كتاب منهجي لطلبة الصف الرابع الادبي في جمهورية العراق

1. ‫اق‬‫ﺮ‬‫اﻟﻌ‬ ‫ﺟﻤﻬﻮرﻳﺔ‬
‫اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ارة‬‫ز‬‫و‬
‫ﻟﻠﻤﻨﺎﻫﺞ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﻤﺪﻳﺮﻳﺔ‬
‫اﻷدﺑﻲ‬ ‫اﺑﻊ‬‫ﺮ‬‫اﻟ‬
‫ﺗــﺄﻟــﻴﻒ‬
‫ﺍﻟﺤﺪﻳﺜﻲ‬ ‫ﺭﺟﺐ‬ ‫ﺷﻌﺒﺎﻥ‬ ‫ﻃﺎﺭﻕ‬ / ‫ﺍﻟﺪﻛﺘﻮﺭ‬
‫ﺍﻟﺠﻮﺍﻫﺮﻱ‬ ‫ﺍﻟﻐﻔﻮﺭ‬ ‫ﻋﺒﺪ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ‬
‫ﺍﻟﻤﻌﻤﺎﺭ‬ ‫ﺷﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳﻮﺳﻒ‬
‫٥١٠٢م‬ / ‫٦٣٤١ﻫـ‬ ‫اﻟﺜﺎﻣﻨﺔ‬ ‫اﻟﻄﺒﻌﺔ‬

2. ‫ﺍﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺮﻑ‬
‫ﻣﻌﻴﻮﻑ‬ ‫ﺣﻤﻮﺩ‬ ‫ﺷﺎﻛﺮ‬
‫ﺍﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻔﻨﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺮﻑ‬
‫ﻛﺎﻃﻊ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺩﺓ‬ ‫ﻋﺒﺪ‬ ‫ﺷﻴﻤﺎﺀ‬

3. :‫مقدمة‬
‫اسة‬‫ر‬‫الد‬ ‫لطلبة‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتب‬ ‫سلسلة‬ ‫يف‬ ‫األول‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫عد‬ُ‫ي‬
‫معتمدين‬ ‫والتدرج‬ ‫األمثلة‬ ‫كرثة‬ ‫إعداده‬ ‫يف‬ ‫روعي‬ ‫وقد‬ ‫األديب‬ ‫للفرع‬ ‫اإلعدادية‬
. ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫يف‬ ‫حصيلة‬ ‫من‬ ‫الطالب‬ ‫لدى‬ ‫ما‬ ‫عىل‬
: ‫هي‬ ‫فصول‬ ‫خمسة‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫شمل‬
. ‫العددية‬ ‫التطبيقات‬ ‫وبعض‬ ‫ومتثيلها‬ ‫الدالة‬ ‫مفهوم‬ ‫يتضمن‬ : ‫األول‬ ‫الفصل‬
. ‫اجحات‬‫رت‬‫وامل‬ ‫املعادالت‬ ‫يتضمن‬ : ‫الثاين‬ ‫الفصل‬
. ‫املثلثات‬ ‫حساب‬ ‫مبادئ‬ ‫يف‬ ‫أولية‬ ‫معلومات‬ ‫يتضمن‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
. ‫اإلحداثية‬ ‫الهندسة‬ ‫مجال‬ ‫يف‬ ‫أساسية‬ ‫مفاهيم‬ ‫يتضمن‬ : ‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫الفصل‬
‫درسه‬ ‫ملا‬ ً‫ا‬‫امتداد‬ ‫جاء‬ ‫الذي‬ ‫الوصفي‬ ‫اإلحصاء‬ ‫يتضمن‬ : ‫الخامس‬ ‫الفصل‬
. ‫املتوسطة‬ ‫املرحلة‬ ‫يف‬ ‫الطالب‬
‫العزيز‬ ‫اق‬‫ر‬‫الع‬ ‫لبلدنا‬ ‫الخري‬ ‫فيه‬ ‫ملا‬ ‫يوفقنا‬ ‫إن‬ ‫الله‬ ‫من‬ ‫نرجو‬ ‫الختام‬ ‫يف‬
... ‫املوفق‬ ‫والله‬ ‫التطوير‬ ‫بهدف‬ ‫مبالحظاتهم‬ ‫موافاتنا‬ ‫زمالئنا‬ ‫من‬ ‫ونأمل‬
‫املؤلفون‬

4. ‫الحقيقية‬ ‫الدوال‬ : ‫األول‬ ‫الفصل‬
. (‫اجعة‬‫ر‬‫م‬ ) ‫الدالة‬ ‫مفهوم‬ [ 1 - 1 ]
. ‫للدالة‬ ‫الرياﴈ‬ ‫التعبري‬ [ 1 - 2 ]
. ‫الحقيقية‬ ‫الدوال‬ [ 1 - 3 ]
. ‫للدوال‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ [ 1 - 4 ]
. ‫التﻐري‬ [ 1 - 5 ]
. ‫الطردي‬ ‫التﻐري‬ -
. ‫العكﴘ‬ ‫التﻐري‬ -
. ‫املﺸرتك‬ ‫التﻐري‬ -

5. 5
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ : ‫اﻷول‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ‬
: ‫اﻵﻲﺗ‬ ‫بالتعريﻒ‬ ‫وعرفناها‬ ‫الدالة‬ ‫السابقة‬ ‫املرحلة‬ ‫يف‬ ‫درسنا‬
‫من‬ ‫عنﴫ‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫دالة‬ ‫انها‬ (B) ‫مجموعة‬ ‫اﱃ‬ (A) ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫لعالقة‬ ‫يقال‬
‫املحددة‬ ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫احد‬ ‫يف‬ ‫فقﻂ‬ ‫واحدة‬ ‫،مرة‬ ‫اول‬ ‫كمسقﻂ‬ ‫يظهر‬ (A) ‫عناﴏ‬
. ‫العالقة‬ ‫لبيان‬
: ‫املخطﻂ‬ ‫الحﻆ‬
‫بينﺎﻤ‬
‫دالة‬ ‫دالة‬ ‫ليسﺖ‬
‫ذلﻚ‬ ‫نكتب‬ ‫فاننا‬ ( f ) ‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ورمزنا‬ (B) ‫مجموعة‬ ‫اﱃ‬ (A) ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كونﺖ‬ ‫اذا‬
: ‫اﻵتية‬ ‫الرمزية‬ ‫بالصيﻐة‬
( B ‫اﱃ‬ A ‫من‬ ‫دالة‬ f ) ‫ا‬‫ر‬‫وتق‬ f : A B
. [ ( x ,y ) f ‫أو‬ ] ‫وحيد‬ y = f(x) B ‫يوجد‬ ،∀ x A ‫حيث‬
:( 1 - 1 ) ‫تعريﻒ‬
‫للدالة‬ ‫الرياﴈ‬ ‫التعبري‬ [1-2]
: Mathematical Expression of the Function
‫بينﺎﻤ‬
‫دالة‬ ‫دالة‬ ‫ليسﺖ‬
‫بينﺎﻤ‬
‫دالة‬ ‫دالة‬ ‫ليسﺖ‬
‫بينﺎﻤ‬
‫دالة‬ ‫دالة‬ ‫ليسﺖ‬‫دالة‬ ‫دالة‬ ‫ليسﺖ‬
: ( ‫اجعة‬‫ر‬‫م‬ ) Concept of the Function ‫الدالة‬ ‫مفهوم‬ [1-1]
B BA A

6. 6
. f ‫الدالة‬ ‫بيان‬ ‫اﱃ‬ ‫ينتمي‬ ( x , y ) Ordered Pair ‫املرتب‬ ‫الزوج‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ .1
f(x) =y ‫حيث‬
. f ‫الدالة‬ ‫تاثري‬ ‫تحﺖ‬ x ‫العنﴫ‬ Image ‫صورة‬ ‫هو‬ (y) ‫حيث‬
: ‫هي‬ ‫متيزها‬ ‫مكونات‬ ‫ثالث‬ ‫علمﺖ‬ ‫اذا‬ (f) ‫الدالة‬ ‫تتعﻦﻴ‬ .2
(x) ‫املتﻐري‬ ‫اليها‬ ‫ينتمي‬ ‫التي‬ ‫املجموعة‬ ‫وهي‬ (A) ‫املجموعة‬ ‫ومتثله‬ : Domain ‫املجال‬ (‫أ‬
. f ‫الدالة‬ ‫بيان‬ ‫اﱃ‬ ‫ينتمي‬ ( x , y ) ‫كان‬ ‫اذا‬
‫املتﻐري‬‫اليها‬‫ينتمي‬‫التي‬‫املجموعة‬‫وهي‬(B)‫املجموعة‬‫ومتثله‬:Codmain‫املقابل‬‫املجال‬ (‫ب‬
. f ‫الدالة‬ ‫بيان‬ ‫اﱃ‬ ‫ينتمي‬ ( x , y) ‫كان‬ ‫اذا‬ (y)
‫اي‬ (B) ‫بعناﴏ‬ (A) ‫عناﴏ‬ ‫تربﻂ‬ ‫التي‬ ‫العالقة‬ ‫وهي‬ : f ‫الدالة‬ ‫قاعدة‬ (‫جـ‬
. y = f (x )
: ‫اﻵتيتﻦﻴ‬ ‫الطريقتﻦﻴ‬ ‫باحدى‬ ‫الدالة‬ ‫قاعدة‬ ‫تعطﻰ‬ .3
. ‫مرتبة‬ ‫ازواج‬ ‫شكل‬ ‫عىل‬ ‫تكتب‬ ‫اي‬ f : A B ‫الدالة‬ ‫بيان‬ ‫ذكر‬ (‫أ‬
f = { ( x , y ) : y = f ( x ) , x ∈ A }
. (y) ‫باملتﻐري‬ ( x) ‫املتﻐري‬ ‫تربﻂ‬ ‫معادلة‬ ‫ذكر‬ (‫ب‬
: ‫مالحظة‬

7. 7 ‫املقابل‬ ‫ومجالها‬ (A) ‫مجالها‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫دالة‬ f : A B ‫الدالة‬ ‫تسمﻰ‬
. Real Numbers( R ) ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫خالية‬ ‫ﻏري‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ (B)
. ‫املقابل‬ ‫املجال‬ R (1
. { x : x R , f ( x ) R } = ‫املجال‬ (2
(A) ‫اﱃ‬ ‫املنتمية‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫وهو‬ : (R) ‫يف‬ ( f ) ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬
. f ( x ) R ‫عندها‬ ‫يكون‬ ‫والتي‬
. f ( x ) = x : ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫جد‬
f={ x : x R , x ≥ 0 } ‫مجال‬ / ‫الحــل‬
x ≥ 0 ‫كان‬ ‫اذا‬ R ‫يف‬ ‫معرفة‬ f(x)‫تكون‬
f= { x : x R , x ≥ 0 } ‫مجال‬ ‫ان‬ ‫اي‬
‫املجال‬ ‫فان‬ ، ‫مجالها‬ ‫تحديد‬ ‫ويطلب‬ ‫دالة‬ ‫قاعدة‬ ‫تعطﻰ‬ ‫عندما‬
. (R) ‫يف‬ ‫ممكن‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫سيكون‬
1 ‫مثال‬
: ‫مالحظة‬
: Real Functions ‫الحقيقية‬ ‫الدوال‬ [1-3]

8. 8
.f ‫مجال‬ ‫فعﻦﻴ‬ f ( x ) = x 2
‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
. f = { x : x R , f ( x) = x 2
R } = f ‫مجال‬ / ‫الحــل‬
. x R ‫كانﺖ‬ ‫مهﺎﻤ‬ R ‫يف‬ ً‫ا‬‫دوم‬ ‫معرفة‬ x 2
‫ولكن‬
R = f ‫مجال‬
. [ R ‫هو‬ f ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫فاوسع‬ ‫الحدود‬ ‫كثرية‬ f ( x )‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ : ‫نقول‬ ‫ان‬ ‫ﻤﻳكن‬ ]
f (x) = ‫قاعدتها‬ ‫التي‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫جد‬
. f = { x : x R , f (x) = R } ‫مجال‬ / ‫الحل‬
. x =1 ‫باستثناء‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫كل‬ ‫يف‬ ‫معرفة‬ ‫ولكن‬
. f = R / { 1} ‫مجال‬
‫دالة‬ f : R R ‫كان‬ ‫اذا‬
(x, f ( x)) ‫النقﻂ‬ ‫مجموعة‬ ‫انه‬ ‫عىل‬ f(x) = y ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫يعرف‬
. Cartesian Plane ‫الديكارﻲﺗ‬ ‫املستوي‬ ‫يف‬
x+ 2
x - 1
3 ‫مثال‬
: ‫للدوال‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ [1-4]
: (1 - 2 ) ‫تعريﻒ‬
x + 2
x - 1
x + 2
x - 1
2 ‫مثال‬

9. 9
‫بحيث‬ f : R R ‫الدالة‬ ‫متثيل‬ : ً‫ال‬‫او‬
f (x ) = a x + c , a , c R a ≠ 0
. x R ‫حيث‬ f(x) = 3 x - 6 ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬
‫من‬ ‫نهاﻲﺋ‬ ‫ال‬ ‫بعدد‬ ‫تتحقق‬ f (x) = 3x – 6 ‫ان‬ ‫الواضﺢ‬ ‫من‬ / ‫الحل‬
( x , f (x) ) ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬
: ‫االزواج‬ ‫هذه‬ ‫لبعض‬ ‫اﻵﻲﺗ‬ ‫والجدول‬
( 1-1 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫املوضﺢ‬ ‫البياين‬ ‫املخطﻂ‬ ‫يف‬ ‫النقاط‬ ‫هذه‬ ‫رسمﺖ‬ ‫وقد‬
........- 2-1210x
........-12-90-3-6y
y
x
1 2 3 4 5 6-3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
x
x
(2 , 0 ) ‫ﺀ‬
(
‫1(أ‬ , -3 )
( 0 , -6 )
(-1,-9)‫ﺏ‬ x
( 1-1 ) ‫الﺸكل‬
4 ‫مثال‬
‫أ‬

10. 10
‫الـدالة‬ ‫منحني‬ ‫رسم‬ ‫ﻤﻳكن‬ ‫وعليه‬ ‫مستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫هي‬ y = 3x - 6 ‫ان‬ ‫الحﻆ‬
‫بينهﺎﻤ‬ ‫ونصل‬ ‫املرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫من‬ ‫زوجﻦﻴ‬ ‫باي‬ x R ‫حيث‬ f (x) = 3 x - 6
‫ينتميان‬ ( -1 , -9 ) , ( 1 , -3 ) ‫املرتبان‬ ‫فالزوجان‬ ‫ذلﻚ‬ ‫وعىل‬ ‫فقﻂ‬ ‫واحد‬ ‫مبستقيم‬
. ‫املطلوب‬ ‫املستقيم‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫واملستقيم‬ ‫ب‬ ، ‫النقطتﻦﻴ‬ ‫وتعينان‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫اﱃ‬
‫اخريتﻦﻴ‬ ‫نقطتﻦﻴ‬ ‫اي‬ ‫او‬ ( 2 , 0 ) , ( 0 , -6 ) ‫النقطتﻦﻴ‬ ‫اخذ‬ ‫املمكن‬ ‫من‬ ‫انه‬ ً‫ا‬‫أيض‬ ‫ويالحﻆ‬
.‫االحداثيﻦﻴ‬ ‫املحورين‬ ‫مع‬ ‫املستقيم‬ ‫تقاﻃع‬ ‫نقطتي‬ ‫تعيﻦﻴ‬ ‫االحيان‬ ‫اﻏلب‬ ‫يف‬ ‫.ويفضل‬ ‫عليه‬
. ً‫ا‬‫بياني‬ f (x) = 1 - 2x ‫بحيث‬ f : R R ‫الدالة‬‫ّﻞ‬‫ﺜ‬‫ﻣ‬
. ‫مستقيم‬ ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫لهذه‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ ‫ان‬ / ‫الحــل‬
y= f (1) = -1 ‫فان‬ x = 1 ‫أخذنا‬ ‫واذا‬
y= f (2) = -3 ‫فان‬ x = 2 ‫أخذنا‬ ‫واذا‬
‫وتعينان‬ ‫الدالة‬ ‫بيان‬ ‫اﱃ‬ ‫ينتميان‬ ( 2 , -3 ) ‫ب‬ ، (1 , - 1) ‫املرتبان‬ ‫فالزوجان‬ ‫ذلﻚ‬ ‫وعىل‬
. ‫املطلوب‬ ‫املستقيم‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫املستقيم‬ ‫ويكون‬ ‫ب‬ ، ‫النقطتﻦﻴ‬
: ‫مالحظة‬
5 ‫مثال‬

11. 11
‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ . ‫اخريتﻦﻴ‬ ‫نقطتﻦﻴ‬ ‫او‬ ( , 0 ) ، ( 0 , 1 ) ‫النقطتﻦﻴ‬ ‫اخذ‬ ‫املمكن‬ ‫من‬ ‫كان‬ ‫انه‬ ‫ويالحﻆ‬
. ( 1 – 2) ‫الﺸكل‬
‫حيث‬ f (x) =a x 2
+ b ‫بحيث‬ f : R R ‫للدالة‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
. ً‫ا‬‫منحني‬ ‫متثل‬ ‫وهي‬ a ≠ 0 ‫وان‬ a ، b R
. ً‫ا‬‫بياني‬f (x) = x2
‫بحيث‬ f : R R ‫الدالة‬ ‫ل‬ّ‫ث‬‫م‬
. ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫مجال‬ ‫ان‬ / ‫الحــل‬
‫النصﻒ‬ ‫يف‬ ‫يقع‬ ‫الدالة‬ ‫لهذه‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ ‫فان‬ ‫ذلﻚ‬ ‫وعىل‬
. ‫االحداﻲﺛ‬ ‫املستوي‬ ‫من‬ ‫فقﻂ‬ ‫االعىل‬
‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫منحني‬ ‫نقﻂ‬ ‫بعض‬ ‫لنا‬ ‫يعﻦﻴ‬ ‫اﻵﻲﺗ‬ ‫والجدول‬
≡
y
X
( 1-2 ) ‫الﺸكل‬
(2 ,-3 )‫ب‬
1
2
.....103210-1-2-3....x
.....102
9410149....y
6 ‫مثال‬
( 0 , 1 ) ( , 0 )
x
x
x
(1 ,-1 )
1
2x

12. 12
‫التي‬ ‫النقاط‬ ‫وبعض‬ ‫الجدول‬ ‫هذا‬ ‫يف‬ ‫الواردة‬ ‫املرتبة‬ ‫لالزواج‬ ‫املمثلة‬ ‫النقﻂ‬ ‫تعيﻦﻴ‬ ‫وﻤﻳكن‬
‫هو‬ ‫املنحني‬ ‫هذا‬ ‫يكون‬ ‫مبنحني‬ ‫النقاط‬ ‫هذه‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫صل‬ ‫ثم‬ y = x2
‫املعادلة‬ ‫احداثياتها‬ ‫تحقق‬
. ( 1 – 3 ) ‫بالﺸكل‬ ‫موضﺢ‬ ‫هو‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫الدالة‬ ‫لهذه‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬
‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫صورة‬ ‫ان‬ ‫مبعنﻰ‬ . ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناﻇر‬ ‫املنحني‬ ‫هذا‬ ‫ان‬ ‫ويالحﻆ‬
‫النقطة‬ ‫هي‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يف‬ ‫انعكاس‬ ‫تاثري‬ ‫تحﺖ‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫اﱃ‬ ‫تنتمي‬ ( x, y )
y = x2
‫الدالة‬ ‫ملنحني‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ ‫ان‬ . ً‫ا‬‫ايض‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫اﱃ‬ ‫تنتمي‬ (- x , y )َ
. ( parabola ً‫ا‬‫مكافﺌ‬ ً‫ا‬‫قطع‬ ) ‫يسمﻰ‬
. ً‫ا‬‫بياني‬ y = x2
+ 3 ‫بحيث‬ f : R R ‫الدالة‬ ‫ل‬ّ‫ث‬‫م‬
y = x2
+ 3 / ‫الحــل‬
‫بانسحاب‬ y = x 2
‫للدالة‬ ‫املمثل‬ ‫املنحني‬ ‫عن‬ ‫ينتﺞ‬ ‫ان‬ ‫ﻤﻳكن‬ ‫الدالة‬ ‫لهذه‬ ‫املمثل‬ ‫املنحي‬ ‫ان‬
‫والجدول‬ ‫وحدات‬ 3 ‫مبقدار‬ ‫الصادات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬ ‫يف‬ ‫االعىل‬ ‫اﱃ‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫ينقل‬
: ‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫منحني‬ ‫نقﻂ‬ ‫بعض‬ ‫لنا‬ ‫يعﻦﻴ‬ ‫اﻵﻲﺗ‬
y
( 1-3 ) ‫الﺸكل‬
x
(1 , 1 )
x
xx( -1 , 1 )
(-2 , 4 ) (2 , 4 )
X
7 ‫مثال‬

13. 13
‫البياين‬ ‫التمثيل‬ ‫لنا‬ ‫ينتﺞ‬ ‫مبنحني‬ ‫ووصلها‬ ‫الناتجة‬ ‫املرتبة‬ ‫لﻸزواج‬ ‫املمثلة‬ ‫النقاط‬ ‫بتحديد‬
. ( 1 - 4 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫للمحني‬
(0, 3 )
(0 , 0)
.....210-1-2x
.....74347y
X
y
( 1 - 4 ) ‫الﺸكل‬
x
(1 , 4 )
x
xx(-1, 4 )
(-2 , 7 ) (2 , 7 )
x

14. 14
. ً‫ا‬‫بياني‬ y = 1 - x2
‫بحيث‬ f : R R ‫الدالة‬ ‫ل‬ّ‫ث‬‫م‬
y = 1 - x2
/ ‫الحــل‬
‫عن‬ ‫ينتﺞ‬ ‫أن‬ ‫ﻤﻳكن‬ ‫الدالة‬ ‫لهذه‬ ‫البياين‬ ‫التمثيل‬ ‫فان‬ ‫ذلﻚ‬ ‫وعىل‬ R ‫هو‬ ‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫مجال‬ ‫إن‬
‫ينقل‬ ‫وبانسحابه‬ ‫ومحدب‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫يف‬ ‫رأسه‬ ‫مكافﺊ‬ ‫قطع‬ y = - x2
‫لدالة‬ ‫املمثل‬ ‫املنحني‬
‫لنا‬ ‫يعﻦﻴ‬ ‫اﻵﻲﺗ‬ ‫والجدول‬ ‫واحدة‬ ‫وحدة‬ ‫مبقدار‬ ‫الصادات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬ ‫يف‬ ‫األعىل‬ ‫إﱃ‬
: ‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫منحني‬ ‫نقﻂ‬ ‫بعض‬
xx
x x
x
y
( -1 , 0 )
x
( 0, 1 )
(1 , 0 )
( 2 , -3 )
( 1-5 ) ‫الﺸكل‬
y
.....210-1-2x
.....-3010-3y
8 ‫مثال‬
(- 2 , -3 )

15. 15
: ‫اﻵتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫منحنيات‬ ‫ارسم‬ (1
f ( x ) = - 4 x + 3 ( ‫أ‬
f ( x ) = -3 (‫ب‬
f ( x ) = 4 – x2
( ‫جـ‬
f( x ) = -2x 2
( ‫د‬
f ( x ) = x 2
– 4 ( ‫هـ‬
: ‫اﻵتية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ٌ‫كل‬ ‫مجال‬ ‫جد‬ (2
f ( x ) = x3
+ x2
- 3 ( ‫أ‬
f ( x ) = (‫ب‬
f ( x ) = 4 - x ( ‫جـ‬
f ( x ) = x + 2 ( ‫د‬
f ( x ) = y = x + 1 ‫بحيث‬ f : R R ‫ليكن‬ (3
. f ( -3 ) , f(2) , f [ f (-1) ] , f ( 1 + ∆x ) , f ( a+2 ) , f ( b -3 ) ‫جد‬
2x + 6
x2
-x -6
(1-1) ‫متارين‬

16. 16
‫ففي‬ .‫معنية‬ ‫بعالقة‬ ‫يرتبﻂ‬ ‫ات‬‫ري‬‫املتﻐ‬ ‫من‬ ً‫ا‬‫زوج‬ ‫نجد‬ ‫ما‬ ً‫ا‬‫ري‬‫كث‬ ‫للرياضيات‬ ‫استخدامنا‬ ‫عند‬
‫هذا‬ ‫حصل‬ ‫املتﻐريين‬ ‫احد‬ ‫عىل‬ ‫تﻐري‬ ‫اي‬ ‫حصل‬ ‫اذا‬ ‫التي‬ ‫بالصورة‬ ‫العالقة‬ ‫تكون‬ ‫االحيان‬ ‫بعض‬
. ‫اﻵخر‬ ‫املتﻐري‬ ‫يف‬ ‫نفسها‬ ‫بالنسبة‬ ‫التﻐري‬
: ‫الطردي‬ ‫التﻐري‬ : ً‫ال‬‫او‬
( ‫موجب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ k ) ً‫ا‬‫موجب‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫عدد‬ k ‫وان‬ ، ‫متﻐريين‬ x ، y ‫كان‬ ‫اذا‬
‫وتكتب‬ ( x ) ‫لـ‬ ً‫ا‬‫تبع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتﻐري‬ y : ‫نقول‬ ‫فاننا‬ y = k x ‫وكان‬
y x
. x ‫مع‬ Direct proportionً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتناسب‬ y : ‫وتقرأ‬
. ( ‫املستقل‬ ‫املتﻐري‬ ) x ‫ويسمﻰ‬
. ( ‫التابع‬ ‫املتﻐري‬ ) y ‫ويسمﻰ‬
‫يكون‬ ‫عندما‬ y = 15 ‫وكان‬ (x) ‫لـ‬ ً‫ا‬‫تبع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫يتﻐري‬ y ‫كان‬ ‫اذا‬
. y = 30 ‫يكون‬ ‫عندما‬ x ‫قيمة‬ ‫فجد‬ x = 7
y x / ‫الحــل‬
k R +
,‫ثابﺖ‬ k ‫ان‬ ‫حيث‬ y = k x
15 = k(7) ⇒ k =
: ( 1- 3 ) ‫تعريﻒ‬
∝
9 ‫مثال‬
∝
: Variation ‫التــــﻐيــر‬ [1-5]
15
‫ـــــ‬
7

17. 17
y 1
y 2
y 1
x 1
y 2
x 2
y 1
x 1
4.8
1.6
y 2
x 2
15
5
y 1
x 1
y 2
x 2
∝
x 1
x 2
10 ‫مثال‬
15
7
x = = 14 ∴
‫القيمتﻦﻴ‬ x ‫اخذت‬ ‫فان‬ ‫ما‬ ‫بعالقة‬ ‫مرتبطان‬ ‫حقيقيان‬ ‫ان‬‫ري‬‫متﻐ‬ x ، y
15 ، 4.8 ‫هﺎﻤ‬ x ‫لقيمتي‬ ‫املناﻇرتﻦﻴ‬ y ‫قيمتا‬ ‫وكانﺖ‬ 5 ، 1.6
‫؟‬ ‫ﻃردي‬ ‫تﻐري‬ ‫عالقة‬ x ، y ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ ‫فهل‬
∵ x1
= 1.6 , x2
= 5 = = 3 / ‫الحــل‬
y1
= 4.8 , y2
= 15 = = 3
=
. ‫ﻃردي‬ ‫تﻐري‬ ‫عالقة‬ x ، y ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ ∴
y = x ∴
: ‫ياﻲﺗ‬ ‫ما‬ ‫نستنتﺞ‬ (1-3) ‫التعريﻒ‬ ‫من‬
y ‫اخذ‬ ‫لذلﻚ‬ ً‫ا‬‫وتبع‬ x1
، x2
‫القيمتﻦﻴ‬ x ‫املتﻐري‬ ‫واخذ‬ y x ‫كان‬ ‫اذا‬
: ‫فان‬ ‫الرتتيب‬ ‫عىل‬ y1
، y2
‫القيمتﻦﻴ‬
= ‫او‬ =
30 × 7
15

18. 18
: ‫مالحظة‬
≠ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
. ‫ﻃردي‬ ‫تﻐري‬ ‫عالقة‬ ‫ليسﺖ‬ x ، y ‫بﻦﻴ‬ ‫فالعالقة‬
: ‫العكﴘ‬ ‫التﻐري‬ ً‫ا‬‫ثاني‬
‫وكان‬ ( ‫موجب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ k ) ‫ثابﺖ‬ ‫عدد‬ k ‫وان‬ ،‫متﻐريين‬ y ، x ‫كان‬ ‫اذا‬
‫ونكتب‬ ( x ) ‫لـ‬ ً‫ا‬‫تبع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫تتﻐري‬ y : ‫نقول‬ ‫فاننا‬ y = k .
، x ‫مع‬Inverse proportion ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫تتناسب‬ y : ‫وتقرأ‬ y
. ( ‫التابع‬ ‫املتﻐري‬ ) y ‫ويسمﻰ‬ ( ‫املستقل‬ ‫املتﻐري‬ ) x ‫ويسمﻰ‬
y = 3 ، x = 20 ‫وكانﺖ‬ (x ) ‫لـ‬ ً‫ا‬‫تبع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫تتﻐري‬ y ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
. x = 6 ‫عندما‬ y ‫قيمة‬ ‫فاوجد‬
y / ‫الحــل‬
∴ y = , k R +
3 = k = 60
∴ y = = = 10
y 1
x 1
y 2
x 2
1
x
∝
∝
: ( 1 - 4 ) ‫تعريﻒ‬
11 ‫مثال‬
k
x
k
20
60
x
1
x
1
x
⇐
60
6

19. 19
: ‫ماياﻲﺗ‬ ‫نستنتﺞ‬ ( 1-4) ‫تعريﻒ‬ ‫من‬
y ‫اخذ‬ ‫لذلﻚ‬ ً‫ا‬‫وتبع‬ x1
، x2
‫القيمتﻦﻴ‬ x ‫املتﻐري‬ ‫واخذ‬ y ‫كان‬ ‫اذا‬
: ‫فان‬ ‫الرتتيب‬ ‫عىل‬ y1
، y2
‫القيمتﻦﻴ‬
= ‫او‬ =
y ، x ‫ان‬‫ري‬‫املتﻐ‬ ‫اخذ‬ ‫فاذا‬ ‫ما‬ ‫بعالقة‬ ‫مرتبطان‬ ‫حقيقيان‬ ‫ان‬‫ري‬‫متﻐ‬ x ، y
‫ونقﺺ‬ 35 ‫اصبﺢ‬ ‫حتﻰ‬ x ‫املتﻐري‬ ‫قيمة‬ ‫ادت‬‫ز‬‫و‬ ‫الرتتيب‬ ‫عىل‬ 21 ، 15 ‫القيمتﻦﻴ‬
‫؟‬ y ‫هل‬ 8 ‫فاصبﺢ‬ y ‫املتﻐري‬ ‫لذلﻚ‬ ً‫ا‬‫تبع‬
= = , x1
= 3 , x2
= 7 /‫الحــل‬
= , y1
= 21 , y2
= 8
∵ ≠
. ( x ) ‫لـ‬ ً‫ا‬‫تبع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫تتﻐري‬ ‫ال‬ y ∴
x z ‫ان‬ ‫عىل‬ ‫فﱪهن‬ y , x ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
x x = k R / ‫الﱪهان‬
y y = h R +
∴ x = = R +
∴ x z
y 1
y 2
x 2
x 1
∝
x 2
x 1
35
15
7
3
∝1
z
∝ 1
y ⇐
k
y
x 2
x 1
y 1
y 2
y 1
y 2
21
8
y 1
x 2
y 2
x 1
12 ‫مثال‬
∝
13 ‫مثال‬
∝
1
x
1
x
1
y
∝∝
,
∝ 1
z
⇐ h
z
,
k
y
k
h
k
h
,
+
z

20. 20
: ‫املﺸرتك‬ ‫التﻐري‬ : ً‫ا‬‫ثالث‬
: ‫كان‬ ‫فاذا‬ ، ‫ات‬‫ري‬‫متﻐ‬ ‫ثالث‬ x ، y ، z ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
‫ومنها‬ x ‫فنكتب‬ z ‫تبع‬ ً‫ا‬‫وعكسي‬ y ‫تبع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتﻐري‬ x ( ‫أ‬
.x = k k R +
x = k z y ‫ومنها‬ x y z ‫فنكتب‬ y ، z ‫تبع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتﻐري‬ x (‫ب‬
. ( ‫ثابﺖ‬ k ) ‫ان‬ ‫حيث‬
x = ‫ومنها‬ x ‫فنكتب‬ y ، z ‫تبع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫تتﻐري‬ x (‫جـ‬
. ( ‫ثابﺖ‬ k ) ‫ان‬ ‫حيث‬
، x = 3 ‫عندما‬ y = 24 ‫وكانﺖ‬ x، z ‫تبع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتﻐري‬ y ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
. y = 30 ، z = 15 ‫عندما‬ x ‫قيمة‬ ‫جد‬ z = 4
y x z / ‫الحــل‬
y = k x z k R +
24 = k (3)(4)
∴ k = 2
∴ y = 2 x z
30 = 2 x(15) ⇒ x =1
∝
y
z∝
1
y z
y
z
: ( 1 - 5 ) ‫تعريﻒ‬
14 ‫مثال‬
,
∝
∝
k
y z
,

21. 21
. a2
+ b2
ab ‫ان‬ ‫عىل‬ ‫برهن‬ a b ‫كان‬ ‫اذا‬
∵ a b / ‫الحــل‬
∴ a = k b , k R +
a2
+ b2
= ab ‫ان‬ ‫نثبﺖ‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ a 2
+ b2
ab ‫ان‬ ‫ثبات‬ ‫وال‬
= h ( ‫ثابﺖ‬ )
= =
=h R+
a2
+ b 2
ab∴
y = 7 ‫كان‬ ‫فاذا‬ . x ، z ‫مع‬ ً‫ا‬‫مﺸرتك‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ً‫ا‬‫ري‬‫تﻐ‬ ‫تتﻐري‬ y ‫كان‬ ‫اذا‬
. ‫التﻐري‬ ‫ثابﺖ‬ ‫جد‬ x= 1 ، z = 3 ‫عندما‬
y . y = k . , k ∈ R+
/ ‫الحـــل‬
7 = k . ⇒k = 21
∝
k2
b2
+ b2
k b × b
b2
( k2
+1 )
k . b2
k2
+ 1
k
∝
a 2
+ b2
ab
15 ‫مثال‬
16 ‫مثال‬
∝
1
x
1
x z
1
(1)(3)
∝
∝
∝(h)
a 2
+ b2
ab
1
z

22. 22
‫قيمة‬ ‫جد‬ x = 5 ‫عندما‬ y = 10 ‫وكان‬ x ‫مع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫تتﻐري‬ y ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ (1
. x = 15 ‫عندما‬ y
‫جد‬ y =25 ‫عندما‬ x = 16 ‫وكان‬ x ‫مع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫يتﻐري‬ y ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ (2
. x = 20 ‫عندما‬ y ‫قيمة‬
x = 1 ‫عندما‬ y = 4 ‫وكان‬ x ، y ‫مع‬ ً‫ا‬‫مﺸرتك‬ ً‫ا‬‫ري‬‫تﻐ‬ ‫يتﻐري‬ z ‫كان‬ ‫اذا‬ (3
. ‫التﻐري‬ ‫ثابﺖ‬ ‫جد‬ z =2
‫كان‬ ‫فاذا‬ ً‫ا‬‫مﺸرتك‬ ً‫ا‬‫ري‬‫تﻐ‬ L ‫مع‬ ً‫ا‬‫وعكسي‬ x ‫مع‬ ً‫ا‬‫ﻃردي‬ ‫يتﻐري‬ y ‫كان‬ ‫اذا‬ (4
‫للعالقة‬ ‫رياضية‬ ‫صيﻐة‬ ‫جد‬ x = 2 ، L = 4 ‫عندما‬ y =
. y ، x ، L ‫بﻦﻴ‬
. y x ‫فاثبﺖ‬ x y ‫كان‬ ‫اذا‬ (‫أ‬ (5
. x z ‫ان‬ ‫فاثبﺖ‬ x y ، y z ‫كان‬ ‫اذا‬ (‫ب‬
R +
‫منها‬ ‫لكل‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫حقيقيﻦﻴ‬ ‫متﻐريين‬ x ، y ‫كان‬ ‫اذا‬ (6
. x3
+ y3
x2
y ‫ان‬ ‫فاثبﺖ‬ y x ‫وكان‬
y = 10 ‫عندما‬ x = 24 ‫وكانﺖ‬ y - 1 ‫تبع‬ ‫عكسيا‬ x ‫تﻐريت‬ ‫اذا‬ (7
‫؟‬ y = 5 ‫عندما‬ x ‫قيمة‬ ‫فﺎﻤ‬
. x ‫قيمة‬ ‫فجد‬ . 15 = ‫التﻐري‬ ‫وثابﺖ‬ y = 5 ‫كان‬ ‫فاذا‬ . x ‫تبع‬ ً‫ا‬‫عكسي‬ ‫يتﻐري‬ y ‫كان‬ ‫اذا‬ (8
3
2
∝
(1-2) ‫متارين‬
∝
∝∝∝
∝ ∝

23. 2323
. ‫املعادالت‬ [2-1 ]
. ‫متهيد‬ -
‫بطريقتي‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫معادلة‬ ‫حل‬ -
. ‫التحليل‬ *
. ‫الدستور‬ *
. ‫الحقيقية‬ ‫ات‬‫رت‬‫الف‬ [ 2-2]
‫الحقيقي‬ ‫للعدد‬ ‫املطلقة‬ ‫القيمة‬ [2-3]
. ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ [2-4]
. ‫متهيد‬ -
‫االوﱃ‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ ‫حل‬ -
. ‫مطلق‬ ‫عىل‬ ‫تحتوي‬ ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬
. ‫متﻐريين‬ ‫يف‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ [2-5]
. ‫بالتعويض‬ -
. ‫بالحذف‬ -
: ‫الثاني‬ ‫الفصل‬
‫اجحات‬‫ر‬‫والمت‬ ‫المعادالت‬

24. 24
‫املاضية‬ ‫السنوات‬ ‫(ويف‬ function )‫الدالة‬ ‫معنﻰ‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬ ‫يف‬ ‫درسﺖ‬ ‫ان‬ ‫سبق‬
‫متﻐريين‬ ‫ويف‬ ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫االوﱃ‬ ‫الدرجة‬ ‫(من‬ equation ) ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫إيجاد‬
‫املعادلتﻦﻴ‬ ‫ان‬ ‫عرفﺖ‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫املعادلة‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬ ‫وكذلﻚ‬
‫نفسها‬ ‫التعويض‬ ‫ومجموعة‬ ‫نفسها‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫لهﺎﻤ‬ ‫اللتان‬ ‫املعادلتان‬ ‫هﺎﻤ‬ ‫املتكافﺌتﻦﻴ‬
. R ‫تعويضها‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬ ‫للمعادلة‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫تذكر‬ ‫ﻢﻟ‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫حينها‬ ‫يف‬ ‫وقلنا‬
.‫متكافﺌتﻦﻴ‬‫ليستا‬ x – 1 = 0 ، x2
–1=0 ‫فاملعادلتان‬
. ‫متكافﺌتان‬ 2x + 3 = 5 ، 2x = 2 ‫املعادلتان‬ ‫أما‬
‫متكافﺌتﻦﻴ‬ ‫ليستا‬ x ∈ Z ‫،حيث‬ x + 3 = 0 x ∈ N ‫،حيث‬ x + 3 = 0 ‫واملعادلتان‬
. ‫وهكذا‬ ....
‫ما‬ ‫معادلة‬ ‫عىل‬ ‫تجري‬ ‫التي‬ ‫ال‬‫ز‬‫واالخت‬ ‫والتجميع‬ ‫التبديل‬ ‫خواص‬ ‫ان‬ ‫هو‬ ‫ذكره‬ ‫يجدر‬ ‫ومﺎﻤ‬
. ‫لها‬ ‫مكافﺌة‬ ‫معادلة‬ ‫اﱃ‬ ‫تؤدي‬
‫عن‬ ‫حلولها‬ ‫مجموعة‬ ‫تختلﻒ‬ ‫معادلة‬ ‫عىل‬ ‫ونحصل‬ ‫ما‬ ‫معادلة‬ ‫عىل‬ ‫معينة‬ ‫بعملية‬ ‫نقوم‬ ‫وقد‬
. ‫االصلية‬ ‫املعادلة‬
‫الطرفﻦﻴ‬ ‫برتبيع‬ x2
= 1 ‫وان‬ x = 1 ‫فان‬ x – 1 = 0 ‫كان‬ ‫اذا‬ ً‫ال‬‫فمث‬
. ‫للطرفﻦﻴ‬ (1 ) ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظري‬ ‫باضافة‬ x2
– 1 = 0
( ‫بالتحليل‬ ) ( x – 1 ) ( x + 1 ) = 0
x = -1 ‫أو‬ x = 1
R ‫ﻓﻲ‬ ‫واﳌﺘﺮاﺟﺤﺎت‬ ‫اﳌﻌﺎدﻻت‬ : ‫اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ‬
: ‫ﲤﻬﻴﺪ‬ [2-1-1]
: �e Equations ‫املعادالت‬ [2-1]

25. 25
. { -1 , 1 } ‫هي‬ x2
– 1 = 0 ‫املعادلة‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬ ∴
‫مجموعتان‬ ‫وهﺎﻤ‬ { 1 } ‫هي‬ ‫االصلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحلول‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫وبسهولة‬
‫اﱃ‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫الجذور‬ ‫ومعرفة‬ ‫الحل‬ ‫بتحقيق‬ ‫يقوم‬ ‫ان‬ ‫الطالب‬ ‫ننصﺢ‬ ‫لذا‬ ‫مختلفتان‬
.ً ‫انفا‬ ‫ذكرناها‬ ‫التي‬ ‫الخواص‬ ‫ﻏري‬ ‫عمليات‬ ‫اجرى‬ ‫اذا‬ ‫األصلية‬ ‫املعادلة‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬
: ‫الﺸكل‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫هي‬ ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫معادلة‬ ‫ان‬ ‫تعلمﺖ‬
a ≠ 0 ‫حيث‬ ax2
+ b x + c = 0
‫الﺸكل‬ ‫من‬ ‫لها‬ ‫مكافﺌة‬ ‫معادلة‬ ‫ايجاد‬ ‫عىل‬ ‫املعادلة‬ ‫هذه‬ ‫حل‬ ‫يعتمد‬
‫بﺸكل‬ ‫بوضعها‬ ‫عنها‬ ‫ناتجة‬ ‫معادلة‬ ‫اﱃ‬ ‫اي‬ ‫ذلﻚ‬ ‫امكن‬ ‫ان‬ ( mx – d ) ( n x – e ) = 0
‫مجموعة‬ ‫بخواص‬ ‫معلوماتنا‬ ‫اﱃ‬ ً ‫استنادا‬ ‫و‬ ‫االوﱃ‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫الحدود‬ ‫كثريﻲﺗ‬ ‫ﴐب‬ ‫حاصل‬
: ‫نكتب‬ ‫ان‬ ‫ﻤﻳكننا‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬
m x – d = 0 x =
( m x – d) ( n x – e ) = 0 ‫أو‬ ⇒
n x – e = 0 x =
: ‫هي‬ ‫املفروضة‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫ونقول‬
{ , }
: ‫واﺣﺪ‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ [2 - 1 - 2]
Factoring ‫اﻟﺘﺤﻠﻴﻞ‬ : ً‫ﻻ‬‫او‬
d
m
e
n
{
d
m
e
n

26. 26
x2
– 7 x + 6 = 0 : ‫املعادلة‬ ‫حل‬
x2
– 7 x + 6 = 0 ( x – 1 ) ( x – 6 ) = 0 / ‫الحــل‬
x – 6 = 0 ‫أو‬ x – 1 = 0 ‫اما‬
x =6 ‫أو‬ x = 1
. { 6 , 1 } = ‫هي‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫وتكون‬
x2
= 49 ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬
x2
– 49 =0 ( x – 7 ) ( x + 7 ) = 0 / ‫الحــل‬
x + 7 = 0 ‫أو‬ x – 7 = 0 ‫اما‬
x = - 7 ‫أو‬ x = 7
{ -7 , 7 } = ‫مﺞ‬
: ‫هي‬ ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫ملعادلة‬ ‫القياسية‬ ‫الصيﻐة‬
a ≠ 0 ‫حيث‬ ax2
+ b x + c = 0
: ‫املعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫ﻤﻳكن‬ . ( ‫لالﻃالع‬ ) ‫املربع‬ ‫اكﺎﻤل‬ ‫ﻃريقة‬ ‫وباستخدام‬
a x2
+ b x + c = a ( x2
+ x + ) = 0 ..... 1
1 ‫للمعادلة‬ ‫االيﴪ‬ ‫الطرف‬ ‫(اﱃ‬ )2
‫املقدار‬ ‫وﻃرحنا‬ ‫اضفنا‬ ‫ولو‬
1 ‫مثال‬
2 ‫مثال‬
‫اﻟﺪﺳﺘﻮر‬ : ً‫ﺎ‬‫ﺛﺎﻧﻴ‬
b
a
〇
c
a
b
2a
〇

27. 27
a [ x2
+ x + ( )2
] + [ - ( )2
] = 0 ‫ينتﺞ‬
a [ x + ] 2
+ [ ] = 0 , a ≠ 0
( x + )2
=
x + = + ‫ينتﺞ‬ ‫الطرفﻦﻴ‬ ‫بجذر‬
‫نوع‬ ‫معرفة‬ ‫بواسطته‬ ‫وﻤﻳكن‬ ‫املميز‬ ‫باملقدار‬ b2
- 4ac ‫املقدار‬ ‫يسمﻰ‬
: ‫هو‬ ‫بالدستور‬ a x2
+ b x + c = 0 ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫ويكون‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫اﱃ‬ ‫الحاجة‬ ‫دون‬ ‫ان‬‫ر‬‫الجذ‬
. ‫الدستور‬ ‫بطريقة‬ 2x2
– 3 x = 1 ‫املعادلة‬ ‫حل‬
2x2
– 3x – 1 = 0 ⇒ a = 2 ، b = -3 ، c = -1 / ‫الحــل‬
b2
– 4 a c ⇒ 9 - 4 (2) ( -1) = 17 ∈ R = ‫املميز‬
: 0 ‫من‬ ‫اكﱪ‬ ‫املميز‬ ‫قيمة‬ ‫الن‬ ‫الدستور‬ ‫تطبيق‬ ‫ﻤﻳكن‬
x = ⇒ x =
{ , } = ‫مﺞ‬
4 a c - b2
4 a 2
b2
- 4 a c
4 a 2
{ , }
b
a
c
a
b
2 a
√
3 ‫مثال‬
3 + 17
4
√
b
2 a
b
2 a
b
2 a
b
2 a
b2
- 4 a c
2 a
b + b2
- 4a c
2a
√x=
b - b2
- 4a c
2a
√b + b2
- 4a c
2a
√
b + b2
- 4 a c
2 a
√
3 - 17
4
√ 3 + 17
4
√

28. 28
. ‫الدستور‬ ‫باستخدام‬ 4x2
– 4x + 1 = 0 ‫املعادلة‬ ‫حل‬
4x2
- 4x+1=0 ⇒ a = 4 , b = -4 , c = 1 / ‫الحــل‬
‫املميز‬ = b2
– 4 a c
=( - 4 )2
– 4 (4 )(1 )
= 16 – 16
= 0
‫الدستور‬ ‫تطبيق‬ ‫ﻤﻳكن‬ ∴
x = ⇒ x =
x =
. { } = ‫مﺞ‬ ∴ ‫متساويان‬ ‫ان‬‫ر‬‫الجذ‬
‫املعادلة‬ ‫ا‬‫ر‬‫جذ‬ ‫فان‬ b2
- 4 a c = 0 ‫املميز‬ ‫قيمة‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
: ‫فان‬ ‫متساويان‬ a x2
+ b x + c = 0
{ } = ‫مﺞ‬
4 ‫مثال‬
- ( - 4 )
2 ( 4 )
b + b2
- 4 a c
2 a
√-
1
2
1
2
: ( 1 ) ‫مالحظة‬
- b
2a
-

29. 29
‫يف‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ ‫فال‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اصﻐر‬ b2
– 4 a c ‫املميز‬ ‫قيمة‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
‫الحل‬ ‫فأن‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫او‬ ‫من‬ ‫أكﱪ‬ ‫قيمته‬ ‫كانﺖ‬ ‫إذا‬ ‫أما‬ . R ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
. R ‫اﱃ‬ ‫ينتمي‬
R ‫يف‬ ‫حل‬ ‫لها‬ ‫ليس‬ x2
- 2 x + 5 = 0 : ‫املعادلة‬ : ‫مثال‬
b2
– 4 ac = (-2)2
- 4 ( 1) ( 5 ) ‫الن‬
= 4- 20
= -16 < 0
: ( 2 ) ‫مالحظة‬
: ‫مثال‬

30. 30
: ‫التحليل‬ ‫ﻃريقة‬ ً‫ا‬‫مستخدم‬ ‫اﻵتية‬ ‫املعادالت‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬(1
6x2
+ 7x – 3 = 0 (‫أ‬
2x2
+ 3x – 9 = 0 (‫ب‬
x2
+ 12 = 7x (‫جـ‬
( ‫الحل‬ ‫صحة‬ ‫حقق‬ ) x- x– 12 = 0 x > 0 (‫د‬
x6
+ 7x3
= 8 (‫هـ‬
‫اﻵتية‬ ‫املعادالت‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫اﻵتية‬ ‫املعادالت‬ ‫جذري‬ ‫نوع‬ ‫بﻦﻴ‬ (2
.( ‫الدستور‬ ) ‫القانون‬ ً‫ا‬‫مستخدم‬
3x2
– 7x + 2 = 0 (‫أ‬
3x2
– 7x + 4 = 0 (‫ب‬
4x2
+ 9 = 12x (‫جـ‬
x2
– 4 x + 5 = 0 (‫د‬
√
(2-1) ‫متارين‬
,

31. 31
: ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫تسمﻰ‬ – 1
‫حيث‬ b ‫اﱃ‬ a‫من‬ ( closed Interval ) ‫املﻐلقة‬ ‫الفرتة‬ { x : x ∈ R ، a ≤ x ≤ b }
‫رمزنا‬ ‫حيث‬ ( 2 - 1) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫االعداد‬ ‫خﻂ‬ ‫عىل‬ ‫ومتثل‬ [a , b] ‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ونرمز‬ a < b
‫لهذه‬ ‫النهاية‬ ‫ولنقطة‬ a ‫باحداثيها‬ ‫املﻐلقة‬ ‫الفرتة‬ ‫متثل‬ ‫التي‬ ‫املستقيمة‬ ‫للقطعة‬ ‫البداية‬ ‫لنقطة‬
(o) ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ذكر‬ ‫الﺸكل‬ ‫هذا‬ ‫يف‬ ‫اهملنا‬ ‫لقد‬ b ‫باحداثيها‬ ‫القطعة‬
‫ومجموعة‬ [a , b ] ‫الفرتة‬ ‫اﱃ‬ ‫املنتمية‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫تقابل‬ ‫وجود‬ ‫يالحﻆ‬
. ab ‫املستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫نقاط‬
. a ∈ [ a , b ] , b ∈ [ a , b ] ‫حيث‬
( 2 -1 ) ‫الﺸكل‬
‫املفتوحة‬ ‫الفرتة‬ { x : x ∈ R ، a < x < b } = ( a , b ) : ‫املجموعة‬ ‫نسمي‬ - 2
‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫الخﻂ‬ ‫عىل‬ ‫ومتثل‬ a < b ‫حيث‬ b ‫اﱃ‬ a ‫(من‬Open Interval)
. (2-2) ‫الﺸكل‬
( 2 - 2 ) ‫الﺸكل‬
‫يف‬ a , b‫العددين‬ ‫حول‬ ‫والدائرتان‬ a ∉ (a , b) , b ∉ (a , b ) ‫ان‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫يف‬ ‫ويالحﻆ‬
. ‫ذلﻚ‬ ‫عىل‬ ‫تدالن‬ ‫الﺸكل‬
a b
: Real Intervals ‫الحقيقية‬ ‫ات‬‫رت‬‫الف‬ [ 2 - 2 ]
a b

32. 32
: ‫املجموعتﻦﻴ‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫نسمي‬-3
{ x : x ∈ R ، a < x ≤ b } = ( a , b ]
{ x : x ∈ R ، a ≤ x < b } = [ a , b )
‫مفتوحة‬ ‫نصﻒ‬ ‫او‬ (Half - closed Interval) ‫مﻐلقة‬ ‫نصﻒ‬ ‫الفرتة‬
( 2 – 3 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫االوﱃ‬ ‫املجموعة‬ ‫ومتثل‬ a < b ‫حيث‬ (Half - open Intetval)
‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫الثانية‬ ‫املجموعة‬ ‫ومتثل‬ a ∉ ( a , b ] , b ∈ ( a , b ] ‫حيث‬
a ∈ [ a , b ) , b ∉ [ a , b ) ‫حيث‬ ( 2 - 4)
: ‫هي‬ ‫تساويه‬ ‫او‬ a ‫الحقيقي‬ ‫العدد‬ ‫عىل‬ ‫تزيد‬ ‫التي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ - 4
( 2 – 5 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫وﻤﻧثلها‬ { x : x ∈ R ، x ≥ a }
‫تكﱪ‬ ‫التي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫عىل‬ ‫تدل‬ { x : x ∈ R ، x > a } = ‫املجموعة‬ ‫ان‬ ‫كﺎﻤ‬
: ( 2-6 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫ومتثلها‬a ‫الحقيقي‬ ‫العدد‬
b
( 2 - 3 ) ‫الﺸكل‬
b(2 - 4) ‫الﺸكل‬
( 2 - 5) ‫الﺸكل‬
( 2-6) ‫الﺸكل‬
a
a
a
a

33. 33
‫التي‬ ‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫عىل‬ ‫تدل‬ { x : x ∈ R ، x ≤ a } = ‫املجموعة‬ - 5
( 2 – 7 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫وﻤﻧثلها‬ ‫اوتصﻐره‬ ‫الحقيقي‬ ‫العدد‬ ‫تساوي‬
‫هي‬ ‫التي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫عىل‬ ‫تدل‬ {x : x ∈ R ، x < a } = ‫واملجموعة‬
( 2 – 8 ) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫وﻤﻧثلها‬ a ‫الحقيقي‬ ‫العدد‬ ‫من‬ ‫اقل‬
[ 3 , 8 ] [ 1 , 6 ] ( ) ‫جد‬
[ 3 , 8 ] - [ 1 , 6 ] (‫)ب‬
[ 1 , 6 ] [ 3 , 8 ] = [ 3 , 6 ] ، [ 1 , 6 ] - [ 3 , 8 ] = [ 1 , 3 )
{ x : x > -3 } [ -5 , 2 ) ‫جد‬
{ x : x > -3 } [ -5 , 2 ) = { x : x ≥ - 5 }
1 3 6 8
-5 -3 2
( 2 - 7) ‫الﺸكل‬
( 2 - 8) ‫الﺸكل‬
6 ‫مثال‬
(2 - 9) ‫الﺸكل‬
7‫مثال‬
a
a
a

34. 3434
of

35. 35
x - 3 , x > 3
|x - 3 | = 0 , x = 3
3 - x , x < 3
: ‫اﻵتية‬ ‫بالخواص‬ ‫تتمتع‬ ‫املطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫ان‬ ( 2 – 1 ) ‫التعريﻒ‬ ‫من‬ ‫نستنتﺞ‬
1) ∀ x R , | x | ≥ 0
- 5 R , | - 5 | = 5 > 0 ً‫ال‬‫مث‬
0 R , | 0 | = 0
2) ∀x R , | -x | = |x |
9 = | -9 | = | 9 | ً‫ال‬‫مث‬
3) ∀ x R , - | x| ≤ x ≤ | x |
|6 | = 6 > -|6 | ‫مثال‬
4) ∀ x R , x2
= | x | 2
( -3 )2
= |-3| 2 ً‫ال‬‫مث‬
9 = ( 3 )2
= 9
5) ∀x ، y R , | x . y | = | x | . | y |
x = 3 ، y = - 5
| 3 ( -5 ) | = | 3 | . | -5 |
| -15 | = ( 3 ) ( 5 )
15 = 15
{

36. 36
6 ) - a ≤ x ≤ a ‫فان‬ |x| ≤ a ‫كان‬ ‫اذا‬ a > 0 ‫حيث‬
-7 ≤ x ≤ 7 ‫فان‬ | x | ≤ 7 ‫كان‬ ‫اذا‬
7 ) ∀x ، y ∈ R ‫فان‬ | x + y | ≤ | x | + | y |
x = 3 ، y = 5 ( ‫مثال‬
| 3 + 5 | = | 3 | + | 5 |
8 = 8
x = 3 ، y = -5 (‫ب‬
| 3 + (- 5) | < | 3| + | - 5 |
| - 2 | < 3 + 5
2 < 8

37. 37
‫ات‬‫رت‬‫الف‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫يف‬ ‫عناﴏ‬ ‫خمسة‬ ‫اكتب‬ (1
( -10 , -6 ] ، ( -1 , 1] ، ( , ] ، [ 0 , 1 ] ، [ 1 , 2 ) ، ( 3 , 4 ] ، ( 5 , 7 )
: ‫يأﻲﺗ‬ ‫ما‬ ‫جد‬ ‫الحقيقي‬ ‫للعدد‬ ‫املطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫تعريﻒ‬ ‫باستخدام‬ (2
| -3 | ، | | ، | - 2 | ، | 3 – 5 | ، | 2 – 5 |
A = [ -3 , 1 ] , B = [ -1 , 2 ] ‫لتكن‬ (3
A∪ B ، A ∩B ، A– B ‫من‬ ‫كال‬ ‫االعداد‬ ‫خﻂ‬ ‫عىل‬ ‫مثل‬ (‫أ‬
‫حقيقية‬ ‫ات‬‫رت‬‫ف‬ ‫شكل‬ ‫عىل‬ A∪ B ، A∩B ، A – B ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫اكتب‬ (‫ب‬
: ‫يأﻲﺗ‬ ‫مﺎﻤ‬ ‫كال‬ ‫جد‬ (4
{ x : x ≥ -1 } ∩ [ -3 ، 2 ) (‫أ‬
( - 3 , 1 ] ∩ { x : x > 2 } (‫ب‬
(- 2 , 3 ] ∪ { x : x < 1 } (‫جـ‬
[ - 3 , 0 ] - ( - 2 , 3 ) (‫د‬
1
4
1
2
3
7
√√
(2-2) ‫متارين‬
√

38. 38
: ‫متهيد‬ [ 2 – 4 – 1 ]
f(x) < g (x ): ‫بالﺸكل‬ ‫تكتب‬ ‫والتي‬ x ً‫ا‬‫ري‬‫متﻐ‬ ‫تحوي‬ ‫التي‬ Inequality ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ ‫ان‬
. x ‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫م‬ ‫تسمﻰ‬ ‫مفتوحان‬ ‫ان‬‫ري‬‫تعب‬ f(x) ، g (x )‫حيث‬
‫يف‬ x ‫لـ‬ ‫اعطيﺖ‬ ‫اذا‬ ‫التي‬ ‫القيم‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫نا‬ّ‫ي‬‫ع‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ، ‫السابقة‬ ‫استﻚ‬‫ر‬‫د‬ ‫من‬ ‫تعلم‬ ‫وكﺎﻤ‬
‫وتعرف‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ ‫هذه‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫اوجدنا‬ ‫نقول‬ ‫صائبة‬ ‫عبارة‬ ‫وجعلها‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ ‫هذه‬
. ‫املتكافﺌة‬ ‫املعادالت‬ ‫عرفﺖ‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫املتكافﺌة‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬
h (x) < s (x ) ‫مكافﺌة‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫م‬ f (x) < g (x ) ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ ‫عن‬ ‫نقول‬
. ‫نفسها‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫لهﺎﻤ‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
. ‫الحدود‬ ‫كثرية‬ f (x) ، g (x )‫من‬ ‫كل‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ ‫بحل‬ ‫البند‬ ‫هذا‬ ‫يف‬ ‫سنهتم‬
‫واحد‬ ‫متﻐري‬ ‫يف‬ ‫االوﱃ‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ ‫حل‬ ‫املتوسﻂ‬ ‫الثالث‬ ‫الصﻒ‬ ‫يف‬ ‫درسﺖ‬ ‫وقد‬
‫لها‬ ‫مكافﺌة‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫م‬ ‫اﱃ‬ ‫املفروضة‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬ ‫من‬ ‫لالنتقال‬ ‫الحذف‬ ‫خواص‬ ‫استخدمنا‬ ‫وقد‬
‫حللنا‬ ‫اننا‬ ‫عندها‬ ‫ونقول‬ x > b ‫او‬ x < a : ‫الﺸكل‬ ‫من‬ ‫اجحة‬‫رت‬‫م‬ ‫اﱃ‬ ‫نصل‬ ‫حتﻰ‬ ‫التعاقب‬ ‫عىل‬
. ‫اجحة‬‫رت‬‫امل‬
: ( 2-2 ) ‫تعريﻒ‬
: Inequalities ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ [ 2 - 4 ]

39. 39
‫مجموعة‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ 3x +1< x + 5 : ‫اجحة‬‫رت‬‫للم‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬
. ‫االعداد‬ ‫خﻂ‬ ‫عىل‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫ومثل‬ R ‫هي‬ ‫التعويض‬
3x + 1 < x + 5 / ‫الحـــل‬
( 3x + 1 ) + ( - x ) < ( x + 5 ) + ( - x )
2x + 1 < 5
( 2x + 1 ) + ( -1 ) < 5 + ( - 1 )
2x < 4
(2x ) < (4)
x < 2
{ x : x ∈ R، x < 2 } = ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
|x – 2 | > 5 ‫اجحة‬‫رت‬‫للم‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ R ‫كان‬ ‫اذا‬
( x – 2 ) , x ≥ 2 / ‫الحــل‬
(2 –x ) , x < 2
| x – 2 | > 5 ⇒ x – 2 > 5 2 – x > 5
x > 7 ‫أو‬ x < -3
: ‫هي‬ ‫املطلوبة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫النظام‬ ‫هذا‬ ‫وبحل‬
{ x : x ∈ R ، x > 7 } ∪ { x : x ∈R ، x < -3 } = 2
‫ف‬ ∪1
‫ف‬
1
2
| x – 2 | =
2
‫ف‬ 1
‫ف‬7-3
2
8 ‫مثال‬
: ‫ﻣﻄﻠﻖ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﲢﺘﻮي‬ ‫اﻻوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﳌﺘﺮاﺟﺤﺎت‬ ‫ﺣﻞ‬ [ 2 - 4 - 2 ]
9 ‫مثال‬
1
2
‫أو‬

40. 40
. Elimination ‫بالحذف‬ ‫أو‬ substitution ‫بالتعويض‬ ‫الحل‬ ‫ويكون‬
‫او‬ ‫االقل‬ ‫عىل‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫حد‬ ‫عىل‬ ‫املتﻐريين‬ ‫ذات‬ ‫املعادلتﻦﻴ‬ ‫احدى‬ ‫اشتملﺖ‬ ‫اذا‬
‫يف‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫تسمﻰ‬ ‫املعادلة‬ ‫هذه‬ ‫فان‬ ‫متﻐريين‬ ‫ﴐب‬ ‫حاصل‬ ‫عىل‬ ‫اشتملﺖ‬
. ‫متﻐريين‬
. R ‫هي‬ x ، y ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
‫للنظام‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ x = { 0 , 1 , 2 , 3 }
x – y = 1 .............. 1
x2
+ y = 11 .............. 2
: ‫هي‬ 1 ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ / ‫الحــل‬
{ ( 0 , - 1 ) , (1 , 0) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } = 1
‫ف‬
: ‫هي‬ 2 ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
{ ( 0 , 11 ) , (1 , 10 ) , (2 , 7) , (3 ,2) } = 2
‫ف‬
: ‫هي‬ ‫للنظام‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫فتكون‬
{ ( 3 , 2 ) } = 2
‫ف‬ ∩ 1
‫ف‬ = ‫ف‬
‫مجموعة‬ ‫جد‬ R ‫هي‬ x ، y ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
.ً‫ا‬‫سابق‬ ‫املذكور‬ ‫للنظام‬ ‫الحل‬
x = y+ 1 ...... 3 : 1 ‫من‬ : ‫الجﱪية‬ ‫الطريقة‬ ‫نتبع‬ / ‫الحــل‬
: ‫ينتﺞ‬ 2 ‫يف‬ 3 ‫نعوض‬
(y + 1 )2
+ y = 11 ⇒ y2
+ 3y - 10 =0
⃝
⃝
⃝
: ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ( ‫متﻐريين‬ ) ‫اﻵنية‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ [2-5]
10 ‫مثال‬
11 ‫مثال‬
⃝
⃝
⃝
⃝⃝

41. 41
(y+ 5) (y – 2) = 0 ⇔ y = - 5 ..... 3 ‫يف‬ ‫التعويض‬
{ (-4 , -5 ) } = 1
‫ف‬ ‫ويكون‬ x =- 4 ∴
3 ‫يف‬ ‫بالتعويض‬ y = 2 ‫أو‬
{ ( 3 , 2 ) } = 2
‫ف‬ ‫ويكون‬ x = 3 ∴
{ (-4 , -5 ) , ( 3 , 2 ) } = 2
‫ف‬ ∪ 1
‫ف‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ R ‫هي‬ x ، y ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫لنفرض‬
x2
+ y2
= 25 ............. 1 ‫للنظام‬
x2
+ y2
+ 2x + 2y = 39 .......... 2
2x + 2y = 14 ⇔ x + y = 7 : ‫ينتﺞ‬ 2 ‫من‬ 1 ‫بطرح‬ / ‫الحــل‬
∴ x = 7 - y ............. 3
: 1 ‫يف‬ 3 ‫بتعويض‬
( 7 – y )2
+ y2
= 25 ⇔ 2y2
– 14 y + 24 = 0
⇔ y2
– 7y + 12 = 0
( y – 3 ) ( y – 4 ) = 0
{ (4 , 3 ) } = 1
‫ف‬ ⇐ ∴ x = 4 3 ‫يف‬ ‫بالتعويض‬ y = 3 ‫اما‬
{ ( 3 , 4 ) } = 2
‫ف‬ ⇐ ∴ x = 3 3 ‫يف‬ ‫بالتعويض‬ y = 4 ‫او‬
{ ( 3 , 4 ) ، ( 4 , 3 ) } = 2
‫ف‬ ∪ 1
‫ف‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ∴
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
12 ‫مثال‬
⃝
⃝
⃝ ⃝
⃝

42. 42
: ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ ( 1
2x + 5 < 7 (‫أ‬
x – 3 ≥ 6 3 (‫ب‬
: ‫االتية‬ ‫اجحات‬‫رت‬‫امل‬ ‫حلول‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ (2
|x -6 | ≤ 1 (‫أ‬
|x + 1 |≤ 4 (‫ب‬
|2x – 3 | ≤ -3 (‫جـ‬
|4x + 1 | ≥ 15 (‫د‬
‫من‬ ‫لكل‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ R ‫هي‬ y ، x ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التعويض‬ ‫مجموعة‬ ‫باختيار‬ (3
: ‫اﻵتية‬ ‫األنظمة‬
x + y = 1 ....................... 1
x2
+ 3y2
= 7 ............. 2
x y = 12 .......... 1
x2
– y2
= 32 ............. 2
x + y = 2 ........... 1
( x- 1 ) 2
+ ( y – 2 ) 2
= 5 ............. 2
x2
+ y2
= 17 ........... 1
x2
+ y2
+ 2x = 19 ........... 2
(2-3) ‫متارين‬
2-
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
⃝
(‫أ‬
(‫ب‬
(‫جـ‬
(‫د‬

43. 434343
‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫ب‬
‫ﻧﻖ‬‫ﻧﻖ‬
‫ب‬
‫أ‬‫أ‬
‫ل‬
‫ﻧﻖ‬
‫م‬
‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫س‬
‫و‬‫و‬
‫ص‬
‫س‬‫س‬
‫أ‬
‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫أ‬
‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫أ‬
‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
‫ب‬
٣
٣٠
٥
٦٠
٢
١
١
٥
٤٥
٥
٤٥
٥٥
٩٠٩٠
‫ب‬‫ب‬
‫د‬ ١١١١
٤٥
١١
٢ ٢
. ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ [3-1]
. ‫الزوايا‬ ‫لقياس‬ ‫الدائري‬ ‫التقدير‬ [3-2]
. ‫الزوايا‬ ‫لقياس‬ ‫والدائري‬ ‫الستيني‬ ‫التقديرين‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [3-3]
. ‫حادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ل‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ [3-4]
. ‫املثلثات‬ ‫حساب‬ ‫يف‬ ‫األساسية‬ ‫العالقات‬ ‫بعض‬ [3-5]
. ‫خاصة‬ ‫لزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ [3-6]
. ‫اوية‬‫ز‬‫ل‬ ‫املثلثية‬ ‫والنقطة‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ [3-7]
( 180ْ -⊖ ) ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ [3-8]
⊖ ∈ [0, 90ْ ) ‫حيث‬
. ‫واإلنخفاض‬ ‫اإلرتفاع‬ ‫زوايا‬ [3-9]

44. 44
‫أن‬ ‫ويتذكر‬ ‫الهندسية‬ ‫لﻸشكال‬ ‫اسة‬‫ر‬‫د‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫مفهوم‬ ‫عىل‬ ‫الطالب‬ ‫تعرف‬ ‫أن‬ ‫سبق‬
. ‫بدئهﺎﻤ‬ ‫نقطة‬ ‫يف‬ ‫مﺸرتكﻦﻴ‬ ‫شعاعﻦﻴ‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫ويكونان‬ (B) ‫البدء‬ ‫نقطة‬ ‫يف‬ ‫مﺸرتكان‬ (3-1) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ BA ، B C ‫فالﺸعاعان‬
A B C
ABC ‫أو‬ ABC ‫لها‬ ‫نرمز‬ ‫التي‬
ABC = C B A ‫أن‬ ‫الحﻆ‬
BA ، B C ‫الﺸعاعان‬ ‫يسمﻰ‬
‫بدء‬ ‫ويسمﻰ‬ (‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫)ضلعي‬
(‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫)رأس‬ B ‫املﺸرتك‬ ‫الﺸعاعﻦﻴ‬
‫وحدة‬ ‫وتسمﻰ‬ Radian Measure «‫الدائري‬ ‫»التقدير‬ ‫يسمﻰ‬ ‫الزوايا‬ ‫لقياس‬ ‫نظام‬ ‫يوجد‬
: ‫يأﻲﺗ‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫تعريفها‬ ‫وﻤﻳكن‬ ‫القطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫فيه‬ ‫القياس‬
^
Angle ‫اويــــة‬‫ز‬‫ال‬ [ 3 - 1 ]
‫املثلثات‬ ‫حساب‬ : ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
: ‫الزوايا‬ ‫لقياس‬ ‫الدائري‬ ‫التقدير‬ [3-2]
C
B
A
(3-1) ‫الﺸكل‬
^
^^
∢

45. 45
r
L
‫دائرة‬ ‫مركز‬ ‫يف‬ ‫رأسها‬ ‫وضع‬ ‫إذا‬ ‫التي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫قياس‬ ‫وهي‬ ‫القطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬
. ‫الدائرة‬ ‫تلﻚ‬ ‫قطر‬ ‫لنصﻒ‬ ٍ‫و‬‫مسا‬ ‫ﻃوله‬ ‫قوس‬ ‫وقابلها‬
‫يساوي‬ AO B ‫املركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫املقابل‬ ‫القوس‬ ‫ﻃول‬ ‫أن‬ ‫فرضنا‬ ‫إذا‬ (3-2)‫الﺸكل‬ ‫ففي‬
m A O B ‫فﺈن‬ L=r ‫وكان‬ ‫ﻃول‬ ‫وحدة‬ (r)= ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصﻒ‬ ، ‫ﻃول‬ ‫وحدة‬ (L)
‫فﺈن‬ (3-3) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ ‫كﺎﻤ‬ L = 2 r ‫كان‬ ‫وإذا‬ ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ 1= ‫الدائري‬ ‫بالتقدير‬
. ‫قطريتﻦﻴ‬ ‫نصﻒ‬ ‫اويتﻦﻴ‬‫ز‬ = ‫الدائري‬ ‫بالتقدير‬ m A O B
(3-3) ‫الﺸكل‬ (3-2) ‫الﺸكل‬
= ‫الدائري‬ ‫بالتقدير‬ ً‫ا‬‫ر‬‫مقد‬ ‫املركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ∴
⊖ =
B
A
L
rO
r
‫لها‬ ‫املقابل‬ ‫القوس‬ ‫ﻃول‬
‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصﻒ‬
: ( 3-1 ) ‫تعريﻒ‬
L
B
r
r
O
A

46. 46
: ‫الزوايا‬ ‫لقياس‬ ‫والدائري‬ ‫الستيني‬ ‫التقديرين‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [3-3]
: ‫فﺈنه‬ ‫املتوسطة‬ ‫املرحلة‬ ‫يف‬ ‫نعلم‬ ‫وكﺎﻤ‬
‫قوس‬ ‫كل‬ ، ً‫ا‬‫متساوي‬ ً‫ا‬‫قوس‬ 360 ‫عىل‬ ‫نحصل‬ ‫فﺈننا‬ ً‫ا‬‫متساوي‬ ً‫ﺎﻤ‬‫قس‬ 360 ‫إﱃ‬ ‫دائرة‬ ‫قسمنا‬ ‫إذا‬
‫الستيني‬ ‫القياس‬ ‫يف‬ ‫درجة‬ ‫يسمﻰ‬ ‫قياسها‬ ‫الدائرة‬ ‫هذه‬ ‫يف‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫يقابل‬ ‫منها‬
: ‫إن‬ ‫كﺎﻤ‬ ، ( 1ْ ) ُ‫ه‬‫ل‬ ‫ويرمز‬ Degree Measure
1ْ = ‫دقيقة‬ 60 = 60َ
1َ = ‫ثانية‬ 60 = 60
2π r = ‫الدائرة‬ ‫محيﻂ‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫سابق‬ ‫ذكرنا‬
⊖ = = ‫أن‬ ‫ومبا‬
360 ْ = ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ 2π ∴
180ْ = ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ π ⇐
= ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ 1 ∴
. ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ 0 .0 1745= ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ = 1ْ ∴
: ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
‫الدائري‬ ‫التقدير‬ ‫من‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ‫لتحويل‬ ‫اعاله‬ ‫العالقة‬ ‫تستخدم‬ =
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ⊖ ‫الستيني‬ ‫بالنظام‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ D ‫يكون‬ ‫حيث‬ ‫وبالعكس‬ ‫الستيني‬ ‫إﱃ‬
. ‫الدائري‬ ‫بالنظام‬
L
r
2π r
r
180ْ
π
180ْ
π
ً
180
π
Dْ
⊖
°

47. 47
1 ‫مثال‬
2 ‫مثال‬
‫ول‬ّ‫ح‬
‫الدائري‬ ‫التقدير‬ ‫إﱃ‬ 40٥
(‫أ‬
‫الدائري‬ ‫التقدير‬ ‫إﱃ‬ 75٥
(‫ب‬
‫الستيني‬ ‫التقدير‬ ‫إﱃ‬ 2.6 (‫جـ‬
‫الستيني‬ ‫التقدير‬ ‫إﱃ‬ (‫د‬
/ ‫الحــل‬
= ⇒ = ⇒ ⊖ = (‫أ‬
. ‫قطرية‬ ‫النصﻒ‬ ‫الزوايا‬ ‫من‬
= ⇒ = ⇒ ⊖ = (‫ب‬
‫قطرية‬ ‫النصﻒ‬ ‫الزوايا‬ ‫من‬
= ⇒ = ⇒ D = 180ْ × 2.6 = 468 ( ‫جـ‬
= ⇒ = ⇒ Dْ = 180 × = 45ْ (‫د‬
‫نصﻒ‬ ‫ﻃول‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫تقابله‬ ‫الذي‬ ‫القوس‬ ‫ﻃول‬ ‫فﺎﻤ‬ 60ْ ‫قياسها‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬
‫؟‬ ‫سم‬ 9 ‫دائرتها‬ ‫قطر‬
/ ‫الحــل‬
= ⇒ = ⇒ ⊖ = ‫قطرية‬ ‫النصﻒ‬ ‫الزوايا‬ ‫من‬
π
180
1
4
⊖
D
π
180
⊖
40
2π
9
π
180
⊖
D
π
180
⊖
75
5π
12
π
180ْ
π
180
⊖
Dْ
π
180ْ
π
180
2.6π
Dْ
Dْ
1
4
π
1
4
π
180
π
180
π
3
⊖
Dْ
⊖
Dْ
⊖
60ْ
π
π
°°°
° ° °
° °
° °
°
°
°
°

48. 48
= ‫الدائري‬ ‫بالتقدير‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ∵
= ⇒ =
‫القوس‬ ‫ﻃول‬ ‫سم‬ L = 3 π = 3 × 3.142 = 9.426
‫سم‬ 20 ‫دائرتها‬ ‫قطر‬ ‫نصﻒ‬ ‫وﻃول‬ ‫سم‬ 22 ‫قوسها‬ ‫ﻃول‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬
‫؟‬ ‫الستيني‬ ‫قياسها‬ ‫مقدار‬ ‫فﺎﻤ‬
= ‫بالدائري‬ ‫املركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ / ‫الحــل‬
‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫اوية‬‫ز‬ =
∵ = ⇒ =
∴ D = × = 63ْ ‫الستيني‬ ‫بالتقدير‬ ‫القياس‬
‫نصﻒ‬ ‫فﺎﻤ‬ ‫5سم‬ ‫يساوي‬ 35ْ ‫مقدارها‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ل‬ ‫املقابل‬ ‫القوس‬ ‫ﻃول‬
‫؟‬ ‫دائرته‬ ‫قطر‬
/ ‫الحــل‬
= ⇒ = ⇒ ⊖ = ‫قطرية‬ ‫نصﻒ‬ ‫زوايا‬
⊖ = ⇒ = ‫ثم‬
∴r = = 7.18 cm ‫القطر‬ ‫نصﻒ‬ ‫ﻃول‬
L
r
π
180ْ
22
20
D
180
π
L
r
π
3
3 ‫مثال‬
L
r
22
20
π
180ْ
22
20
4 ‫مثال‬
L
r
5
r
⊖
Dْ
π
180ْ
⊖
Dْ
π
180ْ
⊖
35ْ
35
180ْ
π
35
180ْ
π
180 × 5
35π
L
9
π
3
°°
°

49. 49
‫اﻵتية‬ ‫الزوايا‬ ‫قياس‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫الدائري‬ ‫التقدير‬ ‫اﱃ‬ ‫حول‬ (1
30 ٥
، 120 ٥
، 15 ٥
، 300 ٥
‫الستيني‬ ‫التقدير‬ ‫اﱃ‬ ‫اﻵتية‬ ‫قطرية‬ ‫النصﻒ‬ ‫الزوايا‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حول‬ (2
، ، ،
‫تقابل‬ ‫قطرية‬ ‫النصﻒ‬ ‫الزوايا‬ ‫من‬ ‫دائرة‬ ‫يف‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫قياس‬ (3)
‫سم‬ 30 / ‫ج‬ . ‫الدائرة‬ ‫تلﻚ‬ ‫قطر‬ ‫نصﻒ‬ ‫جد‬ ‫سم‬ 25 ‫ﻃوله‬ ‫قوسا‬
‫قطرها‬ ‫نصﻒ‬ ‫دائرة‬ ‫يف‬ 135٥
‫قياسها‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ل‬ ‫املقابل‬ ‫القوس‬ ‫ﻃول‬ ‫ما‬ (4
‫سم‬ 18.857 /‫ج‬ ‫سم؟‬ 8
. ‫سم‬ 6 ‫دائرتها‬ ‫قطر‬ ‫نصﻒ‬ ‫وﻃول‬ ‫سم‬ 9.42 ‫قوسها‬ ‫ﻃول‬ ‫مركزية‬ ‫اوية‬‫ز‬ ( 5
( π = 3.14 ) ‫؟‬ ‫الستيني‬ ‫بالتقدير‬ ‫مقدارها‬ ‫فﺎﻤ‬
90 / ‫ج‬
5
3 π
6
5 π
3
π
3
1
6
5
(3-1) ‫متارين‬
°

50. 50
: B ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫القائم‬ ∆ A B C
‫وتكتب‬ (⊖) ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ (Sine )‫جيب‬
Sin ⊖ = =
‫وتكتب‬Cos ‫له‬ ‫ويرمز‬ (⊖) ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ (Cosine ) ‫متام‬ ‫جيب‬
Cos⊖ = =
‫وتكتب‬ (⊖ ) ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ( Tangent) ‫ﻇل‬
tan⊖ = =
‫حادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ل‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫من‬
sin⊖ , cos⊖ ∈ [ -1 , 1 ]
sin 0 = 0 , sin 90ْ = 1
cos 0 = 1 , cos 90ْ = 0
tan 0 = 0 , tan 90ْ ‫معرفة‬ ‫ﻏري‬
‫الوتر‬
‫املقابل‬ AB
AC
B C
AC
‫املجاور‬
‫املقابل‬ A B
B C
: ‫حادة‬ ‫لزواية‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ [3-4]
: ( 3-2 ) ‫تعريﻒ‬
‫الوتر‬
‫املجاور‬
‫وتكتب‬ (
‫وتكتب‬Cos ‫له‬ ‫ويرمز‬ (⊖) ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ (
OPPOSITEHypotenuse
A
AdgacentC B
: ‫مالحظة‬
(3-4) ‫الﺸكل‬
⊖

51. 51
: ⊖ ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫وال‬ B‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قائم‬ ً‫ا‬‫مثلث‬ ‫ﻤﻳثل‬ (3-4) ‫الﺸكل‬
: ‫أن‬ ‫نجد‬ A B C ‫املثلث‬ ‫عىل‬ ‫فيثاﻏورس‬ ‫مﱪهنة‬ ‫بتطبيق‬
( A C )2
‫عىل‬ ‫الحدود‬ ‫كل‬ ‫بقسمة‬
( )2
+ ( )2
=1
( )2
+ ( )2
= 1
sin2
⊖ + cos2
⊖ = 1
‫ينتﺞ‬ (AC) ‫عىل‬ ‫بالقسمة‬ tan ⊖ = ‫كذلﻚ‬
∴tan ⊖ =
ABC ‫املثلث‬ ‫يف‬ cos C = ‫أن‬ ‫علمﺖ‬ ‫اذا‬
tanC ، sin A ، cos A . ‫جد‬ B ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫القائم‬
B ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫القائم‬ A B C ‫املثلث‬ ‫نرسم‬ /‫الحــل‬
∴ cos C = , BC = 5K , AC= 13K, K ‫ثابﺖ‬
( AB)2
+ ( BC)2
= (AC)2
AB
A C
5
13
5
13
: ‫املثلثات‬ ‫حساب‬ ‫يف‬ ‫األساسية‬ ‫العالقات‬ ‫بعض‬ [ 3-5 ]
B C
A C
5 ‫مثال‬
∴
5 K
C
13K
A
B
(3-5) ‫الﺸكل‬
12 K
‫الوتر‬
‫املقابل‬
‫الوتر‬
‫املجاور‬
sin⊖
cos⊖
AB
B C

52. 52
: ‫فيثاﻏورس‬ ‫مﱪهنة‬ ‫باستخدام‬
(A C )2
= (A B )2
+ ( B C )2
(13K)2
= (A B )2
+ ( 5 K )2
(A B)2
= 144 K2
∴AB = 12 K
tan C = =
sinA = =
cos A = =
. C ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫القائم‬AB C ‫املثلث‬ ‫يف‬ tan A = ‫ان‬ ‫علمﺖ‬ ‫اذا‬
. cosB , tinA ‫جد‬
C ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫القائم‬ ABC ‫املثلث‬ ‫نرسم‬ / ‫الحــل‬
tanA = ⇒ B C = 7 K , A C = 24 K
(A B)2
= (A C)+2
(B C)2
(AB)2
= (24K)2
+ ( 7 K)2
AB = 25 K
12 K
5 K
12
5
5 K
13K
5
13
12 K
13 K
12
13
6 ‫مثال‬
(A B)
(AB)
AB = 25 K
B
25 K
24 K
7K
C
(3-6) ‫الﺸكل‬
7
24
7
24
A

53. 53
sinA = =
cos B = =
‫جيب‬ ‫فان‬ ‫متتامتان‬ ‫اويتان‬‫ز‬ ‫أنهﺎﻤ‬ ‫اي‬ ( 90ْ ) ‫يساوي‬ ‫اويتﻦﻴ‬‫ز‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
.(6) ‫مثال‬ ‫الحﻆ‬ ‫وبالعكس‬ ‫األخرى‬ ‫متام‬ ‫جيب‬ ‫يساوي‬ ‫احدهﺎﻤ‬
30ْ ، 45ْ ، 60 ْ
: 45 ْ ‫قياسها‬ ‫اوية‬‫ز‬ (1)
AC= 2 K ‫نجد‬ ‫فيثاﻏورس‬ ‫وباستخدام‬ AB = K , BC = K : ‫ان‬ ‫نفرض‬
sin45ْ = =
cos 45ْ = =
tan 45ْ = = 1
A C
B C
2
1
AB
BC
AB
AC
: ‫مالحظة‬
: ‫الخاصة‬ ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ [ 3 - 6 ]
sin45ْ = =
cos 45ْ = =
tan 45ْ = = 1
45ْ
90ْ
K
k B
(3-7) ‫الﺸكل‬
7 K
25 K
7
25
7 K
25 K
7
25
A
45ْ
2 K
C
2
1

54. 54
٣
٤
٣
٤
90ْ 60ْ 45ْ 30ْ
1 0
0 1
‫معرف‬ ‫ﻏري‬ 3 1 0
‫ة‬‫ي‬‫ث‬‫ل‬‫ث‬‫مل‬‫ا‬ ‫ب‬‫س‬‫ن‬‫ل‬‫ا‬
‫ة‬‫ص‬‫ا‬‫خ‬‫ل‬‫ا‬ ‫ا‬‫ي‬‫ا‬‫و‬‫ز‬‫ل‬‫ا‬
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
3
1
1
2
BD
AB
AD
AB
BD
AD
3
2
3
1
A
(3-8) ‫الﺸكل‬
2K
C
2K
K KDB
60 ْ
AD
AB
3
2
BD
AB
1
2
AD
BD
3
3 K
sin
cos
tan
0 ْ
30 ْ
: 30٥
‫قياسها‬ ‫اوية‬‫ز‬ (2)
sin30ْ = =
cos 30ْ = =
tan 30ْ
= =
: 60ْ ‫قياسها‬ ‫اوية‬‫ز‬ (3)
sin60ْ = =
cos 60ْ = =
tan 60ْ
= =
: ‫اﻵﻲﺗ‬ ‫بالجدول‬ ‫الخاصة‬ ‫املثلثيةللزوايا‬ ‫النسب‬ ‫تلخيﺺ‬ ‫وﻤﻳكن‬

55. 55
:‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬
tan2
30ْ + 2 sin 60ْ + 3tan 45ْ + cos2
30ْ - tan 60ْ
/ ‫اﻟﺤــﻞ‬
( )2
+ 2 × +3×1+ ( )2
-
× + + 3 + -
+ 3 + = 1 + 3 = 4
4cos 30ْ cos 45ْ sin 30ْ sin 60ْ sin 45ْ : ‫اﳌﻘﺪار‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬
/ ‫اﻟﺤــﻞ‬
4 × × × × × =
sin 60ْ cos 30ْ + cos 60ْ sin 30ْ : ‫اﳌﻘﺪار‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬
/ ‫اﻟﺤــﻞ‬
× + × = + = 1
3
4
7 ‫مثال‬
8 ‫مثال‬
9 ‫مثال‬
3
4 3
1 3
2
3
2
3
3
2 2
1 1
2
3
2 2
1 3
4
3
2
3
2
1
2
1
2
3
4
1
4
‫املقدار‬ =
3
4
1
3
3 3
4
3=
1
4
3
4
=
‫املقدار‬ =
‫املقدار‬ =

56. 56
‫قطرها‬ ‫ونصﻒ‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزها‬ ‫دائرة‬ ‫هي‬Unit Circle : ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬
. ‫واحدة‬ ‫ﻃول‬ ‫وحدة‬ ‫يساوي‬
AO B ‫لتكن‬ O B ‫النهاﻲﺋ‬ ‫وضلعها‬ O A ‫االبتداﻲﺋ‬ ‫ضلعها‬ ‫أن‬ ‫حيث‬ (3-9) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬
. ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫مع‬ OB‫النهاﻲﺋ‬ ‫الضلع‬ ‫تقاﻃع‬ ‫نقطة‬ B ,‫القياﳼ‬ ‫الوضع‬ ‫يف‬ ‫موجهة‬ ‫اوية‬‫ز‬
B = ( x , y ) ‫أن‬ ‫نفرض‬
sin ⊖ = ‫أن‬ ‫تعلم‬
⇒ y = sin ⊖
‫املثلثية‬ ‫بالنقطة‬ ‫تدعﻰ‬ ‫النقطة‬ ‫هذه‬ B = ( x , y) = ( cos ⊖ , sin ⊖ )
Trigonometric Point
y
1
: ‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫املثلثية‬ ‫والنقطة‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ [3-7]
: ( 3-3 ) ‫تعريﻒ‬
X
Y
y
x
B ( x , y )
١
( 3 - 9 ) ‫الﺸكل‬
o A
⊖
x
1cos ⊖ = ⇒ x = cos ⊖ ‫أن‬ ‫ثم‬

57. 57
‫ﻤﻳكن‬ ‫عليه‬ ‫املوجبة‬ ‫الحادة‬ ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫تحوي‬ ‫الرياضية‬ ‫الجداول‬ ‫أن‬ ‫نعلم‬
‫هذا‬ ‫استنا‬‫ر‬‫د‬ ‫وسنقﴫ‬ ‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫أو‬ ‫الثالث‬ ‫أو‬ ‫الثاين‬ ‫الربع‬ ‫يف‬ ‫تقع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫الية‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫إيجاد‬
‫املستوي‬ ‫عىل‬ ‫واإلنعكاس‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫باستخدام‬ . ‫والحادة‬ ‫املنفرجة‬ ‫الزوايا‬ ‫عىل‬ ‫العام‬
: ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫حيث‬ ‫الثاين‬ ‫الربع‬ ‫يف‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫للزوايا‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫ايجاد‬ ‫ﻤﻳكن‬
sin ( 180ْ - ⊖ ) = sin ⊖ , ⊖ ∈ [ 0 , 90ْ )
cos ( 180ْ - ⊖ ) = - cos ⊖
tan ( 180ْ - ⊖ ) = - tan ⊖
cos 120ْ ، sin 135 ْ ، tan150 ْ ‫قيمة‬ ‫جد‬
/ ‫الحــل‬
cos 120ْ = cos ( 180ْ - 60ْ ) = - cos 60ْ =
sin 135ْ = sin ( 180ْ - 45ْ ) = sin 45ْ =
tan 150ْ = tan ( 180ْ - 30ْ ) = - tan 30ْ =
-1
2
( 180 ْ _⊖ ) ‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫املثلثية‬ ‫النسب‬ ‫إيجاد‬ [3-8 ]
⊖ ∈ [0 , 90ْ ) ‫حيث‬
10 ‫مثال‬
1
2
-1
3

58. 58
٥
1
2
(3-2) ‫متارين‬
3
5
٥
٥
: ‫مﺎﻤيأﻲﺗ‬ ‫لكل‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ (1
( tan 30ْ - tan 60ْ ) ( 2 tan 60ْ tan 45ْ ) ( ‫أ‬
( sin 30ْ + cos 60ْ ) (cos 60ْ - sin 60ْ ) (‫ب‬
3cos 30ْ tan 60ْ - 2 tan 45ْ - sin 60ْ ( ‫جـ‬
cos 2
45ْ sin 60 ْ tan 60ْ tan2
45 ْ cos2
30ْ ( ‫د‬
‫مثلث‬ ‫يف‬ ‫حادة‬ ‫ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ⊖ ‫أن‬ ‫حيث‬cos ⊖ , tan ⊖ ‫فجد‬ sin ⊖ = ‫كان‬ ‫اذا‬ (2
.‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قائم‬
: ‫املرتبتﻦﻴ‬ ‫املجموعتﻦﻴ‬ ‫أن‬ ‫عىل‬ ‫برهن‬ (3
‫متناسبتان‬ { sin 2
30 , sin 2
45ْ , sin 2
60 , sin 2
90ْ } ، { 1 , 2 , 3 , 4 }
: ‫منها‬ ‫لكل‬ ‫املثلثية‬ ‫النقطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫يأﻲﺗ‬ ‫مﺎﻤ‬ ‫لكل‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ (4
cos150ْ , sin 150ْ ( ‫أ‬
cos 135ْ , tan135ْ (‫ب‬
tan 120 , sin 120ْ (‫جـ‬

59. 59
m B = 60 AC = 4 cm ‫فيه‬ C ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ A B C (5
. ‫مساحته‬ ‫جد‬
‫االعىل‬ ‫وﻃرفه‬ ‫مستوية‬ ‫أفقية‬ ‫أرض‬ ‫عىل‬ ‫األسفل‬ ‫بطرفه‬ ‫مرتكز‬ ‫مرت‬ 10 ‫ﻃوله‬ ‫سلم‬ (6
‫األعىل‬ ‫ﻃرفه‬ ‫بعد‬ ‫فﺎﻤ‬ 30ْ ‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫كانﺖ‬ ‫فاذا‬ ‫شاقوﱄ‬ ‫حائﻂ‬ ‫عىل‬
( 3 = 1.7) ‫؟‬ ‫الحائﻂ‬ ‫عن‬ ‫األسفل‬ ‫ﻃرفه‬ ‫بعد‬ ‫وما‬ ‫؟‬ ‫األرض‬ ‫عن‬
. tan ⊖, L ‫قيمة‬ ‫جد‬ ،⊖ ‫الحادة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫مثلثية‬ ‫نقطة‬ ( , L ) (7
∀
3
2
٥

60. 60
‫فيها‬ ‫اها‬‫ر‬‫ن‬ ‫التي‬ ‫الزوايا‬ ‫قياس‬ ‫من‬ ‫نتمكن‬ ‫عندما‬ ‫واألبعاد‬ ‫االرتفاعات‬ ‫حساب‬ ‫من‬ ‫نتمكن‬
‫الحاصلة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫فان‬ A ‫أفق‬ ‫فوق‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ C ‫نقطة‬ ‫اﱃ‬ ‫ونظر‬ A‫نقطة‬ ‫يف‬ ‫اصد‬‫ر‬ ‫فاذاوقﻒ‬
C ‫ارتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬) ‫تدعﻰ‬ A ‫أفق‬ ‫وبﻦﻴ‬ C ‫النقطة‬ ‫اﱃ‬ ‫اصد‬‫ر‬‫ال‬ ‫عﻦﻴ‬ ‫من‬ ‫الواصل‬ ‫املستقيم‬ ‫بﻦﻴ‬
‫يف‬ ‫اصد‬‫ر‬‫ال‬ ‫عﻦﻴ‬ ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ ‫أما‬ ( 3 - 10) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ CAB ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫مثل‬ (A ‫اﱃ‬ ‫بالنسبة‬
‫اصد‬‫ر‬‫ال‬ ‫عﻦﻴ‬ ‫من‬ ‫الواصل‬ ‫املستقيم‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫الكائنة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫فان‬ ،C ‫أفق‬ ‫تحﺖ‬ ‫التي‬ A‫اﱃ‬ ‫ونظر‬ C
C ‫أفق‬ ‫وبﻦﻴ‬ A ‫النقطة‬ ‫اﱃ‬
( 3 - 10)‫الﺸكل‬ ‫يف‬ A C X ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫مثل‬ (C ‫اﱃ‬ ‫بالنسبة‬ A ‫انخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬ ) ‫تدعﻰ‬
‫مع‬ ‫الخيﻂ‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫كانﺖ‬ ‫فاذا‬ ‫03م‬ ‫خيطها‬ ‫ﻃول‬ ‫ورقية‬ ‫ﻃائرة‬
. ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫الطائرة‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬ 60 ‫هي‬ ( ‫االفق‬ ) ‫االرض‬
L = ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫الطائرة‬ ‫ارتفاع‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬ ( 3 - 11) ‫الﺸكل‬ ‫يف‬ / ‫الحــل‬
‫الطول‬ ‫وحدات‬ ‫من‬
sin 60٥
= =
L= 15 3 ‫االرتفاع‬ ‫مرت‬
: ‫واالنخفاض‬ ‫األرتفاع‬ ‫اويا‬‫ز‬ [ 3 - 9 ]
(3-10) ‫الﺸكل‬
‫انخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬
C
BA
11 ‫مثال‬
L
30
3
2sin 60
L= 15 3
٥
60
‫م‬ 30
C
B
(3-11) ‫الﺸكل‬
⇐
A
L
30L
X
٥
‫ارتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬

61. 61
‫عن‬ ‫مرت‬ 8 ‫تبعد‬ ‫االرض‬ ‫عىل‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مﺌذنة‬ ‫قمة‬ ‫ارتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫ان‬ ‫اصد‬‫ر‬ ‫وجد‬
‫املﺌذنة؟‬ ‫ارتفاع‬ ‫فﺎﻤ‬ 45 ‫تساوي‬ ‫قاعدتها‬
B ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قائم‬ ABC / ‫الحــل‬
tan 45 =
1 =
‫املﺌذنة‬ ‫ارتفاع‬ ‫مرت‬ 8 = AB ∴
‫نقطة‬ ‫انخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫قياس‬ ‫أن‬ ‫قمته‬ ‫من‬ ‫اصد‬‫ر‬ ‫وجد‬ ‫مرت‬ 2350 ‫ارتفاعه‬ ‫جبل‬
‫؟‬ ‫اصد‬‫ر‬‫وال‬ ‫النقطة‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫البعد‬ ‫هو‬ ‫فﺎﻤ‬ 30 ‫االرض‬ ‫عىل‬
‫االنخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫قياس‬ = ‫االرتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫قياس‬ / ‫الحــل‬
: B ‫يف‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قائم‬ ABC
Sin 30 =
=
. ‫اصد‬‫ر‬‫وال‬ ‫النقطة‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫البعد‬ ‫مرت‬ 4700 = AC ∴
12 ‫مثال‬
‫املقابل‬
‫املجاور‬
A B
8
BC
(3-12) ‫الﺸكل‬
45
‫م‬ 8
13 ‫مثال‬
AB
AC
1
2
2350
AC
30
30
‫0532م‬
(3-13) ‫الﺸكل‬
A
B
A
C
٥
٥
٥
٥
٥
٥
٥

62. 62
‫استقامة‬ ‫عىل‬ ‫الﱪج‬ ‫قاعدة‬ ‫مع‬ ‫تقعان‬ ‫شجرتﻦﻴ‬ ‫وأبﴫ‬ ‫برج‬ ‫أعىل‬ ‫يف‬ ‫شخﺺ‬ ‫وقﻒ‬ (1
‫انخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬‫و‬ 60٥
‫األوﱃ‬ ‫الﺸجرة‬ ‫قاعدة‬ ‫انخفاض‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫فكانﺖ‬ ، ‫واحدة‬
.‫الﺸجرتﻦﻴ‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫املسافة‬ ‫جد‬ 45٥
‫الثانية‬ ‫الﺸجرة‬ ‫قاعدة‬
. ‫ا‬‫رت‬‫م‬ 30 ‫الﱪج‬ ‫ارتفاع‬ ‫أن‬ ‫العلم‬ ‫مع‬
8m /‫ج‬
‫فﺎﻤ‬ 30 ٥
‫قمتها‬ ‫ارتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫أن‬ ‫وجد‬ ‫ا‬‫رت‬‫م‬ 50 ‫مﺌذنة‬ ‫قاعدة‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ (2
. ‫املﺌذنة‬ ‫ارتفاع‬
25m /‫ج‬
‫ومربوط‬ ‫أفقية‬ ‫أرض‬ ‫عىل‬ (‫)عموديا‬ ‫شاقوليا‬ ‫مثبﺖ‬ ‫أمتار‬ 6 ‫كهرباءﻃوله‬ ‫3(عمود‬
‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ‫وكان‬ ‫األرض‬ ‫سطﺢ‬ ‫عىل‬ ‫ومثبﺖ‬ ‫العليا‬ ‫نهايته‬ ‫يف‬ ‫بسلﻚ‬
. ‫السلﻚ‬ ‫ﻃول‬ ‫فﺎﻤ‬ 60٥
‫األرض‬ ‫سطﺢ‬ ‫مع‬ ‫السلﻚ‬
6.92m /‫ج‬
‫افق‬ ‫مستوى‬ ‫يف‬ ‫اصد‬‫ر‬‫ال‬ ‫سار‬ ‫وملا‬ 45 ٥
‫هي‬ ‫مثبﺖ‬ ‫منطاد‬ ‫ارتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫اصد‬‫ر‬ ‫وجد‬ (4
‫ارتفاع‬ ‫جد‬ ،60 ٥
‫هي‬ ‫االرتفاع‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫ان‬ ‫شاهد‬ m 1000 ‫مسافة‬ ‫املنطاد‬ ‫نحو‬
. ‫املنطاد‬
‫ج/5632م‬
(3-3) ‫متارين‬

63. 63
‫ل‬‫ص‬
١
‫ص‬-٢
‫ص‬ ١
‫ص‬ - ‫ص‬
‫س‬ - ‫س‬ ١
‫س‬ - ‫س‬
‫م‬
‫س‬‫ب‬
‫ص‬
63
‫ص‬
٢
‫ل‬ ١
‫ل‬‫ل‬
٥
٤٥
‫س‬
٥
١٥٠
١
‫ص‬-٢
‫ص‬ ١
‫ص‬ - ‫ص‬
١
‫س‬ -٢
‫س‬ ١
‫س‬ - ‫س‬
. ‫االحداﻲﺛ‬ ‫املستوي‬ ‫يف‬ ‫نقاط‬ ‫مجموعة‬ ‫]1-4[معادلة‬
. ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ [4-2]
. ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ [4-3]
. ‫معادلته‬ ‫من‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫استنتاج‬ [4-4]
. ‫متوازيﻦﻴ‬ ‫مستقيمﻦﻴ‬ ‫ميﲇ‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [4-5]
. ‫متعامدين‬ ‫مستقيمﻦﻴ‬ ‫ميﲇ‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [4-6]
‫أ‬
‫س‬
١
‫س‬ -٢
‫س‬
‫االحداثية‬ ‫الهندسة‬ : ‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫الفصل‬

64. 64
Analytic Geometry
‫فاذا‬ ‫مستوي‬ ‫يف‬ ‫نقطة‬ ‫يعﻦﻴ‬ ‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫من‬ (x , y ) ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫رأينا‬ ‫لقد‬
‫سمينا‬ ، ‫النقطة‬ ‫لنفس‬ ‫الصادي‬ ‫باالحداﻲﺛ‬ ‫نقطة‬ ‫لكل‬ ‫السيني‬ ‫االحداﻲﺛ‬ ‫تربﻂ‬ ‫معادلة‬ ‫وجدنا‬
‫نقاط‬ ‫تقع‬ ‫أن‬ ‫مثال‬ ‫اشرتﻃنا‬ ‫فلو‬ ( ‫تعينها‬ ‫املطلوب‬ ‫النقاط‬ ‫مجموعة‬ ‫معادلة‬ ) ‫املعادلة‬ ‫هذه‬
‫لنقطة‬ ‫السيني‬ ‫االحداﻲﺛ‬ ‫تربﻂ‬ ‫معادلة‬ ‫وأوجدنا‬ L ‫مستقيم‬ ‫عىل‬ ‫املستوي‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬
‫املعادلة‬ ‫هذه‬ ‫نسمي‬ ‫فاننا‬ ‫الصادي‬ ‫باالحداﻲﺛ‬ ‫املجموعة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫اختيارية‬
. ( L ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ )
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ L ‫كان‬ ‫اذا‬ (1
‫فان‬ a ‫بالبعد‬ ‫عنه‬ ‫ويبعد‬
x = a ‫معادلته‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ k ‫كان‬ ‫اذا‬ (2
‫فان‬ b ‫بالبعد‬ ‫عنه‬ ‫ويبعد‬
y = b ‫معادلته‬
‫توازي‬ ‫نوع‬ ‫معرفة‬ ‫ﻤﻳكن‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
: ‫السابقتﻦﻴ‬ ‫املعادلتﻦﻴ‬ ‫أحد‬ ‫معرفة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫املحورين‬ ‫أحد‬ ‫مع‬ ‫املستقيم‬
x = x1
‫هي‬ ( x1
, y1
) ‫بالنقطة‬ ‫وﻤﻳر‬ ‫الصادات‬ ‫ملحور‬ ‫املوازي‬ ‫املستقيم‬ ‫فمعادلة‬
. ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫عىل‬ ‫ينطبق‬ ‫سوف‬ ‫املستقيم‬ ‫فان‬ x1
= 0 ‫عندما‬
y = y1
‫هي‬ ( x1
, y1
) ‫بالنقطة‬ ‫وﻤﻳر‬ ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوازي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫و‬
Analytic GeometryAnalytic GeometryAnalytic GeometryAnalytic Geometry ‫االحداثية‬ ‫الهندسة‬ : ‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫الفصل‬
‫االحداﻲﺛ‬ ‫مستوي‬ ‫يف‬ ‫نقاط‬ ‫مجموعة‬ ‫معادلة‬ [4-1]
X
k
a
L
Y
b
{
{
Y
X

65. 65
. ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫عىل‬ ‫ينطبق‬ ‫سوف‬ ‫املستقيم‬ ‫فان‬ y1
= 0 ‫عندما‬
x = 0 ‫هي‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومعادلة‬ y = 0 ‫هي‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬ ‫فﺈن‬ : ‫سبق‬ ‫ومﺎﻤ‬
Equation of the line
: ‫بنقطتﻦﻴ‬ ‫مار‬ ‫ملستقيم‬ ‫الكارتزية‬ ‫املعادلة‬ (4 - 2 - 1)
‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫فتكون‬ a ( x1
, y1
) ، b( x2
, y2
) ، c ( x , y ) ∈ ab ‫لنفرض‬
. a ، b
: ‫هي‬
. (3 , -1) ، (- 2 , 5 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
a (3 , -1) ، b (- 2 , 5 ) ، c ( x , y) ∈ ab / ‫الحـــل‬
∵ =
= ⇒ =
- 5y - 5 = 6 x - 18
. ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ 6x + 5 y - 13 = 0
y - y1
y2
-y1
x - x1
x2
- x1
y + 1 5+1
x - 3 -2- 3
‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ [4-2]
y - y1
y2
-y1
x- x1
x2
- x1
=
1 ‫مثال‬
y + 1 6
x - 3 -5

66. 66
( 5, - 3 ) ‫والنقطة‬ ‫األصل‬ ‫بنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
A ( - 3 , 5 ) ، O ( 0 , 0 ) ‫لتكن‬ / ‫الحــــل‬
= : ‫هي‬ OA‫املستقيم‬ ‫معادلة‬
= ⇒ =
5x = -3 y ⇒ 5x + 3y = 0
Slope of �e Line
‫فان‬ a ( x1
, y1
) ، b ( x2
, y2
) ‫كانﺖ‬ ‫اذا‬
x1
≠ x2
‫بﴩط‬ = ab ‫املستقيم‬ ‫ميل‬
( 1 , -1 ) , ( 3 ,-5) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫جد‬
m= ‫امليل‬ / ‫الحـــل‬
m = = = -2
y - y1
y2
-y1
x - x1
x2
- x1
2 ‫مثال‬
y - 0 5- 0
x - 0 -3- 0
y 5
x -3
: ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ [4-3]
: ( 4 - 1 ) ‫تعريﻒ‬
y2
-y1
x2
- x1
3 ‫مثال‬
y2
-y1
x2
- x1
4
-2
-1 +5
1 -3

67. 67
‫اإلتجاه‬ ‫مع‬ L ‫املستقيم‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫املوجبة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫قياس‬ ‫هي‬ ⊖ ‫كانﺖ‬ ‫إذا‬
: ‫فﺈن‬ ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬
⊖ ∈ [0, 180ْ )/{ 90ْ } ‫حيث‬ tan ⊖ = L ‫املستقيم‬ ‫ميل‬
. ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬ ‫مع‬ 45ْ ‫يضع‬ ‫الذي‬ L1
‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫(جد‬ ‫أ‬
. ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬ ‫مع‬ 150ْ ‫يضع‬ ‫الذي‬ L2
‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫جد‬ (‫ب‬
tan ⊖ = ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ / ‫لحــل‬‫ا‬
tan 45ْ = L1
‫ميل‬
1=
tan150ْ= L2
‫ميل‬ ‫كذلﻚ‬
tan ( 180ْ - 30 ) =
- tan 30 =
3
-1
: ( 4 - 2 ) ‫تعريﻒ‬
4 ‫مثال‬
Y
L2
L1
150ْ
45ْ X
°
°

68. 68
. 0 = ‫ميله‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫مستقيم‬ ‫أي‬ ‫أو‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ (1)
. ‫معرف‬ ‫ﻏري‬ ‫ميله‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫مستقيم‬ ‫أي‬ ‫أو‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ (2)
. m ‫وميله‬ a ( x1
, y1
) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ (3)
= ‫هي‬ ‫نقطتﻦﻴ‬ ‫بداللة‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬
: ‫املعادلة‬ ‫فتصبﺢ‬ =m
(y - y1
) = m( x - x1
)
‫وميله‬ ( -3 , 4 ) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(y - y1
) = m( x - x1
) : ‫املعادلة‬
y - 4 = ( x+ 3 )
3y- 12 = 2x + 6
2x - 3y + 18 = 0
‫مع‬ 135ْ ‫يصنع‬ ‫والذي‬ ( -2 , 3 ) ‫بالنقطة‬ ‫ﻤﻳر‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
. ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬
( x1
, y1
) = ( -2 ,3 ) / ‫الحــل‬
m = tan 135 ْ
m = tan ( 180 ْ - 45ْ )
m = - tan 45ْ
y - y1
y2
-y1
x - x1
x2
- x1
y - y1
x - x1
: ‫نتيجة‬
5 ‫مثال‬2
3
2
3
6 ‫مثال‬

69. 69
m = - 1
(y - y1
) = m( x - x1
)
y - 3 = -1 ( x + 2 )
x + y - 1 = 0 ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬
a ، b ، c ∈ R ‫حيث‬ a x + b y + c = 0 ‫هي‬ ‫مستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
. ‫ا‬‫ر‬‫صف‬ ‫معا‬ ‫اليساويا‬ a , b
( ‫السيني‬ ‫املقطع‬ ) x= ax + c = 0 y = 0 ‫بوضع‬ (1)
. ‫الصادي‬ ‫املحور‬ ‫يوازي‬ ‫مستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫ومتثل‬
( ‫الصادي‬ ‫املقطع‬ ) y= by + c = 0 x = 0 ‫بوضع‬ (2)
. ‫السيني‬ ‫املحور‬ ‫يوازي‬ ‫مستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫ومتثل‬
ax + b y + c = 0 ‫التقاﻃع‬ ‫بنقطتي‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ (3)
: ‫هﺎﻤ‬ ‫واللتان‬ ‫االحداثﻦﻴ‬ ‫املحورين‬ ‫مع‬
( , 0 ) , ( 0 , )
‫ميله‬ ‫يكون‬ a x + b y + c = 0 ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫أن‬ ‫القول‬ ‫خالصة‬
m= - = -
b ≠ 0 ‫وان‬ ‫املعادلة‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫ﻃرف‬ ‫يف‬ x ، y ‫بﴩط‬
- c
a
: ‫معادلته‬ ‫من‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫استنتاج‬ [4-4]
a
b
x ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ‬
y ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ‬
- c
b
- c
a
- c
b
⇒⇒
⇒ ⇒
y2
- y1
x2
- x1
m = =
- c
b
c
a
a
b
=

70. 70
. ‫والصادي‬ ‫السيني‬ ‫املقطعﻦﻴ‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ 3x - 4y - 12 = 0 ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫جد‬
m= - = - = / ‫الحــل‬
. ‫السيني‬ ‫املقطع‬ y = 0 ⇒ 3x -12 = 0 ⇒ x= 4
. ‫الصادي‬ ‫املقطع‬ x = 0 ⇒ - 4y - 12 = 0 ⇒ y =- 3
‫متساويﻦﻴ‬ ‫ميالهﺎﻤ‬ ‫فان‬ ‫مستقيﺎﻤن‬ (Parallel) ‫توازى‬ ‫اذا‬ (1
m1
= m2
‫فان‬ L1
∥ L2
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اي‬
. ‫متوازيان‬ ‫فانهﺎﻤ‬ ‫مستقيمﻦﻴ‬ ‫ميال‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬ ‫وبالعكس‬ (2
a1
x+ b1
y+c1
=0 : ‫معادلته‬ L1
(3
a2
x+b2
y+c2
=0 : ‫معادلته‬ L2
m1
= m2
‫فان‬ L1
∥ L2
‫وعندما‬
= ‫أو‬ = ‫اي‬
-1 = ‫ميالهﺎﻤ‬ ‫ﴐب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬ ‫مستقيﺎﻤن‬ (Perpendicular) ‫تعامد‬ ‫إذا‬ (1
m1
× m2
‫فان‬ L1
⊥ L2
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أي‬
. ‫االشارة‬ ‫وبعكس‬ ‫اﻵخر‬ ‫مقلوب‬ = ‫أحدهﺎﻤ‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫أو‬
a
b
7 ‫مثال‬
3
- 4
3
4
: ‫متوازيﻦﻴ‬ ‫مستقيمﻦﻴ‬ ‫ميﲇ‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [4-5]
- a1
b 1
-a 2
b 2
: ‫متعامدين‬ ‫مستقيمﻦﻴ‬ ‫ميﲇ‬ ‫بﻦﻴ‬ ‫العالقة‬ [4-6]
a1
b 1
a 2
b 2
=-1m1
= - ‫ﺍﻭ‬
1
m2

71. 71
3x -4y + 7 = 0 , 4x + 3y - 8 = 0 : ‫املستقيمﻦﻴ‬ ‫تعامد‬ ‫عىل‬ ‫برهن‬
m1
= ، m2
= /‫الحـــل‬
m1
× m 2
= × = - 1
∴ L1
⊥ L2
: ‫املستقيم‬ ‫ويوازي‬ ( - 2 , 1 ) ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫ﻤﻳر‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
3y - 2x + 7 = 0
m= - = - = ‫املعلوم‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ /‫الحـــل‬
= ‫املطلوب‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ⇐ ‫متوازيان‬ ‫املستقيﺎﻤن‬
‫هي‬ ‫وميل‬ ‫نقطة‬ ‫بداللة‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ∴
(y - y1
) = m( x - x1
)
y - 1 = (x + 2 )
3y - 3 = 2x+ 4 ⇒ ∴ 2x -3y + 7 = 0 ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬
8 ‫مثال‬
3
4
- 4
3
3
4
- 4
3
9 ‫مثال‬
a
b
-(-2)
3
2
3
2
3
2
3

72. 72
: ‫املستقيم‬ ‫عىل‬ ‫وعمودي‬ (3 , -5) ‫بالنقطة‬ ‫ﻤﻳر‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
3x + y=1
-3 = ‫املعلوم‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ /‫الحـــل‬
= ‫املطلوب‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬
‫متعامدين‬ ‫املستقيﺎﻤن‬ ‫ﻻﻥ‬
: ‫هي‬ ‫وميل‬ ‫نقطة‬ ‫بداللة‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬
(y - y1
) = m( x - x1
)
y+ 5 = (x - 3 )
3y +15 = x-3
. ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ...... x - 3y - 18 = 0
10 ‫مثال‬
1
3
1
3

73. 73
: ‫أوال‬
. ( -2 , 0 ) ( 2 , 0 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫ميل‬ ‫جد‬ (1)
‫ميل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ w‫قيمة‬ ‫فجد‬ ، a ( 2, 3) , b (w , -3 )‫كانﺖ‬ ‫اذا‬ (2)
. = ab
: ‫ثانيا‬
‫لكل‬ ‫الصحيحة‬ ‫االجابة‬ ‫حدد‬ . ‫صحيحة‬ ‫فقﻂ‬ ‫واحدة‬ ‫اجابات‬ ‫أربع‬ ‫يﺂﻲﺗ‬ ‫مﺎﻤ‬ ‫فقرة‬ ‫لكل‬
: ‫فقرة‬
= L ‫ميل‬ ‫فان‬ ( 3 , 2) ، (5,1) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫ﻤﻳر‬ M ، L ⊥M ‫كان‬ ‫اذا‬ (1)
. - (‫)د‬ ، (‫)جـ‬ ، 2 (‫)ب‬ ، (‫)أ‬
= L ‫ميل‬ ‫فان‬ (-2 , 3 ) , ( 2 ,- 3 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫ﻤﻳر‬ M , L ∥ M ‫كان‬ ‫اذا‬ (2)
. - (‫)د‬ , (‫)جـ‬ , (‫)ب‬ , (‫)أ‬
: ‫ثالثا‬
‫املار‬ M ‫املستقيم‬ ‫يوازي‬ ( - 1, 3 ) , (1 , 6) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ L ‫املستقيم‬ ‫أن‬ ‫بﻦﻴ‬ (1)
. ( 0 , -1 ) (- 2 ,- 4 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬
‫عىل‬ ‫عمودي‬ ( 0 , 5 ), (2 , 0) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ L ‫املستقيم‬ ‫أن‬ ‫بﻦﻴ‬ (2)
. ( 1 , - 1 ) ( 6 , 1 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ M ‫املستقيم‬
(4-1) ‫متارين‬
1
2
1
2
2
3
2
3
3
2
- 3
2
2
3
2
3

74. 74
: ‫ابعا‬‫ر‬
. (0 , -4) ‫بالنقطة‬ ‫وﻤﻳر‬ = ‫ميله‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (1)
. (2 , - 1) ‫بالنقطة‬ ‫وﻤﻳر‬ ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوازي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (2)
. (2 , - 1) ‫بالنقطة‬ ‫وﻤﻳر‬ ‫الصادات‬ ‫ملحور‬ ‫املوازي‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (3)
. (- 1 , 5 ) ، (- 1 , 3 ) ‫بالنقطتﻦﻴ‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (4)
‫الذي‬ ‫للمستقيم‬ ‫واملوازي‬ (2 ,-1 ) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ L ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (5)
. = ‫ميله‬
‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫عىل‬ ‫عموديا‬ ( 0 , - 2) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (6)
. = ‫ميله‬
‫مع‬150ْ ‫قياسها‬ ‫اوية‬‫ز‬ ‫يصنع‬ ‫والذي‬ (-1 ,- 5 ) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫)7(جد‬
. ‫السينات‬ ‫ملحور‬ ‫املوجب‬ ‫االتجاه‬
: ‫خامسا‬
: ‫يأﻲﺗ‬ ‫فيﺎﻤ‬ ‫مستقيم‬ ‫لكل‬ ‫والصادي‬ ‫السيني‬ ‫واملقطع‬ ‫امليل‬ ‫جد‬ (1)
L1
: 2x - 3y + 5 = 0 (‫أ‬
L2
: 8y = 4x + 16 (‫ب‬
L3
: 3y = -4 (‫جـ‬
1
2
2
3
- 3
5

75. 75
: ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫ويوازي‬ (2 , - 5) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (2)
2x - y +3 = 0
‫الذي‬ ‫املستقيم‬ ‫عىل‬ ‫عموديا‬ (2 , - 2) ‫بالنقطة‬ ‫املار‬ ‫املستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (3)
x + y = 0 ‫معادلته‬
: ً‫ا‬‫سادس‬
‫فجد‬ 5x + 2y = 11 : ‫هي‬ M ‫ومعادلة‬ wx - 8y = 7 : ‫هي‬ L ‫معادلة‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
: ‫كان‬ ‫إذا‬ w ‫قيمة‬
. L ∥ M (1)
. L ⊥ M (2)

76. 76

77. 77
‫يتم‬ ،‫دقتها‬ ‫من‬ ‫والتاكد‬ ‫اجعتها‬‫ر‬‫وم‬ ‫امليدان‬ ‫من‬ ‫االحصائية‬ ‫البيانات‬ ‫عىل‬ ‫الحصول‬ ‫بعد‬
‫املتوسطة‬ ‫املرحلة‬ ‫ﻃالب‬ ‫م‬ّ‫ل‬‫تع‬ ‫كﺎﻤ‬ ، ‫فهمها‬ ‫يسهل‬ ‫لﻲﻜ‬ ‫مبسطة‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫عرض‬
. ‫مناسبة‬ ‫اخرى‬ ‫رسوم‬ ‫اي‬ ‫أو‬ ‫بيانية‬ ‫رسوم‬ ‫أو‬ ‫جداول‬ ‫بواسطة‬ ‫يتم‬ ‫العرض‬ ‫هذا‬ ‫ان‬
‫البيانات‬ ‫من‬ ‫النوعﻦﻴ‬ ‫لكال‬ ‫الجدولية‬ ‫العروض‬ ‫عىل‬ ‫السابقة‬ ‫استه‬‫ر‬‫د‬ ‫يف‬ ‫الطالب‬ ‫رف‬ّ‫ع‬‫ت‬ ‫وقد‬
‫ن‬ّ‫و‬‫ك‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫كمية‬ ‫او‬ ‫كيفية‬ ‫لبيانات‬ ‫ارية‬‫ر‬‫تك‬ ‫جداول‬ ‫وكون‬ ‫كمية‬ ‫او‬ ‫كيفية‬ ‫بيانات‬ ‫كانﺖ‬ ‫سواء‬
‫او‬ ‫الدوائر‬ ‫او‬ ‫املنحنيات‬ ‫بواسطة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫بعرض‬ ‫وقام‬ ، ‫الفﺌات‬ ‫ذات‬ ‫ارية‬‫ر‬‫تك‬ ‫جداول‬
‫سنتعرف‬ ‫البند‬ ‫هذا‬ ‫ويف‬ ‫املتجمعة‬ ‫املنحنيات‬ ‫او‬ ‫ارية‬‫ر‬‫التك‬ ‫املضلعات‬ ‫او‬ ‫ارية‬‫ر‬‫التك‬ ‫املدرجات‬
‫الالحقة‬ ‫الطالب‬ ‫اسة‬‫ر‬‫د‬ ‫يف‬ ‫اما‬ ، ‫القادمة‬ ‫البنود‬ ‫يف‬ ‫اليها‬ ‫لحاجتنا‬ ‫املتجمعة‬ ‫املنحنيات‬ ‫عىل‬
: ‫أهمها‬ ‫ومن‬ ‫هامة‬ ‫أخرى‬ ‫منحنيات‬ ‫عىل‬ ‫سيتعرف‬
‫تطبيقات‬ ‫ستجد‬ ‫كﺎﻤ‬ ‫امللتوية‬ ‫املنحنيات‬ ، ‫اﻵﳼ‬ ‫املنحني‬ ، ‫النوين‬ ‫املنحني‬ ، ‫الطبيعي‬ ‫املنحني‬ )
. ( ‫وعلمية‬ ‫حياتية‬
‫تفصيلية‬ ‫فكرة‬ ‫يعطينا‬ ‫التاﱄ‬ ‫والجدول‬ ‫الفﺌات‬ ‫ذات‬ ‫ارية‬‫ر‬‫التك‬ ‫الجداول‬ ‫سبق‬ ‫فيﺎﻤ‬ ‫تناولنا‬
‫بالكيلو‬ ‫الوزن‬ ‫فﺌات‬ ‫حسب‬ ‫املخازن‬ ‫احدى‬ ‫يف‬ ‫السلع‬ ‫توزيع‬ : ‫الفﺌات‬ ‫حسب‬ ‫التوزيع‬ ‫عن‬
‫ام‬‫ر‬‫ﻏ‬
(١) ‫رقم‬ ‫الجدول‬
Statistics ‫اإلحصاء‬ : ‫الخامس‬ ‫الفصل‬
‫مقدمة‬ [5-1]
: ‫اﳌﺘﺠﻤﻌﺔ‬ ‫اﳌﻨﺤﻨﻴﺎت‬ [5-2]
(١) ‫رقم‬ ‫الجدول‬
(‫السلع‬ ‫)عدد‬ ‫ار‬‫ر‬‫التك‬ (‫)كﻐم‬ ‫الوزن‬ ‫فﺌات‬
2 20-
4 25-
5 30-
7 35-
12 40-
8 45-
7 50-
5 55-60