1. Тема 7. Показникова та логарифмічна функції
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ПОКАЗНИКОВІ ФУНКЦІЇ
Використовуючи степінь можна записати дві різні відповідності:
− між значенням степеня і значенням основи ( хп
);
− між значенням степеня і значенням показника степеня (ах
).
хп
– степінь із змінною основою і сталим показником.
ах
– степінь із сталою основою і змінним показником.
Функція, задана формулою y = ax
, де а > 0, a ≠ 1, називається показниковою функцією за
основою а.
Є два види показникової функції за основою а:
− показникова функція за основою 0 < a < 1;
− показникова функція за основою a > 1.
Вивчаючи функції, важливими є не тільки вміння досліджувати властивості різних функцій і на
основі їх будувати графіки, але важливими є і навики "читання" графіка функції. Тому в процесі
вивчення показникової функції ми спочатку побудуємо її графіки, а потім, "читаючи" їх,
визначимо її властивості.
Побудуємо графіки функцій:
x
y
=
2
1
,
x
y
=
3
2
, у = 2х
, у = 3х
.
y=2
x
y=3
x
y=0,5
x
y=(2/3)
x
x y x y x y x y
-3 0,1 -3 0,04 -3 8,0 -3 3,4
-2,5 0,2 -2,5 0,1 -2,5 5,7 -2,5 2,8
-2 0,3 -2 0,1 -2 4,0 -2 2,3
-1,5 0,4 -1,5 0,2 -1,5 2,8 -1,5 1,8
-1 0,5 -1 0,3 -1 2,0 -1 1,5
-0,5 0,7 -0,5 0,6 -0,5 1,4 -0,5 1,2
0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0
0,5 1,4 0,5 1,7 0,5 0,7 0,5 0,8
1 2,0 1 3,0 1 0,5 1 0,7
1,5 2,8 1,5 5,2 1,5 0,4 1,5 0,5
2 4,0 2 9,0 2 0,3 2 0,4
2,5 5,7 2,5 2,5 0,2 2,5 0,4
3 8,0 3 3 0,1 3 0,3
3. Використовуючи схему дослідження функції та побудовані графіки, визначимо, які основні
властивості має показникова функція у = ах
:
1) область визначення: D(y) = (– ∞; +∞);
область значень: E(y) = (0; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 0, у = 1 → (0; 1) – точка перетину з віссю ОY; точок перетину з віссю
ОХ немає.
4) Проміжки знакосталості: x > 0, y > 0 (I чверть), x < 0, y > 0 (ІІ чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (– ∞; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (– ∞; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (0; 1)
Функція, обернена до показникової функції, називається логарифмічною функцією.
Графік показникової функції називається експонентою.
НАЙПРОСТІШІ ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Показниковими називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів,
а основи є сталими.
Найпростішим показниковим рівнянням є:
ax
= b, a > 0, b > 0, a ≠ 1
aбо af(x)
= b, a > 0, b > 0, a ≠ 1
Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає.
При розв’язуванні показникових рівнянь можна звести ліву і праву частини цього рівняння до
степенів з однаковою основою, а потім перейти від порівняння степенів з однаковою основою до
порівняння їхніх показників. Інший метод: спробувати звести показникове рівняння до
квадратного рівняння, ввівши нову змінну.
Показниковими називають нерівності, в яких невідоме входить лише до показників
степенів, а основи є сталими.
Найпростіші показникові нерівності (a > 0, b > 0, a ≠ 1):
aх
> b, ax
< b, af(x)
> ag(x)
, af(x)
< ag(x)
Розв′язуючи показникові нерівності виду af(x)
> ag(x)
або af(x)
< ag(x)
, при переході від порівняння
степенів до порівняння їхніх показників, слід пам’ятати властивості степеня з різними основами.
Якщо а > 1, то при переході до порівняння показників знак нерівності залишається таким самим.
Якщо 0 < a < 1, то при переході до порівняння показників потрібно знак нерівності змінити на
протилежний.
ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Нехай а – додатне число, а ≠ 1.
Число у називається логарифмом числа х за основою а, якщо х = ау
.
Число а називається основою логарифма.
Запис: y = logax
Отже y = logax рівносильне х = ау
, при а > 0, а ≠ 1.
Тоді xa xa
=log
– основна логарифмічна тотожність.
Іншими словами, логарифм числа х за основою а – це показник степеня, до якого треба
піднести число а, щоб одержати х.
4. Основні властивості логарифмів
1) )0,0(loglog)(log >>+= qpqppq aaa
2) )0,0(logloglog >>−= qpqp
q
p
aaa
3) ),0(loglog Rppp aa ∈>= γγγ
4) )0,0(loglog >≠= ppp aa
β
β
γγ
β
5) )1,0,0(
log
log
log ≠>>= qqp
q
p
p
a
a
q
6) )1,0,0,0(loglog
≠>>>= bbacca ac bb
Наслідки:
4*) якщо βγ = , то pp aa
loglog =γ
γ
4**) якщо 1=γ , то pp aa
log
1
log
β
β =
5*) якщо а = р, то
q
p
p
q
log
1
log =
Логарифм числа за основою 10 називається десятковим.
Запис: lg x = log10 x
Логарифм числа за основою е називається натуральним.
Запис: ln x = loge x ...71828,2=e
Логарифм нуля і від′ємних чисел не існує, оскільки рівняння ах
= 0 і нерівність ах
< 0 при а > 0 не
мають розв′язків.
Логарифмування – це знаходження логарифму деякого виразу за певною основою.
Потенціювання – це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа визначають
саме число.
Обчислення логарифмів:
− будь-яке число а > 0 має тільки один логарифм;
− від′ємні числа і нуль логарифму не мають;
− логарифм одиниці дорівнює нулю: 01log =a ;
− логарифм основи дорівнює одиниці: 1log =aa .
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ.
Кожному додатному числу х відповідає певне значення його логарифма logax. Отже logax при
заданому а (а > 0, а ≠ 1) є функцією від х на множині R+.
Функцію y = logax називають логарифмічною функцією за основою а (а > 0, а ≠ 1).
Оскільки рівності y = logax і х = ау
за означенням логарифма визначають один і той самий
зв′язок між змінними х і у, то показникові і логарифмічна функції є оберненими.
А графіки взаємно обернених функцій є симетричними відносно прямої у = х. Використаємо це
для побудови графіка логарифмічної функції.
5. Спочатку побудуємо графік логарифмічної функції y = log2х в такій послідовності:
у = 2х
(синій) → у = х (червоний) → у = log2x (зелений).
Аналогічно виконується побудова графіка логарифмічної функції y = log0,5x в такій
послідовності: у = 0,5х
(синій) → у = х (червоний) → у = log0,5x (зелений).
Виходячи з вище розглянутого, побудуємо графіки логарифмічної функції у = logax:
— а >1 –– 0<а<1
6. Використовуючи графіки логарифмічної функції, визначимо її властивості.
Властивості логарифмічної функції y = logax (а > 0, а ≠ 1)
1) область визначення: D(y) = (0; +∞);
область значень: E(y) =(- ∞; +∞).
2) Функція несиметрична, не періодична, оборотна.
3) Перетин з осями: х = 1, у = 0 → (1; 0) – точка перетину з віссю ОХ; точок перетину з віссю
ОY немає.
4) Проміжки знакосталості: при a > 1: 0 < x < 1, y < 0 (IV чверть); x > 1, y > 0 (І чверть);
при 0 < a < 1: 0 < x < 1, y > 0 (І чверть); x > 1, y < 0 (IV чверть).
5) Проміжки монотонності: при а > 1, функція зростає на проміжку (0; +∞);
при 0 < a < 1, функція спадає на проміжку (0; +∞).
6) Екстремумів немає.
7) Характерна точка (1; 0)
НАЙПРОСТІШІ ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ I HEPIBHOCTI
Рівняння називається логарифмічним, якщо його змінна входить лише під знак
логарифма.
Найпростішим логарифмічним рівнянням є:
logax = b, a > 0, a ≠ 1.
При будь-якому дійсному b це рівняння має єдиний розв'язок: х = ab
.
Розв'язування інших логарифмічних рівнянь ґрунтується на властивостях логарифмічної функції,
означенні та властивостях логарифма.
Розв'язуючи логарифмічні рівняння, потрібно встановити область допустимих значень (ОДЗ)
рівняння або здійснити перевірку отриманих розв'язків.
Як для показникових, так і для логарифмічних рівнянь немає загального методу розв'язування.
При розв'язуванні окремих логарифмічних рівнянь можна використовувати такі способи:
• за означенням логарифма;
• за властивостями логарифма і логарифмічної функції;
• графічним способом.
Нерівність називається логарифмічною, якщо її змінні входять лише під знаки логарифмів.
Для розв'язування логарифмічних нерівностей використовують ті ж самі методи, що і для
розв'язування логарифмічних рівнянь.
Найпростішими логарифмічними нерівностями є:
logax > b чи logax < b, a > 0, a ≠ 1.
Нерівності такого виду розв'язують, використовуючи такі властивості логарифмічної функції:
• якщо a > 1 та logax > b, то x > ab
;
• якщо 0 < a < 1 та logax > b, то 0 < x < ab
.
