1

1. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС КУТА
З геометрії відомо основні співвідношення в прямокутному трикутнику. Пригадаємо їх.
Розглянемо одиничне коло (радіус кола R=1) у прямокутній системі
координат. Положення деякої точки А кола можна задати через
координати цієї точки, або кутом φ, на який повернеться радіус кола
ОА=R від деякого початкового положення OR до точки А.
Використовуючи співвідношення у прямокутному трикутнику, можна
встановити зв'язок між координатами точки А і кутом повороту радіуса
кола. Одержимо:
y
y
==
1
sinϕ ; x
x
==
1
cosϕ ;
x
y
tg =ϕ ;
y
x
ctg =ϕ
Синусом кута φ називається ордината точки А(х; у) одиничного кола, положення якої визначається
кутом φ.
Косинусом кута φ називається абсциса точки А(х; у) одиничного кола, положення якої визначається
кутом φ.
Тангенсом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до абсциси цієї точки.
Котангенсом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до ординати цієї точки.
Поняття градуса:
- Кутовий градус – це
180
1
частина розгорнутого кута;
- Дуговий градус – це
180
1
частина дуги розгорнутого кута.
Загальноприйнятим є відкладання додатних кутів проти ходу
стрілки годинника, а від'ємних – за ходом годинникової
стрілки.
Радіанна міра кута
Крім градусної міри кута в математиці використовують ще одну одиницю вимірювання кута –
радіан.
Розглянемо два концентричних кола з радіусами R1 і R2 та два центральні кути α і β (α < β).
Встановлено, що для одного і того ж центрального кута відношення дуг
концентричних кіл до їх радіусів є величиною сталою. Це відношення
залежить тільки від величини кута. Отже, n
R
l
R
l
==
2
2
1
1
і m
R
l
R
l
==
2
'
2
1
'
1
Якщо α < β, то n < m.
Дане відношення взято за міру кута: a
R
l
= , де а – число.
Число а характеризує величину даного центрального кута.
c
b=ϕsin
c
a=ϕcos
a
btg =ϕ
b
actg =ϕ

2. В радіанній системі за одиницю вимірювання кутів і дуг взято величину центрального кута, для
якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса.
При l = R a = 1 рад (радіан)
Градусна міра розгорнутого кута – 180о
.
Радіанна міра розгорнутого кута – π рад.
Перехід від градусної міри кута до радіанної: o
o
a α
π
⋅=
180
.
Перехід від радіанної міри кута до градусної: a
o
o
⋅=
π
α
180
.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ
Розглянемо одиничне коло (R=1) у системі координат. Позначимо на цьому колі точки Р, положення
яких визначається кутами 0 рад (0о
),
6
π
рад (30о
),
4
π
рад (45о
),
3
π
рад (60о
),
2
π
рад (90о
).
При побудові точок дугу кола ділимо на відповідну кількість
рівних частин.
Зверніть увагу, що кожному з цих кутів відповідає певна дуга
одиничного кола. При R = 1 а = l (величина кута дорівнює
відповідній дузі одиничного кола).
Отже, кожному дійсному числу а на одиничному колі
відповідає певна точка, положення якої визначається
відповідною абсцисою і ординатою.
Таким чином, між дійсним числом а і координатами точки
одиничного кола існує залежність(відповідність), яку назвали
тригонометричною функцією числового аргументу.
Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного
кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.
sin a = y
Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка
Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.
cos a = x
Тангенсом числа а називається відношення
a
a
cos
sin
.
a
a
a
cos
sin
tg =
Котангенсом числа а називається відношення
a
a
sin
cos
.
a
a
a
sin
cos
ctg =
Знаки тригонометричних функцій
Синус Косинус Тангенс, котангенс

3. ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ
ОДНОГО АРГУМЕНТУ
Основна тригонометрична тотожність: sin2
α + cos2
α = 1
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:
α
α
α
cos
sin
=tg , cos α ≠ 0
α
α
α
sin
cos
=ctg , sin α ≠ 0
1=⋅ αα ctgtg
α
α
tg
ctg
1
=
α
α
ctg
tg
1
=
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
sin
1
1 =+ ctg
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
Градусна міра кута Радіанна міра кута
α
90о
± α
180о
± α
270о
± α
360о
± α
α
π/2 ± α
π ± α
3π/2 ± α
2π ± α
Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о
± α), (180о
±
α), (270о
± α), (360о
± α) у тригонометричні функції гострого кута α.
Правило зведення:
- У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична функція, що
зводиться;
- При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о
± α), (360о
± α) їх назви не змінюються, а
кутів (90о
± α), (270о
± α) назви функцій змінюються: синус на косинус, косинус на синус, тангенс
на котангенс, котангенс на тангенс.

4. Формули зведення
sin (90о
– α) = cos α
sin (90о
+ α) = cos α
cos (90о
– α) = sin α
cos (90о
+ α) = –sin α
tg (90о
– α) = ctg α
tg (90о
+ α) = –ctg α
ctg (90о
– α) = tg α
ctg (90о
+ α) = –tg α
sin (180о
– α) = sin α
sin (180о
+ α) = –sin α
cos (180о
– α) = –cos α
cos (180о
+ α) = –cos α
tg (180о
– α) = –tg α
tg (180о
+ α) = tg α
ctg (180о
– α) = –ctg α
ctg (180о
+ α) = ctg α
sin (270о
– α) = –cos α
sin (270о
+ α) = –cos α
cos (270о
– α) = –sin α
cos (270о
+ α) = sin α
tg (270о
– α) = ctg α
tg (270о
+ α) = –ctg α
ctg (270о
– α) = tg α
ctg (270о
+ α) = –tg α
sin (360о
– α) = –sin α
sin (360о
+ α) = sin α
cos (360о
– α) = cos α
cos (360о
+ α) = cos α
tg (360о
– α) = –tg α
tg (360о
+ α) = tg α
ctg (360о
– α) = –ctg α
ctg (360о
+ α) = ctg α
ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ
Функція y = f(x) називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області
визначення функції числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується
умова
f (x) = f(x – T) = f(x + T)
Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число
2π, а тангенса і котангенса – число π.
Отже,
sin(α + 2πk) = sin α, k ϵ Z
cos(α + 2πk) = cos α, k ϵ Z
tg(α + πk) = tg α, k ϵ Z
ctg(α + πk) = ctg α, k ϵ Z
Приклад визначення періоду тригонометричної функції, заданої формулою y = sin(kx + b) і
y = tg(kx + b).
Для ( )
k
Tbkxy
π2
sin =⇒+=
( )
k
Tbkxtgy
π
=⇒+=
ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій важливу роль
відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять періодичні процеси, які
відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні функції використовуються до
моделювання закономірностей коливального руху, а саме моделювання рівномірного обертального
руху. Саме з цим походженням тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх
особливостей – періодичність.
Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім «читаючи»
графік, визначимо і запишемо властивості функції.
Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами: геометричним і
аналітичним.
Геометричний спосіб побудови описано у підручнику:
/ Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 /
Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом.
Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік лише на
проміжку [-π; π].

5. х -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π
у 0 -
2
2
-1 -
2
2
0
2
2
1
2
2
0
Побудова графіка функції.
Графік функції y = sin x називається синусоїдою.
Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити
відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.
Побудова графіка функції y = cos x.
Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення 





+= xx
2
sincos
π
і
геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна дістати з графіка функції y = sin x
паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох на
2
π
одиниць.

6. Графік функції y = cos x
називається косинусоїдою.
Оскільки функція y = cos x
періодична з періодом 2πп, п∈Z,
то графік функції можна
продовжити відповідним
паралельним перенесенням
графіка y = cos x.
А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в одній системі
координат.
Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом.
Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від 





−
2
;
2
ππ
.
Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).

7. Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення 





+−= xtgxctg
2
π
.
Згідно цієї формули до
тангенсоїди застосовують таке
перетворення: тангенсоїду
переносять вліво на
2
π
одиниць
вздовж осі ОХ та будують
симетричний відносно осі ОХ
графік котангенсоїду. На
рисунку графік функції y = сtg x
зображено синім кольором на
інтервалі (- π; 0).

8. Властивості тригонометричних функцій
Функція
Властивість
y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x
1.Область
визначення D(y) ∈ R D(y) ∈ R
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟/2 + ̟·n
D(y) ∈ R,
x ≠ ̟·n
2.Область
значень E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R
3.Парність
(непарність)
Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а
Н е п а р н а
4.Періодичність T = 2̟n, n ∈ Z T = 2̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z T = ̟n, n ∈ Z
5.Набуває
нульових
значень
sin x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
cos x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
tg x = 0, при
x = ̟n, n ∈ Z
ctg x = 0, при
x = ̟/2 + ̟n, n∈Z
6.Проміжки
зростання
[ - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n ]
[ - ̟ + 2̟n;
0 + 2̟n ]
[ - ̟/2 + ̟n;
̟/2 + ̟n ]
Н е м а є
7.Проміжки
спадання
[ ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n ]
[ 0 + 2̟n;
̟ + 2̟n ]
Н е м а є
[ 0 + ̟n;
̟ + 2̟n ]
8.Набуває
додатних
значень
sin x > 0,
( 2̟n; ̟ + 2̟n)
cos x > 0,
( - ̟/2 + 2̟n;
̟/2 + 2̟n )
tg x > 0,
( 0 + ̟n;
̟/2 + ̟n )
ctg x > 0,
(0 + ̟n; ̟/2 + ̟n)
9.Набуває
від’ємних
значень
sin x < 0,
(̟ +2̟n; 2̟ +2̟n)
cos x < 0,
( ̟/2 + 2̟n;
3̟/2 + 2̟n )
tg x < 0,
( - ̟/2 + ̟n;
0 + ̟n)
ctg x < 0,
(- ̟/2 +̟n; 0+̟n)
10.Найбільше
значення
sin x = 1, при
x = ̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = 1, при
x = 2 ̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є
11.Найменше
значення
sin x = -1, при
x = 3̟/2 + 2̟n,
n ∈ Z
cos x = -1, при
x = ̟ + 2̟n, n ∈ Z
Н е м а є Н е м а є
ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
Гармонічними коливаннями називаються процеси, які описуються функцією, що задається
формулою )sin()( ϕω += tAtf або )cos()( ϕω += tAtf .
Такою функцією описується, наприклад, координата кульки,
що прикріплена до пружини (див. мал. 1). Кажуть, що кулька
здійснює гармонічні коливання.
Параметри А, ω, φ повністю визначають гармонічне
коливання і мають спеціальні назви:
А – амплітуда коливання;
ω – циклічна (кутова) частота коливання;
φ – початкова фаза коливання (зазвичай φ ϵ [0; 2π]).
Мал.1

9. Амплітуда А характеризує величину найбільшого відхилення від положення рівноваги.
Число ω є кількістю повних коливань за 2π одиниць часу.
Число φ характеризує початкове положення точки.
Період Т функцій )sin()( ϕω += tAtf і )cos()( ϕω += tAtf , який дорівнює
ω
π2
, називають періодом
гармонічного коливання.
Приклад. Запишемо рівняння гармонічного коливання, якщо його амплітуда дорівнює 0,6, період
– 0,02 с, початкова фаза –
4
π
.
За умовою: А = 0,6; Т =
ω
π2
= 0,02, звідки ω = 100π; φ =
4
π
. Тоді рівняння має вигляд:






+=
4
100sin6,0)(
π
πttf .
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ
Теорема. Які б не були кути, або числа, α і β, завжди cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Наслідки теореми додавання:
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅−
+
=+
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅+
−
=−
Тригонометричні формули подвійних кутів:
sin 2α = 2sin α · cos α
cos 2α = cos2
α – sin2
α
cos 2α = 1 – 2sin2
α
cos 2α = 2cos2
α – 1
α
α
α 2
tg1
2tg
2tg
−
=
Тригонометричні формули половинних кутів:
2
cos1
2
sin
αα −
=
2
cos1
2
cos
αα +
=
α
αα
cos1
cos1
2 +
−
=tg

10. Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
+
⋅
−
=−
2
cos
2
cos2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
sin
2
sin2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
−=−
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
+
=+ tgtg
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
−
=− tgtg
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:
2
)cos()cos(
coscos
βαβα
βα
++−
=⋅
2
)cos()cos(
sinsin
βαβα
βα
+−−
=⋅
2
)sin()sin(
cossin
βαβα
βα
−++
=⋅
ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ.
НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
Тригонометрична функція Обернена тригонометрична функція
y = sin x
y = cos x
y = tg x
y = ctg x
y = arcsin x
y = arcсos x
y = arctg x
y = arcctg x
Для тригонометричних функцій і відповідних обернених тригонометричних функцій виконуються
такі рівності:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
arcsin(sin x) = x
arccos(cos x) = x
arctg(tg x) = x
arcctg(ctg x) = x
Тригонометричними рівняннями називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є аргументом
тригонометричної функції.
Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції періодичні).
Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує.

11. Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь:
Тригонометричне рівняння Розв'язок
sin x = a
cos x = a
tg x = a
x = (–1)k
·arcsin a + kπ, k ϵ Z
x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z
x = arctg a + kπ, k ϵ Z
Окремі випадки:
sin x = 1, Zkkx ∈+= ,2
2
π
π
sin x = 0, Zkkx ∈= ,π
sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,2
2
π
π
cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π
cos x = 0, Zkkx ∈+= ,
2
π
π
cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ
Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь:
sin kx = a,
( )
k
na
x
n
π+⋅−
=
arcsin1
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
cos (kx + c) = a,
k
cna
x
−+±
=
π2arccos
! Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.
НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ
Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування найпростіших
тригонометричних нерівностей виду:
sin x ≥ a
cos x ≥ a
tg x ≥ a
ctg x ≥ a
sin x > a
cos x > a
tg x > a
ctg x > a
sin x ≤ a
cos x ≤ a
tg x ≤ a
ctg x ≤ a
sin x < a
cos x < a
tg x < a
ctg x < a
! Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.