) ‪( y − k ) = a ( x − h‬‬
                       ‫2‬                         ‫= )5− ‪( y‬‬    ‫2 )2− ‪(x‬‬
                                                           ‫2‬
                                        ‫1−‬
               ‫= ‪h = 2−, −k = 5, −a‬‬
                                        ‫2‬
             ‫1‬              ‫1‬          ‫9‬
    ‫+ ‪(h , k‬‬   ‫+ 5 ,2(= )‬
                            ‫−‬ ‫1‬
                                 ‫) ,2(= )‬           ‫والبؤرة هي :‬     ‫الرأس هو : )5,2(‬
            ‫‪4a‬‬           ‫(4‬    ‫)‬       ‫2‬
                             ‫2‬
                                        ‫1‬         ‫1‬        ‫11‬
                            ‫− ‪y =k‬‬        ‫− 5=‬         ‫= ‪⇒y‬‬                   ‫والدليل هو :‬
                                       ‫‪4a‬‬         ‫−‬ ‫1‬       ‫2‬
                                               ‫(4‬    ‫)‬
                                                   ‫2‬
‫تدريبات‬

                                                                                 ‫تدريب ) 1(‬
       ‫عين الرأس ، والبؤرة ، ومعادلة محور التماثل ومعادلة الدليل للقطع المكافئ‬
                                                                            ‫نّ‬
                                  ‫)2 − ‪( y + 1) 2 = 4(x‬‬



                                                                                 ‫تدريب ) 2(‬
‫1= ‪y‬‬     ‫اكتب معادلة القطع المكافئ الذي رأسه النقطة )4− ,2( ومعادلة دليله هي‬




‫عند النقطة )4 ,1(‬       ‫‪y 2 = 16x‬‬                                                ‫تدريب ) 3(‬
                                      ‫أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع المكافئ‬
‫القطع الناقص ‪Ellipse‬‬



                                                                ‫القطع الناقص هو :‬
                                                      ‫مجموعــــة كل النقـــــاط في‬
           ‫2‪F‬‬      ‫المركز‬    ‫1‪F‬‬                       ‫المستوى الذي مجموع بعدي‬
             ‫1‪F‬‬               ‫2‪F‬‬
          ‫2‪d‬‬
                        ‫1‪d‬‬
                                                           ‫كل منهــــــا عن نقطتين‬
                                                      ‫ثابتتين يساوي مقدارا ثابتا .‬
                                                        ‫ ً‬    ‫ ً‬


‫تسمى النقطتان الثابتتان بؤرتين 1‪ ، F2 ، F‬وتسمى نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة‬
               ‫بينهما مركز القطع الناقص . والبعدان اللذان مجموعهما ثابت هما 1 ‪d 2 ، d‬‬
‫محاور القطع الناقص‬

                    ‫‪y‬‬
                                                                 ‫المحور الكبر :‬
‫المحور الصغر‬                   ‫المحور الكبر‬
                                                   ‫هو القطعة المستقيمة المارة‬
                                                    ‫بالبـؤرتيـــن وطرفـاهـــا على‬
                                                   ‫القطع ويسمى طرفاهـــا رأسي‬
‫2‪V‬‬             ‫2‪F‬‬       ‫1‪F‬‬                    ‫1‪V‬‬                  ‫القطع الناقص .‬
                                              ‫‪x‬‬
         ‫1‪F‬‬                       ‫2‪F‬‬                           ‫المحور الصغر :‬
                                                      ‫هو القطعة المستقيمة المارة‬
                                                          ‫بالمركز والعمودية على‬
                                                    ‫المحور الكبر ، ويقع طرفاها‬
                                                                     ‫على القطع .‬

                    ‫المحوران الكبر والصغر هما محورا تماثل القطع الناقص‬
‫أطوال محاور القطع الناقص‬

                ‫‪y‬‬


                                               ‫طول المحور الكبر ‪2a‬‬

          ‫1‪d‬‬                  ‫2‪d‬‬              ‫طول المحور الصغر ‪2b‬‬
               ‫‪2b‬‬
‫2‪V‬‬               ‫‪2a‬‬
                                        ‫1‪V‬‬
                ‫‪O‬‬                       ‫‪x‬‬
                                                ‫البعد بين البؤرتين ‪2c‬‬
     ‫1‪F‬‬             ‫‪2c‬‬             ‫2‪F‬‬


                                              ‫2 ‪a2 = b 2 + c‬‬

          ‫‪d 1 + d 2 = 2a‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(‬

                          ‫‪y‬‬
                              ‫) ‪(0, b‬‬

                                                                   ‫القطع الناقص الفقي‬
‫)0 , ‪( −a‬‬    ‫2‪F‬‬                  ‫1‪F‬‬            ‫)0 , ‪(a‬‬
                                                         ‫2‪x‬‬   ‫2‪y‬‬
                                                             ‫1= 2 +‬
                                                    ‫‪x‬‬
      ‫)0 , ‪F1 (−c‬‬      ‫)0 ,0(‬           ‫)0, ‪F2 (c‬‬                                       ‫المعادلة هي‬
                                                           ‫2‬
                                                         ‫‪a‬‬    ‫‪b‬‬
                          ‫) ‪(0, −b‬‬                                       ‫‪a >b‬‬             ‫حيث :‬

                              ‫)0 ,− ( ,)0 , ‪(c‬‬
                                         ‫‪c‬‬                 ‫البؤرتــــــــــــــان هما‬

                              ‫)0 ,− ( ,)0 , ‪(a‬‬
                                          ‫‪a‬‬               ‫طرفا المحور الكبر هما‬

                              ‫طرفا المحور الصغر هما ) − ,0( ,) ‪(0, b‬‬
                                           ‫‪b‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(‬

                ‫‪y‬‬

                    ‫)0 , ‪(a‬‬
                                                              ‫القطع الناقص الرأسي‬

           ‫) ‪F1(0, c‬‬                                  ‫2‪x‬‬   ‫2‪y‬‬
                                                        ‫2‬
                                                          ‫1= 2 +‬               ‫المعادلة هي‬
‫)0 , ‪(−b‬‬                       ‫)0 , ‪(b‬‬
                                                      ‫‪b‬‬    ‫‪a‬‬
              ‫)0 ,0(‬                     ‫‪x‬‬
                                                                  ‫‪a >b‬‬            ‫حيث :‬

                                             ‫)− ,0( ,) ‪(0, c‬‬
                                                          ‫‪c‬‬         ‫البؤرتــــــــــــــان هما‬
           ‫) ‪F2 (0, −c‬‬

                    ‫) ‪(0, −a‬‬                 ‫)− ,0( ,) ‪(0, a‬‬
                                                          ‫‪a‬‬        ‫طرفا المحور البكبر هما‬

                                             ‫طرفا المحور الغصغر هما )0 ,− ( ,)0 , ‪(b‬‬
                                                        ‫‪b‬‬
‫مثال‬
‫أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه )3− ,0( ، )3,0( وطول المحور‬
                       ‫الغصغر 4 ، ثم ارسم المنحنى الذي يمثله .‬
  ‫‪y‬‬
                      ‫البؤرتان تقعان على محور الصادات‬          ‫الحل‬
      ‫)3,0(‬                ‫3= ‪c‬‬
                              ‫طول المحور الغصغر يساوي ‪2b‬‬
                           ‫2 = ‪2b = 4 ⇒ b‬‬
                ‫‪x‬‬
                          ‫2 ‪a 2 = b 2 +c‬‬
                          ‫31 = 23 + 2 2 = 2 ‪a‬‬
      ‫)3− ,0(‬                                   ‫معادلة القطع الناقص هي :‬

                    ‫2‪x2 y‬‬        ‫2‪x2 y‬‬
                      ‫2‬
                        ‫⇒ 1= 2 +‬   ‫+‬    ‫1=‬
                    ‫‪b‬‬    ‫‪a‬‬       ‫4‬   ‫31‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬

‫‪y‬‬


                   ‫) ‪(h , k + b‬‬                                             ‫القطع الناقص الفقي‬
‫) ‪(h − a, k‬‬                ‫) ‪(h , k‬‬   ‫) ‪(h + a , k‬‬


                                                         ‫2 ) ‪(x − h ) 2 ( y − k‬‬              ‫المعادلة هي‬
                                                              ‫2‬
                                                                   ‫+‬      ‫2‬
                                                                                ‫1=‬
                   ‫) ‪(h , k − b‬‬                             ‫‪a‬‬           ‫‪b‬‬
                                                     ‫‪x‬‬


                                                                                ‫‪a >b‬‬           ‫حيث :‬

                                                 ‫البؤرتــــــــــــــان هما ) ‪( h + , k ), ( h − , k‬‬
                                                      ‫‪c‬‬            ‫‪c‬‬

                                                 ‫طرفا المحور البكبر هما ) ‪(h + a , k ), (h −a , k‬‬
‫‪c = a −b‬‬
    ‫2‬          ‫2‬                  ‫2‬

                                             ‫طرفا المحور الغصغر هما ) ‪( h , k +b ), (h , k −b‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬


                  ‫) ‪(h , k + a‬‬                                           ‫القطع الناقص الرأسي‬

                                                 ‫2 ) ‪(x − h ) 2 ( y − k‬‬
‫) ‪(h − b , k‬‬
                    ‫) ‪(h , k‬‬
                                 ‫) ‪(h + b , k‬‬         ‫2‬
                                                           ‫+‬      ‫2‬
                                                                        ‫1=‬                ‫المعادلة هي‬
                                                    ‫‪b‬‬           ‫‪a‬‬
                                                                              ‫‪a >b‬‬           ‫حيث :‬
                 ‫) ‪(h , k − a‬‬
                                                 ‫البؤرتــــــــــــــان هما ) ‪( h , k +c ), ( h , k −c‬‬

                                                 ‫طرفا المحور البكبر هما ) ‪( h , k +a ), ( h , k −a‬‬
   ‫2 ‪c 2 = a 2 −b‬‬
                                                ‫طرفا المحور الغصغر هما ) ‪( h +b , k ), ( h −b , k‬‬
‫مثال ) 1( أوجد الصورة القياسية لمعادلة قطع ناقص طرفي محوره الكبر )1− ,2−( ، )1− ,8(‬
         ‫‪Y‬‬                                                      ‫.‬   ‫وطول محوره الغصغر 8‬
                                                                                                  ‫الحل‬
                                      ‫‪X‬‬     ‫الشكل المجاور يمثل طرفي المحور الكبر والمحور الغصغر‬
             ‫)1− ,3(‬
‫)1− −(‬
  ‫,2‬                        ‫− ,8(‬‫)1‬
                                          ‫2) ‪(x − h )2 ( y − k‬‬
                                               ‫2‬
                                                   ‫+‬      ‫2‬
                                                               ‫غصورة معادلة القطع الناقص هي 1 =‬
                                             ‫‪a‬‬          ‫‪b‬‬
                                                  ‫نقطة منتصف المحور الكبر تمثل مركز القطع الناقص‬
                        ‫1− + 1− 8 + 2−‬
         ‫( = ) ‪(h , k‬‬         ‫,‬       ‫)1− ,3( = )‬
                          ‫2‬       ‫2‬
                                                                ‫طول المحور الكبر يساوي ‪2a‬‬
                                          ‫5 = ‪2a = 8 − (−2) = 10 ⇒ a‬‬

                                                                     ‫طول المحور الغصغر يساوي ‪2b‬‬
                                               ‫4 = ‪2b = 8 ⇒ b‬‬

   ‫2 )1− − ‪(x − 3) 2 ( y‬‬      ‫2 )1 + ‪( x − 3) 2 ( y‬‬    ‫معادلة القطع الناقص هي :‬
        ‫2‬
            ‫+‬      ‫2‬
                         ‫⇒1 =‬           ‫+‬           ‫1=‬
      ‫5‬          ‫4‬                ‫52‬        ‫61‬
‫2 )1 + ‪(x − 4) 2 ( y‬‬
                                                      ‫+‬           ‫1=‬   ‫مثال ) 2( ارسم شكل تقريبيا للقطع الناقص‬
                                                ‫52‬        ‫961‬

‫من معادلة القطع الناقص نلظحظ أن مركز القطع هو : − ,4(= ) ‪( h , k‬‬
                ‫)1‬                                                                                     ‫الحل‬
                 ‫ومن المعادلة أيضا نلظحظ أن 961< 52 أي أن المحور الكبر يكون رأسيا‬
                 ‫ً‬
             ‫‪y‬‬
                  ‫)21,4(‬                                          ‫31= ⇒ 961= 2 ‪a‬‬
                                                                            ‫‪a‬‬
                  ‫)11,4(‬                            ‫وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الكبر تبعدان 31 وظحدة‬
                                                 ‫أسفل وأعلى المركز أي عند النقطتين )41− ,4( و )21,4(‬

                                                                       ‫5= ⇒ 52 = 2 ‪b‬‬
                                                                                 ‫‪b‬‬
                                         ‫‪x‬‬
‫)1 − ,1 −(‬                    ‫)1 − ,9(‬
                   ‫)1 − ,4(‬
                                                    ‫وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الغصغر تبعدان 5 وظحدات‬
                                               ‫إلى يسار ويمين المركز أي عند النقطتين )1− ,1−( و − ,9(‬
                                                    ‫)1‬

                  ‫)31 − ,4(‬                                    ‫21 = 52 − 961 = ‪c 2 = a 2 − b 2 ⇒ c‬‬
                  ‫)41 − ,4(‬                                     ‫وهذا يعني أن البؤرتان تبعدان 21 وظحدة أسفل‬
                                                          ‫وأعلى المركز أي عند النقطتين )31− ,4( و )11,4(‬
‫تدريبات‬


                          ‫أثبت أن المعادلة 0 = 4 − ‪x 2 + 2 y 2 − 4x + 8 y‬‬   ‫تدريب )1(‬
      ‫تمثل قطعا ناقصا .‬
        ‫ً‬    ‫ً‬


                                                                            ‫تدريب ) 2(‬
  ‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه )2 ,2( وإظحدى بؤرتيه النقطة )2 ,1−(‬

                                       ‫وطول محوره الكبر 01 2 وظحدة .‬


‫أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع الناقص 8 = 2 ‪ x 2 + y‬عند النقطة )1,2−(‬      ‫تدريب ) 3(‬
‫القطع الزائد ‪Hyperbola‬‬


                                                       ‫مجموعــــة بكل‬    ‫القطع الزائد هو :‬
                                                     ‫النقـــاط في المســــتوى والتــي الفرق‬
                                                     ‫المطلق لبعديــن ثابتيـن هو مقدار ثابت‬
                                                            ‫ويساوي ‪ 1 −d 2 2a‬‬
                                                              ‫‪d‬‬          ‫=‬
             ‫2‪F‬‬     ‫‪a‬‬     ‫‪a‬‬    ‫1‪F‬‬



                                                                        ‫2‪d‬‬   ‫1‪d‬‬




‫تسمى النقطتان الثابتتان 1‪ F2 ، F‬بؤرتي القطع الزائد‬
‫محاور القطع الزائد وخطوطه التقاربية‬

                               ‫‪y‬‬                                          ‫يسمى الخطان 1‪L 2 ، L‬‬
  ‫المحور المرافق ‪2b‬‬
        ‫2‪L‬‬                                             ‫1‪L‬‬
                                                                           ‫خطان تقاربيين مائلين‬
                                   ‫) ‪(0, b‬‬                                           ‫المحور القاطع‬
‫بؤرة‬                                                         ‫بؤرة‬
                                                                     ‫القطعة الواغصلة بين الرأسين‬

                    ‫)0,‪(− a‬‬            ‫)0 ,‪(a‬‬                   ‫‪x‬‬           ‫المحور المرافق‬
       ‫)0, ‪F2 (−c‬‬                               ‫)0 , ‪F1 (c‬‬
                                                                    ‫هــو القطعة الواغصلة بيـن منتصفي‬
                                                                    ‫ضلعي المستطيـــــــل الموازييــــن‬
                                ‫) ‪(0, −b‬‬                                                   ‫للمحور القاطع‬


   ‫المحور القاطع ‪2a‬‬                                                 ‫‪c = a +b‬‬
                                                                      ‫2‬              ‫2‬             ‫2‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(‬


                                                               ‫القطع الزائد الفقي‬
                      ‫‪y‬‬

    ‫‪b‬‬
‫‪y =− x‬‬                              ‫‪b‬‬               ‫2‪x‬‬   ‫2‪y‬‬
    ‫‪a‬‬                            ‫‪y = x‬‬
                                    ‫‪a‬‬
                                                      ‫2‬
                                                        ‫1= 2 −‬                   ‫المعادلة هي‬
                ‫)0 ,0(‬                ‫) ‪(x , y‬‬
                                                    ‫‪a‬‬    ‫‪b‬‬
‫)0 , −(‬
  ‫‪c‬‬        ‫)0 , ‪(−a‬‬       ‫)0 , ‪(a , 0) (c‬‬
                                             ‫‪x‬‬          ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬      ‫حيث :‬

                                                 ‫البؤرتـــــــــــان هما )0 , − ( ,)0 , ‪(c‬‬
                                                             ‫‪c‬‬

                                                 ‫طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , ‪(a‬‬
                                                             ‫‪a‬‬

                                                      ‫‪b‬‬
                                                  ‫الخطان التقاربيان هما : ‪y =± x‬‬
                                                      ‫‪a‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(‬
                                                                            ‫) ‪(x , y‬‬


             ‫‪y‬‬
                                                   ‫القطع الزائد الرأسي‬
    ‫‪a‬‬    ‫)0 , ‪(c‬‬
‫‪y =− x‬‬
    ‫‪b‬‬
                       ‫‪a‬‬
                    ‫‪y = x‬‬             ‫2‪y‬‬   ‫2‪x‬‬
                       ‫‪b‬‬
                                        ‫2‬
                                          ‫1= 2 −‬                    ‫المعادلة هي‬
          ‫)0 , ‪(a‬‬                     ‫‪a‬‬    ‫‪b‬‬

                                            ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬       ‫حيث :‬
                         ‫‪x‬‬

                                      ‫البؤرتـــــــــــان هما ) − ,0( ,) ‪(0, c‬‬
                                                    ‫‪c‬‬
         ‫)0 , ‪(−a‬‬
                                       ‫طرفا المحور القاطع ) − ,0( ,) ‪(0, a‬‬
                                                     ‫‪a‬‬
         ‫)0 , −(‬
           ‫‪c‬‬
                                           ‫‪a‬‬
                                       ‫‪y =± x‬‬            ‫الخطان التقاربيان هما :‬
                                           ‫‪b‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬

               ‫‪y‬‬
                                                                         ‫القطع الزائد الفقي‬
                            ‫‪b‬‬
                   ‫) ‪y − k = − (x − h‬‬
                            ‫‪a‬‬

                                                          ‫2) ‪(x − h )2 ( y − k‬‬
                                                               ‫2‬
                                                                   ‫−‬      ‫2‬
                                                                               ‫1=‬          ‫المعادلة هي‬
‫) ‪(h − a, k‬‬                             ‫) ‪(h + a, k‬‬          ‫‪a‬‬          ‫‪b‬‬
                             ‫) ‪(h , k‬‬
                                                                 ‫2 ‪c 2 = a2 +b‬‬     ‫حيث :‬
‫) ‪(h − c , k‬‬                            ‫) ‪(h + c , k‬‬
                                                       ‫البؤرتــان هما ) ‪( h +c , k ), ( h −c , k‬‬
                                                             ‫‪x‬‬

                           ‫‪b‬‬
                    ‫) ‪y − k = (x − h‬‬                   ‫طرفا المحور القاطع ) ‪( h +a , k ), ( h −a , k‬‬
                           ‫‪a‬‬


                                                                 ‫‪b‬‬
                                                        ‫) ‪y − k = ± (x − h‬‬    ‫الخطان التقاربيان هما :‬
                                                                 ‫‪a‬‬
‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬
                                                                                                    ‫) ‪(x , y‬‬


         ‫‪y‬‬                                                               ‫القطع الزائد الرأسي‬

               ‫) ‪(h , k + c‬‬
                                         ‫‪a‬‬
                                  ‫) ‪y − k = (x − h‬‬          ‫2) ‪( y − k ) 2 (x − h‬‬
                                         ‫‪b‬‬
                                                                  ‫2‬
                                                                       ‫−‬     ‫2‬
                                                                                  ‫1=‬         ‫المعادلة هي‬
                                                                ‫‪a‬‬          ‫‪b‬‬
‫) ‪(h , k + a‬‬                                                                         ‫حيث :‬
                                                                   ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬
                       ‫) ‪(h , k‬‬
                                                         ‫البؤرتــان هما ) ‪( h , k +c ), ( h , k −c‬‬
‫) ‪(h , k − a‬‬                                         ‫‪x‬‬

                                                         ‫طرفا المحور القاطع ) ‪( h , k +a ), ( h , k −a‬‬
               ‫) ‪(h , k − c‬‬                  ‫‪a‬‬
                                    ‫) ‪y − k = − (x − h‬‬
                                             ‫‪b‬‬
                                                                   ‫‪a‬‬
                                                          ‫) ‪y − k = ± (x − h‬‬    ‫الخطان التقاربيان هما :‬
                                                                   ‫‪b‬‬
‫2‬        ‫2‬                                                              ‫مثال ) 1(‬
‫‪x‬‬    ‫‪y‬‬
   ‫−‬    ‫عين بؤرتي وطرفي المحور القاطع وطولي المحورين للقطع الزائد 1 =‬
                                                                   ‫نّ‬
 ‫1‬    ‫4‬
                               ‫2‪x‬‬  ‫2‪y‬‬                                          ‫الحل‬
                                  ‫1= 2 −‬      ‫معادلة القطع على الصورة‬
                               ‫2‪a‬‬  ‫‪b‬‬
                                       ‫2 = ‪a 2 = 4 ⇒a‬‬            ‫إذن‬
                                       ‫1= ‪b 2 =1 ⇒b‬‬
                                                                ‫‪c‬‬   ‫نجد قيمة‬
     ‫5 = ‪c = a +b ⇒c = a +b = 4 +1 ⇒c‬‬
      ‫2‬       ‫2‬   ‫2‬            ‫2‬   ‫2‬




          ‫(‬   ‫)0 ,5 − ( ,)0 ,5‬      ‫البؤرتــــان هما )0 , − ( ,)0 , ‪⇐ c‬‬
                                     ‫(‬           ‫‪c‬‬

              ‫)0 − ( ,)0 ,2(‬
                         ‫,2‬        ‫طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , ‪⇐(a‬‬
                                                ‫‪a‬‬

              ‫= × = ‪2a‬‬
                  ‫2 2‬ ‫4‬                ‫⇐‬‫طول المحور القاطع يساوي ‪2a‬‬

              ‫= × = ‪2a‬‬
                  ‫2 2‬ ‫4‬                ‫⇐‬‫طول المحور القاطع يساوي ‪2a‬‬
‫مثال ) 2(‬
         ‫جد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره المرافق 4 ، وبؤرتاه‬
                                       ‫هما النقطتان )8 ± ,0(‬


                                ‫بما أن البؤرتين هما )8 ± ,0(‬          ‫الحل‬

            ‫إذن البؤرتان تقعان على محور الصادات حيث 8 = ‪c‬‬

    ‫2 ‪y‬‬  ‫2 ‪x‬‬
      ‫2‬
        ‫ومنه تكون معادلة القطع الزائد على الصورة = 2 −‬
             ‫1‬
    ‫‪a‬‬    ‫‪b‬‬
                      ‫حيث 8 = 2 ‪a 2 +b 2 =c‬‬

        ‫2 = ‪2b = 4 ⇒b‬‬            ‫طول المحور المرافق هو ‪ 2b‬حيث‬

‫طول المحور القاطع هو ‪ 2a‬حيث 2 = 4− 8 = 2 ‪a = c 2 −b‬‬
               ‫2 ‪y‬‬  ‫2 ‪x‬‬
                   ‫−‬    ‫إذن معادلة القطع الزائد هي : =‬
                         ‫1‬
                ‫4‬    ‫4‬
‫قطع زائد بؤرتاه )0 ,5− ( ,)0 ,5( ورأساه )0 ,3− ( ,)0 ,3(‬        ‫مثال ) 3(‬


                              ‫1 ( أوجد معادلة القطع الزائد بالصورة القياسية‬

                                        ‫2 ( معادلة كل من الخطين التقاربيين‬

                                     ‫3 ( ارسم المنحنى البياني للقطع الزائد‬     ‫الحل‬
‫1 ( بما أن البؤرتين وطرفي المحور القاطع ) الرأسين ( تقع على محور السينات‬

                            ‫2‪x‬‬   ‫2‪y‬‬
                              ‫2‬
                                ‫1= 2 −‬         ‫معادلة القطع على الصورة‬
                            ‫‪a‬‬    ‫‪b‬‬
                           ‫5= ⇒ )0 ,5(= )0 , ‪(c‬‬
                                            ‫‪c‬‬
                           ‫3= ⇒ )0 ,3(= )0 , ‪(a‬‬
                                            ‫‪a‬‬

        ‫4 = ‪c 2 = a 2 +b 2 ⇒b = c 2 − a 2 = 25 − 9 ⇒b‬‬
                           ‫2‪x‬‬   ‫2‪y‬‬
                              ‫−‬    ‫1=‬                ‫معادلة القطع هي :‬
                           ‫9‬    ‫61‬
‫تابع مثال ) 3(‬
             ‫4‬                                           ‫‪b‬‬
         ‫‪y =± x‬‬                              ‫±= ‪y‬‬          ‫2( الخطان التقاربيان هما ‪x‬‬
             ‫3‬                                           ‫‪a‬‬

                       ‫‪y‬‬

         ‫)4 ,3−(‬
                       ‫5‬
                                ‫)4 ,3(‬
                                                                        ‫3( رسم القطع الزائد‬
                       ‫4‬
                       ‫3‬                                     ‫- نرسم المستطيل الذي رؤوسه :‬
                      ‫2‬
                      ‫1‬                                        ‫± ± (= ) ± , ± (‬
                                                                  ‫‪a b‬‬        ‫)4 ,3‬

‫-3 -4 -5 -6‬   ‫-1 -2‬        ‫1‬   ‫2‬   ‫3‬     ‫4‬   ‫5‬   ‫6‬   ‫‪x‬‬      ‫- نرسم الخطين التقاربيين المائلين :‬
                      ‫-1‬
                      ‫-2‬                                                       ‫4‬
                                                                       ‫±= ‪y‬‬      ‫‪x‬‬
                      ‫-3‬                                                       ‫3‬
                      ‫-4‬
        ‫)4− ,3− (‬              ‫)4− ,3(‬
                      ‫-5‬                                      ‫- نرسم الرسم البياني للقطع الزائد‬
‫تدريبات‬

                           ‫2 )2 − ‪( y −1) 2 (x‬‬
                                    ‫−‬          ‫1=‬
                                                                            ‫تدريب ) 1(‬
        ‫، أوجد ما يلي :‬        ‫9‬        ‫61‬               ‫قطع زائد معادلته‬

                                          ‫1 ( المركز والرأسين والبؤرتين‬

         ‫2 ( معادلة كل من المحور القاطع والمحور المرافق وطول كل منهما‬

                                                   ‫3 ( الخطيين التقاربيين‬

                                                                            ‫تدريب ) 2(‬
          ‫هي لقطع زائد ؟‬    ‫هل المعادلة 0 = 4 − ‪y 2 − 4x 2 − 4 y − 8x‬‬

                 ‫إذا أجبت بنعم ، فما هي الصورة القياسية لمعادلة القطع ؟‬



‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه )4− ,2( وإحدى بؤرتيه النقطة )4− ,7(‬       ‫تدريب ) 3(‬
                                    ‫وطول محوره القاطع 8 وحدات .‬
‫الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية‬

    ‫0 = ‪Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F‬‬
          ‫2‬                        ‫2‬


                ‫المعادلة وشروطها‬                       ‫القطع المخروطي‬

                 ‫0 = ‪ A‬أو 0 = ‪ C‬وليس كليهما‬


‫ً‬
‫يكون القطع المكافئ رأسيا‬    ‫يكون القطع المكافئ أفقيا‬     ‫القطع المكافئ‬


      ‫إذا كان 0 = ‪C‬‬                ‫إذا كان 0 = ‪A‬‬
              ‫0 = ‪A = C − −, − − B‬‬                          ‫الدائرة‬

‫)0  ‪(AC‬‬        ‫إذا كان ‪ A‬و ‪ C‬لهما نفس الاشارة‬          ‫القطع الناقص‬

‫إذا كان ‪ A‬و ‪ C‬مختلفين بالاشارة )0  ‪(AC‬‬                  ‫القطع الزائد‬
‫مثال‬


‫عين نوع القطع المخروطي الذي معادلته 0 = 731− ‪7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y‬‬
                                                                    ‫نّ‬


                                                                        ‫الحل‬
                    ‫الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية هي‬

              ‫0 = ‪Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F‬‬

           ‫بمقارنة معادلة القطع المخروطي مع الصورة العامة ، نجد أن :‬
                           ‫9 = −− = ‪A‬‬
                              ‫‪7 , C‬‬ ‫−‬

                           ‫ 36 = × ‪A‬‬
                              ‫‪C‬‬ ‫−‬    ‫0‬

     ‫هي معادلة لقطع زائد‬   ‫إذن المعادلة 0 = 731− ‪7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y‬‬
‫‪Conics‬‬                      ‫القطوع المخروطية‬
‫‪Focus‬‬                                     ‫بؤرة‬
‫‪Directrix‬‬                                 ‫دليل‬
‫‪Parabola‬‬                       ‫القطع المكافئ‬
‫‪Parabloid‬‬                        ‫سطح مكافئ‬
‫‪Ellipse‬‬                         ‫القطع الناقص‬
‫‪Hyperbola‬‬                        ‫القطع الزائد‬
‫‪Center‬‬                                     ‫مركز‬
‫‪Vertex‬‬                                     ‫رأس‬
          ‫‪Transverse axis‬‬          ‫المحور القاطع‬
‫‪Conjugate axis‬‬                    ‫المحور المرافق‬
‫‪Asymptotes‬‬                         ‫خطوط تقاربية‬
http://mathdemos.gcsu.edu/mathdemos/family_of_func
tions/conic_gallery.html
http://math2.org/math/algebra/conics.htm
http://cs.jsu.edu/~leathrum/Mathlets/conics.html
http://www2.krellinst.org/UCES/archive/resources/coni
cs/newconics.html
http://www.stewartcalculus.com/data/ESSENTIAL
%20CALCULUS%20Early
%20Transcendentals/upfiles/ess-reviewofconics.pdf
القطوع المخروطية Conicss

More Related Content

What's hot

заримдаг гийгүүлэгч
заримдаг гийгүүлэгчзаримдаг гийгүүлэгч
заримдаг гийгүүлэгч
ulzii_od
 
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргахтэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
zulalazu
 
альдегид, кетон
альдегид, кетональдегид, кетон
альдегид, кетон
davaa627
 
trignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэлtrignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэл
Khishighuu Myanganbuu
 
энгийн өгүүлбэр
энгийн өгүүлбэрэнгийн өгүүлбэр
энгийн өгүүлбэр
Ch Moonoo
 

What's hot (20)

Double integral
Double integralDouble integral
Double integral
 
заримдаг гийгүүлэгч
заримдаг гийгүүлэгчзаримдаг гийгүүлэгч
заримдаг гийгүүлэгч
 
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргахтэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
 
8 шим ба шим бус бодисыг загварчлах
8 шим ба шим бус бодисыг загварчлах 8 шим ба шим бус бодисыг загварчлах
8 шим ба шим бус бодисыг загварчлах
 
Geometr11 2
Geometr11 2Geometr11 2
Geometr11 2
 
уусах чанарын үржвэр
уусах чанарын үржвэруусах чанарын үржвэр
уусах чанарын үржвэр
 
цахим
цахимцахим
цахим
 
аадий111
аадий111аадий111
аадий111
 
Toimloh
ToimlohToimloh
Toimloh
 
Επαναληπτικές ασκήσεις κεφ.4 Γ΄λυκ 2015-16
Επαναληπτικές ασκήσεις κεφ.4  Γ΄λυκ 2015-16Επαναληπτικές ασκήσεις κεφ.4  Γ΄λυκ 2015-16
Επαναληπτικές ασκήσεις κεφ.4 Γ΄λυκ 2015-16
 
Δέκα τριγωνομετρικές εξισώσεις και περιορισμοί 2020
Δέκα τριγωνομετρικές εξισώσεις και περιορισμοί 2020Δέκα τριγωνομετρικές εξισώσεις και περιορισμοί 2020
Δέκα τριγωνομετρικές εξισώσεις και περιορισμοί 2020
 
дүрс ашиглах арга зүй с. эрдэнэцэцэг
дүрс ашиглах арга зүй с. эрдэнэцэцэгдүрс ашиглах арга зүй с. эрдэнэцэцэг
дүрс ашиглах арга зүй с. эрдэнэцэцэг
 
Ami229
Ami229Ami229
Ami229
 
альдегид, кетон
альдегид, кетональдегид, кетон
альдегид, кетон
 
trignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэлtrignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэл
 
مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015
مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015
مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015
 
hicheel
hicheel hicheel
hicheel
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
 
Лекц №7
Лекц №7Лекц №7
Лекц №7
 
энгийн өгүүлбэр
энгийн өгүүлбэрэнгийн өгүүлбэр
энгийн өгүүлбэр
 

Viewers also liked

كتيب الهندسة
كتيب الهندسةكتيب الهندسة
كتيب الهندسة
nymath
 
القطع الزائد
القطع الزائدالقطع الزائد
القطع الزائد
nymath
 
القطع الناقص
القطع الناقصالقطع الناقص
القطع الناقص
nymath
 
الانتقال والدوران
الانتقال والدورانالانتقال والدوران
الانتقال والدوران
guestcb9b63
 
Intensifying screens
Intensifying screensIntensifying screens
Intensifying screens
Eddy Rumhadi
 
radiology-x-ray film & screens
 radiology-x-ray film & screens radiology-x-ray film & screens
radiology-x-ray film & screens
Parth Thakkar
 
Image quality, digital technology and radiation protection
Image quality, digital technology and radiation protectionImage quality, digital technology and radiation protection
Image quality, digital technology and radiation protection
Rad Tech
 
X ray tube
X ray tubeX ray tube
X ray tube
Rad Tech
 

Viewers also liked (18)

القطع المكافئ
القطع المكافئالقطع المكافئ
القطع المكافئ
 
الصف التاسع رياضيات لبقطع المكافىء
الصف التاسع رياضيات لبقطع المكافىءالصف التاسع رياضيات لبقطع المكافىء
الصف التاسع رياضيات لبقطع المكافىء
 
X-rays
X-raysX-rays
X-rays
 
كتيب الهندسة
كتيب الهندسةكتيب الهندسة
كتيب الهندسة
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد
ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميدملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد
ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الرابع التكامل2017 الأستاذ علي حميد
 
القطع الزائد
القطع الزائدالقطع الزائد
القطع الزائد
 
القطع الناقص
القطع الناقصالقطع الناقص
القطع الناقص
 
الانتقال والدوران
الانتقال والدورانالانتقال والدوران
الانتقال والدوران
 
Intensifying Screen (x-ray)
Intensifying Screen (x-ray)Intensifying Screen (x-ray)
Intensifying Screen (x-ray)
 
Intensifying screens & films
Intensifying screens & filmsIntensifying screens & films
Intensifying screens & films
 
Medical x ray image sensors
Medical x ray image sensorsMedical x ray image sensors
Medical x ray image sensors
 
Intensifying screens
Intensifying screensIntensifying screens
Intensifying screens
 
x-ray films by Dr Sanjana Ravindra
 x-ray films by Dr Sanjana Ravindra x-ray films by Dr Sanjana Ravindra
x-ray films by Dr Sanjana Ravindra
 
radiology-x-ray film & screens
 radiology-x-ray film & screens radiology-x-ray film & screens
radiology-x-ray film & screens
 
Digital Radiography
Digital RadiographyDigital Radiography
Digital Radiography
 
Image quality, digital technology and radiation protection
Image quality, digital technology and radiation protectionImage quality, digital technology and radiation protection
Image quality, digital technology and radiation protection
 
X ray tube
X ray tubeX ray tube
X ray tube
 
X ray films
X ray filmsX ray films
X ray films
 

Similar to القطوع المخروطية Conicss

Similar to القطوع المخروطية Conicss (20)

2009rat
2009rat2009rat
2009rat
 
2011
20112011
2011
 
2009
20092009
2009
 
2004
20042004
2004
 
2004rat
2004rat2004rat
2004rat
 
2012
20122012
2012
 
2008
20082008
2008
 
دوال دورية
دوال دوريةدوال دورية
دوال دورية
 
التعريف بالدالة التربيعية ورسوماتها
التعريف بالدالة التربيعية ورسوماتهاالتعريف بالدالة التربيعية ورسوماتها
التعريف بالدالة التربيعية ورسوماتها
 
2006rat
2006rat2006rat
2006rat
 
2003
20032003
2003
 
2011rat
2011rat2011rat
2011rat
 
2010rat
2010rat2010rat
2010rat
 
2012rat
2012rat2012rat
2012rat
 
2008 rat
2008 rat2008 rat
2008 rat
 
2007rat
2007rat2007rat
2007rat
 
2006
20062006
2006
 
الامتحان التجريبي دورة ماي 2009 ( الرياضيات)
الامتحان التجريبي دورة ماي 2009  ( الرياضيات)الامتحان التجريبي دورة ماي 2009  ( الرياضيات)
الامتحان التجريبي دورة ماي 2009 ( الرياضيات)
 
مراجعة الفصل الثامن
مراجعة الفصل الثامنمراجعة الفصل الثامن
مراجعة الفصل الثامن
 
2007
20072007
2007
 

القطوع المخروطية Conicss

  • 1.
  • 2. ‫القطع المكافئ‬ ‫مقدمة‬ ‫القطع الزائد‬ ‫القطع الناقص‬ ‫مواقع مفيدة‬ ‫مصطلحات رياضية‬
  • 3.
  • 4. ‫القطوع المخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫إذا قطع مستوى مخروطين‬ ‫قائمين مقلوبين ل نهائيين في‬ ‫أوضاع واتجاهات مختلفة فإننا‬ ‫نحصل على قطوع مختلفة تسمى‬ ‫قطوعا مخروطية .‬ ‫ ً‬
  • 5.
  • 6. ‫القطع المكافئ ‪Parabola‬‬ ‫محور التماثل‬ ‫مجمـــــــوعـة‬ ‫القطـع المكافئ هـو :‬ ‫البؤرة‬ ‫كل النقـــــاط في المستوى‬ ‫المتساويــــة البعدين عن نقطة‬ ‫معطـــاة ومستقيــــم معطى .‬ ‫الرأس‬ ‫الدليل‬ ‫تسمى النقطة بالبؤرة والمستقيم بالدليل‬ ‫يوجد للقطع المكافئ محور تماثل‬
  • 7. ‫‪y‬‬ ‫معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (‬ ‫0> ‪p‬‬ ‫مفتوح للعلى‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫وبؤرته ) 0 , ‪ ( p‬ودليله ‪y = - p‬‬ ‫1‬ ‫= ‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫المعادلة هي :‬ ‫) ‪(0, p‬‬ ‫‪4p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = −p‬‬ ‫والصورة القياسية هي :‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y =−p‬‬ ‫0< ‪p‬‬ ‫‪y = ax‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫حيث أن :‬ ‫) ‪(0, p‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫−= ‪y‬‬ ‫والدليل‬ ‫,0(‬ ‫)‬ ‫البؤرة هي‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫مفتوح للسفل‬ ‫توضيح‬
  • 8. ‫بفرض أن 0 > ‪ p‬وينطبق ذلك عندما تكون 0 < ‪P‬‬ ‫‪:A‬‬ ‫بعد البؤرة عن النقطة‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫2 ) ‪= (x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = x 2 + ( y − p‬‬ ‫‪y‬‬ ‫بعد النقطة ‪A‬عن الدليل ‪y = - p‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫| ‪=| y − − p |=| y + p‬‬ ‫) ‪(0, p‬‬ ‫2 ) ‪| y + p |= x 2 + ( y − p‬‬ ‫‪y = −p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫2 ) 2 ) ‪| y + p |2 = ( x 2 + ( y − p‬‬ ‫2 ‪y 2 + 2 py + p 2 = x 2 + y 2 − 2 py + p‬‬ ‫2 ‪−− − −−4 py = x‬‬ ‫2 1‬ ‫= ‪ −− − − −y‬مثال ) 1 (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4p‬‬
  • 9. ‫أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )2− ,0( ودليله 2 = ‪y‬‬ ‫مثال ) 1 (‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1−‬ ‫,0( = )2− ,0(‬ ‫= 2 −−⇒ )‬ ‫= ‪⇒a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫8‬ ‫2 1−‬ ‫‪y = ax ⇒ y = x‬‬ ‫2‬ ‫8‬ ‫مثال ) 2 (‬
  • 10. ‫أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ 2 ‪y = 2x‬‬ ‫مثال ) 2(‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫الحل‬ ‫2=‪a‬‬ ‫حيث‬ ‫‪y = ax‬‬ ‫2‬ ‫على الصورة‬ ‫‪y = 2x‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫8 )2(4 ‪4a‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫البؤرة هي :‬ ‫,0(‬ ‫) ,0( = )‬ ‫‪4a‬‬ ‫8‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫والدليل هو المستقيم :‬ ‫مثال ) 3(‬ ‫−= ‪y‬‬ ‫− = ‪⇒ −y‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫8‬
  • 11. ‫أوجد في الصورة القياسية معادلة القطع المكافئ حيث دليله‬ ‫مثال ) 3(‬ ‫هو المستقيم 4− = ‪ y‬وبؤرته )4 ,0(‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫الحل‬ ‫وهو مستقيم أفقي والبؤرة تقع إلى العلى‬ ‫الدليل هو 4− = ‪y‬‬ ‫القطع له خط تماثل رأسي ومفتوح إلى العلى‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫− = ‪−y‬‬ ‫= ‪= −4 ⇒ −a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫61‬ ‫2 1‬ ‫‪y = ax − ⇒ − y = x‬‬ ‫2‬ ‫61‬
  • 12. ‫‪y‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (‬ ‫‪x = −p‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫وبؤرته ) 0 , ‪ ( p‬ودليله ‪x = - p‬‬ ‫0> ‪p‬‬ ‫)0 , ‪( p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫1‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫2‬ ‫المعادلة هي :‬ ‫مفتوح نحو اليمين‬ ‫‪4p‬‬ ‫والصورة القياسية هي :‬ ‫‪y‬‬ ‫مفتوح نحو اليسار‬ ‫‪x = −p‬‬ ‫‪x = ay‬‬ ‫2‬ ‫حيث أن :‬ ‫)0 , ‪( p‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫−= ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫والدليل‬ ‫(‬ ‫)0 ,‬ ‫البؤرة هي‬ ‫0< ‪p‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫توضيح‬
  • 13. ‫بفرض أن 0 > ‪ p‬وينطبق ذلك عندما تكون 0 < ‪P‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫‪:A‬‬ ‫بعد البؤرة عن النقطة‬ ‫‪x = −p‬‬ ‫0> ‪p‬‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫2 ‪= (x − p ) 2 + ( y − 0) 2 = (x − p )2 + y‬‬ ‫)0 , ‪( p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بعد النقطة ‪A‬عن الدليل ‪y = - p‬‬ ‫مفتوح نحو اليمين‬ ‫| ‪=| x − − p |=| x + p‬‬ ‫=| ‪| x + p‬‬ ‫2 ) ‪y 2 + (x − p‬‬ ‫2 ) 2 ) ‪| x + p |2 = ( y 2 + (x − p‬‬ ‫2 ‪x 2 + 2 px + p 2 = y 2 + x 2 − 2 px + p‬‬ ‫2 ‪−− −−−4 px = y‬‬ ‫1‬ ‫= ‪ −− − − −x‬مثال ) 1 (‬ ‫2‪y‬‬ ‫‪4p‬‬
  • 14. ‫1‬ ‫1‬ ‫مثال ) 1 (‬ ‫−= ‪x‬‬ ‫أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )0 , ( ودليله‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫(‬ ‫− ⇒ )0 , ( = )0 ,‬ ‫1 = ‪= ⇒a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫4‬ ‫4 ‪4a‬‬ ‫‪x = ay‬‬ ‫2‬ ‫‪x = 1y‬‬ ‫2‬ ‫مثال ) 2 (‬ ‫‪x =y‬‬ ‫2‬
  • 15. ‫مثال ) 2(‬ ‫‪x = 3y‬‬ ‫2‬ ‫أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ‬ ‫) ‪A (x , y‬‬ ‫الحل‬ ‫3= ‪a‬‬ ‫حيث‬ ‫‪x = ay‬‬ ‫2‬ ‫على الصورة‬ ‫‪x = 2y‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫21 )3(4 ‪4a‬‬ ‫البؤرة هي :‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫)0 , ( = )0 , (‬ ‫‪4a‬‬ ‫21‬ ‫والدليل هو المستقيم :‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫− = ‪x = − ⇒ −x‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫21‬
  • 16. ‫إزاحة القطوع المكافئة ‪Translations of Parabolas‬‬ ‫‪y‬‬ ‫عندما يجرى إزاحة قطع مكافئ‬ ‫) ‪(h + p , k‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫أو ‪y = ax‬‬ ‫2‬ ‫معادلته ‪x = ay‬‬ ‫2‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫ ً‬ ‫وحدة ورأسيا‬ ‫ ً‬ ‫أفقيا‬ ‫‪k‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)0 ,0(‬ ‫) ‪(h + p , k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫فإن رأس القطـــع المكــافئ يتحرك‬ ‫إلى‬ ‫من‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫)0 ,0(‬
  • 17. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) ‪(h , k‬‬ ‫الصورة القياسية لمعادلة‬ ‫البؤرة ومعادلة الدليل‬ ‫القطع المكافئ‬ ‫1‬ ‫+ ‪(h , k‬‬ ‫)‬ ‫‪4a‬‬ ‫2 ) ‪y − k = a (x − h‬‬ ‫1‬ ‫− ‪y =k‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫1‬ ‫+ ‪(h‬‬ ‫) ‪,k‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫1‬ ‫2) ‪x − h = a ( y − k‬‬ ‫− ‪x =h‬‬ ‫‪4a‬‬
  • 18. ‫أوجد الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه )4 ,3( وبؤرته )4 ,5(‬ ‫مثال ) 1(‬ ‫بما أن الرأس والبؤرة يقعان على خط أفقي ، والبؤرة إلى يمين الرأس‬ ‫الحل‬ ‫يكون القطع المكافئ مفتوحا إلى اليمين وصورة معادلته 2 ) ‪x − h = a ( y − k‬‬ ‫الرأس هو ) ‪( h , k‬‬ ‫4 = ‪( h , k ) = (3, 4) ⇒ h = 3, k‬‬ ‫1‬ ‫+ ‪(h‬‬ ‫البؤرة هي ) ‪, k‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪4a‬‬ ‫+ ‪(h‬‬ ‫+ ⇒ )4 ,5(= ) ‪, k‬‬ ‫3‬ ‫5=‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫1‬ ‫=‪a‬‬ ‫8‬ ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ هي :‬ ‫1‬ ‫2 )4 − ‪x − 3 = ( y‬‬ ‫8‬
  • 19. ‫الصورة العامة لمعادلة القطع المكافئ‬ ‫الصورة العامة للقطع المكافئ تأخذ إحدى الصورتين :‬ ‫‪y‬‬ ‫* قطع مكافئ رأسي‬ ‫0 ≠ ‪y = ax +bx + c − , − a‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫* قطع مكافئ أفقي‬ ‫0 ≠ ‪x = ay + by + c − , −a‬‬ ‫2‬ ‫‪x‬‬
  • 20. ‫هي لقطع مكافئ ؟‬ ‫0 = 6 − ‪x 2 − 4x + 2 y‬‬ ‫هل المعادلة‬ ‫مثال ) 1(‬ ‫إذا كانت كذلك ، فأوجد الرأس والبؤرة والدليل .‬ ‫بما أن المعادلة تربيعية في المتغير ‪x‬‬ ‫الحل‬ ‫نكمل المربع بالنسبة إلى ‪ x‬لنحصل على الصورة القياسية‬ ‫6 + ‪x 2 − 4x + 2 y − 6 = 0 ⇒ x 2 − 4x = −2 y‬‬ ‫2 4−‬ ‫2 4−‬ ‫‪x‬‬ ‫2‬ ‫( + ‪− 4x‬‬ ‫( + 6 + ‪) = −2 y‬‬ ‫01+ ‪) ⇒( x − 2) 2 = −2 y‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫−‬‫1‬ ‫وهذه المعادلة على الصورة ) ‪( y − k ) = a ( x − h‬‬ ‫2‬ ‫= )5− ‪( y‬‬ ‫2 )2− ‪(x‬‬ ‫2‬ ‫1−‬ ‫= ‪h = 2−, −k = 5, −a‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫9‬ ‫+ ‪(h , k‬‬ ‫+ 5 ,2(= )‬ ‫−‬ ‫1‬ ‫) ,2(= )‬ ‫والبؤرة هي :‬ ‫الرأس هو : )5,2(‬ ‫‪4a‬‬ ‫(4‬ ‫)‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫11‬ ‫− ‪y =k‬‬ ‫− 5=‬ ‫= ‪⇒y‬‬ ‫والدليل هو :‬ ‫‪4a‬‬ ‫−‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫(4‬ ‫)‬ ‫2‬
  • 21. ‫تدريبات‬ ‫تدريب ) 1(‬ ‫عين الرأس ، والبؤرة ، ومعادلة محور التماثل ومعادلة الدليل للقطع المكافئ‬ ‫نّ‬ ‫)2 − ‪( y + 1) 2 = 4(x‬‬ ‫تدريب ) 2(‬ ‫1= ‪y‬‬ ‫اكتب معادلة القطع المكافئ الذي رأسه النقطة )4− ,2( ومعادلة دليله هي‬ ‫عند النقطة )4 ,1(‬ ‫‪y 2 = 16x‬‬ ‫تدريب ) 3(‬ ‫أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع المكافئ‬
  • 22.
  • 23. ‫القطع الناقص ‪Ellipse‬‬ ‫القطع الناقص هو :‬ ‫مجموعــــة كل النقـــــاط في‬ ‫2‪F‬‬ ‫المركز‬ ‫1‪F‬‬ ‫المستوى الذي مجموع بعدي‬ ‫1‪F‬‬ ‫2‪F‬‬ ‫2‪d‬‬ ‫1‪d‬‬ ‫كل منهــــــا عن نقطتين‬ ‫ثابتتين يساوي مقدارا ثابتا .‬ ‫ ً‬ ‫ ً‬ ‫تسمى النقطتان الثابتتان بؤرتين 1‪ ، F2 ، F‬وتسمى نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة‬ ‫بينهما مركز القطع الناقص . والبعدان اللذان مجموعهما ثابت هما 1 ‪d 2 ، d‬‬
  • 24. ‫محاور القطع الناقص‬ ‫‪y‬‬ ‫المحور الكبر :‬ ‫المحور الصغر‬ ‫المحور الكبر‬ ‫هو القطعة المستقيمة المارة‬ ‫بالبـؤرتيـــن وطرفـاهـــا على‬ ‫القطع ويسمى طرفاهـــا رأسي‬ ‫2‪V‬‬ ‫2‪F‬‬ ‫1‪F‬‬ ‫1‪V‬‬ ‫القطع الناقص .‬ ‫‪x‬‬ ‫1‪F‬‬ ‫2‪F‬‬ ‫المحور الصغر :‬ ‫هو القطعة المستقيمة المارة‬ ‫بالمركز والعمودية على‬ ‫المحور الكبر ، ويقع طرفاها‬ ‫على القطع .‬ ‫المحوران الكبر والصغر هما محورا تماثل القطع الناقص‬
  • 25. ‫أطوال محاور القطع الناقص‬ ‫‪y‬‬ ‫طول المحور الكبر ‪2a‬‬ ‫1‪d‬‬ ‫2‪d‬‬ ‫طول المحور الصغر ‪2b‬‬ ‫‪2b‬‬ ‫2‪V‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫1‪V‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪x‬‬ ‫البعد بين البؤرتين ‪2c‬‬ ‫1‪F‬‬ ‫‪2c‬‬ ‫2‪F‬‬ ‫2 ‪a2 = b 2 + c‬‬ ‫‪d 1 + d 2 = 2a‬‬
  • 26. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪(0, b‬‬ ‫القطع الناقص الفقي‬ ‫)0 , ‪( −a‬‬ ‫2‪F‬‬ ‫1‪F‬‬ ‫)0 , ‪(a‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫1= 2 +‬ ‫‪x‬‬ ‫)0 , ‪F1 (−c‬‬ ‫)0 ,0(‬ ‫)0, ‪F2 (c‬‬ ‫المعادلة هي‬ ‫2‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪(0, −b‬‬ ‫‪a >b‬‬ ‫حيث :‬ ‫)0 ,− ( ,)0 , ‪(c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫البؤرتــــــــــــــان هما‬ ‫)0 ,− ( ,)0 , ‪(a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫طرفا المحور الكبر هما‬ ‫طرفا المحور الصغر هما ) − ,0( ,) ‪(0, b‬‬ ‫‪b‬‬
  • 27. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(‬ ‫‪y‬‬ ‫)0 , ‪(a‬‬ ‫القطع الناقص الرأسي‬ ‫) ‪F1(0, c‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‬ ‫1= 2 +‬ ‫المعادلة هي‬ ‫)0 , ‪(−b‬‬ ‫)0 , ‪(b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)0 ,0(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a >b‬‬ ‫حيث :‬ ‫)− ,0( ,) ‪(0, c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫البؤرتــــــــــــــان هما‬ ‫) ‪F2 (0, −c‬‬ ‫) ‪(0, −a‬‬ ‫)− ,0( ,) ‪(0, a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫طرفا المحور البكبر هما‬ ‫طرفا المحور الغصغر هما )0 ,− ( ,)0 , ‪(b‬‬ ‫‪b‬‬
  • 28. ‫مثال‬ ‫أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه )3− ,0( ، )3,0( وطول المحور‬ ‫الغصغر 4 ، ثم ارسم المنحنى الذي يمثله .‬ ‫‪y‬‬ ‫البؤرتان تقعان على محور الصادات‬ ‫الحل‬ ‫)3,0(‬ ‫3= ‪c‬‬ ‫طول المحور الغصغر يساوي ‪2b‬‬ ‫2 = ‪2b = 4 ⇒ b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫2 ‪a 2 = b 2 +c‬‬ ‫31 = 23 + 2 2 = 2 ‪a‬‬ ‫)3− ,0(‬ ‫معادلة القطع الناقص هي :‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫2‪x2 y‬‬ ‫2‬ ‫⇒ 1= 2 +‬ ‫+‬ ‫1=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫4‬ ‫31‬
  • 29. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪(h , k + b‬‬ ‫القطع الناقص الفقي‬ ‫) ‪(h − a, k‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫) ‪(h + a , k‬‬ ‫2 ) ‪(x − h ) 2 ( y − k‬‬ ‫المعادلة هي‬ ‫2‬ ‫+‬ ‫2‬ ‫1=‬ ‫) ‪(h , k − b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a >b‬‬ ‫حيث :‬ ‫البؤرتــــــــــــــان هما ) ‪( h + , k ), ( h − , k‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫طرفا المحور البكبر هما ) ‪(h + a , k ), (h −a , k‬‬ ‫‪c = a −b‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫طرفا المحور الغصغر هما ) ‪( h , k +b ), (h , k −b‬‬
  • 30. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬ ‫) ‪(h , k + a‬‬ ‫القطع الناقص الرأسي‬ ‫2 ) ‪(x − h ) 2 ( y − k‬‬ ‫) ‪(h − b , k‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫) ‪(h + b , k‬‬ ‫2‬ ‫+‬ ‫2‬ ‫1=‬ ‫المعادلة هي‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a >b‬‬ ‫حيث :‬ ‫) ‪(h , k − a‬‬ ‫البؤرتــــــــــــــان هما ) ‪( h , k +c ), ( h , k −c‬‬ ‫طرفا المحور البكبر هما ) ‪( h , k +a ), ( h , k −a‬‬ ‫2 ‪c 2 = a 2 −b‬‬ ‫طرفا المحور الغصغر هما ) ‪( h +b , k ), ( h −b , k‬‬
  • 31. ‫مثال ) 1( أوجد الصورة القياسية لمعادلة قطع ناقص طرفي محوره الكبر )1− ,2−( ، )1− ,8(‬ ‫‪Y‬‬ ‫.‬ ‫وطول محوره الغصغر 8‬ ‫الحل‬ ‫‪X‬‬ ‫الشكل المجاور يمثل طرفي المحور الكبر والمحور الغصغر‬ ‫)1− ,3(‬ ‫)1− −(‬ ‫,2‬ ‫− ,8(‬‫)1‬ ‫2) ‪(x − h )2 ( y − k‬‬ ‫2‬ ‫+‬ ‫2‬ ‫غصورة معادلة القطع الناقص هي 1 =‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫نقطة منتصف المحور الكبر تمثل مركز القطع الناقص‬ ‫1− + 1− 8 + 2−‬ ‫( = ) ‪(h , k‬‬ ‫,‬ ‫)1− ,3( = )‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫طول المحور الكبر يساوي ‪2a‬‬ ‫5 = ‪2a = 8 − (−2) = 10 ⇒ a‬‬ ‫طول المحور الغصغر يساوي ‪2b‬‬ ‫4 = ‪2b = 8 ⇒ b‬‬ ‫2 )1− − ‪(x − 3) 2 ( y‬‬ ‫2 )1 + ‪( x − 3) 2 ( y‬‬ ‫معادلة القطع الناقص هي :‬ ‫2‬ ‫+‬ ‫2‬ ‫⇒1 =‬ ‫+‬ ‫1=‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫52‬ ‫61‬
  • 32. ‫2 )1 + ‪(x − 4) 2 ( y‬‬ ‫+‬ ‫1=‬ ‫مثال ) 2( ارسم شكل تقريبيا للقطع الناقص‬ ‫52‬ ‫961‬ ‫من معادلة القطع الناقص نلظحظ أن مركز القطع هو : − ,4(= ) ‪( h , k‬‬ ‫)1‬ ‫الحل‬ ‫ومن المعادلة أيضا نلظحظ أن 961< 52 أي أن المحور الكبر يكون رأسيا‬ ‫ً‬ ‫‪y‬‬ ‫)21,4(‬ ‫31= ⇒ 961= 2 ‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)11,4(‬ ‫وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الكبر تبعدان 31 وظحدة‬ ‫أسفل وأعلى المركز أي عند النقطتين )41− ,4( و )21,4(‬ ‫5= ⇒ 52 = 2 ‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)1 − ,1 −(‬ ‫)1 − ,9(‬ ‫)1 − ,4(‬ ‫وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الغصغر تبعدان 5 وظحدات‬ ‫إلى يسار ويمين المركز أي عند النقطتين )1− ,1−( و − ,9(‬ ‫)1‬ ‫)31 − ,4(‬ ‫21 = 52 − 961 = ‪c 2 = a 2 − b 2 ⇒ c‬‬ ‫)41 − ,4(‬ ‫وهذا يعني أن البؤرتان تبعدان 21 وظحدة أسفل‬ ‫وأعلى المركز أي عند النقطتين )31− ,4( و )11,4(‬
  • 33. ‫تدريبات‬ ‫أثبت أن المعادلة 0 = 4 − ‪x 2 + 2 y 2 − 4x + 8 y‬‬ ‫تدريب )1(‬ ‫تمثل قطعا ناقصا .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫تدريب ) 2(‬ ‫جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه )2 ,2( وإظحدى بؤرتيه النقطة )2 ,1−(‬ ‫وطول محوره الكبر 01 2 وظحدة .‬ ‫أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع الناقص 8 = 2 ‪ x 2 + y‬عند النقطة )1,2−(‬ ‫تدريب ) 3(‬
  • 34.
  • 35. ‫القطع الزائد ‪Hyperbola‬‬ ‫مجموعــــة بكل‬ ‫القطع الزائد هو :‬ ‫النقـــاط في المســــتوى والتــي الفرق‬ ‫المطلق لبعديــن ثابتيـن هو مقدار ثابت‬ ‫ويساوي ‪ 1 −d 2 2a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫2‪F‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫1‪F‬‬ ‫2‪d‬‬ ‫1‪d‬‬ ‫تسمى النقطتان الثابتتان 1‪ F2 ، F‬بؤرتي القطع الزائد‬
  • 36. ‫محاور القطع الزائد وخطوطه التقاربية‬ ‫‪y‬‬ ‫يسمى الخطان 1‪L 2 ، L‬‬ ‫المحور المرافق ‪2b‬‬ ‫2‪L‬‬ ‫1‪L‬‬ ‫خطان تقاربيين مائلين‬ ‫) ‪(0, b‬‬ ‫المحور القاطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بؤرة‬ ‫القطعة الواغصلة بين الرأسين‬ ‫)0,‪(− a‬‬ ‫)0 ,‪(a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المحور المرافق‬ ‫)0, ‪F2 (−c‬‬ ‫)0 , ‪F1 (c‬‬ ‫هــو القطعة الواغصلة بيـن منتصفي‬ ‫ضلعي المستطيـــــــل الموازييــــن‬ ‫) ‪(0, −b‬‬ ‫للمحور القاطع‬ ‫المحور القاطع ‪2a‬‬ ‫‪c = a +b‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬
  • 37. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(‬ ‫القطع الزائد الفقي‬ ‫‪y‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y =− x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y = x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫2‬ ‫1= 2 −‬ ‫المعادلة هي‬ ‫)0 ,0(‬ ‫) ‪(x , y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)0 , −(‬ ‫‪c‬‬ ‫)0 , ‪(−a‬‬ ‫)0 , ‪(a , 0) (c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬ ‫حيث :‬ ‫البؤرتـــــــــــان هما )0 , − ( ,)0 , ‪(c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , ‪(a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫الخطان التقاربيان هما : ‪y =± x‬‬ ‫‪a‬‬
  • 38. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(‬ ‫) ‪(x , y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫القطع الزائد الرأسي‬ ‫‪a‬‬ ‫)0 , ‪(c‬‬ ‫‪y =− x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y = x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2‬ ‫1= 2 −‬ ‫المعادلة هي‬ ‫)0 , ‪(a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬ ‫حيث :‬ ‫‪x‬‬ ‫البؤرتـــــــــــان هما ) − ,0( ,) ‪(0, c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)0 , ‪(−a‬‬ ‫طرفا المحور القاطع ) − ,0( ,) ‪(0, a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)0 , −(‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y =± x‬‬ ‫الخطان التقاربيان هما :‬ ‫‪b‬‬
  • 39. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫القطع الزائد الفقي‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪y − k = − (x − h‬‬ ‫‪a‬‬ ‫2) ‪(x − h )2 ( y − k‬‬ ‫2‬ ‫−‬ ‫2‬ ‫1=‬ ‫المعادلة هي‬ ‫) ‪(h − a, k‬‬ ‫) ‪(h + a, k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫2 ‪c 2 = a2 +b‬‬ ‫حيث :‬ ‫) ‪(h − c , k‬‬ ‫) ‪(h + c , k‬‬ ‫البؤرتــان هما ) ‪( h +c , k ), ( h −c , k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪y − k = (x − h‬‬ ‫طرفا المحور القاطع ) ‪( h +a , k ), ( h −a , k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪y − k = ± (x − h‬‬ ‫الخطان التقاربيان هما :‬ ‫‪a‬‬
  • 40. ‫الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) ‪(h , k‬‬ ‫) ‪(x , y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫القطع الزائد الرأسي‬ ‫) ‪(h , k + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪y − k = (x − h‬‬ ‫2) ‪( y − k ) 2 (x − h‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2‬ ‫−‬ ‫2‬ ‫1=‬ ‫المعادلة هي‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫) ‪(h , k + a‬‬ ‫حيث :‬ ‫2 ‪c 2 = a2 + b‬‬ ‫) ‪(h , k‬‬ ‫البؤرتــان هما ) ‪( h , k +c ), ( h , k −c‬‬ ‫) ‪(h , k − a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫طرفا المحور القاطع ) ‪( h , k +a ), ( h , k −a‬‬ ‫) ‪(h , k − c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪y − k = − (x − h‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪y − k = ± (x − h‬‬ ‫الخطان التقاربيان هما :‬ ‫‪b‬‬
  • 41. ‫2‬ ‫2‬ ‫مثال ) 1(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫−‬ ‫عين بؤرتي وطرفي المحور القاطع وطولي المحورين للقطع الزائد 1 =‬ ‫نّ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫الحل‬ ‫1= 2 −‬ ‫معادلة القطع على الصورة‬ ‫2‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 = ‪a 2 = 4 ⇒a‬‬ ‫إذن‬ ‫1= ‪b 2 =1 ⇒b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫نجد قيمة‬ ‫5 = ‪c = a +b ⇒c = a +b = 4 +1 ⇒c‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫(‬ ‫)0 ,5 − ( ,)0 ,5‬ ‫البؤرتــــان هما )0 , − ( ,)0 , ‪⇐ c‬‬ ‫(‬ ‫‪c‬‬ ‫)0 − ( ,)0 ,2(‬ ‫,2‬ ‫طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , ‪⇐(a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= × = ‪2a‬‬ ‫2 2‬ ‫4‬ ‫⇐‬‫طول المحور القاطع يساوي ‪2a‬‬ ‫= × = ‪2a‬‬ ‫2 2‬ ‫4‬ ‫⇐‬‫طول المحور القاطع يساوي ‪2a‬‬
  • 42. ‫مثال ) 2(‬ ‫جد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره المرافق 4 ، وبؤرتاه‬ ‫هما النقطتان )8 ± ,0(‬ ‫بما أن البؤرتين هما )8 ± ,0(‬ ‫الحل‬ ‫إذن البؤرتان تقعان على محور الصادات حيث 8 = ‪c‬‬ ‫2 ‪y‬‬ ‫2 ‪x‬‬ ‫2‬ ‫ومنه تكون معادلة القطع الزائد على الصورة = 2 −‬ ‫1‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫حيث 8 = 2 ‪a 2 +b 2 =c‬‬ ‫2 = ‪2b = 4 ⇒b‬‬ ‫طول المحور المرافق هو ‪ 2b‬حيث‬ ‫طول المحور القاطع هو ‪ 2a‬حيث 2 = 4− 8 = 2 ‪a = c 2 −b‬‬ ‫2 ‪y‬‬ ‫2 ‪x‬‬ ‫−‬ ‫إذن معادلة القطع الزائد هي : =‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫4‬
  • 43. ‫قطع زائد بؤرتاه )0 ,5− ( ,)0 ,5( ورأساه )0 ,3− ( ,)0 ,3(‬ ‫مثال ) 3(‬ ‫1 ( أوجد معادلة القطع الزائد بالصورة القياسية‬ ‫2 ( معادلة كل من الخطين التقاربيين‬ ‫3 ( ارسم المنحنى البياني للقطع الزائد‬ ‫الحل‬ ‫1 ( بما أن البؤرتين وطرفي المحور القاطع ) الرأسين ( تقع على محور السينات‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫2‬ ‫1= 2 −‬ ‫معادلة القطع على الصورة‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5= ⇒ )0 ,5(= )0 , ‪(c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫3= ⇒ )0 ,3(= )0 , ‪(a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫4 = ‪c 2 = a 2 +b 2 ⇒b = c 2 − a 2 = 25 − 9 ⇒b‬‬ ‫2‪x‬‬ ‫2‪y‬‬ ‫−‬ ‫1=‬ ‫معادلة القطع هي :‬ ‫9‬ ‫61‬
  • 44. ‫تابع مثال ) 3(‬ ‫4‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y =± x‬‬ ‫±= ‪y‬‬ ‫2( الخطان التقاربيان هما ‪x‬‬ ‫3‬ ‫‪a‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)4 ,3−(‬ ‫5‬ ‫)4 ,3(‬ ‫3( رسم القطع الزائد‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫- نرسم المستطيل الذي رؤوسه :‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫± ± (= ) ± , ± (‬ ‫‪a b‬‬ ‫)4 ,3‬ ‫-3 -4 -5 -6‬ ‫-1 -2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫‪x‬‬ ‫- نرسم الخطين التقاربيين المائلين :‬ ‫-1‬ ‫-2‬ ‫4‬ ‫±= ‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫-3‬ ‫3‬ ‫-4‬ ‫)4− ,3− (‬ ‫)4− ,3(‬ ‫-5‬ ‫- نرسم الرسم البياني للقطع الزائد‬
  • 45. ‫تدريبات‬ ‫2 )2 − ‪( y −1) 2 (x‬‬ ‫−‬ ‫1=‬ ‫تدريب ) 1(‬ ‫، أوجد ما يلي :‬ ‫9‬ ‫61‬ ‫قطع زائد معادلته‬ ‫1 ( المركز والرأسين والبؤرتين‬ ‫2 ( معادلة كل من المحور القاطع والمحور المرافق وطول كل منهما‬ ‫3 ( الخطيين التقاربيين‬ ‫تدريب ) 2(‬ ‫هي لقطع زائد ؟‬ ‫هل المعادلة 0 = 4 − ‪y 2 − 4x 2 − 4 y − 8x‬‬ ‫إذا أجبت بنعم ، فما هي الصورة القياسية لمعادلة القطع ؟‬ ‫جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه )4− ,2( وإحدى بؤرتيه النقطة )4− ,7(‬ ‫تدريب ) 3(‬ ‫وطول محوره القاطع 8 وحدات .‬
  • 46. ‫الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية‬ ‫0 = ‪Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫المعادلة وشروطها‬ ‫القطع المخروطي‬ ‫0 = ‪ A‬أو 0 = ‪ C‬وليس كليهما‬ ‫ً‬ ‫يكون القطع المكافئ رأسيا‬ ‫يكون القطع المكافئ أفقيا‬ ‫القطع المكافئ‬ ‫إذا كان 0 = ‪C‬‬ ‫إذا كان 0 = ‪A‬‬ ‫0 = ‪A = C − −, − − B‬‬ ‫الدائرة‬ ‫)0 ‪(AC‬‬ ‫إذا كان ‪ A‬و ‪ C‬لهما نفس الاشارة‬ ‫القطع الناقص‬ ‫إذا كان ‪ A‬و ‪ C‬مختلفين بالاشارة )0 ‪(AC‬‬ ‫القطع الزائد‬
  • 47. ‫مثال‬ ‫عين نوع القطع المخروطي الذي معادلته 0 = 731− ‪7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y‬‬ ‫نّ‬ ‫الحل‬ ‫الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية هي‬ ‫0 = ‪Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F‬‬ ‫بمقارنة معادلة القطع المخروطي مع الصورة العامة ، نجد أن :‬ ‫9 = −− = ‪A‬‬ ‫‪7 , C‬‬ ‫−‬ ‫ 36 = × ‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫−‬ ‫0‬ ‫هي معادلة لقطع زائد‬ ‫إذن المعادلة 0 = 731− ‪7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y‬‬
  • 48. ‫‪Conics‬‬ ‫القطوع المخروطية‬ ‫‪Focus‬‬ ‫بؤرة‬ ‫‪Directrix‬‬ ‫دليل‬ ‫‪Parabola‬‬ ‫القطع المكافئ‬ ‫‪Parabloid‬‬ ‫سطح مكافئ‬ ‫‪Ellipse‬‬ ‫القطع الناقص‬ ‫‪Hyperbola‬‬ ‫القطع الزائد‬ ‫‪Center‬‬ ‫مركز‬ ‫‪Vertex‬‬ ‫رأس‬ ‫‪Transverse axis‬‬ ‫المحور القاطع‬ ‫‪Conjugate axis‬‬ ‫المحور المرافق‬ ‫‪Asymptotes‬‬ ‫خطوط تقاربية‬