1. ‫‪Pr:HAMID‬‬
‫5002 ‬ ‫الدورة العادية‬ ‫01 نقط‬
‫✔ الجزء اللول :‬
‫‪h( x)=x+(x−2)lnx‬‬ ‫نعتب لاللالني ‪ g‬و ‪ h‬لالعرفتني ع لالاجال [ ∞+,0 ] بما يل: ) ‪ g ( x)= x−1−ln(x‬و‬
‫57,0 1 _ أ( لاحسب ) ‪ g ' ( x‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ] ثم أدرس منحن تغيلات لاللالة ‪. g‬‬
‫من [ ∞+,0 ]‬ ‫‪x‬‬ ‫ب( إستنتج أن 0⩾)‪ g ( x‬لك‬ ‫52,0‬
‫الدوال السية واللوغاريتمية‬
‫من [ ∞+,0 ]‬ ‫‪x‬‬ ‫5,0 2 _ أ( بني أن ‪ h( x)=1+g ( x)+( x−1)lnx‬لك‬
‫ب(بني أن 0⩾‪ ( x−1)lnx‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ]‬ ‫5,0‬
‫3_ إستنتج أن 0)‪ h( x‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ]‬ ‫5,0‬
‫✔ الجزء الثاني :‬
‫نعتب لاللالة ‪ f‬لالعرفة ع [ ∞+,0 ] بما يل : 2)‪f (x)=1+xlnx−(lnx‬‬
‫1 _ أ( لاحسب )‪ lim f ( x‬ثم أول لالتياجة مبيانيا.‬ ‫5,0‬
‫0 →‪x‬‬
‫0‪x‬‬
‫‪lnx‬‬
‫−1 (.‪f (x )=1+ xlnx‬‬ ‫)لحظ لان )‬ ‫ثم حدد لالفرع لاللنهائ للمنحن ‪ C‬باولار ∞+‬ ‫ب( لاحسب ) ‪lim f (x‬‬ ‫1‬
‫‪x‬‬ ‫∞+→ ‪x‬‬
‫) ‪h(x‬‬
‫لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ]‬ ‫=)‪f ' ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫2_ أ( بني أن‬ ‫5,0‬
‫ب( لاستنتج أن لاللالة ‪ f‬تزلايدية قطعا ع لالاجال [ ∞+,0 ]‬ ‫52,0‬
‫)1 ; 1(‪A‬‬ ‫3_ لنكن )‪ ( D‬لالستقيم لالماس للمنحن ‪ C‬ف لالقطة‬
‫‪y=x‬‬ ‫أ(بني أن معادلة دينكارتية للمستقيم )‪ ( D‬ه‬ ‫5,0‬
‫لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ]‬ ‫)‪f (x )−x =(lnx−1) g ( x‬‬ ‫ب( تقق من أن‬ ‫5,0‬
‫)‪(D‬‬ ‫ج( لادرس لاشارة ‪ f (x )−x‬ثم لاستنتج لالاوضع لالنسب للمنحن ‪ C‬و لالستقيم‬ ‫1‬
‫57,0 4_ أنشئ لالنحن ‪ C‬و لالستقيم )‪ ( D‬ف نفس لالعلم)نقبل أن لالنحن ‪ C‬يقبل نقطة لانعطاف أفوصاولا موصاور بني 1 و 5,1 (‬
‫✔ الجزء الثالث :‬
‫نعتب لالتتالة ) ‪ (u n‬لالعرفة بما يل :‬
‫‪ u 0= √ e‬و ) ‪ u n+1=f (u n‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬
‫1_ بني بالتعجع أن : ‪ 1u n e‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬ ‫1‬
‫2_ بني أن لالتتالة ) ‪ (u n‬تناقوصية)يمكنك إستعمال لالسؤلال 3­ج.من لالزء لالان(.‬ ‫5,0‬
‫3_ لاستنتج أن لالتتالة ) ‪ (u n‬متقاربة ثم لاحسب نهايتها.‬ ‫1‬