ریاضیات مالی: عرصه‌ی کاربرد دانش ریاضیات در حوزه‌ی مالی

3. 3

4. ‫مالی‬‫دانش‬ ‫جایگاه‬
‫اقتصاد‬
‫خرد‬ ‫اقتصاد‬
‫بنگا‬ ‫نظریۀ‬‫ها‬‫ه‬
‫مالی‬
4

5. ‫مالی‬‫ی‬‫عمده‬‫های‬‫حوزه‬
‫مالی‬ ‫مهندسی‬
‫مدیریت‬ ‫و‬
‫ریسک‬
‫ه‬‫شرکت‬ ‫مالی‬‫ا‬
‫و‬ ‫بازارها‬
‫مالی‬ ‫نهادهای‬
‫مدیریت‬
‫گذاری‬‫سرمایه‬
5

6. ‫مالی‬‫ریاضیات‬
‫تعریف‬
•‫شناخت‬ ‫نیز‬ ‫ّی‬‫م‬‫ک‬ ‫مالی‬ ‫نام‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫مالی‬ ‫ریاضیات‬‫شودد‬‫می‬ ‫ه‬
‫بازارهو‬ ‫بوا‬ ‫کوه‬ ‫اتوک‬ ‫کواربردی‬ ‫ریاضیات‬ ‫از‬ ‫ای‬‫شاخه‬‫ای‬
‫دارد‬ ‫تروکار‬ ‫مالی‬.‫ای‬ ‫موالی‬ ‫ریاضیات‬ ‫کلی‬ ‫طدر‬‫به‬‫و‬ ‫جواد‬
‫شودد‬‫موی‬ ‫شوام‬ ‫را‬ ‫عددی‬ ‫یا‬ ‫ریاضی‬ ‫های‬‫مدل‬ ‫ی‬‫تدتعه‬
‫ورا‬‫و‬‫برق‬ ‫وا‬‫و‬ ‫ارت‬ ‫والی‬‫و‬‫م‬ ‫ی‬‫وه‬‫و‬‫نظری‬ ‫وا‬‫و‬‫ب‬ ‫ی‬‫ا‬‫و‬‫و‬‫لزوم‬ ‫وه‬‫و‬‫ک‬ ‫وایی‬‫و‬‫ه‬‫ودل‬‫و‬‫م‬‫ر‬
‫کنند‬‫نمی‬.
6

7. ‫مال‬‫اقتصاد‬‫با‬‫مقایسه‬‫در‬ ‫مالی‬‫ریاضیات‬‫ی‬
•‫هوا‬‫نظریوه‬ ‫بوا‬ ‫هوا‬‫ب‬ ‫توازآاری‬ ‫نوه‬ ‫شودد‬‫موی‬ ‫تأکیود‬ ‫ها‬‫مدل‬ ‫ریاضی‬ ‫منطق‬ ‫بر‬‫ی‬
‫اقتصادی‬.‫آر‬ ‫مفروض‬ ‫تهام‬ ‫قیمک‬ ‫مالی‬ ‫ریاضیات‬ ‫در‬ ‫مثال‬ ‫عنداب‬‫به‬‫شدد‬‫می‬ ‫فته‬
‫قیمک‬ ‫تصادفی‬ ‫دیفرانسی‬ ‫معادالت‬ ‫از‬ ‫اتتفاده‬ ‫با‬ ‫شدد‬‫می‬ ‫تعی‬ ‫و‬‫مشوتهه‬ ‫اوراق‬
‫شدد‬ ‫اتتخراج‬.
‫مالی‬ ‫ریاضیات‬
•‫مدل‬ ‫تازآاری‬ ‫بر‬‫شدد‬‫می‬ ‫تأکید‬ ‫اقتصادی‬ ‫های‬‫نظریه‬ ‫با‬ ‫ریاضی‬ ‫های‬.‫عنوداب‬‫بوه‬
‫م‬ ‫جستجد‬ ‫را‬ ‫تهام‬ ‫بازار‬ ‫در‬ ‫قیمک‬ ‫تاختاری‬ ‫دالی‬ ‫مالی‬ ‫اقتصاد‬ ‫مثال‬‫کند‬‫ی‬.
‫مالی‬ ‫اقتصاد‬
7

8. ‫مرتبط‬‫های‬‫حوزه‬(I)
‫ات‬ ‫محات‬ ‫مالی‬‫ی‬
computational
finance
‫مالی‬ ‫مهندتی‬
financial
engineering
8

9. ‫مرتبط‬‫های‬‫حوزه‬(II)
‫محاسباتی‬ ‫مالی‬
•‫دارد‬ ‫توروکار‬ ‫موالی‬ ‫در‬ ‫مطور‬ ‫کاربردی‬ ‫مسائ‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫اتک‬ ‫ای‬‫رایانه‬ ‫علدم‬ ‫از‬ ‫ای‬‫شاخه‬.‫ا‬ ‫محاتو‬ ‫موالی‬‫بوه‬ ‫تی‬
‫یدت‬ ‫وام‬‫و‬‫ک‬ ‫وای‬‫و‬‫ه‬‫وه‬‫و‬‫برنام‬ ‫ویات‬‫و‬‫ریاض‬ ‫وز‬‫و‬‫نی‬ ‫و‬ ‫والی‬‫و‬‫م‬ ‫وز‬‫و‬‫دان‬ ‫در‬ ‫وتفاده‬‫و‬‫مدردات‬ ‫وای‬‫و‬‫ه‬ ‫ودریت‬‫و‬‫الگ‬ ‫و‬ ‫وا‬‫و‬‫ه‬‫داده‬ ‫ی‬‫مطالعوه‬‫ری‬
‫پردازد‬‫می‬ ‫مالی‬ ‫های‬ ‫تیست‬ ‫و‬ ‫ها‬‫مدل‬ ‫در‬ ‫مدرداتتفاده‬.
•‫و‬ ‫دارد‬ ‫تأکیود‬ ‫کواربردی‬ ‫عوددی‬ ‫هوای‬‫روش‬ ‫بر‬ ‫مالی‬ ‫های‬‫مدل‬ ‫ریاضی‬ ‫ات‬ ‫اث‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫اتی‬ ‫محات‬ ‫مالی‬‫بور‬ ‫نیوز‬
‫شدد‬‫می‬ ‫اتتفاده‬ ‫اقتصادی‬ ‫های‬ ‫تحلی‬ ‫در‬ ‫ی‬‫ا‬‫مستهیم‬ ‫که‬ ‫اتک‬ ‫متمرکز‬ ‫هایی‬‫تکنیک‬.‫م‬ ‫موالی‬‫ای‬‫وودزه‬ ‫اتی‬ ‫حاتو‬
‫شودد‬‫موی‬ ‫ایجاد‬ ‫عددی‬ ‫های‬‫روش‬ ‫و‬ ‫مالی‬ ‫ریاضیات‬ ‫تلفیق‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫اتک‬ ‫ای‬‫رشته‬‫بین‬.‫الول‬ ‫مدضود‬ ‫دو‬‫موالی‬ ‫ی‬
‫از‬ ‫اتک‬ ‫ارت‬ ‫ع‬ ‫اتی‬ ‫محات‬:‫قیمک‬ ‫تصادفی‬ ‫های‬‫تری‬ ‫مدلسازی‬ ‫و‬ ‫بهادار‬ ‫اوراق‬ ‫قیمک‬ ‫ی‬‫ه‬ ‫محات‬
9

10. ‫مرتبط‬‫های‬‫حوزه‬(III)
‫مالی‬ ‫مهندسی‬
‫برنامه‬ ‫و‬ ‫ریاضی‬ ‫ابزار‬ ‫مهندتی‬ ‫های‬‫روش‬ ‫مالی‬ ‫ی‬‫نظریه‬ ‫که‬ ‫اتک‬ ‫ای‬‫رشته‬‫بین‬ ‫ای‬‫ودزه‬‫را‬ ‫ندیسوی‬
‫شدد‬‫می‬ ‫شام‬.‫هوایی‬‫روش‬ ‫ب‬ ‫ی‬‫ا‬‫خصدل‬ ‫اتک‬ ‫مالی‬ ‫در‬ ‫فنی‬ ‫های‬‫روش‬ ‫کاربرد‬ ‫مالی‬ ‫مهندتی‬‫کوه‬
‫انود‬‫شوده‬ ‫آرفته‬ ‫عاریک‬ ‫به‬ ‫اتی‬ ‫محات‬ ‫مالی‬ ‫و‬ ‫مالی‬ ‫ریاضیات‬ ‫از‬.‫موال‬ ‫ریاضویات‬ ‫واقو‬ ‫در‬‫موالی‬ ‫و‬ ‫ی‬
‫اند‬‫مالی‬ ‫مهندتی‬ ‫های‬‫زیرشاخه‬ ‫از‬ ‫اتی‬ ‫محات‬.‫ریاضی‬ ‫ابزار‬ ‫از‬ ‫اتتفاده‬ ‫با‬ ‫مالی‬ ‫مهندتی‬‫رایانوه‬ ‫و‬ ‫ات‬
‫ک‬‫می‬ ‫ایجاد‬ ‫مالی‬ ‫فرد‬ ‫به‬ ‫منحصر‬ ‫مسائ‬ ‫و‬ ‫منظدر‬‫به‬ ‫را‬ ‫مالی‬ ‫ندین‬ ‫یندهای‬ ‫فر‬ ‫و‬ ‫ابزارها‬‫ند‬.
10

11. 11

12. ‫پیشرفته‬ ‫ریاضیات‬‫به‬ ‫نیاز‬
ّ‫م‬‫ک‬ ‫ی‬‫پیشرفته‬ ‫های‬‫تکنیک‬ ‫که‬ ‫مالی‬ ‫ترفص‬ ‫دو‬‫د‬ ‫طل‬‫می‬ ‫را‬ ‫ی‬:
‫مشته‬ ‫اوراق‬ ‫آذاری‬‫قیمک‬‫ه‬
‫د‬ ‫ت‬ ‫مدیریک‬ ‫و‬ ‫ریسک‬
‫بهادار‬ ‫اوراق‬
12

13. ‫ساده‬‫بازی‬‫یک‬(I)
‫پرداخک‬ ‫با‬ ‫دارید‬ ‫عالقه‬ ‫که‬ ‫بار‬ ‫هرچند‬ ‫تدانید‬‫می‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬A‫در‬ ‫ریال‬
‫کنید‬ ‫شرکک‬ ‫ذی‬ ‫شر‬ ‫به‬ ‫ای‬‫بازی‬:
•‫م‬ ‫بیایود‬ ‫شویر‬ ‫اآور‬ ‫شودد‬‫موی‬ ‫پرتوام‬ ‫هودا‬ ‫به‬ ‫تال‬ ‫ای‬‫تکه‬‫ده‬ ‫لو‬
‫م‬ ‫ده‬ ‫شودد‬ ‫اواهر‬ ‫خو‬ ‫اآر‬ ‫و‬ ‫شدد‬‫می‬ ‫تاب‬ ‫نصی‬ ‫ریال‬ ‫میلیدب‬‫یلیودب‬
‫شدد‬‫می‬ ‫اخذ‬ ‫شما‬ ‫از‬ ‫ریال‬.
•‫وداکثر‬(‫وداق‬)‫بو‬ ‫در‬ ‫شورکک‬ ‫بورای‬ ‫واضورید‬ ‫کوه‬ ‫لغوی‬ ‫م‬‫ازی‬
‫ردازید‬ ‫ب‬(‫کنید‬ ‫اخذ‬)‫در‬ ‫را‬ ‫بوازی‬ ‫قیموک‬ ‫اآور‬ ‫اتک؟‬ ‫چهدر‬‫توک‬
‫افتد؟‬‫می‬ ‫اتفاقی‬ ‫چه‬ ‫نکنید‬ ‫ه‬ ‫محات‬
13

14. ‫ساده‬‫بازی‬‫یک‬(II)
‫باز‬ ‫در‬ ‫دارید‬ ‫عالقه‬ ‫که‬ ‫بار‬ ‫هرچند‬ ‫تدانید‬‫می‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬‫به‬ ‫ای‬‫ی‬
‫کنید‬ ‫شرکک‬ ‫ذی‬ ‫شر‬:
•‫ریوال‬ ‫میلیودب‬ ‫ده‬ ‫واضور‬ ‫ووال‬ ‫در‬ ‫زادی‬ ‫بهوار‬ ‫ی‬‫تکه‬ ‫قیمک‬
(S)‫اتک‬.‫بهار‬ ‫ی‬‫تکه‬ ‫کند‬‫می‬ ‫تعهد‬ ‫ری‬ ‫معت‬ ‫شخص‬‫زادی‬
‫بخرد‬ ‫شما‬ ‫از‬ ‫ینده‬ ‫تال‬ ‫یک‬ ‫برای‬ ‫را‬.
•F‫اآو‬ ‫شودید؟‬ ‫بوازی‬ ‫ایون‬ ‫وارد‬ ‫توا‬ ‫باشود‬ ‫باید‬ ‫چهدر‬ ‫وداق‬‫ر‬
‫می‬ ‫اتفاقی‬ ‫چه‬ ‫نکنید‬ ‫ه‬ ‫محات‬ ‫درتک‬ ‫را‬ ‫بازی‬ ‫قیمک‬‫افتد؟‬
14

15. ‫ساده‬‫بازی‬‫یک‬(III)
‫پرداخک‬ ‫با‬ ‫دارید‬ ‫عالقه‬ ‫که‬ ‫بار‬ ‫هرچند‬ ‫تدانید‬‫می‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬A‫در‬ ‫ریال‬
‫کنید‬ ‫شرکک‬ ‫ذی‬ ‫شر‬ ‫به‬ ‫ای‬‫بازی‬:
•‫م‬ ‫بیایود‬ ‫شویر‬ ‫اآور‬ ‫شودد‬‫موی‬ ‫پرتوام‬ ‫هودا‬ ‫به‬ ‫تال‬ ‫ای‬‫تکه‬‫ده‬ ‫لو‬
‫چیو‬ ‫شودد‬ ‫اواهر‬ ‫خو‬ ‫اآور‬ ‫و‬ ‫شدد‬‫می‬ ‫تاب‬ ‫نصی‬ ‫ریال‬ ‫میلیدب‬‫از‬ ‫زی‬
‫شدد‬‫نمی‬ ‫اخذ‬ ‫شما‬.
•‫ب‬ ‫بوازی‬ ‫در‬ ‫شورکک‬ ‫بورای‬ ‫واضورید‬ ‫کوه‬ ‫لغی‬ ‫م‬ ‫وداکثر‬‫ردازیود‬
‫ا‬ ‫چه‬ ‫نکید‬ ‫ه‬ ‫محات‬ ‫درتک‬ ‫را‬ ‫بازی‬ ‫قیمک‬ ‫اآر‬ ‫اتک؟‬ ‫چهدر‬‫تفواقی‬
‫افتد؟‬‫می‬
15

16. ‫پیچیده‬‫بازی‬‫یک‬
‫پرداخک‬ ‫با‬ ‫دارید‬ ‫عالقه‬ ‫که‬ ‫بار‬ ‫هرچند‬ ‫تدانید‬‫می‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬C‫ای‬‫بازی‬ ‫در‬ ‫ریال‬
‫کنید‬ ‫شرکک‬ ‫ذی‬ ‫شر‬ ‫به‬:
•‫اتوک‬ ‫ریوال‬ ‫میلیودب‬ ‫ده‬ ‫واضور‬ ‫وال‬ ‫در‬ ‫زادی‬ ‫بهار‬ ‫ی‬‫تکه‬ ‫قیمک‬.‫شوخص‬
‫ب‬ ‫زادی‬ ‫بهار‬ ‫ی‬‫تکه‬ ‫قیمک‬ ‫که‬ ‫لدرتی‬ ‫در‬ ‫کند‬‫می‬ ‫تعهد‬ ‫ری‬ ‫معت‬‫پایواب‬ ‫رای‬
‫تال‬93‫توی‬ ‫قیمک‬ ‫التفاوت‬‫مابه‬ ‫باشد‬ ‫جاری‬ ‫قیمک‬ ‫از‬ ‫بیز‬(F)‫جواری‬ ‫و‬
(k)‫نخداهود‬ ‫پرداختوی‬ ‫لودرت‬‫ایون‬ ‫یور‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫نمایود‬ ‫پرداخوک‬ ‫شوما‬ ‫به‬ ‫را‬
‫داشک‬.
•‫چ‬ ‫ردازید‬ ‫ب‬ ‫بازی‬ ‫در‬ ‫شرکک‬ ‫برای‬ ‫واضرید‬ ‫که‬ ‫لغی‬ ‫م‬ ‫وداکثر‬‫اتوک؟‬ ‫هدر‬
‫افتد؟‬‫می‬ ‫اتفاقی‬ ‫چه‬ ‫نکنید‬ ‫ه‬ ‫محات‬ ‫درتک‬ ‫را‬ ‫بازی‬ ‫قیمک‬ ‫اآر‬
16

17. Myron S. Sholes & Robert C. Merton (1997)
‫گذاری‬‫قیمت‬ ‫مدل‬
‫اختیارمعامله‬(1973)
‫مشته‬ ‫اوراق‬ ‫قیمک‬ ‫تعیین‬ ‫در‬ ‫جدید‬ ‫های‬‫روش‬ ‫ارائۀ‬ ‫برای‬‫ه‬
 
t
t2r)KSln(
d
2
f
1



)td(NKe)d(SNC 1
rt
1  

18. ‫تر‬‫پیچیده‬‫های‬‫بازی‬
• Interest rate swap
‫بهره‬ ‫نرخ‬ ‫سوآپ‬
• mortgage backed securities
‫رهن‬ ‫ی‬‫پشتوانه‬ ‫با‬ ‫بهادار‬ ‫اوراق‬
• collateralized mortgage obligations
‫دار‬‫وثیقه‬ ‫رهنی‬ ‫تعهدات‬
• option on futures
‫آتی‬ ‫قرارداد‬ ‫روی‬ ‫اختیارمعامله‬
18

19. ‫مشتقه‬‫اوراق‬‫گذاری‬‫قیمت‬ ‫اساسی‬‫اصل‬
‫ربیت‬ ‫وجدد‬‫عدم‬ ‫ال‬ ‫از‬ ‫وتیعی‬ ‫شک‬ ‫به‬ ‫مالی‬ ‫داناب‬‫ریاضی‬‫راژ‬
‫کنند‬‫می‬ ‫اتتفاده‬:
‫ندارد‬ ‫وجدد‬ ‫مجانی‬ ‫ناهار‬.
19

20. ‫مالی‬‫ریاضیات‬‫ی‬‫تاریخچه‬
‫اختیارمعامله‬ ‫گذاری‬‫قیمت‬ ‫مدل‬
‫سال‬ ‫در‬1973‫کردند‬ ‫تقدیم‬ ‫مالی‬ ‫ی‬‫جامعه‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫معامله‬ ‫اختیار‬ ‫گذاری‬‫قیمت‬ ‫مدل‬ ‫شولز‬ ‫مایرون‬ ‫و‬ ‫بلک‬ ‫فیشر‬.
‫تصادفی‬ ‫ی‬‫پیوسته‬ ‫فرآیندهای‬
‫سال‬ ‫در‬1969‫ما‬ ‫ی‬‫حوزه‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫زمانی‬ ‫ی‬‫پیوسته‬ ‫تصادفی‬ ‫فرآیندهای‬ ‫و‬ ‫تصادفی‬ ‫ی‬‫پیوسته‬ ‫انتگرال‬ ‫مرتون‬ ‫رابرت‬‫داشت‬ ‫عرضه‬ ‫لی‬.
‫تصادفی‬ ‫انتگرال‬
‫سال‬ ‫در‬1965‫کرد‬ ‫مالی‬ ‫ی‬‫حوزه‬ ‫وارد‬ ‫را‬ ‫تصادفی‬ ‫انتگرال‬ ،‫هندسی‬ ‫براونی‬ ‫حرکت‬ ‫معرفی‬ ‫ضمن‬ ‫ساموئلسون‬ ‫پل‬.
‫برآونی‬ ‫حرکت‬
‫سال‬ ‫در‬1900‫ب‬ ‫را‬ ‫مالی‬ ‫ریاضیات‬ ‫بنای‬ ‫سنگ‬ ‫اولین‬ ‫برآونی‬ ‫حرکت‬ ِ‫ی‬‫تصادف‬ ‫فرآیند‬ ‫معرفی‬ ‫با‬ ‫باچلیر‬ ‫لوئیس‬‫نهاد‬ ‫نیان‬.
20

21. 21

22. ‫بهادار‬‫اوراق‬‫سبد‬ ‫مدیریت‬‫و‬‫ریسک‬
‫ت‬ ‫انتخام‬ ‫ی‬‫نظریه‬‫د‬
‫بهادار‬ ‫اوراق‬
•‫توال‬ ‫در‬ ‫مارکدیتز‬ ‫هری‬ ‫بار‬ ‫اولین‬1952‫نشواب‬
‫تو‬‫توک‬ ‫انتخوام‬ ‫جای‬ ‫به‬ ‫آذاراب‬‫ترمایه‬ ‫داد‬‫ک‬
‫انتخووام‬ ‫را‬ ‫بهووادار‬ ‫اوراق‬ ‫د‬ ‫توو‬ ‫بهووادار‬‫اوراق‬
‫ود‬‫و‬‫کننوو‬‫وی‬‫و‬‫موو‬.‫وه‬‫و‬‫چگدنوو‬ ‫وه‬‫و‬‫کوو‬ ‫داد‬ ‫واب‬‫و‬‫نشوو‬ ‫وی‬
‫ر‬ ‫د‬ ‫تو‬ ‫ی‬‫بوازده‬ ‫تالشند‬ ‫در‬ ‫آذاراب‬‫ترمایه‬‫در‬ ‫ا‬
‫کمینه‬ ‫مدردانتظار‬ ‫بازده‬ ‫از‬ ‫معینی‬ ‫تطح‬‫کنند‬.
22

23. Harry M. Markowitz (1990)
‫میانگین‬ ‫مدل‬-‫واریانس‬(1952)
 
 











































n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21P
3
2
1
n21P
w
w
w
www
rˆ
rˆ
rˆ
wwwrˆ








‫مالی‬ ‫اقتصاد‬ ‫نظریۀ‬ ‫زمینۀ‬ ‫در‬ ‫بددب‬‫پیشگام‬ ‫برای‬

24. ‫کارا‬ ‫مرز‬







n
1i
i
i
n
1i
iP
2
p
1w
rˆwrˆ:T.S
zMin
P

P
rˆ

25. ‫مالی‬ ‫دانان‬‫ریاضی‬ ‫مسیر‬
‫به‬ ‫مالی‬ ‫داناب‬‫ریاضی‬ ‫اکندب‬ ‫ه‬‫پیشو‬ ‫های‬‫مدل‬ ‫ال‬ ‫دن‬‫ی‬‫رفته‬
‫بهادارنوود‬ ‫اوراق‬ ‫د‬ ‫توو‬ ‫تووازی‬‫بهینووه‬.‫کووه‬ ‫هووایی‬‫موودل‬
‫در‬ ‫و‬ ‫کننود‬‫موی‬ ‌‫لحوا‬ ‫را‬ ‫ریسوک‬ ‫و‬ ‫بوازده‬ ‫هوای‬‫پدیایی‬
‫توونتی‬ ‫هووای‬‫موودل‬ ‫بووه‬ ‫ک‬ ‫نسوو‬ ‫رود‬‫مووی‬ ‫انتظووار‬ ‫نتیجووه‬
‫پیشنه‬ ‫را‬ ‫بهادار‬ ‫اوراق‬ ‫از‬ ‫تری‬‫بهینه‬ ‫های‬‫ترکیب‬‫دهند‬ ‫اد‬.
25

26. 26