Geometri dapat dipandang sebagai sistem deduktif berdasarkan himpunan postulat yang menentukan jenis geometrinya. Euclides membedakan antara postulat yang berlaku khusus untuk ilmu tertentu dan aksioma yang berlaku secara umum. Geometri Euclides didasarkan pada definisi unsur-unsurnya serta aksioma dan postulat tertentu.

1. GEOMETRI SEBAGAI SISTEM DEDUKTIF,
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES DAN
STRUKTUR GEOMETRI BIDANG EUCLIDES

2. KELOMPOK 1
WIDYA MEKA C SILABAN (17150149)
IRENA OPRIANTI SILABAN (17150127)
SUBANDI JUJUR TAMPUBOLON (17150122)
NOVI ROSELINA SARAGIH (17150148)
IKA RONAULI SITUMORANG (17150125)
SHEILINE P SIHOMBING (17150129)
GRACE CICILIA SIMANJUNTAK (17150116)
BELLA THEEREZA TAMPUBOLON (17150130)
RIRIN MALAU (17150120)
DONI SIHOMBING (1715O153)
NATASYA P PADANG (15150173)
ANDIKA NAINGGOLAN (16150028)

3. GEOMETRI SEBAGAI SUATU SISTEM DEDUKTIF
Sejarah
Dengan memandang geometri sebagai
sistem deduktif, geometri dapat disebut sebagai suatu
sains deduktif. Dengan berawal pada pengertian pangkal,
definisi dan postulat-postult itu menentukan macam
geometri. Dengan memandang geometri sebagai sistem
deduktif yang didasarkan atas himpunan postulat, yang
dapat dianggap sebagai aturan permainannya, maka jika
postulat itu diganti akan didapat geometri yang lain. Kata
Kunci: deduktif, postulat, sistem geometri.
Geometri berasal dari kata latin “Geometria”, geo yang
berarti tanah dan metria berarti pengukuran. Menurut
sejarahnya,geometri tumbuh pada zaman jauh sebelum
masehi karena keperluan pengukuran tanah setiap kali
sesudah sungai Nil di Mesir banjir.

4. Geometri dapat dipandang sebagai sebagai
suatu sistem deduktif,apakah artinya itu?
Dalam suatu sistem deduktif harus ada
pengertian-pengertian pangkal,yaitu unsur-
unsur dan relasi relasi yang tidak di
definisikan. Masih diperlukah pula definisi
definisi dari unsur unsur lain dengan
menggunakan pengertian pengertian pangkal
tersebut. Dengan definisi-definisi
memungkinkan kita untuk memberikan nama
pada unsur-unsur sehubungan dengan
pengertian pangkal itu.

5. 1.1 Postulat
Dalam Geometri harus hanya ada
satu presentasi yang memenuhi satu himpunan postulat
itu atau jika ada dua, tentu keduanya harus isomorphic.
Dikatakan himpunan postulat itu harus “categorical”.
Dalam Geometri kita akan memperhatikan kesimpulan-
kesimpulan dan akibat-akibat dari himpunan postulat itu
dan tidak memperhatikan artinya dalam ruang hidup
kita.
Postulat berasal dari bahasa Latin 'postular' yang
artinya 'untuk menuntut'. Tidak seperti aksioma, postulat
bertujuan untuk menangkap hal-hal yang khas dari
sebuah struktur. Pernyataan seperti 'Adalah mungkin
menggambar sebuah garis dari suatu titik ke titik lain'
adalah contoh dari postulat yang diungkapkan oleh
Euclid.

6. 1.2 Aksioma
Aristoteles menggunakan istilah aksioma
yang berasal dari bahasa Yunani 'axioma' yang artinya
'untuk dianggap layak' atau 'untuk diminta', kadang
kala diartikan sebagai 'pendapat umum'. Dalam
Matematika, aksioma dikategorikan menjadi 'Logical
Axiom' dan 'Non-Logical Axiom'. Yang dimaksud
dengan logical axiom adalah proposisi atau
pernyataan, sedangkan non-logical axiom adalah
sifat-sifat yang terdefinisi dalam domain teori
matematika yang spesifik atau pernyataan logika,
dimana menggunakan langkah-langkah deduksi untuk
membangun teori matematika. Pernyataan seperti
"Sesuatu hal yang sama dengan hal yang lain, adalah
sama satu sama lain." merupakan contoh dari
aksioma yang diungkapkan oleh Euclides.

7. B.STRUKTUR GEOMETRI BIDANG EUCLIDES
1. Geometri Euclides
Dalam Geometri sebagai suatu
sistem deduktif himpunan postulat itu dipandang sebagai
“aturan permainan”. Himpunan postulat harus konsisten,
artinya tidak boleh ada 2 pernyataan yang bertentangan.
Demikian pula tidak boleh ada 2 dalil yang bertentangan.
Demikian pula tidak boleh ada 2 dalil yang bertentangan
yang diturunkan dari dapat dipandang sebagai suatu
sistem deduktif adalah Geometri dan Euclides. Geometri
Euclides ini bertahan selama hampir 2000 tahun.
Matematikawan yang bernama Euclides ini berasal dari
Aleksandria. Euclides hidup kira-kira 300 tahun sebelum
Masehi. Dia menulis bukunya sebanyak 13 buah dengan
mengumpulkan materinya dari beberapa sumber dan dari
tokoh-tokoh sebelumnya. Euclides adalah penulis dan
penyusun buku yang sangat luar biasa, bukunya himpunan
postulat itu. disebut “The Elements” atau “Euclid’s

8. Euclides membedakan antara postulat dan aksioma,
postulat berlaku khusus untuk sains tertentu dan
aksioma berlaku untuk umum.
1.1 Sketsa Teori Geometri Bidang Euclides
1. Titik adalah yang tidak mempunyai bagian.
2. Garis adalah panjang tanpa lebar.
3. Ujung-ujung suatu garis adalah titik.
4. Suatu garis lurus adalah suatu garis yang terletak
rata dengan titik-titik padanya.
5. Suatu bidang adalah yang hanya mempunyai
panjang dan lebar.
6. Ujung-ujung suatu bidang ada karena menurut teori
Plato ada lah garis hubungan antara kubus dan tanah,
bidang empat (tetrahedron) dan api,

9. 7. Suatu bidang datar adalah suatu bidang yang terletak
rata dengan bidang delapan (octahedron)
dan garis-garis padanya.
8. Suatu sudut datar adalah inklinasi (kemiringan)
sesame-nya dari dua garis dalam suatu bidang
datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis
lurus dalam suatu garis sedemikian,
hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dalam
hubungan itu dan mengenai garis tadi
sama panjangnya.
9. Dan jika garis-garis yang memuat sudut itu lurus,
maka sudut itu disebut sudut garis lurus.
10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus
dan membuat sudut yang bersisian sama,
masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang
berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak
lurus pada garis yang lain.

10. 11. Suatu sudut tumpul adalah sudut yang lebih
besar dari sudut siku-siku.
12. Suatu sudut lancip adalah yang lebih kecil dari
suatu sudut siku-siku.
13. Suatu batas adalah ujungnya (akhirnya)
sesuatu.
14. Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat
dalam suatu batas bangun trilateral adalah
yang atau beberapa batas.
15. Suatu lingkaran adalah suatu dibatasi oleh
tiga, quadrilateral dibatasi oleh empat dan
multi-bangun datar yang termuat lateral dibatasi
oleh empat dan multilateral dibatasi oleh
lebih dari empat garis.
16. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran.

11. 1.2 Aksioma-Aksioma Geometri Euclides
1. Barang-barang yang sama dengan
sesuatu barang,satu sama lain adalah sama.
2.Barang-barang yang berimpit satu sama
lain,satu sama lain sama.
3.Jika barang sama ditambah dengan barang
yang sama,jumlahnya sama
4.Jika barang sama dikurangi dengan barang
yang sama,selisihnya sama
5.Keseluruhan lebih besar dari bagiannya.

12. 1.3 Postulat-Postulat Geometri Euclides
1.Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah
ukuran dan bentuknya.
2.Setiap sudut mempunyai garis bagi.
3.Setiap segmen mempunyai satu dan hanya satu
titik tengah.
4.Dua buah titik yang berbeda terletak pada satu dan
hanya satu garis lurus.
5.Sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga
sama dengan segmen tertentu.
6.Sebuah lingkaran dapat digambar jika diketahui
pusat dan jari-jarinya.
7.Semua sudut siku-siku besarnya sama.

13. 1.4 Kelemahan Geometri Euclides.
Kelemahan 1 :
Euclides berusaha untuk mendefinisikan
semuanya dalam Geometri, sampai titik dan
garis. Jika kita memperhatikan definisi Euclides
yang pertama: “Titik adalah yang tidak
mempunyai bagian, maka perlu didefinisikan
Garis g memotong garis k dan l. Sudut P1
ditambah sudut Q2 kurang dari dua sudut siku-
siku. Jika garis k dan l diperpanjang akan
berpotongan di pihak tempat sudut P1 dan
sudut Q2.

14. Kelemahan 2 :
Postulat yang kelima dari Euclides yang terkenal dengan
nama postulat Parallel terlalu panjang, sehingga merisaukan
para matematikawan. Beberapa matematikawan menganggap,
bahwa postulat yang kelima itu bukan postulat dan dapat
dibuktikan dengan keempat postulat yang lain. Usaha untuk
membuktikan postulat kelima ini berlangsung sejak Euclides
masih hidup kira-kira sekitar tahun 1820. Tokoh-tokoh yang
berusaha untuk membuktikan ini antara lain Proclus dari
Usaha-usaha ini tidak ada yang Aleksadria (410–485), berhasil
dan tampak keunggulan Euclides, tetapi usaha ini
mengakibatkan ditemukannya Geometri lain yang sekarang
disebut dengan geometri Non-Euclides.

15. Perkembangan Geometri Euclides
Materi Geometri Euclides di kumpulkan dari
beberapa sumber, maka dari geometri
Euclides ini dapat diambil intinya yaitu berupa
dua geometri yang berbeda dalam dasar
logikanya, pengertian pangkal dan
aksiomanya. Kedua geometri itu adalah
Geometri Affine dan Geometri Absolut atau
Geometri Netral.Geometri Affine pertama-
tama diperkenalkan oleh Leon hard Euler dari
Jerman (1707 – 1793).

16. 3.Geometri Unsur Struktur
Geometri unsur struktur pada dasarnya
terdiri dari dua unsur, yaitu !geometri bidang atau
struktur bidang, biasanya membahas tentang
bidang perlapisan, kekar , sesar, "oliasi, sumbu
lipatan, dan lain-lain. Serta geometri garisatau
struktur garis, meliputi gores-garis, liniasi,
perpotongan dua bidang, dan lain-lain.

17. 2.1 Geometri Bidang
Geometri bidang mempunyai sebutan
lain yaitu struktur bidang. Strukturbidang ini dapat
dibedakan menjadi dua, yaitu struktur bidang riil
dan struktur bidang semu. yang dapat diamati
langsung dilapangan adalah struktur bidang yang
termasuk ke dalam struktur riil ini antara lain
bidang perlapisan, bidangketidakselarasan,
bidang sesar, "oliasi, serta kedudukan bidang
yang terlipat.

18. Struktur semu merupakan struktur yang bentuk
dan kedudukannya hanyasamar dan bisa diketahui
melalui hasil analisa struktur bidang riil yang
lainnya,contohnya bidang poros lipatan. Dalam
struktur bidang dikenal istilah-istilah,antara lain:
1.Jurus atau Strike
Jurus merupakan suatu arah yang dibentuk dari arah
utara ke arahbidang perlapisannya.
2. Kemiringan
Kemiringan merupakan sudut yang di bentuk dari dip
direction ke bidangkemiringan suatu lapisan.

19. 3.Kemiringan semu atau Apparent
Kemiringan semu
Kemiringan semu atau Apparent Kemiringan
semu merupakan arah tegak lurus dari jurus
dengan arahmiringnya bidang
yang bersangkutan dan diukur dari arah
utara.

20. 4.Kedudukan atau Attitude Kedudukan merupakan
batasan umum untuk orientasi arah dari suatubidang atau
garis dalam ruang, umumnya dihubungkan dengan
koordinatgeogra"i dan bidang horiontal, terdiri
dari komponen arah dan kecondongan.
5. Arah atau bearing Arah dari suatu garis pada bidang
horiontal, umumnya dinyatakandengan azimuth atau
besaran sudut horinontal dengan garis tertentu,
6. Kecondongan atau 'nclinationKecondongan adalah
batasan umum unutk sudut (ertikal diukur ke bawahdari
bidang horiontal ke satu bidang atau garis

21. Geometri Garis
Sama halnya dengan geometri bidang, geometri
garis pun dibagi menjadidua bagian yaitu riil dan semu.
Geometri garis riil adalah struktur garis yang arahdan
kedudukannya dapat diamati langsung di lapangan,
misalnya gores garisyang terdapat pada bidang sesar.
Sedangkan struktur garis semu adalah struktur garis
yang arah dan kedudukannya dita"sirkan dari orientasi
unsur-unsur strukturyang membentuk kelurusan atau
liniasi.&erdasarkan seat pembentukanya struktur garis
dapat dibedakan menjadistruktur garis primer dan
struktur garis sekunder. liniasi atau penjajaran mineral-
mineral pada batuan beku tertentu, arah liniasi struktur
sedimen adalah yangtermasuk contoh dari struktur
garis primer.

22. Sedangkan yang termasuk strukturgaris sekunder
adalah gores-garis, liniasi memanjang "ragmen
breksi sesar.garisporos lipatan dan kelurusan-
kelurusan topogra"i, sungai, dan sebagainya.
Gambar !Geometri garis dalam ruang

23. Kedudukan Struktur garis ada beberapa
macam. Kedudukan strukturgaris dikenal
dengan istilah-istilah, sebagai berikut :
1.Dip Direction
Dip Direction merupakan suatu arah
yang dibentuk secara tegak lurusdari bidang
horiontal.
2.Arah penujaman atau trend Arah
penunjaman
Arah penujaman atau trend Arah
penunjaman yaitu jurus berasal bidang
(ertical yang melalui garisdan menunjukan
arah penunjaman garis tersebut.

24. 3.Arah kelurusan
Arah kelurusan merupakan jurus dari bidang
(ertikal yang melalui garistetapi tidak menunjukan arah
penunjaman garis tersebut yangmenunjukkan arah-arah
dimana, salah satu arahnya merupakan sudutpelurusnya
4.Pitch
Pitch Adalah besar sudut antara garis
dengan garis horisontal, yangdiukur pada bidang dimana
garis tersebut terdapat besarnya pitch samadengan atau
lebih kecil
penulisan pada geometri garis berbeda dengan geometri
bidang. Pada geometri garis penulisan dip didahulukan,
seperti dip, kuadran. contohnya cari cara penulisan ini
dapat diketahui bahwa struktur garis inimenunjukkaan
arah dip direction bukan strike seperti pada struktur
bidang.