1. ДІЙСНІ ЧИСЛА, ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ ТА ДІЇ З НИМИ. ЧИСЛОВІ МНОЖИНИ ТА
СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ НИМИ
Натуральні числа
Натуральні числа - це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.
Поняття натурального числа виникло з потреб лічби та вимірювання величин. Такими числами
позначають також наближений результат вимірювання величин, коли одиниця вимірювання
поміщається у вимірюваній величині ціле число разів.
Натуральні числа записують за допомогою десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Спосіб запису чисел назвали десятковою системою. В десятковій системі існує поняття
розряду:
− розряд одиниць;
− розряд десятків;
− розряд сотень;
− розряд тисяч;
− розряд десятків тисяч; і т.д.
Кожний розряд починається з розрядної одиниці: 1; 10; 100; 1000; 10000; …
В десятковій системі для читання багатоцифрового числа розбивають його на класи по три
розряди справа на ліво.
Класи одиниць тисяч мільйонів
Розряди одиниць
десятків
сотень
тисяч
десятків тисяч
сотень тисяч
мільйонів
десятків мільйонів
сотень мільйонів
Читання багатоцифрових чисел:
− розбити число на класи (справа на ліво);
− прочитати розряди кожного класу зліва на право як трицифрове число, додавши до нього
назву кожного класу, крім класу одиниць.
Порівняння багатоцифрових чисел
Порівнюють багатоцифрові числа від найвищого розряду до найнижчого. Більшим за
значенням буде число, в якого є більшим за значенням розряд, що порівнюється.
Знаки порівняння:
" < " – знак менше; " > " – знак більше; " = " – знак рівності.
Основні арифметичні дії
Дії
Властивості
Переставна Сполучна Розподільна
Додавання: a+b=c
(a, b - доданки; c-сума)
a+b=b+a a+(b+c)=(a+b)+c -------
Віднімання: a-b=c
a-зменшуване;
b-від’ємник;
c-різниця.
a - b=- (b - a)
a-(b-c)= a - b+c
(a - b) - c= a - b - c
-------
Множення: a·b=c
(a, b - співмножники;
c-добуток)
a ⋅ b = b ⋅ a (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
(a + b) ⋅ c = a⋅c + b⋅c
(a – b) ⋅ c = a⋅c – b⋅c
Ділення: a:b=c
a-ділене;
b-дільник;
c-частка.
ܽ
ܾ
=
1
ܾ
ܽ
Ділення числа на
добуток:
c:(ab)=(c:a):b=(c:b):a
ділення добутку на
число:
(ab):c=(a:c)⋅b=(b:c)⋅a
Ділення суми (різниці)
на число:
ሺܽ ± ܾሻ
ܿ
=
ܽ
ܿ
±
ܾ
ܿ
2. Числа поділяють на прості і складені. Просте натуральне число ділиться тільки на 1 і на саме
себе, тобто має лише два дільники. Складене число має більше ніж два дільники.
При розкладанні складеного числа на прості множники, використовують ознаки подільності на
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
Ознаки подільності
Ознаки Приклади
Число ділиться на 2, якщо остання цифра числа
ділиться на 2.
258 : 2, оскільки 8 : 2;
1206 : 2, оскільки 6 : 2.
Число ділиться на 3, якщо сума цифр числа
ділиться на 3.
456 : 3, оскільки 4+5+6=15 і 15 : 3.
Число ділиться на 4, якщо число з двох
останніх цифр даного числа ділиться на 4.
12316 : 4, оскільки 16 : 4.
Число ділиться на 5, якщо остання цифра числа
5 або 0.
105 : 5;
3320 : 5.
Число ділиться на 6, якщо воно ділиться
одночасно на 2 і на 3.
744 : 6, оскільки 4 : 2 і 7+4+4=15 15 : 3
Число ділиться на 8, якщо число, утворене
трьома останніми цифрами даного числа,
ділиться на 8.
1256 : 8, оскільки 256 : 8.
Число ділиться на 9, якщо сума цифр числа
ділиться на 9.
351 : 9, оскільки 3+5+1=9 і 9 : 9
Число ділиться на 10, якщо остання цифра
числа 0.
3420 : 10.
Число ділиться на 11, якщо суми цифр на
парних і непарних місцях дають різницю, яка
ділиться на 11.
1727:11, оскільки 7+7=14; 1+2=3;
14-3=11 і 11:11
Ознака подільності суми
Якщо кожен із доданків ділиться на натуральне число b, то і сума ділиться на b.
Ознака подільності добутку
Якщо хоч один із співмножників ділиться на натуральне число b, то і добуток ділиться на b.
Найбільший спільний дільник (НСД)
Найбільший спільний дільник (НСД) — найбільше натуральне число, на яке без остачі ділиться
кожне з даних чисел.
Найбільший спільний дільник позначаємо НСД(m; n).
Наприклад,
НСД(16; 20; 28)=4.
Щоб знайти НСД двох або кількох чисел, необхідно:
• розкласти дані числа на прості множники;
• скласти добуток усіх спільних простих множників;
• обчислити складений добуток.
Найменше спільне кратне (НСК)
Найменше спільне кратне (НСК) — найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних
чисел.
Найменше спільне кратне позначаємо НСК(m; n).
Наприклад, НСК(2; 3; 4)=12.
3. Щоб знайти НСК двох або кількох чисел, необхідно:
• розкласти дані числа на прості множники;
• виписати всі прості числа, які входять хоча б в один із отриманих розкладів;
• кожне з виписаних простих чисел взяти з найбільшим із показників степеня, із якими воно
входить до розкладання даних чисел;
• записати добуток отриманих степенів.
Приклад: знайдемо НСК(12; 15)
Маємо,12=2⋅2⋅3=22
⋅3; 15=3⋅5.
Із найбільшими показниками — це числа 22
;31
;51
.
Тому НСК(12;15)=22
⋅3⋅5=60.
Для будь-яких натуральних чисел a і b правильна рівність:
НСД(a;b)⋅НСК(a;b)=a⋅b
Приклад:
56=23
⋅7
196=22
⋅72
НСД(56;196)=22
⋅7=28
НСК(56;196)=23
⋅72
=392
НСД⋅НСК=28⋅392=56⋅196=10976.
Дроби
Дробове число записюють у вигляді звичайного дробу, цілого числа і звичайного дробу.
Наприклад:
7
5
;
9
2
3 .
Запис звичайного дробу:
b
a
(a – чисельник дробу, b – знаменник дробу).
Звичайні дроби є правильні і неправильні.
Правильним називається звичайний дріб, у якого чисельник менший від знаменника.
Приклад: правильні дроби .
15
1
;
3
2
Неправильним називається звичайний дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, або
чисельник більший від знаменника.
Приклад: неправильні дроби .
12
17
;
2
2
;
3
4
;
4
4
Якщо дріб неправильний, то потрібно його перетворити в правильний, виділивши цілу частину.
Приклад:
4
1
4
4
17
= (17:4 = 4 (остача 1))
Правила дій з дробами.
Додавання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками:
c
ba
c
b
c
a ±
=±
Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками:
db
bcda
d
c
b
a
⋅
⋅±⋅
=±
Множення дробів:
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅
Множення числа на дріб:
d
ca
d
c
a
⋅
=⋅
Ділення числа на дріб:
c
da
c
d
a
d
c
a
⋅
=⋅=:
4. Ділення дробів: ;:
np
mq
q
p
n
m
=
Основна властивість дробу:
mb
ma
b
a
⋅
⋅
=
Зведення дробів
b
a
і
n
m
до спільного знаменника:
b
a
nb
na
⋅
⋅
;
n
m
bn
bm
⋅
⋅
b⋅ n – спільний знаменник.
Порівняння дробів з рівними знаменниками
c
a
>
c
b
, якщо a > b
c
a
<
c
b
, якщо a < b
Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, потрібно попередньо звести їх до спільного
знаменника.
Два числа називаються взаємно оберненими, якщо їхній добуток дорівнює 1.
Приклад:
7
3
і
3
7
- взаємно обернені, оскільки .1
3
7
7
3
=⋅
Приклади дій з числами, що мають цілу і дробову частини:
( ) ;
36
29
7
36
29
7
36
9
36
20
7
12
3
9
5
25
12
3
2
9
5
5
12
3
2
9
5
5 =+=
++=
+++=
++
+=+
( ) .
28
1
5
28
1
5
28
20
28
21
1015
28
20
10
28
21
15
28
20
10
28
21
15
7
5
10
4
3
15 =+=
−+−=
+−
+=−=−
Десяткові дроби – це звичайні дроби, знаменник яких є розрядною одиницею. Запис
десяткового дробу: знаменник не пишуть, а цілу частину відділяють від дробової за допомогою
коми.
Наприклад: 004,5
1000
4
5;7,0
10
7
== .
Десяткові дроби є скінченні, нескінченні, періодичні, неперіодичні.
Додатні і від′ємні числа були введені у зв′язку потребою практики – потрібно було виражати
числом величини, які могли змінюватись у двох протилежних напрямках (температура, висота
рівня води у річці, озері, морі відносно умовного нуля і т.п.). В алгебрі ці числа використовують
для запису коренів рівняння a + x = b, якщо a > b.
Наближені обчислення виконують тоді, коли компонентами дій є наближені значення величин
чи чисел, які здобуті шляхом заокруглення результатів вимірювання геометричних, фізичних,
хімічних, та інших величин, використання табличних значень, результатів виконання ділення,
добування кореня з чисел, знаходження значень тригонометричних функцій, логарифмів чисел і
т.д.
У наближених обчисленнях доводиться користуватися правилами округлення натуральних
чисел та десяткових дробів.
У наближених значеннях, записаних згідно правил округлення, усі цифри запису вважаємо
правильними. Такий запис дає уявлення про точність наближення. У таблицях усі значення
записують лише правильними цифрами.
При виконанні дій додавання і віднімання в результаті враховують кількість правильних
десяткових знаків даних чисел, вважаючи, що дані наближені значення записані лише
правильними цифрами.
Правило. При додаванні і відніманні наближених значень у результаті залишають стільки
десяткових знаків, скільки їх має дане число з найменшою кількістю десяткових знаків.
5. При виконанні дій множення і ділення в результаті підраховують кількість значущих цифр.
Значущими цифрами наближення, записаного у вигляді десяткового дробу, називаються всі
його цифри, крім нулів на початку числа.
Наприклад, наближені значення 2,25; 0,317; 9,05; 12,0 мають по три значущі цифри, а у
наближеннях 78,21; 10,40; 0,009658 – по чотири значущі цифри.
Правило. При множенні і діленні наближених значень у результаті залишають стільки
значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю значущих цифр.
При виконанні проміжних дій інколи користуються „правилом запасної цифри”: в результатах
проміжних дій залишають на одну (запасну) цифру більше. В остаточному результаті запасна
цифра відкидається за правилами округлення.
Модуль числа
Кожному дійсному числу а відповідає його модуль, або абсолютна величина (позначається | a | ).
Визначення модуля:
||ݔ = ൜
ݔпри ݔ ≥ 0.
− ݔпри ݔ < 0.
Наприклад:
|4,6|= 4,6; |√2 - 1|= √2 - 1; | - 7,3|= 7,3; |1 - √3 |= √3 - 1; |0|= 0.
Властивості модуля:
- |ܽ| = |−ܽ|;
- |ܾܽ| = |ܽ| ∙ |ܾ|;
- ቚ
ቚ =
||
||
при b≠0;
- |ܽ|ଶ
= ܽଶ
;
- |ܽ| ≥ 0;
- −|ܽ| ≤ ܽ ≤ |ܽ|.
Корінь n-го степеня
У курсі алгебри розглядалось поняття квадратного кореня з невід′ємного числа. Узагальнимо
це поняття, визначивши поняття кореня з довільним натуральним показником, більшим від 1.
Як відомо, квадратним коренем з числа а називають число, квадрат якого дорівнює а.
Аналогічно визначається поняття кореня довільного натурального степеня п з числа а.
Коренем п-го степеня (n ∈ N, n > 1) з числа а називається число, п-й степінь якого
дорівнює а.
Запис: п
а
- радикал;
п – показник кореня;
а – підкореневий вираз.
Арифметичним коренем п-го степеня (n ∈ N, n > 1) з числа а називається невід’ємне
число, п-й степінь якого дорівнює а.
Розв′язання коренів
− При парному п існує два корені п-го степеня з будь-якого додатного числа а. сап
±=
− Корінь п-го степеня з числа 0 дорівнює нулю. 00 =п
− Коренів парного степеня з від′ємних чисел не існує.
− При непарному п існує корінь п-го степеня з будь-якого числа а, і тільки один. bап
=
Властивості кореня п-го степеня (n ∈ N, m ∈ Z)
6. 1) 0,0, ≥≥⋅=⋅ bababa nnn
2) 0,0, >≥= ba
b
a
b
a
n
n
n
3) 0, ≥= ⋅
aaa mnn m
4) 0, >= ⋅
maa mn mn
- основна властивість кореня
5) ( ) 0, >= aaa
m
nn m
6) Якщо 0 ≤ а < b, то nn
ba <
Степінь з раціональним показником
З курсу алгебри відомо, що степінь з натуральним показником обчислюється за формулою:
4434421
разівn
n
aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ...
Розглянемо випадок, коли показник степеня є раціональним числом.
Відомо, що раціональне число можна записати у вигляді
n
m
, де т ∈ Z, п ∈ N.
n
m
rrar
=∈ ,Q,
Степенем числа а > 0 з раціональним показником
n
m
r = , де т ∈ Z, п ∈ N (п >1),
називається число n m
a .
n mn
m
aa =
Властивості степеня з раціональним показником
Для будь-яких r∈Q і s∈Q, та будь-яких a>0, b>0 правильні рівності:
ar
⋅as
= ar+s
sr
s
r
sr
a
a
a
aa −
==⋅
( ) srsr
aa ⋅
=
( ) rrr
baba ⋅=⋅
r
rr
b
a
b
a
=
При 0 < a < b: 0коли, >< rba rr
0коли, <> rba rr
При r > s: 1коли, >> аaa sr
10коли, <<< аaa sr
Важливі значення степеня: n
n01r
a
1
aaaa00 ===>= −
10при, r
Числові множини
Числа утворюють числові множини.
Натуральні числа утворюють множину натуральних чисел N.
Натуральні числа, протилежні їм від′ємні числа і нуль утворюють множину цілих чисел Z.
Цілі числа і дробові числа утворюють множину раціональних чисел Q.
Загальний запис раціонального числа:
n
m
, де m∈Z, n∈N.
7. Крім раціональних чисел є ірраціональні числа. Прикладом ірраціонального числа є число π -
нескінченний неперіодичний десятковий дріб.
Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел R.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
