يتناول هذا الوثيقة مسائل رياضية تتعلق بدالة عددية معينة وخصائصها، بما في ذلك إثبات كونها فردية وحساب حدودها. كما يتضمن الوثيقة تحليلاً لتسلسل عددي وكيفية إثبات خصائص تناقصه. بالإضافة إلى ذلك، تحتوي على مسائل تتعلق بمساحة المنطقة المحصورة بين منحنيات معينة.

1. ‫‪Pr:HAMID‬‬
‫4002 ‬ ‫الدورة العادية‬ ‫01 نقط‬
‫✔ الجزء اللول :‬
‫1‬ ‫لنكن ‪ f‬الالةا العدديةا للمتغيا اليقيق ‪ x‬ا ا العرفةا عا ‪ ℝ‬بماا يلا : 2‬
‫‪f (x)=1− x− x‬‬
‫2‬ ‫1+ ‪e‬‬
‫1‬ ‫1‬
‫‪ −x =1− x‬ا لكا ‪ x‬من ‪ℝ‬‬ ‫ا ا ا ا 1_ا أ(ا تيققا منا أنا :‬ ‫5,0‬
‫1+ ‪e‬‬ ‫1+ ‪e‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ب(استنتجا أنا ‪ f‬دالةا فرديةا .‬ ‫5,0‬
‫ا ا ا 2_ا أحسبا )‪lim f (x‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫∞+→ ‪x‬‬
‫2 1− ‪1 e x‬‬
‫( −=)‪ f '(x‬لكا ‪ x‬من ‪ℝ‬‬ ‫52,1 ا 3_ا أ(ا بيا أنا : )‬ ‫ا ‬
‫1+ ‪2 e x‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ب(اعطا جدولا تغياتا الالة ‪ f‬ا عا [ ∞+ ; 0 [ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫الدوال السية واللوغاريتمية‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ج(استنتجا أن ‪ 1− x2 ⩽ 1 x‬ا لك ‪ x‬ا من[ ∞+ ; 0 [ا ا ا ا ا ‬ ‫5,0‬ ‫ا ا ‬
‫1+ ‪e‬‬ ‫2‬
‫1‬
‫ا ا ا ا 4-ا بيا أن 0=])‪ lim [f (x)−(1− x‬ثما أولا هندا سياا هذها التيجةا .‬ ‫5,0‬
‫∞+→ ‪x‬‬ ‫2‬
‫1‬
‫ا 5,1 ا ا ا 5-أنشئا فا العلما ⃗ ; ⃗ ; ‪ (o‬الستيقيما ال يا معادله ‪ y=1− x‬ا ثما أنشئا النحن )‪. (C‬‬
‫)‪i j‬‬
‫2‬
‫0‬ ‫‪−x‬‬
‫1‬ ‫1+‪e‬‬ ‫1‬ ‫‪e‬‬
‫ا 52,1 ا 6_أ(ا بملحظةا 1+‪ 1+ex = e−x‬ا بيا أنا لكا ‪ x‬من ‪∫ 1+ex dx=ln ( 2 ) ℝ‬‬
‫1−‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ب(ا أحسبا مساحةا الزيالستوىا الحصورا بيا النحن‬ ‫57,0‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ومورا الفاصيلا والستيقيميا ذاا العادلةا 1−=‪ x‬وا 0=‪x‬‬
‫✔ الجزء الثاني :‬
‫ا لنكنا ) ‪ (u n‬التتالةا العدديةا العرفةا بماا يلا :‬
‫2‬
‫−1= 1+‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ℕ‬‬ ‫‪u‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 1=0 ‪ u‬ا وا ‬
‫1+ ‪e‬‬‫‪n‬‬
‫ا ا 1_ا بيا بالتجعا أنا 0‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ℕ‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫1‬
‫ا ا 2_ا أ(تيققا باستعمالا نتيجةا السؤالا الالثا جا منا الءزءا الولا ،ا منا أن: ‪ u n+1 ⩽ u n‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫2‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ب(إستنتجا أنا التتالةا ) ‪ (u n‬تناقصيةا .‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫‪n‬‬
‫1‬
‫ا 3_ ا بيا أن: ) (⩽‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ ℕ‬ثما أحسب ‪. lim u n‬‬ ‫57,0‬
‫∞+→ ‪n‬‬ ‫2‬