1. Презентація до уроку вчителя КЗО
“СЗШ №54” м. Дніпропетровська
Карповської Інни Анатоліївни
16.02.2012.
1

2. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
y = sin x, y = cos x,
їх графіки
y
1
3     3
 2 
2

2
0
2
x
2 2
-1
та властивості

3. Практичне застосування
тригонометричних функцій
Зміна будь-якої величини за законом
синуса називається гармонійним
коливанням. Приклади таких коливань:
коливання маятника, коливання напруги в
електричній мережі, зміна струму і напруги
в коливальному контурі та ін.
Ще один приклад синусоїдальних
коливань – звук (гармонійне
коливання повітря), що відповідає
коливанню y = A*sin ωt
3

4. Функція – це…, за
допомогою якого
за…значенням
незалежної змінної з
множини Х можна
знайти … значення
залежної змінної з
множини Y.
4

5. Графіком числової
функції називають
геометричну…, яка
складається з усіх тих і
тільки тих …
координатної площини,
абсциси яких дорівнюють
значенням…, а ординати
– відповідним
значенням… 5

6. Означення тригонометричних
функцій
sin α = y
Pα(x;y) ордината
Y
точки Pα
P0(1;0)
α
X
cos α = x
абсциса
точки Pα
Тригонометричні функції числового аргументу:
• sin (числа ) = sin (кута в радіан) y=sin
• cos (числа ) = cos (кута в радіан) y=cos
6

7. P3 P2
P1 Побудова графіка функції y = sin x
P4  c
2
 2 ;0
3
2
P5 P8
P6 P7 y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
7

8. Графік функції y = sin x
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графіком функції y = sin x
є крива, яка називається
СИНУСОЇДА
8

9. Синус (від лат. sinus) – вигин,
кривизна.
9

10. 10

11. 
2 Область визначення D(sin x) = R
Множина значень E(sin x) = [-1; 1]
 2
3
2
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
11

12. y
• sin (-х) = - sin х
 α 2 y = sin х – непарна функція
-α
• періодична функція,
головний період Т= 2
-y
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1 12

13. 
2 Нулі функції (у = 0)
(абсциси точок перетину з віссю Ох):
 2 ;0
х=  n, nZ
3
2
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
13

14.  Проміжки знакосталості
2
 0;2 sin x > 0, якщо
х  (0 + 2n;  + 2n), nZ
3
2 sin x < 0, якщо
x  ( + 2n; 2 + 2n), nZ
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
14

15.  Проміжки монотонності:
2
а) функція зростає в кожному з
 2 ;0 проміжків:
x [-/2 + 2n; /2 + 2n], nZ
б) функція спадає в кожному з
3  проміжків:
 x [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nZ
2 2
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2 x
-1
15

16. 
2 Найбільше значення у = 1
при х = /2 + 2n, nZ,
 2 ;0
Найменше значення у = -1
при х = -/2 + 2n, nZ,
3
2
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
16

17. 17

18. y = sin x y
y = cos x
1
3     3
 2 
2

2
0
2
x
2 2
-1
18

19. y = sin x
3     3 x
 2   0
2 2 2 2 2
-1
y = cos x
3     3
 2   0
2 2 2 2 2
x
-1
19

20. Графік функції y = cos x
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графіком функції y = cos x
є крива, яка називається
КОСИНУСОЇДА
20

21. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = | sin x |
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = | sin x |
необхідно додатну частину графіка функції y = sin x
залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити
симетрично відносно осі OX
21

22. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin | x |
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin | x |
необхідно побудувати графік функції y = sin x при x ≥ 0,
а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний
для вже побудованого графіка відносно осі OY
22

23. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = 2 sin x
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графік функції y = k sin x
можна дістати з графіка функції y = sin x за
допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і
за допомогою стиснення в k разів до осі OX,
якщо 0 < k < 1 23

24. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = 1/2 sin x
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графік функції y = k sin x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою
розтягу його в k разів від осі OX, якщо k >1, і за
допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0 < k < 1
24

25. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin 2x
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графік функції y = sin k x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою
стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за
допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0 < k < 1
25

26. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin 1/2x
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Графік функції y = sin k x
можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою
стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за
допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0 < k < 1
26

27. Побудувати графік функції y  ( sin x ) 2
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
y  sin x, sin x  0
27

28. y  cos x  cos x
Побудувати графік функції 2
y
1
3     3 2
 2 
2
 0 x
2
y 2 2
-1
2
1
 2 
3     3 2
2
 0
2 2 2
x
-2
28

29. А Б В Г Д
1 Х №2
2 Х
3 Х
4 Х
А Б В Г Д Е Є
Х Х №3
А Б В Г Д
1 Х
2 Х №4
3 Х
4 Х
29

30. А Б В Г Д
1 Х
2 Х
3 Х
4 Х
30

31. А Б В Г Д Е Є
Х Х
31

32. А Б В Г Д
1 Х
2 Х
3 Х
4 Х
32

33. Пар 4, п.27. Скласти таблицю
“Властивості функції y = cos x”
№768 – рівень Б
№774 – рівень В
Додаткове завдання - №775 (7)
(+ 2 бали)
Творче завдання (за бажанням)
33

34. 34

35. Практичне застосування
тригонометричних функцій
Синусоїда – хвилеподібна плоска крива,
яка є графіком тригонометричної функції
y = sinx в прямокутній системі координат.
Якщо рулон паперу розрізати навскоси і
розвернути його, то край паперу виявиться
розрізаним по синусоїді. Цікаво, що
проекція на площину гвинтової лінії свердла
також буде синусоїдою.
35

36. D C A


2 
2
α
 B
2 ;0
O AOB  DOC
3 OB  OC
2

cos  sin(  )
2
36

37. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin (x + /6)
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin (x + а)
необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво
37

38. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin (x - /6)
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin (x - а)
необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо
38

39. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin x + 1
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin x + а
необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору
39

40. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin x - 1
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin x - а
необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз
40

41. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = - sin x
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = - sin x
необхідно графік функції y = sin x
відобразити симетрично відносно осі OX
41

42. Перетворення графіків функції
y = sin x
Побудувати графік функції y = sin (-x)
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
Для побудови графіка функції y = sin (-x)
необхідно графік функції y = sin x
відобразити симетрично відносно осі OY
42

43. Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – /2)
Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – /4)
y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
1) будуємо графік функції y = cos x
2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції
y = cos x у 2 рази до вісі OY
3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції
y = cos 2x у 2 рази від осі OX
4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – /4), паралельно
переносячи графік функції y = 2 cos 2x
вправо вздовж осі OX на відстань /4 43

44. Немає жодної області
математики, яка коли -
небудь не зможе бути
застосована до явищ
дійсного світу.
М. Лобачевський
44

45. 45

46. Властивості
функції
y=sin x, y=cos x.
 D (y)
 E (y)
 Парність/непарність
 Періодичність
 Знаки функції
46

47. y = sin x
1
3     3
 2 
2

2
0
2
x
2 2
-1
47

48. y
1
3     3 2
 2 
2

2
0
2 2
x
-1
48