1. ‫‪Pr:HAMID‬‬ ‫الدورة العادية 8002 ‬ ‫11 نقط‬
‫✔ الجزء اللول :‬
‫نعتب لاللالة ‪ g‬لالعرفة ع لالاجال [ ∞+,0 ] بما يل : ‪g (x)=x−2lnx‬‬
‫1_أ( لاحسب ) ‪ g ' (x‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ]‬ ‫5,0‬
‫ب(بي أن لاللالة ‪ g‬تناقصية ع ] 2 ; 0 ] وتزلايدية ع [ ∞+; 2 [‬ ‫5,0‬
‫2 _ إستنتج أن 0>) ‪ g ( x‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ] )لحظ أن 0>)2( ‪( g‬‬ ‫5,0‬
‫✔ الجزء الثاني :‬
‫: )‪f ( x )= x −(lnx‬‬ ‫نعتب لاللالة ‪ f‬لالعرفة ع [ ∞+,0 ] بما يل‬
‫2‬
‫1_أحسب )‪ lim f (x‬وأول لالتياجة هندسيا‬ ‫57,0‬
‫0→ ‪x‬‬
‫0>‪x‬‬
‫2‬
‫‪lnt‬‬ ‫) ‪(lnx‬‬
‫‪( lim‬‬ ‫‪) lim‬يمكنك وضع ‪ . t= √ x‬نذكر أن: 0=‬ ‫5,0 2_ أ(بي أن 0=‬
‫‪t →+∞ t‬‬ ‫‪x‬‬
‫الدوال السية واللوغاريتمية‬
‫∞+→ ‪x‬‬
‫2)‪(lnx‬‬ ‫)‪f (x‬‬
‫−1( ‪( f ( x)= x‬‬ ‫‪) lim‬لحظ أن )‬ ‫57,0 ب( إستنتج أن ∞+=)‪ lim f (x‬وأن 1=‬
‫‪x‬‬ ‫∞+→ ‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞+→ ‪x‬‬
‫ج(أحسب ‪ lim f (x)−x‬ثم إستنتج أن لالنحن )‪ (C‬يقبل باولار ∞+ فرع شلاجميا إتاهه لالستقيم ‪ Δ‬ذلا لالعادلة ‪y=x‬‬ ‫5,0‬
‫∞+→ ‪x‬‬
‫52,0 د( بي أن لالنحن )‪ (C‬ياوجد ت ت لالستقيم ‪. Δ‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫=)‪ f ' (x‬لك ‪ x‬من [ ∞+,0 ] وبي أن ‪ f‬وتزلايدية قطعا ع [ ∞+,0 ]‬ ‫57,0 3_أ(بي أن :‬
‫‪x‬‬
‫52,0 ب(ضع جدول تغيلات لاللالة ‪. f‬‬
‫ج(بي أن ‪ y= x‬ه معادلة ديكارتية لماس لالنحن )‪ (C‬ف لالقطة لالت أفصاولا 1‬ ‫5,0‬
‫تقبل حل وحيدلا ‪ α‬ف [ ∞+,0 ] وأن 1 <‪) 1 <α‬نقبل أن 1 <2 )2‪( (ln‬‬ ‫4_ بي أن لالعادلة 0=)‪f ( x‬‬ ‫5,0‬
‫2‬ ‫‪e‬‬ ‫2‬
‫5_أنشئ لالستقيم ‪ Δ‬و لالنحن )‪ (C‬ف لالعلم ⃗ , ⃗ , ‪) (O‬نقبل أن )1−‪ I (e ;e‬نقطة إنعطاف للمنحن )‪(C‬‬
‫)‪i j‬‬ ‫1‬
‫‪e‬‬
‫6_ أ(بي أن لاللالة ‪ H : x → xlnx− x‬دلالة أصلية لللالة ‪ g : x →lnx‬ع [ ∞+; 0 ] ثم بي أن: 1=‪∫ lnx dx‬‬ ‫5,0‬
‫1‬
‫‪e‬‬
‫ب( باستعمال لمكلملة بالجزلاء بي أن : 2−‪∫ (lnx)2 dx=e‬‬ ‫57,0‬
‫1‬
‫.‬ ‫ج( أحسب لمساحة حي لالستاوى لالحصاور بي لالنحن )‪ (C‬وماور لالفاصيل ولالستقيمي لاللين معادلمهما: 1= ‪ x‬و ‪x =e‬‬ ‫5,0‬
‫✔ الجزء الثا لث:‬
‫نعتب لالتتالة ) ‪ (u n‬لالعرفة بما يل :‬
‫لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬ ‫)‪u n+1= f (u n‬‬ ‫و‬ ‫2=0 ‪u‬‬
‫57,0 1_ بي بالتجع أن : 2⩽ ‪ 1⩽ u n‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬
‫5,0 2_ بي أن لالتتالة ) ‪ (u n‬تناقصية.‬
‫57,0 3_ لاستنتج أن لالتتالة ) ‪ (u n‬متقاربة ثم لاحسب نمهايتمها.‬