1. Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan,
variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi
dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP
BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS
buku 2, hal 113)
2. KONS EP MATRIKS
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur)
matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh
baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C
,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks
dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan
seterusnya.
Contoh :
a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
A =
baris ke 1 baris ke 2
3. a b
c d
Kolom ke 1
Kolom ke 2
A =
baris ke 1 baris ke 2
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh
karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2
ditulis A2X2 atau (a22).
“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris
dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”
4. K E SAMAAN MAT R I K S Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau
berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom
pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya
kolompada matriks B.
Contoh :
a b c
d e f A = a b c
d e f dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3
Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.
6. MATRIKS BARIS
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
Contoh : A = ( 4 3 2 4 )
7. MATRIKS KOLOM
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu
kolom
Contoh : A = 4
5
-1
8. MATRIKS P ERS EGI ATAU
MATRIKS BUJUR SANGKAR
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah
matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah
kolom
Contoh :
4 5 -1
Contoh : A = ,
5 2 4
3 2 1
jumlah baris = jumlah kolom
9. MAT R I K S NOL
Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap
unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O
Contoh : O2X3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10. MATRIKS SEGI TIGA
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar
yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama
semuanya 0 (nol).
Contoh : C = 2 0 0 0 , D =
3 7 0 0
-9 0 8 0
4 1 -3 5
8 2 1 -3
0 6 5 4
0 0 3 7
0 0 0 9
11. MAT R I K S DIAGONAL
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar
yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada
diagonal utama adalah nol.
Contoh : E = 5 0 0 0
0 7 0 0
0 0 -2 0
0 0 0 8
12. MATRIKS SKALAR
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur
pada diagonal utama semuanya sama.
Contoh : F = 7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7
13. MAT R I K S I D EN T I TA S ATAU
MMAaTtrRiksI IKdeSn tiStaAs aTtaUu AMaNtr iks Satuan adalah matriks
diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama
semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 = , I4 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
14. MAT R I K S S IME T R I S
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar
yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan
unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.
Contoh : G =
1 3 2 5
3 4 6 9
2 6 7 8
5 9 10 2
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada
baris ke-4 kolom ke-2 juga
15. MAT R I K S MENDATAR
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya
baris kurang dari banyaknya kolom.
Contoh : H2X3 = 3 2 1
4 5 1
16. MAT R I K S T EGAK
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya
baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh : K3x2 =
1 -8
4 1
9 1
17. MAT R I K S T RANS POS ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen
kolom pertama = elemen baris pertama
matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris
kedua matriks A, elemen kolom ketiga =
elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
1 -2 5 8
9 1 4 2
0 3 -2 -3
1 9 0
-2 1 3
5 4 -2
8 2 -3
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah
4x3
20. PENJUMLAHAN DAN
PENGURANGAN 2 MATRIKS
Dua matriks dapat dijumlahkan atau
dikurangkan jika ordonya sama.
Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x
3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau
dikurangkan.
21. CONTOH
Jika A = , dan B =
3 2 1
5 4 6
7 5 -3
-2 1 0
Maka A + B = =
3+7 2+5 1+(-3)
5+(-2) 4+1 6+0
A - B = =
10 7 -2
3 5 6
3-7 2-5 1-(-3)
5-(-2) 4-1 6-0
-4 -3 4
7 3 6
22. B E B E R A PA S I FAT YA N G B E R L A KU
PA DA P EN J UML A H A N MAT R I K S
1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif )
2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif )
3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)
23. P E R K A L I A N B I L A N G A N R EA L
D EN G A N MAT R I K S
Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A =
(aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di
peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Jadi, jika A = , maka : kA =
Contoh : Misal A = ,
a11 a12
a21 a22
maka 3A = 3 = =
7 5 -3
-2 1 0
ka11 ka12
ka21 ka22
7 5 -3
-2 1 0
3.7 3.5 3.(-
3)
3.(-
2)
3.1 3.0
21 15 -9
-6 3 0
24. SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS
DENGAN BILANGAN REAL
Jika a dan b bilangan real, maka :
( a + b )A = aA + bA
a ( A + B ) = aA + aB
a( bA ) = (ab)A
25. PERKALIAN MATRIKS DENGAN
MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)
Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B
yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.
Amxp.Bpxn = C mxn
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan
adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus
sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika
hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak
didefinisikan.
26. Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3
B = >> ordo matriks 3x2
C = A . B
= >> ordo matriks 2x2
Dimana
a11 a12 a13
a21 a22 a23
b11 b12
b21 b22
b31 b32
c11 c12
c21 c22
c11 = a11b11+a12b21+a13b31
c12 = a11b12+a12b22+a13b32
c21 = a21b11+a22b21+a23b31
c22 = a21b12+a22b22+a23b32
27. DETERMINAN MATRIKS
Determinan matriks 퐴 di definisikan sebagai
selisih antara perkalian elemen - elemen pada
diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen
pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks
dinotasikan dengan det 퐴 atau |퐴|. Nilai dari
determinan suatu matriks berupa bilangan real.
28. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2
a b
c d
a b
c d
Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad – bc
Contoh :
P = maka,
2 1
-6 3
2 1
-6 3
det (P) = |P| = | | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12
29. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3
Untuk mencari determinanmatriks berordod
apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:
MetodeSarrus
MetodeEkspansiKofaktor
30. MCaEraTinOi pDalEin gSAtepRatRdUiguSnakan untuk menentukan
determinan matriks ordo 3×3.
Cara sarrus :
i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan
awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.
ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu
tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan
tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri).
Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali
pada diagonal pendamping dikurangkan.
31. Jika Matriks B =
maka det (B) = |B| =
p q r
s t u
v w x
p q r
s t u
v w x
p q
s t
v w
= ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq
Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak
berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih
tinggi lagi.
32. METODE EKSPANSI KOFAKTOR
a. Pengertian Minor . Minor suatu matriks 퐴 dilambangkan
dengan 푀푖j adalah matriks bagian dari 퐴 yang diperoleh
dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada
baris ke-푖 dan elemen elemen pada kolom ke-푗.
Contoh : Q = maka,
3 2 4
1 7 5
7 2 3
M11 = , M12 = , M13 =
3 2
1 7
3 2
1 7
3 2
1 7
M11, M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris
ke-1 dari matriks Q
33. b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke-푖 dan
kolom ke-푗dari matriks A dilambangkan dengan
퐾푖j =(−1)푖+푗. |푀푖j| = (−1)푖+푗.det (푀푖.j)
Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo
3x3 :
+ - +
- + -
+ - +
Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu
ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1
34. CONTOH
푄 =
3 2 4
1 7 5
7 2 3
Untuk mendapatkan det(푄) dengan metode kofaktor
adalah mencari terlebih dahulu determinan –
determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris
ke-1 diatas, yaitu :
7 5
M11= , det(푀11) = 11 ; M12= , det(푀12) = -32 ;
2 3
M13= , det(푀13)=− 47
1 7
7 2
det(푄)= 푘11.푞11+푘12.푞12+푘13.푞13
1 5
7 3
= (−1)1+1.|푀11|.푞11+ (−1)1+2.|푀12|.푞12 + (−1)1+3.|푀13|.푞13
=11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91
36. k11 k12 k13
k21 k22 k23
k31 k32 k33
Adj Q = =
11 2 -18
32 -19 -11
-47 8 18
Jika A= a b
maka kofaktor-kofaktornya adalah
k11= d, k12 c = − d
c, k 21= − b dan k 22 = a.
Kemudian Adj A = =
k11 k12
k21 k22
d -b
-c a
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen
pada diagonal utamanya dan mengubah
tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.
37. INVERS MATRIKS
Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu
matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1.
Definisi:
Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A =
I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari
A dan A invers dari B.
Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka
berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I
Dimana I adalah matrik identitas.
38. INVERS MATRIKS ORDO 2×2
Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2
2 1
Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu
-3 -2
A -1 = , dengan det A ≠ 0
d b
c a
1
det A
44. CONTOH
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM
PERSAMAAN LINIER BERIKUT
2x + y = 4
3x + 2y = 9
2 1 =
-3 -2
x
y
4
9
45. Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadi
AX =B, A = 2 1
, X = , B =
-3 -2
det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 =
Oleh karena itu, X =A-1B = =
Jadi, HP adalah {(-1, 6)}
x
y
4
9
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
2 1
-3 -2
x
y
2 1
-3 -2
4
9
-1
6
46. METODE CRAMER
metode cramer didasarkan atas perhitungan
determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax
= b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di
kerjakan dengan metode cramer, jika hasil
perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0.
