More Related Content Similar to القطوع المخروطية Conicss Similar to القطوع المخروطية Conicss (20) 2. القطع المكافئ مقدمة
القطع الزائد القطع الناقص
مواقع مفيدة مصطلحات رياضية
4. القطوع المخروطية Conic Sections
إذا قطع مستوى مخروطين
قائمين مقلوبين ل نهائيين في
أوضاع واتجاهات مختلفة فإننا
نحصل على قطوع مختلفة تسمى
قطوعا مخروطية .
ً
6. القطع المكافئ Parabola
محور التماثل مجمـــــــوعـة القطـع المكافئ هـو :
البؤرة كل النقـــــاط في المستوى
المتساويــــة البعدين عن نقطة
معطـــاة ومستقيــــم معطى .
الرأس
الدليل
تسمى النقطة بالبؤرة والمستقيم بالدليل
يوجد للقطع المكافئ محور تماثل
7. y
معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (
0> p
مفتوح للعلى
) A (x , y
) A (x , y وبؤرته ) 0 , ( pودليله y = - p
1
= y x 2
المعادلة هي :
) (0, p
4p
x
y = −p
والصورة القياسية هي :
y
y =−p
0< p
y = ax 2
x
حيث أن :
) (0, p
1 1
−= y والدليل ,0( ) البؤرة هي
) A (x , y 4a 4a
مفتوح للسفل
توضيح
8. بفرض أن 0 > pوينطبق ذلك عندما تكون 0 < P
:A بعد البؤرة عن النقطة
) A (x , y 2 ) = (x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = x 2 + ( y − p
y
بعد النقطة Aعن الدليل y = - p
) A (x , y | =| y − − p |=| y + p
) (0, p
2 ) | y + p |= x 2 + ( y − p
y = −p
x 2 ) 2 ) | y + p |2 = ( x 2 + ( y − p
2 y 2 + 2 py + p 2 = x 2 + y 2 − 2 py + p
2 −− − −−4 py = x
2 1
= −− − − −yمثال ) 1 ( x
4p
9. أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )2− ,0( ودليله 2 = y مثال ) 1 (
) A (x , y
الحل
1 1 1−
,0( = )2− ,0( = 2 −−⇒ ) = ⇒a
4a 4a 8
2 1−
y = ax ⇒ y = x
2
8
مثال ) 2 (
10. أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ 2 y = 2x مثال ) 2(
) A (x , y
الحل
2=a حيث y = ax 2
على الصورة y = 2x 2
1 1 1
= =
8 )2(4 4a
1 1 البؤرة هي :
,0( ) ,0( = )
4a 8
1 1 والدليل هو المستقيم :
مثال ) 3( −= y − = ⇒ −y
4a 8
11. أوجد في الصورة القياسية معادلة القطع المكافئ حيث دليله
مثال ) 3(
هو المستقيم 4− = yوبؤرته )4 ,0(
) A (x , y
الحل
وهو مستقيم أفقي والبؤرة تقع إلى العلى الدليل هو 4− = y
القطع له خط تماثل رأسي ومفتوح إلى العلى
1 1
− = −y = = −4 ⇒ −a
4a 61
2 1
y = ax − ⇒ − y = x
2
61
12. y
) A (x , y معادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) 0 , 0 (
x = −p
) A (x , y
وبؤرته ) 0 , ( pودليله x = - p
0> p
)0 , ( p x
1
= x y 2
المعادلة هي :
مفتوح نحو اليمين 4p
والصورة القياسية هي :
y
مفتوح نحو اليسار x = −p
x = ay 2
حيث أن :
)0 , ( p
1 1
−= x
x
والدليل ( )0 , البؤرة هي
0< p 4a 4a
) A (x , y
توضيح
13. بفرض أن 0 > pوينطبق ذلك عندما تكون 0 < P
y
) A (x , y
:A بعد البؤرة عن النقطة
x = −p
0> p
) A (x , y 2 = (x − p ) 2 + ( y − 0) 2 = (x − p )2 + y
)0 , ( p x
بعد النقطة Aعن الدليل y = - p
مفتوح نحو اليمين
| =| x − − p |=| x + p
=| | x + p 2 ) y 2 + (x − p
2 ) 2 ) | x + p |2 = ( y 2 + (x − p
2 x 2 + 2 px + p 2 = y 2 + x 2 − 2 px + p
2 −− −−−4 px = y
1
= −− − − −xمثال ) 1 ( 2y
4p
14. 1 1 مثال ) 1 (
−= x أوجد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته )0 , ( ودليله
4 4
الحل
1 1 1 1
( − ⇒ )0 , ( = )0 , 1 = = ⇒a
4a 4 4 4a
x = ay 2
x = 1y 2
مثال ) 2 (
x =y 2
15. مثال ) 2(
x = 3y 2
أوجد البؤرة والدليل للقطع المكافئ
) A (x , y الحل
3= a حيث x = ay 2
على الصورة x = 2y 2
1 1 1
= =
21 )3(4 4a
البؤرة هي :
1 1
)0 , ( = )0 , (
4a 21
والدليل هو المستقيم :
1 1
− = x = − ⇒ −x
4a 21
16. إزاحة القطوع المكافئة Translations of Parabolas
y
عندما يجرى إزاحة قطع مكافئ
) (h + p , k
) (h , k
أو y = ax
2
معادلته x = ay
2
k
) (h , k ً
وحدة ورأسيا ً
أفقيا
k h
)0 ,0( ) (h + p , k x
h فإن رأس القطـــع المكــافئ يتحرك
إلى من
) (h , k )0 ,0(
17. الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه ) (h , k
الصورة القياسية لمعادلة
البؤرة ومعادلة الدليل
القطع المكافئ
1
+ (h , k )
4a
2 ) y − k = a (x − h
1
− y =k
4a
1
+ (h ) ,k
4a
1 2) x − h = a ( y − k
− x =h
4a
18. أوجد الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ الذي رأسه )4 ,3( وبؤرته )4 ,5( مثال ) 1(
بما أن الرأس والبؤرة يقعان على خط أفقي ، والبؤرة إلى يمين الرأس الحل
يكون القطع المكافئ مفتوحا إلى اليمين وصورة معادلته 2 ) x − h = a ( y − k
الرأس هو ) ( h , k
4 = ( h , k ) = (3, 4) ⇒ h = 3, k
1
+ (h البؤرة هي ) , k
1 1 4a
+ (h + ⇒ )4 ,5(= ) , k
3 5=
4a 4a
1
=a
8
الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ هي :
1
2 )4 − x − 3 = ( y
8
19. الصورة العامة لمعادلة القطع المكافئ
الصورة العامة للقطع المكافئ تأخذ إحدى الصورتين :
y
* قطع مكافئ رأسي
0 ≠ y = ax +bx + c − , − a
2
x
y
* قطع مكافئ أفقي
0 ≠ x = ay + by + c − , −a
2
x
20. هي لقطع مكافئ ؟ 0 = 6 − x 2 − 4x + 2 y هل المعادلة مثال ) 1(
إذا كانت كذلك ، فأوجد الرأس والبؤرة والدليل .
بما أن المعادلة تربيعية في المتغير x الحل
نكمل المربع بالنسبة إلى xلنحصل على الصورة القياسية
6 + x 2 − 4x + 2 y − 6 = 0 ⇒ x 2 − 4x = −2 y
2 4− 2 4−
x 2
( + − 4x ( + 6 + ) = −2 y 01+ ) ⇒( x − 2) 2 = −2 y
2 2
−1
وهذه المعادلة على الصورة ) ( y − k ) = a ( x − h
2 = )5− ( y 2 )2− (x
2
1−
= h = 2−, −k = 5, −a
2
1 1 9
+ (h , k + 5 ,2(= )
− 1
) ,2(= ) والبؤرة هي : الرأس هو : )5,2(
4a (4 ) 2
2
1 1 11
− y =k − 5= = ⇒y والدليل هو :
4a − 1 2
(4 )
2
21. تدريبات
تدريب ) 1(
عين الرأس ، والبؤرة ، ومعادلة محور التماثل ومعادلة الدليل للقطع المكافئ
نّ
)2 − ( y + 1) 2 = 4(x
تدريب ) 2(
1= y اكتب معادلة القطع المكافئ الذي رأسه النقطة )4− ,2( ومعادلة دليله هي
عند النقطة )4 ,1( y 2 = 16x تدريب ) 3(
أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع المكافئ
23. القطع الناقص Ellipse
القطع الناقص هو :
مجموعــــة كل النقـــــاط في
2F المركز 1F المستوى الذي مجموع بعدي
1F 2F
2d
1d
كل منهــــــا عن نقطتين
ثابتتين يساوي مقدارا ثابتا .
ً ً
تسمى النقطتان الثابتتان بؤرتين 1 ، F2 ، Fوتسمى نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة
بينهما مركز القطع الناقص . والبعدان اللذان مجموعهما ثابت هما 1 d 2 ، d
24. محاور القطع الناقص
y
المحور الكبر :
المحور الصغر المحور الكبر
هو القطعة المستقيمة المارة
بالبـؤرتيـــن وطرفـاهـــا على
القطع ويسمى طرفاهـــا رأسي
2V 2F 1F 1V القطع الناقص .
x
1F 2F المحور الصغر :
هو القطعة المستقيمة المارة
بالمركز والعمودية على
المحور الكبر ، ويقع طرفاها
على القطع .
المحوران الكبر والصغر هما محورا تماثل القطع الناقص
25. أطوال محاور القطع الناقص
y
طول المحور الكبر 2a
1d 2d طول المحور الصغر 2b
2b
2V 2a
1V
O x
البعد بين البؤرتين 2c
1F 2c 2F
2 a2 = b 2 + c
d 1 + d 2 = 2a
26. الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(
y
) (0, b
القطع الناقص الفقي
)0 , ( −a 2F 1F )0 , (a
2x 2y
1= 2 +
x
)0 , F1 (−c )0 ,0( )0, F2 (c المعادلة هي
2
a b
) (0, −b a >b حيث :
)0 ,− ( ,)0 , (c
c البؤرتــــــــــــــان هما
)0 ,− ( ,)0 , (a
a طرفا المحور الكبر هما
طرفا المحور الصغر هما ) − ,0( ,) (0, b
b
27. الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه )0 ,0(
y
)0 , (a
القطع الناقص الرأسي
) F1(0, c 2x 2y
2
1= 2 + المعادلة هي
)0 , (−b )0 , (b
b a
)0 ,0( x
a >b حيث :
)− ,0( ,) (0, c
c البؤرتــــــــــــــان هما
) F2 (0, −c
) (0, −a )− ,0( ,) (0, a
a طرفا المحور البكبر هما
طرفا المحور الغصغر هما )0 ,− ( ,)0 , (b
b
28. مثال
أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه )3− ,0( ، )3,0( وطول المحور
الغصغر 4 ، ثم ارسم المنحنى الذي يمثله .
y
البؤرتان تقعان على محور الصادات الحل
)3,0( 3= c
طول المحور الغصغر يساوي 2b
2 = 2b = 4 ⇒ b
x
2 a 2 = b 2 +c
31 = 23 + 2 2 = 2 a
)3− ,0( معادلة القطع الناقص هي :
2x2 y 2x2 y
2
⇒ 1= 2 + + 1=
b a 4 31
29. الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) (h , k
y
) (h , k + b القطع الناقص الفقي
) (h − a, k ) (h , k ) (h + a , k
2 ) (x − h ) 2 ( y − k المعادلة هي
2
+ 2
1=
) (h , k − b a b
x
a >b حيث :
البؤرتــــــــــــــان هما ) ( h + , k ), ( h − , k
c c
طرفا المحور البكبر هما ) (h + a , k ), (h −a , k
c = a −b
2 2 2
طرفا المحور الغصغر هما ) ( h , k +b ), (h , k −b
30. الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ) (h , k
) (h , k + a القطع الناقص الرأسي
2 ) (x − h ) 2 ( y − k
) (h − b , k
) (h , k
) (h + b , k 2
+ 2
1= المعادلة هي
b a
a >b حيث :
) (h , k − a
البؤرتــــــــــــــان هما ) ( h , k +c ), ( h , k −c
طرفا المحور البكبر هما ) ( h , k +a ), ( h , k −a
2 c 2 = a 2 −b
طرفا المحور الغصغر هما ) ( h +b , k ), ( h −b , k
31. مثال ) 1( أوجد الصورة القياسية لمعادلة قطع ناقص طرفي محوره الكبر )1− ,2−( ، )1− ,8(
Y . وطول محوره الغصغر 8
الحل
X الشكل المجاور يمثل طرفي المحور الكبر والمحور الغصغر
)1− ,3(
)1− −(
,2 − ,8()1
2) (x − h )2 ( y − k
2
+ 2
غصورة معادلة القطع الناقص هي 1 =
a b
نقطة منتصف المحور الكبر تمثل مركز القطع الناقص
1− + 1− 8 + 2−
( = ) (h , k , )1− ,3( = )
2 2
طول المحور الكبر يساوي 2a
5 = 2a = 8 − (−2) = 10 ⇒ a
طول المحور الغصغر يساوي 2b
4 = 2b = 8 ⇒ b
2 )1− − (x − 3) 2 ( y 2 )1 + ( x − 3) 2 ( y معادلة القطع الناقص هي :
2
+ 2
⇒1 = + 1=
5 4 52 61
32. 2 )1 + (x − 4) 2 ( y
+ 1= مثال ) 2( ارسم شكل تقريبيا للقطع الناقص
52 961
من معادلة القطع الناقص نلظحظ أن مركز القطع هو : − ,4(= ) ( h , k
)1 الحل
ومن المعادلة أيضا نلظحظ أن 961< 52 أي أن المحور الكبر يكون رأسيا
ً
y
)21,4( 31= ⇒ 961= 2 a
a
)11,4( وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الكبر تبعدان 31 وظحدة
أسفل وأعلى المركز أي عند النقطتين )41− ,4( و )21,4(
5= ⇒ 52 = 2 b
b
x
)1 − ,1 −( )1 − ,9(
)1 − ,4(
وهذا يعني أن نقطتي طرفي المحور الغصغر تبعدان 5 وظحدات
إلى يسار ويمين المركز أي عند النقطتين )1− ,1−( و − ,9(
)1
)31 − ,4( 21 = 52 − 961 = c 2 = a 2 − b 2 ⇒ c
)41 − ,4( وهذا يعني أن البؤرتان تبعدان 21 وظحدة أسفل
وأعلى المركز أي عند النقطتين )31− ,4( و )11,4(
33. تدريبات
أثبت أن المعادلة 0 = 4 − x 2 + 2 y 2 − 4x + 8 y تدريب )1(
تمثل قطعا ناقصا .
ً ً
تدريب ) 2(
جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه )2 ,2( وإظحدى بؤرتيه النقطة )2 ,1−(
وطول محوره الكبر 01 2 وظحدة .
أوجد معادلة المماس لمنحنى القطع الناقص 8 = 2 x 2 + yعند النقطة )1,2−( تدريب ) 3(
35. القطع الزائد Hyperbola
مجموعــــة بكل القطع الزائد هو :
النقـــاط في المســــتوى والتــي الفرق
المطلق لبعديــن ثابتيـن هو مقدار ثابت
ويساوي 1 −d 2 2a
d =
2F a a 1F
2d 1d
تسمى النقطتان الثابتتان 1 F2 ، Fبؤرتي القطع الزائد
36. محاور القطع الزائد وخطوطه التقاربية
y يسمى الخطان 1L 2 ، L
المحور المرافق 2b
2L 1L
خطان تقاربيين مائلين
) (0, b المحور القاطع
بؤرة بؤرة
القطعة الواغصلة بين الرأسين
)0,(− a )0 ,(a x المحور المرافق
)0, F2 (−c )0 , F1 (c
هــو القطعة الواغصلة بيـن منتصفي
ضلعي المستطيـــــــل الموازييــــن
) (0, −b للمحور القاطع
المحور القاطع 2a c = a +b
2 2 2
37. الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(
القطع الزائد الفقي
y
b
y =− x b 2x 2y
a y = x
a
2
1= 2 − المعادلة هي
)0 ,0( ) (x , y
a b
)0 , −(
c )0 , (−a )0 , (a , 0) (c
x 2 c 2 = a2 + b حيث :
البؤرتـــــــــــان هما )0 , − ( ,)0 , (c
c
طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , (a
a
b
الخطان التقاربيان هما : y =± x
a
38. الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه )0 ,0(
) (x , y
y
القطع الزائد الرأسي
a )0 , (c
y =− x
b
a
y = x 2y 2x
b
2
1= 2 − المعادلة هي
)0 , (a a b
2 c 2 = a2 + b حيث :
x
البؤرتـــــــــــان هما ) − ,0( ,) (0, c
c
)0 , (−a
طرفا المحور القاطع ) − ,0( ,) (0, a
a
)0 , −(
c
a
y =± x الخطان التقاربيان هما :
b
39. الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) (h , k
y
القطع الزائد الفقي
b
) y − k = − (x − h
a
2) (x − h )2 ( y − k
2
− 2
1= المعادلة هي
) (h − a, k ) (h + a, k a b
) (h , k
2 c 2 = a2 +b حيث :
) (h − c , k ) (h + c , k
البؤرتــان هما ) ( h +c , k ), ( h −c , k
x
b
) y − k = (x − h طرفا المحور القاطع ) ( h +a , k ), ( h −a , k
a
b
) y − k = ± (x − h الخطان التقاربيان هما :
a
40. الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد الذي مركزه ) (h , k
) (x , y
y القطع الزائد الرأسي
) (h , k + c
a
) y − k = (x − h 2) ( y − k ) 2 (x − h
b
2
− 2
1= المعادلة هي
a b
) (h , k + a حيث :
2 c 2 = a2 + b
) (h , k
البؤرتــان هما ) ( h , k +c ), ( h , k −c
) (h , k − a x
طرفا المحور القاطع ) ( h , k +a ), ( h , k −a
) (h , k − c a
) y − k = − (x − h
b
a
) y − k = ± (x − h الخطان التقاربيان هما :
b
41. 2 2 مثال ) 1(
x y
− عين بؤرتي وطرفي المحور القاطع وطولي المحورين للقطع الزائد 1 =
نّ
1 4
2x 2y الحل
1= 2 − معادلة القطع على الصورة
2a b
2 = a 2 = 4 ⇒a إذن
1= b 2 =1 ⇒b
c نجد قيمة
5 = c = a +b ⇒c = a +b = 4 +1 ⇒c
2 2 2 2 2
( )0 ,5 − ( ,)0 ,5 البؤرتــــان هما )0 , − ( ,)0 , ⇐ c
( c
)0 − ( ,)0 ,2(
,2 طرفا المحور القاطع )0 , − ( ,)0 , ⇐(a
a
= × = 2a
2 2 4 ⇐طول المحور القاطع يساوي 2a
= × = 2a
2 2 4 ⇐طول المحور القاطع يساوي 2a
42. مثال ) 2(
جد معادلة القطع الزائد الذي طول محوره المرافق 4 ، وبؤرتاه
هما النقطتان )8 ± ,0(
بما أن البؤرتين هما )8 ± ,0( الحل
إذن البؤرتان تقعان على محور الصادات حيث 8 = c
2 y 2 x
2
ومنه تكون معادلة القطع الزائد على الصورة = 2 −
1
a b
حيث 8 = 2 a 2 +b 2 =c
2 = 2b = 4 ⇒b طول المحور المرافق هو 2bحيث
طول المحور القاطع هو 2aحيث 2 = 4− 8 = 2 a = c 2 −b
2 y 2 x
− إذن معادلة القطع الزائد هي : =
1
4 4
43. قطع زائد بؤرتاه )0 ,5− ( ,)0 ,5( ورأساه )0 ,3− ( ,)0 ,3( مثال ) 3(
1 ( أوجد معادلة القطع الزائد بالصورة القياسية
2 ( معادلة كل من الخطين التقاربيين
3 ( ارسم المنحنى البياني للقطع الزائد الحل
1 ( بما أن البؤرتين وطرفي المحور القاطع ) الرأسين ( تقع على محور السينات
2x 2y
2
1= 2 − معادلة القطع على الصورة
a b
5= ⇒ )0 ,5(= )0 , (c
c
3= ⇒ )0 ,3(= )0 , (a
a
4 = c 2 = a 2 +b 2 ⇒b = c 2 − a 2 = 25 − 9 ⇒b
2x 2y
− 1= معادلة القطع هي :
9 61
44. تابع مثال ) 3(
4 b
y =± x ±= y 2( الخطان التقاربيان هما x
3 a
y
)4 ,3−(
5
)4 ,3(
3( رسم القطع الزائد
4
3 - نرسم المستطيل الذي رؤوسه :
2
1 ± ± (= ) ± , ± (
a b )4 ,3
-3 -4 -5 -6 -1 -2 1 2 3 4 5 6 x - نرسم الخطين التقاربيين المائلين :
-1
-2 4
±= y x
-3 3
-4
)4− ,3− ( )4− ,3(
-5 - نرسم الرسم البياني للقطع الزائد
45. تدريبات
2 )2 − ( y −1) 2 (x
− 1=
تدريب ) 1(
، أوجد ما يلي : 9 61 قطع زائد معادلته
1 ( المركز والرأسين والبؤرتين
2 ( معادلة كل من المحور القاطع والمحور المرافق وطول كل منهما
3 ( الخطيين التقاربيين
تدريب ) 2(
هي لقطع زائد ؟ هل المعادلة 0 = 4 − y 2 − 4x 2 − 4 y − 8x
إذا أجبت بنعم ، فما هي الصورة القياسية لمعادلة القطع ؟
جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه )4− ,2( وإحدى بؤرتيه النقطة )4− ,7( تدريب ) 3(
وطول محوره القاطع 8 وحدات .
46. الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية
0 = Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F
2 2
المعادلة وشروطها القطع المخروطي
0 = Aأو 0 = Cوليس كليهما
ً
يكون القطع المكافئ رأسيا يكون القطع المكافئ أفقيا القطع المكافئ
إذا كان 0 = C إذا كان 0 = A
0 = A = C − −, − − B الدائرة
)0 (AC إذا كان Aو Cلهما نفس الاشارة القطع الناقص
إذا كان Aو Cمختلفين بالاشارة )0 (AC القطع الزائد
47. مثال
عين نوع القطع المخروطي الذي معادلته 0 = 731− 7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y
نّ
الحل
الصورة العامة لمعادلة القطوع المخروطية هي
0 = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
بمقارنة معادلة القطع المخروطي مع الصورة العامة ، نجد أن :
9 = −− = A
7 , C −
36 = × A
C − 0
هي معادلة لقطع زائد إذن المعادلة 0 = 731− 7 x 2 − 9 y 2 −14x − 54 y
48. Conics القطوع المخروطية
Focus بؤرة
Directrix دليل
Parabola القطع المكافئ
Parabloid سطح مكافئ
Ellipse القطع الناقص
Hyperbola القطع الزائد
Center مركز
Vertex رأس
Transverse axis المحور القاطع
Conjugate axis المحور المرافق
Asymptotes خطوط تقاربية
