1

1. МНОГОГРАННИК ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. ОПУКЛІ МНОГОГРАННИКИ
Фігури, які вивчає стереометрія, називають тілами.
Тіло – це частина простору, яку займає фізичне тіло, і яка обмежена його поверхнею.
Геометричні тіла, які ми будемо вивчати, подано у вигляді схеми.
Многогранником називають тіло (частину простору), обмежене скінченною кількістю плоских
многокутників.
Гранями многогранника – називають многокутники, які
обмежують многогранник.
Грані: ABCD, MNKL, AMLD, AMNB, BNKC, CKLD.
Ребрами многогранника – називають сторони многокутників.
Ребра: AB, BC, CD, DA, MN, NK, KL, LM, AM, DN, CK, DL.
Вершинами многогранника – називають вершини многокутників.
Вершини: A, B, C, D, M, N, K, L.
Многогранник називають опуклим, якщо він лежить по один бік
від площини будь-якої його грані.
Правильним називають опуклий многогранник, гранями якого є правильні многокутники з однією
і тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те саме число
ребер.
Існує п′ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр,
додекаедр, ікосаедр.
Тетраедр – це трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. У правильного тетраедра
грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. У
правильного тетраедра 4 грані, 6 ребер, 4 вершини.
Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні. У куба всі грані –
квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра. У куба 6 граней, 12 ребер, 8
вершин.
У октаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній його вершині
сходиться по чотири ребра. У октаедра 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.

2. У додекаедра всі грані – правильні п′ятикутники; у кожній вершині сходиться по
три ребра. У додекаедра 12 граней, 30 ребер, 20 вершин.
У ікосаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по
п′ять ребер. У ікосаедра 20 граней, 30 ребер, 12 вершин.
ПРИЗМА. ПРЯМА І ПРАВИЛЬНА ПРИЗМИ
Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать в різних
площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні
точки цих многокутників.
Основні елементи призми та їх властивості
Многогранник ABCDEA1B1C1D1E1 – п'ятикутна призма.
1) Многокутники ABCDE і A1B1C1D1E1 називаються основами
призми.
Призма має дві основи. Основи призми паралельні і рівні.
2) Відрізки AA1, BB1, CC1, DD1,EE1 називаються бічними ребрами
призми.
Бічні ребра призми паралельні і рівні.
3) Вершини многокутників ABCDE і A1B1C1D1E1 є вершинами
призми.
4) Бічні грані призми – паралелограми.
AEE1A1, BAA1B1, BCC1B1, CDD1C1, DD1E1E – бічні грані призми.
5) Висота призми – це відстань між площинами її основ.
6) Діагональ призми – це відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не лежать в одній
грані.
Діагоналі призми – AC1, A1C, BD1, B1D, EB1, E1B, EC1, E1C, AD1, A1D
Пряма призма – це призма, в якої бічні ребра перпендикулярні до основ.
Похила призма – це призма, в якої бічні ребра не перпендикулярні до основ.
Правильна призма – це пряма призма, основами якої є правильні многокутники.

3. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД
Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограм.
Види паралелепіпеда: прямий, похилий, прямокутний.
Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є
прямокутник.
Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.
Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.
Теорема. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться
пополам.
Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелепіпеда.
Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються
його лінійними вимірами.
Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів
трьох його вимірів.
ПІРАМІДА. ПРАВИЛЬНА ПІРАМІДА
Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника і точки, яка
йому не належить, та всіх відрізків, які сполучають дану точку з вершинами многокутника.
Основні елементи піраміди
SABCD – чотирикутна піраміда.
S – вершина піраміди
ABCD – основа піраміди
SA, SB, SC, SD – бічні ребра піраміди
SAB, SBC, SCD, SDA – бічні грані піраміди
SO – висота піраміди, SO ⊥ (ABCD)
Бічні грані піраміди є трикутниками.
Трикутну піраміду називають тетраедром.
Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а
основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника.
Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її
вершини.
Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою
піраміди і січною площиною, яка паралельна основі.
ABCA1B1C1 – зрізана піраміда.
ABC і A1B1C1 – основи зрізаної піраміди.
Основи зрізаної піраміди паралельні і подібні.
Бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.
Висота зрізаної піраміди – це довжина перпендикуляра, проведеного з точки
однієї основи до площини другої основи.

4. ПЕРЕРІЗИ МНОГОГРАННИКІВ
Перерізом називається плоска фігура, утворена при перетині геометричного тіла січною
площиною.
Діагональним перерізом призми є паралелограм.
ACC1A1 – діагональний переріз призми.
Побудова перерізу призми методом слідів.
Пряма m називається слід. Це пряма перетину січної площини і площини основи призми.
Початкова умова: січна площина проходить через точку М
призми і пряму т.
Щоб побудувати переріз призми, потрібно визначити всі
точки перетину січної площини з ребрами призми.
MRFKS – переріз призми.
Побудова перерізу призми методом внутрішнього проектування.
Початкова умова: січна площина проходить через точки M, N, P
призми.
ABCD – переріз призми.
Переріз піраміди січною площиною, яка проходить через її вершину, є трикутником.
Діагональним перерізом піраміди називається переріз, утворений січною площиною, яка
проходить через два не сусідні бічні ребра піраміди.

5. Діагональним перерізом зрізаної піраміди є трапеція.
ПЛОЩІ БІЧНОЇ ТА ПОВНОЇ ПОВЕРХОНЬ ПРИЗМИ, ПІРАМІДИ
Площі поверхонь многогранників
Оскільки поверхня будь-якого многогранника складається із скінченної кількості плоских
многокутників, то площу поверхні такого многогранника можна визначити через суму площ всіх
його граней.
Площа поверхні правильного многогранника
Sпов = n·Sграні, де n – кількість граней, Sграні – площа грані правильного многогранника.
Площа поверхні призми
Бічна поверхня складається з усіх бічних граней призми.
Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней.
Sбіч = S1+S2+…+Sn
Теорема. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми,
тобто на довжину бічного ребра.
Sбіч = p⋅ l,
p – периметр основи; l – довжина бічного ребра(висота).
Повна поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні.
Повною поверхнею призми називається сума бічної поверхні і площі основ.
Sпов = Sбіч+2⋅ Sосн
Sбіч = S1 + S2 +…+Sn, де S1, S2, … - площі бічних граней призми.
Для паралелепіпеда:
Sпов = Sбіч + 2·Sосн
або
Sпов = 2(S1 + S2 + S3), де S1, S2, S3 – площі непротилежних (сусідніх) граней паралелепіпеда.
Для куба:
Sпов = 6·Sграні
Площа поверхні піраміди
Бічна поверхня піраміди (зрізаної піраміди)дорівнює сумі площ бічних граней цієї піраміди.
Sбіч = S1+S2+…+Sn
де S1, S2, … Sn - площі бічних граней піраміди (зрізаної піраміди).
Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
Бічну поверхню правильної піраміди обчислюють за такою формулою:
2
lp
Sбіч
⋅
=
або Sбіч =
2
1
p·l, де p – периметр основи правильної піраміди, l – апофема.

6. Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на
апофему.
lbnanSбіч ⋅+= )(
2
1
a, b – сторони основ правильної зрізаної піраміди;
an, bn – периметри основ правильної зрізаної піраміди;
l – апофема правильної зрізаної піраміди.
Бічну поверхню правильної зрізаної піраміди обчислюють ще за такою формулою:
Sбіч =
2
1
(p1 + p2)·l, де p1, р2 – периметри основ правильної зрізаної піраміди, l – апофема.
Повна поверхня піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площі основи.
Sпов = Sбіч+ Sосн
Sбіч = S1 + S2 +…+Sn, де S1, S2, … - площі бічних граней піраміди.
Повна поверхня зрізаної піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.
Sпов = Sбіч+ Sосн1+ Sосн2
Враховуючи те, що грані многогранника можуть бути трикутниками, чотирикутниками,
многокутниками, потрібно знати формули площ відповідних многокутників.
Формули площ трикутників
- для прямокутного трикутника: baS ⋅=
2
1
- для довільного трикутника: ahaS ⋅=
2
1
αsin
2
1
⋅⋅= baS
2
,))()((
cba
pcpbpappS
++
=−−−= (формула Герона)
Формули площ чотирикутників
- для прямокутника: S = a ⋅ b
- для трапеції: h
ba
S ⋅
+
=
2
- для паралелограма: S = a ⋅ ha S = a⋅ b sin α
- для ромба: 21
2
1
ddS ⋅= S = a2
⋅ sin α
- для квадрата: S = a2
2
2
1
dS =
- для правильного многокутника:
2
rna
S n
=
n
nRS
o
360
sin
2
1 2
= , де п – кількість сторін многокутника.