1. ОБ'ЄМИ ТА ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ
ПОНЯТТЯ ПРО ОБ’ЄМ ТІЛА
Об’єм характеризує величину частини простору, яку займає геометричне тіло.
Об'єм – це величина, яка виражається числом і має одиницю вимірювання.
Мірою об'єму є куб, ребро якого дорівнює одиниці довжини.
Одиниці об'єму: кубічні міліметри (1 мм3
), кубічні сантиметри (1 см3
), кубічні метри (1 м3
) і т.д.
Отже, знаходження об’ємів тіл різної форми базується на порівнянні із об’ємом одиничного
куба.
Об’єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.
Два тіла називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні об’єми.
Способи визначення об'єму:
- вимірювання;
- обчислення.
ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ОБ’ЄМІВ
Тіла простору мають об'єм. Ми вивчаємо прості тіла.
Тіло є простим, якщо його можна розкласти на скінчену кількість трикутних пірамід.
Простими тілами є многогранники, циліндр, конус, куля.
Для простих тіл об'єм – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
1) рівні тіла мають рівні об'єми;
2) якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об'єм тіла дорівнює сумі
об'ємів його частин;
3) об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
Об’єм простого тіла — це додатна величина, що має такі властивості:
- рівні тіла мають рівні об’єми;
- об’єм тіла дорівнює сумі об’ємів його частин;
- об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, становить одиницю об'єму.
Рівноскладеними називають тіла, які складені з одних і тих самих частин.
Будь-які рівноскладені тіла мають рівні об’єми (за другою властивістю). Обернене твердження не є
правильним (на відміну від аналогічної теореми для площ).
ОБ'ЄМ ПРИЗМИ, ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА, КУБА
Об'єм прямокутного паралелепіпеда з лінійними вимірами a, b, c обчислюється за формулою:
V = a⋅ b⋅ c
Об'єми двох прямокутних паралелепіпедів з рівними основами відносяться, як їх висоти.
11 H
H
V
V
=
Об'єм куба обчислюється за формулою: Vкуб = a3
Ребро куба можна обчислити за формулою: 3
кубVa =
Об'єм будь-якого паралелепіпеда (прямого, похилого, прямокутного)обчислюється за формулою:
V = Sосн⋅H
Об'єм призми(прямої,похилої, правильної) обчислюється за формулою: V = Sосн⋅H
2. ОБ'ЄМ ПІРАМІДИ
Дві трикутні піраміди з рівними площами основ і рівними висотами – рівновеликі.
Об'єм піраміди обчислюється за формулою:
HSV осн ⋅=
3
1
Об'єм зрізаної піраміди обчислюється за формулою:
( )2121
3
SSSS
H
V ++=
ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
Формули площ трикутників
- для прямокутного трикутника: baS ⋅=
2
1
- для довільного трикутника: ahaS ⋅=
2
1
αsin
2
1
⋅⋅= baS
формула Герона –
2
,))()((
cba
pcpbpappS
++
=−−−=
- для прямокутника: S=a⋅b
- для трапеції: h
ba
S ⋅
+
=
2
- для паралелограма: S = a⋅ ha S = a⋅ b sin α
- для ромба: 21
2
1
ddS ⋅= S = a2
⋅ sin α
- для квадрата: S = a2
2
2
1
dS =
- для правильного многокутника:
2
rna
S n
=
n
nRS
o
360
sin
2
1 2
=
ОБ'ЄМ ТІЛА ОБЕРТАННЯ
Тілом обертання називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої
прямої (осі обертання), перетинається по кругах з центрами на цій прямій.
Формула для визначення об'єму тіла обертання або частини тіла, що знаходиться між
паралельними площинами х = а, х = b:
∫=
b
a
dxxfV )(2
π
3. ОБ'ЄМ ЦИЛІНДРА
Дане тіло має об'єм V, якщо існують прості тіла, які містять його, і прості тіла, які містяться в
ньому з об'ємами, що як завгодно мало відрізняються від V.
Для визначення формули об'єму циліндра, використовують прості тіла – п-кутну призму, вписану у
циліндр, та п-кутну призму, описану навколо циліндра. Висота циліндра дорівнює висоті вписаної і
описаної призм. Площа основи циліндра Sц буде більшою за площу основи вписаної призми S1 і
буде меншою за площу основи описаної призми S2. Тобто, S1 < Sц < S2.
При п→∞, площі основ призм S1 і S2 будуть прямувати до площі основи циліндра Sц. Тоді об'єми
вписаної і описаної призм будуть прямувати до добутку S·H, де S = Sц. Врахувавши, що Sц = πR2
,
одержимо формулу для обчислення об'єму циліндра:
Vц = πR2
H
ОБ'ЄМ КОНУСА
Для одержання формули об'єму конуса розглянемо вписану у конус п-кутну піраміду і описану
навколо конуса п-кутну піраміду.
Висота конуса дорівнює висоті вписаної і описаної пірамід.
Площа основи конуса Sк буде більшою за площу основи вписаної піраміди S1 і буде меншою за
площу основи описаної піраміди S2. Тобто, S1 < Sк < S2.
При п→∞, площі основ пірамід S1 і S2 будуть прямувати до площі основи конуса Sк. Тоді об'єми
вписаної і описаної пірамід будуть прямувати до добутку
3
1
·S·H, де S = Sк.
Врахувавши, що Sк = πR2
, одержимо формулу для обчислення об'єму конуса:
Vк =
3
1
πR2
H
Об'єм зрізаного конуса визначається за формулою: )(
3
1 2
221
2
1.. RRRRHV кз ++= π
R1, R2 – радіуси основ зрізаного конуса.
ОБ'ЄМ КУЛІ
Формула об'єму кулі: 3
3
4
RV π=
Кульовий сегмент – це частина кулі, яку відтинає від неї січна
площина.
Формула об'єму кульового сегмента:
−=
3
2 H
RHV π
R – радіус кулі, Н – висота сегмента
Кульовий сектор – це тіло, яке складається з конуса і кульового сегмента, що мають спільну
основу.
Формула об'єму кульового сектора: HRV 2
3
2
π=
R – радіус кулі, Н – висота кульового сегмента
4. ПЛОЩА ЦИЛІНДРА
Розгортка поверхні циліндра:
Для обчислення площі поверхні циліндра використовують формули:
Sпов = Sбіч + 2·Sосн,
Sосн = πR2
Sбіч = 2πRH Sпов = 2πRH + 2·πR2
= 2πR(H + R)
ПЛОЩА КОНУСА
Розгортка поверхні конуса:
R – радіус основи конуса,
l – твірна конуса,
С – дуга, що дорівнює довжині кола основи конуса.
Площа бічної поверхні конуса:
Sбіч = π·R·l, l – довжина твірної конуса.
Площа повної поверхні конуса:
Sпов = π·R·l + π·R2
Розгортка поверхні зрізаного конуса:
R1 – радіус меншої основи конуса,
R2 – радіус більшої основи конуса,
l – твірна зрізаного конуса,
С1 – дуга, що дорівнює довжині кола меншої основи
конуса,
С2 – дуга, що дорівнює довжині кола більшої основи
конуса.
Площа бічної поверхні зрізаного конуса:
Sбіч = π·(R1 + R2)·l, l – довжина твірної зрізаного конуса.
Площа повної поверхні зрізаного конуса:
2
2
2
121 )( RRlRRSпов πππ ++⋅+=
ПЛОЩА ПОВЕРХНІ КУЛІ
Формула площі сфери (кульової поверхні): S = 4πR2
