Dokumen ini membahas operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, perkalian matriks, determinan, minor, kofaktor, adjoint, dan invers matriks. Juga dibahas penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks.
3. 2.1 Operasi pada Matriks
Matriks adalah sekelompok bilangan yang disusun berbentuk persegi
panjang atau persegi. Anggota yang ditulis mendatar disebut baris dan
yang ditulis menurun disebut kolom yang semua anggotanya terletak
di dalam suatu tanda kurung.
4. Jika diberikan matriks A = πππ dan matriks B = πππ, maka
A + B = C dengan ordo A = ordo B
Penjumlahan Matriks
Ordo C = ordo A = ordo B.
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordo kedua matriks
tersebut sama. Bentuk operasinya adalah dengan
menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua
matriks tersebut.
6. Telah kita ketahui bahwa setiap matriks mempunyai lawan, maka dapat kita tulis
π΄ + (βπ΅) sebagai π΄ β π΅. Dengan kata lain, matriks A dikurang matriks B
didefinisikan sebagai matriks A ditambah dengan lawan dari matriks B.
Pengurangan Matriks
π΄ β π΅ = π΄ + (βπ΅)
7. Matriks ππ΄ adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil kali dari π
dengan elemen-elemen matriks A. Misalkan:
Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
π =
π π
π π
2π = 2
π π
π π
=
2π 2π
2π 2π
Dapat disimpulkan bahwa jika π adalah bilangan real, maka:
π
π π
π π
=
ππ ππ
ππ ππ
8. A. Syarat perkalian matriks
Matriks A (matriks di sisi kiri) dan matriks B (matriks di sisi kanan) dapat dikalikan,
jika matriks A berordo π Γ π dan matriks B berordo π Γ π . Hasil kali matriks π΄ Γ π΅
adalah matriks berordo π Γ π.
Perkalian Matriks
π΄ Γ π΅ = πΆ
π Γ π π Γ π = π Γ π
sama
9. B. Matriks satuan (identitas)
Contoh
Jika matriks π΄ =
π π
π π
dan πΌ =
1 0
0 1
, maka:
π΄πΌ =
π π
π π
1 0
0 1
=
π + 0 0 + π
π + 0 0 + π
=
π π
π π
πΌπ΄ =
1 0
0 1
π π
π π
=
π + 0 π + 0
0 + π 0 + π
=
π π
π π
π΄πΌ = πΌπ΄ dan hasil kalinya adalah matriks A. Demikian pula jika sembarang matriks
yang berordo 2 Γ 2 dikalikan dengan matriks πΌ2 (matriks satuan berordo 2 Γ 2 ),
hasil kalinya adalah matriks itu sendiri.
10. 2.2 Determinan dan Invers Matriks Persegi Ordo π Γ π
Jika matriks A dan B adalah matriks yang berordo 2 Γ 2 dikalikan menjadi π΄π΅ = π΅π΄ = πΌ,
maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.
π΄β1 =
1
ππ β ππ
π βπ
βπ π
Dalam hal ini (ππ β ππ) disebut determinan matriks A dan dinotasikan dengan π΄ .
15. Jika dalam suatu determinan A elemen-elemen dari baris ke-π dan kolom ke-π
dihilangkan, maka determinan yang tertinggal disebut minor dari determinan A dan
dinyatakan dengan πππ. Kofaktor dari determinan A dinyatakan dengan πΌππ di
mana:
Minor dan Kofaktor
πΌππ = β1 π+π
πππ
16. Misalkan π΄ =
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
Minor untuk π11 adalah π11 =
π22 π23
π32 π33
Kofaktor untuk π11 adalah πΌ11 = (β1)1+1
π11 = π11
analog, πΌ21 = (β1)2+1
π21 = βπ21.
Contoh
17. Jika A = (πππ) adalah suatu matriks persegi ordo 3 Γ 3 dengan elemen-elemen πππ
dan kofaktor πππ, didefinisikan adjoint A adalah:
Adjoint dari Suatu Matriks Persegi Ordo π Γ π
Adj A=
πΌ11 π21 π31
π12 π22 π32
π13 π23 π33
πππ π΄
π΄
Γ π΄ = πΌ
19. Invers Matriks Persegi Ordo π Γ π
Jika A dan B adalah suatu matriks persegi ordo 3 Γ 3, di mana berlaku π΄π΅ = πΌ = π΅π΄,
maka π΄β1 = π΅ atau π΅β1 = π΄ dengan demikian π΄π΄β1
= πΌ
π΄ Γ πππ π΄ = π΄ πΌ β π΄ Γ
πππ π΄
π΄
= πΌ.
Jadi, π΄β1 =
πππ π΄
π΄
20. 1. Jika π΄ adalah matriks yang mengandung sebaris bilangan nol dan π΅ adalah
matriks yang mengandung sekolom bilangan nol, berlaku π΄ = π΅ = 0.
2. Jika π΄ adalah matriks segitiga atas dan π΅ adalah matriks segitiga bawah,
maka π΄ dan π΅ adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, yakni
π΄ = π΅ = π11 π22 β¦ πππ
Sifat-Sifat Determinan Matriks
21. 3. Misalkan π΅ adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian matriks segitiga atas
atau segitiga bawah matriks π΄ dengan konstanta π, di mana π΄ dan π΅ merupakan
matriks persegi berordo π Γ π, berlaku π΅ = ππ π΄ .
4. Jika elemen-elemen pada satu baris atau satu kolom pada suatu matriks π΄ sama
identik dengan baris atau kolom lainnya, berlaku π΄ = 0 .
5. Jika matriks π΅ mempunyai salah satu baris atau kolom kelipatan π dengan baris
atau kolom yang bersesuaian pada matriks π΄, berlaku π΅ = π π΄ .
22. 6. Misalkan π΅ adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau pertukaran
dua kolom dalam matriks π΄, berlaku π΄ = β π΅ .
7. Misalkan π΅ adalah matriks yang dihasilkan dari kelipatan salah satu baris atau kolom
pada matriks π΄, kemudian ditambahkan ke baris atau kolom lain pada matriks π΄,
berlaku π΄ = π΅ .
8. Misalkan π΅ adalah transpos dari matriks π΄ atau sebaliknya, berlaku π΄ = π΅ .
23. 9. Misalkan π΄, π΅, dan πΆ adalah matriks persegi yang mempunyai (π β 1) baris atau
kolom yang sama identik dengan matriks lainnya dan sisa baris atau kolom pada matriks
πΆ diperoleh dengan menjumlahkan sisa baris atau kolom matriks π΄ dan matriks π΅,
berlaku πΆ = π΄ + π΅ .
10. Jika π΄ dan π΅ adalah matriks persegi berordo sama, berlaku π΄π΅ = π΄ . π΅ .
11. Jika matriks π΄ mempunyai hasil kuadrat, berlaku π΄π = π΄ π.
12. Jika matriks π΄ mempunyai invers, berlaku π΄β1 =
1
π΄
atau π΄ =
1
π΄β1 .
24. 2.5 Masalah yang Melibatkan Matriks
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Selesaikan sistem persamaan linier dua variabel
Contoh
3π₯ + π¦ = 9
4π₯ + 3π¦ = 17
3 1
4 3
π₯
π¦ =
9
17
π₯
π¦ =
1
9 β 4
3 β1
β4 3
9
17
π₯
π¦ =
1
5
10
15
=
2
3
Himpunan Penyelesaiannya adalah 2, 3 .