1

1. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВИРАЗИ ТА ЇХНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Тригонометричні вирази та їхні перетворення
Тригонометричними є вирази, які містять тригонометричні функції.
Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного кола, в яку
переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.
sin a = y
Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку
переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.
cos a = x
Тангенсом числа а називається відношення
a
a
cos
sin
.
a
a
a
cos
sin
tg =
Котангенсом числа а називається відношення
a
a
sin
cos
.
a
a
a
sin
cos
ctg =
Знаки тригонометричних функцій
Синус Косинус Тангенс, котангенс
Тригонометричні вирази перетворюють, використовуючи відповідні
тригонометричні формули.
Тригонометричні формули:
Основна тригонометрична тотожність: sin2
α + cos2
α = 1
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:
α
α
α
cos
sin
=tg , cos α ≠ 0
α
α
α
sin
cos
=ctg , sin α ≠ 0
1=⋅ αα ctgtg

2. α
α
tg
ctg
1
=
α
α
ctg
tg
1
=
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
2
sin
1
1 =+ ctg
Формули зведення
Градусна міра кута Радіанна міра кута
α
90о
± α
180о
± α
270о
± α
360о
± α
α
π/2 ± α
π ± α
3π/2 ± α
2π ± α
Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів
(90о
± α), (180о
± α), (270о
± α), (360о
± α) у тригонометричні функції гострого кута α.
Правило зведення:
- У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична
функція, що зводиться;
- При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о
± α), (360о
± α) їх назви не
змінюються, а кутів (90о
± α), (270о
± α) назви функцій змінюються: синус на
косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Формули зведення
sin (90о
– α) = cos α
sin (90о
+ α) = cos α
cos (90о
– α) = sin α
cos (90о
+ α) = –sin α
tg (90о
– α) = ctg α
tg (90о
+ α) = –ctg α
ctg (90о
– α) = tg α
ctg (90о
+ α) = –tg α
sin (180о
– α) = sin α
sin (180о
+ α) = –sin α
cos (180о
– α) = –cos α
cos (180о
+ α) = –cos α
tg (180о
– α) = –tg α
tg (180о
+ α) = tg α
ctg (180о
– α) = –ctg α
ctg (180о
+ α) = ctg α
sin (270о
– α) = –cos α
sin (270о
+ α) = –cos α
cos (270о
– α) = –sin α
cos (270о
+ α) = sin α
tg (270о
– α) = ctg α
tg (270о
+ α) = –ctg α
ctg (270о
– α) = tg α
ctg (270о
+ α) = –tg α
sin (360о
– α) = –sin α
sin (360о
+ α) = sin α
cos (360о
– α) = cos α
cos (360о
+ α) = cos α
tg (360о
– α) = –tg α
tg (360о
+ α) = tg α
ctg (360о
– α) = –ctg α
ctg (360о
+ α) = ctg α

3. Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів :
cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅−
+
=+
βα
βα
βα
tgtg1
tgtg
)(tg
⋅+
−
=−
Тригонометричні функції подвійних кутів:
sin 2α = 2sin α · cos α
cos 2α = cos2
α – sin2
α
cos 2α = 1 – 2sin2
α
cos 2α = 2cos2
α – 1
α
α
α 2
tg1
2tg
2tg
−
=
Тригонометричні функції половинних кутів:
2
cos1
2
sin
αα −
=
2
cos1
2
cos
αα +
=
α
αα
cos1
cos1
2 +
−
=tg
Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
+
⋅
−
=−
2
cos
2
cos2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
=+
2
sin
2
sin2coscos
βαβα
βα
−
⋅
+
−=−
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
+
=+ tgtg
βα
βα
βα
coscos
)sin(
⋅
−
=− tgtg
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:
2
)cos()cos(
coscos
βαβα
βα
++−
=⋅
2
)cos()cos(
sinsin
βαβα
βα
+−−
=⋅
2
)sin()sin(
cossin
βαβα
βα
−++
=⋅