Archimedes berjaya menghampiri nilai pi dengan menggunakan poligon berbilang sisi yang dilukis di dalam dan luar bulatan. Beliau menggunakan kaedah penghampiran secara berperingkat dengan menambah bilangan sisi poligon sehingga mendapat nilai pi antara 3.139350 hingga 3.142715. Zeno pula mencadangkan empat paradoks untuk mencabar konsep pergerakan dan ruang, termasuklah paradoks Dikotomi dan Archilles dan

1. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 28
TOPIK 5: IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN
KALKULUS
Penghampiran π oleh Archimedes
Siapa Archimedes
 Archimedes adalah seorang ahli matematik, ahli
fizik, jurutera, ahli astronomi, dan ahli falsafah
Yunani yang dilahirkan di bandar pelabuhan tanah
jajahan Syracuse, Sicily, Itali.
 Carl Friedrich Gauss yang sering dipanggil sebagai
ahli matematik yang paling terpengaruh, mendakwa
bahawa Archimedes adalah salah satu daripada
tiga ahli matematik yang paling penting selain ialah
Isaac Newton dan Ferdinand Eisenstein.
 Sumbangan-sumbangan teori asasnya kepada
matematik, Archimedes juga membentuk bidang-
bidang fizik dan kejuruteraan amali, dan telah
dirujuk sebagai "ahli sains yang teragung“
 Mencipta skru Archimedes.
Apa itu ?
 , disebut pi adalah satu pemalar matematik.
 ≈ 3.14159... ialah nisbah ukur lilit sebuah
bulatan kepada diameternya dalam ruang Euclid,
dan sering digunakan dalam matematik, fizik dan
kejuruteraan.
 Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes dan
nombor Ludolph
Kegunaan
 digunakan untuk mengira beberapa rumus
matematik seperti :
o Lilitan suatu bulatan berjejari = 2
o Luas suatu bulatan berjejari =
o Luas permukaan suatu sfera berjejari = 4
o Isipadu suatu sfera berjejari =
Memdapatkan Nilai Penghampiran oleh Archimedes
 Arcimedes membuat penisbahan dengan
menggunakan poligon yang dilukis di dalam dan di
luar bulatan:
o Pertama, dia menyatakan bahawa kawasan
bulatan adalah lebih besar daripada kawasan
poligon yang dilakarkan di dalamnya. Dalam
rajah di bawah, heksagon sekata telah
dilakarkan dalam bulatan.
Heksagon sekata terdiri daripada enam buah
segitiga sama sisi.
Luas heksagon = 6 kali luas segitiga
Luas segitiga
=
1
2
× ×
=
1
2
× 1 ×
√3
2
=
√3
4
Luas heksagon (dalam)
= 6 ×
√3
4
=
3√3
2
= 2.598076
o Seterusnya, Archimedes turut melakar
heksagon di luar bulatan (menyentuh lilitan) dan
membuat pengiraan luas heksagon tersebut.
Luas segitiga
=
1
2
× ×
=
1
2
× 2√3 × 1
= √3
Luas heksagon (dalam)
= 6 × √3
= 3.464102
o Archimedes membuat andaian nilai melalui
julat antara luas hekson dalam dengan luas
heksagon luar iaitu
ℎ < < ℎ
2.598076 < < 3.464102

2. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 29
o Archimedes mengulangi kajian untuk
dodekagon (poligon dengan sisi-12) dan
mendapati
3.000000 < < 3.215390
o Archimedes meneruskan kajian sehingga
poligon dengan sisi-96 dan mendapati bahawa
3.139350 < < 3.142715
Penentuan Luas Bulatan oleh Archimedes
 Luas bulatan dapat dikira dengan menggunakan
formula:
=
 Keseluruhan proses yang dilakukan oleh
Archimedes dipanggil "exhaustion", di mana beliau
menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan
had kepada luas poligon di dalam bulatan dengan
bilangan sisi kepada ketidakterhinggaan (infinity).
Prinsip Asas
Penentuan Luas Bulatan
 “squaring the circle”- iaitu kaedah mengenalpasti
poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari
(r) tertentu
 Percubaan pertama
Luas poligon dengan sisi ( -gon) yang dilukis di
dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi
( ) apabila nilai meningkat.
Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan
menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi
poligon meningkat.
Perimeter poligon semakin menghampiri lilitan
bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat.
² + ² = (2 )²
2 ² = 4 ²
² = 2 ²
= √2
= ×
= √2 × √2
= 2
Segiempat sama dilukis di dalam (“inscribed”)
bulatan. Ini bermakna segi empat tersebut adalah
sepadan dan bucu menyentuh bulatan.
Berdasarkan gambarajah di atas,
= diameter kepada bulatan
Dan panjang ialah 2 .
Oleh kerana merupakan segi tiga sama kaki,
maka panjang adalah sama dengan .
Dengan menggunakan sebagai hipotenus (2 ),
panjang dan dapat ditentukan seperti
berikut:
Jadikan = = , maka nilai dicari
menggunakan teorem Phytagoras:
Didapati panjang AB dan BC ialah √2 .
Luas segiempat, :
Luas segiempat, =
Walaubagaimanapun, ianya masih belum
menghampiri luas bulatan yang sebenar.

3. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 30
 Percubaan kedua
 Percubaan ketiga
= 6 ×
= 6 ×
1
2
× ×
= 6 ×
1
2
× × ℎ
3
Archimedes telah menggantikan segi empat sama
dengan poligon sisi enam iaitu heksagon.
Archimedes percaya bahawa percubaan ini akan
mendapat keputusan yang lebih baik berbanding
sebelumnya.
Untuk menentukan penghampiran luas bulatan
dengan heksagon, Archimedes telah
membahagikan heksagon kepada enam bahagian
segi tiga.
Luas heksagon hanya boleh didapati setelah luas
satu segi tiga berjaya diperolehi.
Panjang = .
Pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga:
Jadikan tinggi sebagai h
ℎ +
2
=
ℎ +
4
=
ℎ =
4 −
4
ℎ =
3
4
ℎ =
3
4
ℎ = √3
2
Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu
ℎ =
√
, maka luas heksagon di dalam bulatan
dapat ditentukan:
Luas heksagon,
ℎ =
√
= 6
1
2
× ×
√3
2
=
3 3 2
2
= 2.59 2
Gantikan ℎ =
√
ke dalam persamaan
Luas heksagon, = .
Nilai yang diperolehi dengan menggunakan luas
heksagon adalah lebih baik berbanding luas segi
empat sama, ia sebenarnya masih belum
menghampiri luas sebenar bulatan.
= ( ) =
1
2
ℎ
=
1
2
ℎ =
1
2
ℎ( )
A=
1
2
h(n b)≈
1
2
r(2πr)= πr2
Percubaan demi percubaan menambahkan sisi
poligon, beliau cuba menentukan luas bulatan
menggunakan poligon dengan di mana bilangan
sisi poligon ditingkatkan sehingga menjadi sisi .
Maka, luas bagi poligon sisi adalah kali luas
satu segitiga seperti mana di bawah:
Apabila bilangan -sisi bertambah,
( ) adalah perimeter poligon, di mana apabila
semakin meningkat, ia menghampiri lilitan bulatan
(circumference of the circle) iaitu 2 .
Archimedes telah membuat pencerapan bahawa
sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n,
maka setiap segitiga dikira sebagai 1/n daripada
lilitan bulatan. Selain itu, tinggi segi tiga, h, juga
menghampiri jejari bulatan, r.
Semakin bertambah bilangan segitiga, luas
poligon akan menghampiri dan memenuhi luas
bulatan. Sehubungan dengan itu, Archimedes
telah dapat menentukan luas bulatan seperti
berikut.
Dalam menentukan luas bulatan, ia melibatkan
nilai tetap , yang mana wujud sebagai nisbah
lilitan bulatan kepada diameter bulatan.

4. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 31
Paradoks Zeno
 Paradoks – penyataan yang kelihatan benar / logik
tetapi sebenarnya bercanggah (tidak logik)
 Dipelopori of Zeno of Elea, seorang ahli falsafah
Greek.
 Beliau percaya:
o Sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak
berubah dalam realiti
 Mencadangkan empat paradoks untuk mencabar
tanggapan yang berkaitan dengan ruang dan masa.
 Jenis-jenis paradoks:
 Istilah-istilah paradoks:
Paradoks Dikotomi
 “Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah
mencapai tujuan. Pertamanya dia harus menempuh
perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu dia
mesti menempuh seperempat, seperdelapan,
seperenambelas, sepertigapuluhdua … Sedemikian
hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.
 Oleh karena mustahil melakukan perjalanan
sebanyak tak-hingga, maka benda tidak akan
dapat sampai tujuan.
 Paradoks:
 Sebelum sesuatu objek boleh bergerak dengan
jarak yang diberikan, ianya mesti melalui separuh
daripada jarak tersebut.
 Untuk bergerak separuh daripada jarak tersebut,
ianya mesti bergerak suku daripada jarak tersebut
dan seterusnya sehingga tak terhingga (ifiniti)
iaitu proses pembahagian separuh tidak pernah
sampai hingga ke penghujung (tidak terhad/infinite)
kerana sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan
separuh tidak kira berapa kecil jarak itu.
 Dengan adanya pembahagian separuh
menyebabkan tiada jarak yang boleh
digerakkan di dalam jumlah masa yang terhad
(finite).
 Oleh itu ianya kelihatan kita tidak boleh bergerak
pada jarak yang sebenar dan pergerakan
adalah mustahil.
 Contoh:
o Ambil objek yang boleh dibahagikan kepada
dua.
o Adakah ianya akan berterusan dibahagikan
selama-lamanya.
o Dan jika ianya berterusan selamanya, objek
tersebut mempunyai bahagian yang ifiniti.
 Hujah:
Paradoks Archilles dan Kura-kura
Paradoks Zeno
Paradoks
Dikotomi
(Dichotomy
Paradox)
Paradoks
Archilles dan
Kura-kura
(Achilles and
Tortoise
Paradox)
Paradoks
Anak Panah
(Arrow
Paradox)
Paradoks
Stadium
(Stadium
Paradox)
Pernyataan
apa yang dinyatakan oleh Zeno
dalam paradoknya
Bukti apa yang menyokong
pernyataan tersebut
Hujah
bukti yang dikemukakan oleh
ahli falsafah moden bagi
menyangkal paradoks
Pernyataan: Pergerakan adalah mustahil
Bukti: Jika objek boleh dibahagikan, maka ia
sebenarnya tidak wujud
oUrutan 1, ½, ¼, ⅛, etc, etc mempunyai had 0
oUrutan 0.9, 0.99, 0.999, etc mempunyai had 1.
oApabila kita menulis 0.9999…, ianya
bermaksud “had nombor 9 adalah sehingga
infiniti”, maka 0.9999… ≈1
oDalam erti kata lain urutan sebenarnya akan
menghampiri had yang kita kehendaki.
Realitinya jarak yang terhad memerlukan
jumlah masa yang terhad untuk bergerak (jarak
boleh digerakkan pada masa yang terhad)

5. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 32
 Paradoks:
 Berdasarkan paradoks ini, Achilles tidak akan
dapat mengalahkan kura-kura yang bergerak
terlebih dahulu.
 Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang dan
waktu adalah berterusan. Jika ada pergerakan,
pergerakan itu adalah seragam.
 Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles
kepada nombor yang infiniti.
 Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu
segmen tertentu boleh dibahagikan kepada
beberapa jarak sehingga ke infiniti.
 Dengan itu, Zeno membahagikan jarak
perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian
kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada
masa yang terhad.
 Hujah 1:
 Hujah 2:
Pernyataan: Ruang dan waktu adalah
berterusan
Bukti: Archilles tidak akan dapat melintasi kura-
kura
Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti
melalui jarak yang tidak terhad:
100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + ….
Walaubagaimana pun, jumlah jarak tidak terhad
merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Jadi,
bagaimana Zeno mengatakan jarak yang dilalui
Achilles tadi adalah tidak terhad.
Bukti:
= 100 = = ∞
Menggunakan janjang geometri untuk mencari
jarak yang tidak terhad:
=
1 −
=
100
1 −
1
2
=
Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang
dikatakan oleh Zeno) sebenarnya adalah
merupakan satu jumlah jarak yang terhad.
*Paradoks ini dikeluarkan sebelum janjang
geometri (geometric series) ditemukan. Jadi
apabila adanya janjang, ia telah menyangkal
paradoks Zeno ini.
Realitinya, ruang dan waktu tidak berubah-
ubah

6. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 33
Paradoks Anak Panah
 Paradoks anak panah ini membantah idea
bahawa ruang atau masa itu berasingan
(discrete)
 Zeno berpendapat bahawa satu objek yang
sedang terbang, selalu menepati ruang yang
sama besarnya dengan objek tersebut.
 Paradoks
 Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang
(moment of now)
 Satu anak panah sedang dalam penerbangan,
pada mana-mana suatu ketika, ia tidak dapat
dibezakan dengan satu anak panah yang dalam
keadaan rehat (pegun) pada kedudukan yang
sama.
 Persoalannya pada ketika tersebut, adakah anak
panah tersebut bergerak atau dalam keadaan
rehat (pegun)?
 Dan jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah
dalam keadaan rehat (pegun) dan tidak dalam
penerbangan. Jadi, bila anak panah itu bergerak.
 Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan
pegun (tidak bergerak). Pada masa ini juga tiada
jarak direkodkan kerana tiada pergerakan.
 Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat,
bila anak panah itu bergerak (berada dalam
penerbangan)
 Contoh:
 Hujah:
Paradoks Stadium / Stadion
 Paradoks ini dikenali juga sebagai paradoks
pergerakan barisan.
 Paradoks ini adalah pradoks yang paling mustahil
di antara semua Paradoks Zeno.
 Paradoks ini melibatkan kedudukan baris selari
(seperti di stadium).
 Boleh divisualisasikan sebagai pergerakan tiga
baris selari, A, B, dan C.
 Paradoks
 Boleh divisualisasikan sebagai pergerakan tiga
baris selari, A, B, dan C.
Pernyataan: Pergerakan adalah mustahil
Bukti: Semua objek berada dalam keadaan
pegun dan tidak bergerak
Pernyataan: Ruang dan masa boleh
dibahagikan hanya dengan jumlah yang pasti
Bukti: Separuh daripada masa adalah sama
dengan dua kali masa
o Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari
busurnya ianya sebenarnya tidak bergerak
melainkan setiap saat berhenti.
o Disetiap tempat anak panah itu berada,
sebenarnya anak panah itu sedang berhenti
dan diam disitu.
o Jadi, panah yang sedang terbang itu
sebenarnya tidak bergerak melainkan dalam
keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja
bergerak.
Katakan anak panah yang berterbangan bergerak
pada jarak, = 20 dalam masa, =
4 .
Halaju anak panah:
=
=
20
4
= 5
Anak panah yang berterbangan pada ketika 1
saat sebenarnya mempunyai:
Jarak, = 0 seperti yang dikatakan oleh
Zeno sebenarnya mempunyai jarak, yang
boleh dikira.
=
= (5 )(1 )
= 5
Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan
pada sesuatu ketika (sekarang) di mana pada
ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang
bergerak.
Realitinya, ruang dan masa adalah
berasingan / deskrit (descrete).

7. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 34
 Hujah:
Penyelesaian matematik untuk paradoks ini adalah:
Halaju B menuju A =
Halaju C menuju A = S
Halaju C menuju B = 2
Jarak untuk menghabiskan pergerakan = 2 (2 kereta atau unit)
Waktu yang diperlukan untuk
menghabiskanpergerakan =
=
= 1 unit waktu ( )
Realitinya ruang dan masa tidak
boleh dibahagikan

8. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 35
Penyiasatan Lengkung Kubik oleh Newton
Isaac Newton
 Dilahirkan pada tahun 1642.
 Ibunya mengeluarkannya dari sekolah supaya dia
jadi jadi petani yang baik.
 Pada umur 18 tahun telah mamsuki Universiti
Cambridge.
 Di sinilah Newton mula belajar pelbagai bidang
ilmu termasuk Matematik
 Suka melakukan penyelidikan sendiri dan akhirnya
tercipta pelbagai teori yang kemudian mampu
mengubah dunia
 Antaranya menghasilkan 72 jenis lengkung kubik
Lengkung Kubik
 Isaac Newton merupakan orang pertama yang
mula-mula menjalankan penyiasatan yang
sistematik tentang lengkung kubik (kuasa tiga).
 Penyiasatan ini iaitu Enumeratio Linearii Tertii
Ordinii, sebenarnya disiapkan pada 1676 (34 thn),
tetapi tidak diterbitkan sehingga 1704.
 Persamaan umum lengkung kubik adalah;
+ + + + + fxy + g
+ ℎ + + = 0
 Daripada persamaan ini, Newton telah mencipta
72 jenis lengkung kubik.

9. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 36
 Daripada persamaan umum tadi, dia telah
memecahkannya kepada 4 jenis lengkung:
o Jenis I = Witch of Agnesi
o Jenis II = Newton’s Trident
o Jenis III = Newton Diverging Parabolas
o Jenis IV = Cubic Parabolas
 Alexis Claude Clairaut telah menjalankan
penyiasatan terhadap Jenis III (Newton Diverging
Parabolas) dengan memperkenalkan permukaan
dalam ruang tiga dimensi.
o Lengkung kubik diaplikasikan dalam lukisan
yang dihasilkan oleh St. James sehinggakan
lukisan tersebut kelihatan secara 3-dimensi.
+ = + + +
Persamaan umum:
= + + +
Persamaan umum:
= + + +
Persamaan umum:
= + + +
Persamaan umum: