persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak (ptlsvnm)

1. Oleh : Franxisca Kurniawati, S.Si.

2. PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Persamaan Linear Satu Variabel Persamaan Linear Satu Variabel yang Memuat Nilai Mutlak Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang Memuat Nilai Mutlak

3. 1. Persamaan Linear satu Variabel Persamaan linear satu variabel memiliki bentuk umum : 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄 dengan 𝒂 ≠ 𝟎

4. 2(x + 1) = 3(x – 2) 2(x + 1) = 3(x – 2) 2x + 2 = 3x - 6 2x - 3x = -2 - 6 -x = -8 x = 8 HP = {8}

5. 𝒙 + 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 𝒙 +𝟐 𝟑𝒙+𝟐 = 𝒙+𝟏 𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐 𝒙 = 𝟐 HP={2}

6. 2. Aplikasi Persamaan Linear Satu Variabel Sebuah kapal bergerak di air tenang dengan kecepatan 25 mil/jam. Kapal dapat menempuh jarak 4,2 mil di sungai dengan arah yang berlawanan arus, dan dalam waktu yang sama kapal dapat menempuh 5,8 mil searah arus. Kecepatan arus sungai adalah …

7. 𝒕 𝟏 = 𝒕 𝟐 𝒔 𝟏 𝒗 𝟏 = 𝒔 𝟐 𝒗 𝟐 𝟒,𝟐 (𝒗 𝒌−𝒗 𝒔) = 𝟓,𝟖 (𝒗 𝒌+𝒗 𝒔) 𝟒,𝟐 (𝟐𝟓−𝒗 𝒔) = 𝟓,𝟖 (𝟐𝟓+𝒗 𝒔) 𝟏𝟎𝟓 + 𝟒, 𝟐. 𝒗 𝒔 = 𝟏𝟒𝟓 − 𝟓, 𝟖. 𝒗 𝒔 𝟏𝟎. 𝒗 𝒔 = 𝟒𝟎 𝒗 𝒔 = 𝟒 Jadi kecepatan arus sungai = 4 mil/jam

8. Persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak memiliki bentuk umum : 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒄 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍

9. 1. Konsep Nilai Mutlak Nilai mutlak dari suatu bilangan 𝒙 dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya.

10. *Definisi nilai mutlak adalah: Untuk setiap bilangan real 𝒙, nilai mutlak 𝒙 disimbolkan dengan 𝒙 , Ditentukan oleh: 𝒙 = +𝒙, 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒙 > 𝟎 𝟎, 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒙 = 𝟎 −𝒙, 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒙 < 𝟎

11. *Sifat - sifat nilai mutlak adalah: 1. Jika 𝒂 dan 𝒃 bilangan real berlaku: a. 𝒂. 𝒃 = 𝒂 . 𝒃 b. 𝒂 𝒃 = 𝒂 𝒃 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃 ≠ 𝟎 2. Jika 𝒂 ∈ 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂 = 𝒂 𝟐

12. a. 2 + 5 = b. 2 − 5 = c. −2 + 5 = d. −2 − 5 = a. 2 + 5 = 2 + 5 b. 2 − 5 = 5 − 2 c. −2 + 5 = 5 − 2 d. −2 − 5 = 2 + 5

13. 3(2−6) − 7+1 = 3(2 − 6) − 7 + 1 = −12 − 7 + 1 = −12 − 7+1 = 12 7−1 × 7+1 7+1 = 12( 7+1) 7−1 = 2 7 + 2

14. 2. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel yang Memuat Nilai Mutlak Dapat kita selesaikan dengan cara: 1. Grafik 2. Berdasarkan definisi nilai mutlak 3. Penggunaan 𝒙 − 𝒂 sebagai jarak 𝒙 dari 𝒂

15. 𝑥 + 2 = 5 HP={-7,3}

16. 𝑥 − 4 = 6 𝑥 − 4 = 6 𝒙 − 𝟒 = 𝟔 −𝟔 𝒙 = 𝟔 + 𝟒 = 𝟏𝟎 −𝟔 + 𝟒 = −𝟐 HP={-2, 10} 

17. 1. Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan * Ketidaksamaan adalah kalimat tertutup yang menggunakan tanda ketidaksamaan (contoh: 2 < 3) *Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksaman (contoh: 𝑥 + 5 ≤ 7)

18. 2. Sifat – Sifat Dasar Pertidaksamaan 1. Jika ditambah atau dikurangi bilangan real, maka tanda ketidaksamaan tetap. 2. Jika dikali atau dibagi bilangan real positif, maka tanda ketidaksamaan tetap. 3. Jika dikali atau dibagi bilangan real negatif, maka tanda ketidaksamaan dibalik. 4. Jika kedua ruas positif, maka pertidaksamaan dapat dikuadratkan, dengan tanda tetap. 5. Jika kedua ruas negatif, maka pertidaksamaan dapat dikuadratkan dengan tanda dibalik. 6. Jika 𝟎 < 𝒂 < 𝒃 dan 𝟎 < 𝒄 < 𝒅 maka 𝟎 < 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒅 Jika 𝒂 > 𝒃 > 𝟎 dan 𝒄 > 𝒅 > 𝟎 maka 𝒂. 𝒄 > 𝒃. 𝒅 > 𝟎

19. 3. Hubungan Antara Dua Pertidaksamaan 𝒙 ≥ −𝟏 𝒙 < 𝟑 - 1 3 - 1 3 𝒙 ≤ −𝟑 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ≥ 𝟐 𝒙 ≤ −𝟑 𝒙 ≥ 𝟐 2 -3 2 −𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟑 - 3 𝒙 ≥ −𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝒙 < 𝟑

20. 4. Pertidaksamaan Linear Satu variabel 1. 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎 2. 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎 3. 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 4. 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍

21. 𝟏𝟐 + 𝟑𝒙 ≤ 𝟒(𝒙 + 𝟐) 𝟏𝟐 + 𝟑𝒙 ≤ 𝟒 𝒙 + 𝟐 𝟏𝟐 + 𝟑𝒙 ≤ 𝟒𝒙 + 𝟖 𝟏𝟐 − 𝟖 ≤ 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙 𝟒 ≤ 𝒙 𝒙 ≥ 𝟒 𝑱𝒂𝒅𝒊 𝑯𝑷 = {𝒙 ≥ 𝟒}

22. 𝟐𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟒𝒙 + 𝟓 < 𝒙 + 𝟒𝟕 Kondisi 1 𝟐𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟒𝒙 + 𝟓 −𝟓 − 𝟑 ≤ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 −𝟖 ≤ 𝟐𝒙 −𝟒 ≤ 𝒙 𝒙 ≥ −𝟒 Kondisi 2 𝟒𝒙 + 𝟓 < 𝒙 + 𝟒𝟕 𝟒𝒙 − 𝒙 < 𝟒𝟕 − 𝟓 𝟑𝒙 < 𝟒𝟐 𝒙 < 𝟏𝟒 Kondisi 3 𝟐𝒙 − 𝟑 < 𝒙 + 𝟒𝟕 𝟐𝒙 − 𝒙 < 𝟒𝟕 + 𝟑 𝒙 < 𝟓𝟎 - 4 14 𝐉𝐚𝐝𝐢 𝐇𝐏 = {−𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟒} 50

23. 1. 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝒄 2. 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝒄 3. 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝒄 4. 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝒄 dengan 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒂𝒅𝒂𝒍𝒂𝒉 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎

24. Untuk 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹, selalu berlaku : i. 𝒙 − 𝒚 = 𝒚 − 𝒙 ii. 𝒙𝒚 ≤ 𝒙𝒚 iii. 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 iv. 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝒙 + 𝒚 v. 𝒙 − 𝒚 ≤ 𝒙 − 𝒚 1. Sifat – Sifat Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak

25. i. Bentuk 𝒇(𝒙) < 𝒂 dan 𝒂 > 𝟎 diubah ke bentuk −𝒂 < 𝒇(𝒙) < 𝒂 ii. Bentuk 𝒇(𝒙) > 𝒂 dan 𝒂 > 𝟎 diubah ke bentuk 𝒇 𝒙 < −𝒂 atau 𝒇 𝒙 > 𝒂 iii. Bentuk 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) diubah ke bentuk 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 [𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 ] > 𝟎 2. Cara penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

26. iv. Bentuk 𝒂 < 𝒇(𝒙) < 𝒃 dengan 𝒂 dan 𝒃 positif, diubah menjadi : 𝒂 < 𝒇 𝒙 < 𝒃 atau −𝒃 < 𝒇 𝒙 < −𝒂 v. Bentuk 𝒂 𝒃 < 𝒄 dengan 𝒄 > 𝟎, diubah menjadi: 𝒂 𝒃 < 𝒄 𝒂 𝒃 < 𝒄 𝒂 < 𝒄 𝒃 𝒂 < 𝒄𝒃 𝒂 + 𝒄𝒃 𝒂 − 𝒄𝒃 < 𝟎 2. Cara penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

27. 𝟐𝒙 − 𝟑 < 𝟓 𝟐𝒙 − 𝟑 < 𝟓 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐 < 𝟓 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐 − 𝟓 𝟐 < 𝟎 𝟐𝒙 − 𝟑 + 𝟓 𝟐𝒙 − 𝟑 − 𝟓 < 𝟎 𝟐𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟖 < 𝟎 −𝟏 < 𝒙 < 𝟒 HP = {−𝟏 < 𝒙 < 𝟒} -1 + +-- 4

28. 𝟑 + 𝟐𝒙 ≥ 𝟒 − 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 ≥ 𝟒 − 𝒙 (𝟑 + 𝟐𝒙) 𝟐 ≥ (𝟒 − 𝒙) 𝟐 (𝟑 + 𝟐𝒙) 𝟐− 𝟒 − 𝒙 𝟐 ≥ 𝟎 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟒 − 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟒 + 𝒙 ≥ 𝟎 𝒙 + 𝟕 𝟑𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 𝒙 ≤ −𝟕 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ≥ 𝟏 𝟑 HP = {𝒙 ≤ −𝟕 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ≥ 𝟏 𝟑 } -7 𝟏 𝟑 + +--

29. 𝟒 < 𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟔 𝟒 < 𝒙 + 𝟏 𝟒 𝟐 < (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 𝟐 < 𝟎 𝟒 + 𝒙 + 𝟏 𝟒 − 𝒙 − 𝟏 < 𝟎 𝒙 + 𝟓 −𝒙 + 𝟑 < 𝟎 𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟔 (𝒙 + 𝟏) 𝟐≤ 𝟔 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝟔 𝟐 ≤ 𝟎 𝒙 + 𝟏 + 𝟔 𝒙 + 𝟏 − 𝟔 ≤ 𝟎 𝒙 + 𝟕 𝒙 − 𝟓 ≤ 𝟎 HP = {−𝟕 ≤ 𝒙 < −𝟓 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟓} -7 5 + +-- -5 3 -- --+

30. (𝒙 + 𝟑) 𝟐 −(𝟐𝒙 − 𝟐) 𝟐 > 𝟎 (𝒙 + 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟐) > 𝟎 𝟑𝒙 + 𝟏 −𝒙 + 𝟓 > 𝟎 − 𝟏 𝟑 < 𝒙 < 𝟓 HP = {− 𝟏 𝟑 < 𝒙 < 𝟓, 𝒙 ≠ 𝟏} 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏 > 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏 > 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟏 > 𝟐 𝒙 + 𝟑 > 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟑 > 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝟐 > 𝟐𝒙 − 𝟐 𝟐 5− 𝟏 𝟑 -- -- +

31. Selesai…