1

1. РАЦІОНАЛЬНІ, ІРРАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ ТА ЇХНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Запис, що складається з чисел, букв (змінних) та знаків алгебраїчних дій,
називається алгебраїчним виразом.
Наприклад: 4ab –a2
(a - b);
௔ା௕
௔ି௕
; ൫‫ݔ‬ − √3൯
ଷ
; √‫ݔ‬ − 2ඥ‫.ݕ‬
Існує шість алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення
до степеня, добування кореня.
Множина значень змінних, для яких даний вираз має сенс, називається областю
допустимих значень (ОДЗ) даного виразу.
Якщо в алгебраїчному виразі надати змінним якихось допустимих значень, то
одержимо числовий вираз. Його значення називається числовим значенням
алгебраїчного виразу при обраних значеннях змінних.
Якщо алгебраїчний вираз не містить ділення на змінні та добування кореня зі
змінних, то він називається цілим.
Якщо в алгебраїчному виразі є ділення на вираз, що містить змінні, то цей вираз
називається дробовим.
Цілі і дробові вирази складають раціональні вирази.
Ірраціональними є вирази, в яких використовується дія добування кореня зі змінної.
Одночленом називається вираз, що є добутком чисел та натуральних степенів
змінних.
Добуток двох одночленів – також одночлен.
Якщо піднести одночлен до натурального степеня, то одержимо одночлен.
Одночлени називаються подібними, якщо після приведення до стандартного вигляду
( а · 10п
) вони відрізняються тільки коефіцієнтами або зовсім не відрізняються.
Додавання або віднімання подібних одночленів називається зведенням подібних
одночленів.
Многочленом називається сума одночленів. Перетворення многочлена в добуток
декількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.
Перетворення цілих виразів (многочленів)
1. Тотожне перетворення
Якщо вирази приймають рівні числові значення при будь-якому дійсному значенні
змінної, то ці вирази тотожно рівні на множині R.
Тотожністю на деякій множині називається рівність, яка з’єднує два вирази,
тотожно рівні на цій множині.
Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називається тотожним
перетворенням виразу.
2. Розкладання виразу на множники
- винесення спільного множника за дужки;
Це перетворення пов’язане з дистрибутивним законом: ac + bc = c (a + b)

2. - використання формул скороченого множення:
Різниця квадратів a2
– b2
= (a + b)(a – b)
Квадрат різниці (a – b)2
= a2
– 2ab + b2
Квадрат суми (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Сума кубів a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b2
)
Різниця кубів a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
)
Куб суми (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Куб різниці (a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
- групування.
Приклад:
x2
– 5xy + 6y2
= x2
– 2xy – 3xy + 6y2
= (x2
– 2xy) – (3xy – 6y2
) = x(x – 2y) – 3y(x – 2y) =
= (x – 2y)(x – 3y).
Перетворення дробових раціональних виразів
Дробовий раціональний вираз або раціональний дріб – це відношення двох цілих
виразів
௉
ொ
, причому вираз ܳ містить змінні. Вважаємо, що всі змінні набувають лише
допустимих значень.
Основна властивість раціонального дробу:
௉
ொ
=
௉ெ
ொெ
.
М – цілий раціональний вираз (М ≠ 0).
Арифметичні дії з раціональними дробами виконуються за тими самими правилами,
що й з числовими дробами:
додавання
ܽ
ܾ
+
ܿ
݀
=
ܽ݀ + ܾܿ
ܾ݀
віднімання
ܽ
ܾ
−
ܿ
݀
=
ܽ݀ − ܾܿ
ܾ݀
множення
ܽ
ܾ
∙
ܿ
݀
=
ܽܿ
ܾ݀
ділення
ܽ
ܾ
:
ܿ
݀
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
=
ܽ݀
ܾܿ
Тут
௔
௕
та
௖
ௗ
деякі раціональні дроби.

3. Перетворення ірраціональних виразів
Для перетворень ірраціональних виразів можуть використовуватись основні
властивості арифметичного кореня:
1. √ܾܽ
೙
= √ܽ
೙
∙ √ܾ
೙
, ܽ ≥ 0, ܾ ≥ 0.
2.
ට
ܽ
ܾ
೙
=
√ܽ
೙
√ܾ
೙ , ܽ ≥ 0, ܾ > 0.
3. ൫ √ܽ
೙
൯
௞
= ඥܽ௞೙
, ܽ ≥ 0.
4.
ට√ܽ
ೖ
೙
= √ܽ
೙ೖ
, ܽ ≥ 0.
5. ඥܽ௞೙
= ඥܽ௞௠೙೘
, ܽ ≥ 0.
Види перетворень:
- винесення множника з-під знака кореня;
Приклад: √50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2.
- внесення множника під знак кореня;
Приклад: 3√5 = √3ଶ ∙ √5 = √9 ∙ 5 = √45.
- добування кореня з кореня;
Приклад: ඥܽ√ܾ
యయ
= ඥ√ܽଷܾ
యయ
= √ܽଷܾ
వ
.
- зведення коренів до одного показника;
Приклад: √‫ݔ‬
య
∙ √‫ݔ‬
ర
= √‫ݔ‬ସభమ
∙ √‫ݔ‬ଷభమ
= √‫ݔ‬ସ ∙ ‫ݔ‬ଷభమ
= √‫ݔ‬଻భమ
, ‫ݔ‬ ≥ 0.
- використання формул складних радикалів;
• ඥܽ + √ܾ = ට௔ା√௔మି௕
ଶ
+ ට௔ି√௔మି௕
ଶ
• ඥܽ − √ܾ = ට௔ା√௔మି௕
ଶ
− ට௔ି√௔మି௕
ଶ
- виділення квадрата (або куба) під коренем;
Приклад: ඥ4 − 2√3 = ඥ3 − 2√3 + 1 = ට൫√3 − 1൯
ଶ
= ห√3 − 1ห = √3 − 1.
- звільнення від ірраціональності в знаменнику.
Ця дія виконується за допомогою так званих спряжених виразів √‫ݑ‬ + √‫ݒ‬ та
√‫ݑ‬ − √‫.ݒ‬
Приклад:
ଵ
√௔ି√௕
=
√௔ା√௕
൫√௔ି√௕൯൫√௔ା√௕൯
=
√௔ା√௕
௔ି௕
.