Geometri Hiperbolik dan geometri elliptik.

1. Filsafat dan Sejarah Matematika
Dosen Pengasuh:
Prof. Dr. Fuad A Rahman, M.Pd
Dr. Somakim, M.Pd
Dr. Darmawijoyo, M.Si

2. “Geometri Non Euclid”
Oleh :
1. Andriani Widi Astuti (06022681519001)
2. Dia marsella (06022681519003)
3. Marhamah Fajriyah N (06022681519005)
4. Rizky Putri Jannati (06022681519012)
5. Sri Widya Permatasari (06022681519004)

3. Latar Belakang
Postulat Kelima
Euclid
“Kesejajaran”
yang masih
diragukan
Pembuktikan
Postulat Kelima
masih gagal

4. “Matematikawan Arab”
Nasîr Eddîn
(1201-1274)
Hipotesisnya
berkenaan
dengan Postulat
Ke-5 Euclid
Jumlah sudut dari suatu
segitiga adalah sama
dengan dua kali sudut siku.
Dan segitiga siku-siku
merupakan setengah bagian
dari suatu segiempat yang
‘dipotong’ mengikuti
diagonalnya

5. “Matematikawan Eropa”
• Jumlah sudut-sudut pada
suatu segitiga adalah sama
dengan dua kali sudut siku’
Adrien Marie
Legendre
(1752-1833)
• melalui suatu titik yang tidak
berada pada suatu garis
yang diberikan, hanya akan
terdapat satu garis sejajar
Jonh Playfair,
(1748-1819)

6. Dasar Geometri Non Euclid
Girolamo
Saccheri
(San Remo,
1667-1733)
Menggunakan Absurd
Method dalam
pengkonstruksian
Postulat Ke-5 Euclid.
Hasil temuannya
kemudian menjadi dasar
bagi perkembangan
Geometri Non-Euclid.

7. Dasar Geometri Non Euclid

8. Kelahiran Geometri Non Euclid
Geometri yang
menolak
kebenaran
Postulat Ke-5
Euclid (Geometri
Non Euclid)
Tidak dapat
dibuktikan dengan
menggunakan
aksioma-aksioma
yang terdapat pada
Geometri Euclid

9. Geometri Non-Euclid
Geometri
Hiperbolik
Geometri
Eliptik

10. Geometri Hiperbolik
Direpresentasikan oleh sebuah lingkaran.
Geometri Hiperbolik Representasi Geometri Euclid
Titik Titik dalam lingkaran
Garis Penghubung terbuka lingkaran
Bidang Bagian dalam lingkaran
Segmen Segmen penghubung dua titik

11. Jumlah besar sudut suatu segitiga di
dalam Geometri Hiperbolik
• Sudut luar segitiga akan lebih
besar daripada sudut interior
(dalam) yang tidak bersisian dengan
sudut tersebut.
Teorema 2.1
(Teorema sudut luar)
• Jumlah besar dua sudut suatu
segitiga adalah kurang dari atau sama
dengan sudut luarnya.
Lemma 2.1
• Pada segitiga jumlah besar sudut-
sudutnya kurang dari 180°.Teorema 2.2

12. Geometri Eliptik
Postulat kesejajaran dari Riemann
adalah: “Tidak ada garis-garis sejajar
dengan garis lain”
Model Geometri
Eliptik Tunggal
Model Geometri
Eliptik Ganda

13. Model Geometri Eliptik Tunggal
Sebarang dua garis yang berpotongan
tepat pada satu titik, tetapi tidak ada garis
yang memisahkan bidang tersebut.

14. Model Geometri Eliptik Ganda
Dua garis berpotongan tepat pada dua
titik, dan setiap garis memisahkan bidang.

15. Dalil-dalil pada Geometri Eliptik
• Dua garis yang tegak lurus pada suatu
garis bertemu pada suatu titik ujungnya.Dalil 3.1
• Semua garis tegak lurus pada suatu garis
berpotongan pada titik yang disebut kutub
dari garis itu dan sebaliknya setiap garis
melalui kutub suatu garis tegak lurus pada
garis itu.
Dalil 3.2
• Dalam sebarang ΔABC dengan ∠C = 90°,
sudut A kurang dari, sama dengan atau
lebih besar dari 90°, tergantung dari
segmen 𝐵𝐶 kurang dari, sama dengan atau
lebih besar dari jarak polar q.
Dalil 3.3

16. Dalil-dalil pada Geometri Eliptik
• Jumlah besar sudut-sudut segitiga lebih
besar dari 180°.Dalil 3.4
• Jumlah besar sudut-sudut segiempat
lebih besar dari 360°.Dalil 3.5