Dokumen tersebut membahas tentang pengukuran ketelitian parameter, residu, dan observasi yang diperoleh dari survei deformasi struktur. Secara singkat, dibahas tentang penentuan matrik kovarians parameter, residu, dan observasi yang teratakan dengan menggunakan model matematika implisit dan tidak langsung. Selanjutnya dilakukan pengujian faktor varians untuk mengetahui kesesuaian asumsi awal ketelitian dengan hasil perhitungan.

1. SurveiDeformasi Struktur
1
PENURUNAN MATRIK KOVARIANS
Matrik kovarians biasanya digunakan untuk mengetahui tingkat ketelitian dari
parameter yang dicari, residu, dan observasi (pengukuran) yang teratakan.
Oleh karena itu:
Yang akan dicari: Cx, Cv, Cla
Bentuk Implicit: A + Bl + w = 0
 w = -Axo
- Bl bentuk f(xo
, l)
Dengan menerapkan dalil varian-kovarian (asumsikan saat ini bahwa o = 1):
Cw = (df / dv) Cl = B Cl BT
Asumsikan bahwa B Cl BT
= M-1
Untuk perataan parameter/indirect: Cw = Cl
MATRIK KOVARIAN UNTUK PARAMETER (Cx)
x = xo
+ 
Oleh karena itu: Cx = C
 = -(AT
(B Cl BT
)-1
A)-1
AT
(B Cl BT
)-1
w
 = -(AT
M A)-1
AT
M w
   
   
     
  1
11
111
11




















MAA
MAAMAAMAA
MAAMAMMAMAA
MAAMACMAAMACC
T
TTT
TTT
T
TT
w
TT
x
  
11 





 ABCBAC TT
x l (untuk model implicit)
untuk model indirect/parameter dimana B = -I:
Cx = (AT
Cl
-1
A)-1
= (AT
P A)-1
MATRIK KOVARIAN UNTUK RESIDU
Model Implicit:
Cv = Cl BT
(B Cl BT
)-1
{B Cl - A (AT
(B Cl BT
)-1
A)-1
AT
(B Cl BT
)-1
B Cl}
Model Indirect (B = -I)

2. SurveiDeformasi Struktur
2
Cv = Cl - A (AT
Cl
-1
A)-1
AT
MATRIK KOVARIAN UNTUK OBSERVASI YANG TERATAKAN
(Cla)
Untuk model indirect: la
= l + v = A  + w
Cla = A C AT
= A Cx AT
= A (AT
Cl
-1
A)-1
AT
Oleh karena itu: Cv = Cl - Cla
Dan Cla = Cl - Cv
Harap diperhatikan bahwa pengukuran (observasi) yang teratakan la
memiliki
ketelitian yang lebih tinggi daripada pengukuran awalnya l.
PENSKALAAN MATRIK KOVARIANS
Ingatlah kembali bahwa untuk mendapatkan nilai estimasi dari x, v dan la
tidak
diperlukan penskalaan matrik kovarians Cl.
Tetapi solusi untuk x, v dan la
dapat trgantung dari o
2
, dimana P = o
2
Cl
-1
Solusi hitung kuadrat terkecl untuk model indirect:
 = -(AT
P A)-1
AT
P w
Gantikan dengan nilai substitusi untuk P, maka:
 = -(AT
o
2
Cl
-1
A)-1
AT
o
2
Cl
-1
w
Perhatikan bahwa nilai o
2
akan hilang dari persamaan diatas, hal yang sama
juga berlaku untuk model implicit.
Tetapi, ketika o
2
tidak berperan apa-apa terhadap solusi untuk parameter, o
2
memiliki peranan penting dalam penskalaan matrik kovarians Cx, Cla, dan Cv
yang dihasilkan.
Tidak ada yang harus diperhatikan bila o
2
diasumsikan sama dengan satu.
Tetapi, jika o
2
tidak sama dengan satu, semua matrik kovarians harus
diskalakan:
Cx = (AT
Cl
-1
A)-1
= o
2
(AT
P A)-1
Cv = Cl - A (AT
Cl
-1
A)-1
AT
= o
2
(P-1
- A (AT
P A)-1
AT
)
Cla = A Cx AT
= o
2
A (AT
P A)-1
AT
Jika nilai awala o
2
tidak diketahui maka nilai estimasi untuk faktor
varians/varians referensi (o
2
) dapat diperoleh melalui hitung perataan sebagai
fungsi baik residual v maupun matrik bobot P.
POST ADJUSTMENT ANALYSIS
Tujuan utama dari analisa hasil setelah dilakukan hitung perataan adalah:
 Untuk menganalisa hasil

3. SurveiDeformasi Struktur
3
 Untuk memastikan tingkat kepercayaan yang harus dikenakan pada hasil.
Macam-macam yang harus dilakukan:
 Melakukan tes terhadap observasi (pengukuran) (pada umumnya
mendeteksi gross error atau outlier)
 Melakukan tes terhadap model matematika yang digunakan
 Melakukan tes kepercayaan terhadap nilai parameter yang dicari dan nilai
pengukuran yang teratakan.
Besaran-besaran yang digunakan dalam analisa:
 Estimasi unknown, x, la
 Matrik kovarians parameter, Cx
 Estimasi residu, v
 Matrik kovarians residu, Cv
MENGESTIMASI KETELITIAN (STANDARD ERROR) DARI
UNIT BOBOT
Faktor varians “a posteriori” 2
ˆ o (ketelitian dari unit bobot) dapat diperoleh
dari:
dof
Pvv
un
Pvv TT


2
0ˆ
dimana n adalah jumlah persamaan pengukuran (n adalah jumlah pengukuran
didalam model indirect), u adalah jumlah parameter dan dof adalah degrees of
freedom atau derajat kebebasan.
Untuk pengukuran yang tidak berkorelasi (disepanjang diagonal matrik bobot
P):
  dof
vp
dofvpvpvpvp ii
nn

2
23
33
2
22
2
11
2
0 /ˆ 
perlu diperhatikan bahwa ketika pi = 1 ekspresi diatas tereduksi menjadi
rumusan untuk standar deviasi (standar error), oleh karena itu namanya adalah
ketelitian dari unit bobot.
Ketika nilai faktor varians “apriopri” 2
0 diasumsikan ke nilai tertentu, kita
dapat menguji hipotesa itu apakah asumsi yang telah ditetapkan itu valid atau
tidak:
2
0
2
00 ˆ: H
arti dari pernyataan diatas adalah hipotesa apakah faktor varians posteriori
dengan faktor varians apriori masih relevan atau tidak.

4. SurveiDeformasi Struktur
4
Pengujian ini sering disebut dengan Global test untuk faktor varians. Pada
dasarnya pengujian ini dilakukan untuk menguji apakah ketelitian yang telah
diberikan pada awal pengukuran (yaitu bobot) konsisten dengan besarnya
residu-residu yang dihasilkan oleh proses hitung perataan kuadrat terkecil.
Penolakan dari global test ini (pengujian gagal) mengindikasikan antara lain:
 Masih terdapatnya gross error pada data pengukuran.
 Model matematika yang dipakai belum lengkap (misalnya tidak
memperhitungkan adanya kesalahan sistematik).
 Pengamsumsian yang kurang tepat untuk nilai ketelitian pengukuran,
misalnya Cl.

5. SurveiDeformasi Struktur
5
Variance
Factor Test
(Global Test)
Passes?
Test for
Normality
Passes?
Testing
Differential Quantities
Passes?
Stochastic
Model
Correct?
MULTIVARIATE TESTING METHODOLOGY
Start
Least Squares
Interpretation
Reason to
Formulate
Model?
Reason to
Remove/Remeasure
Data?
Improve
Statistical Model
Reformulate
Model
Remove or
Remeasure Data
Assess
Unknown
End
Interpretation
Yes
No
Yes
No
No Yes
Yes
No
No Yes
No
Yes

6. SurveiDeformasi Struktur
6
TEST FACTOR VARIANCE /VARIANS REFERENSI / GLOBAL
TEST
Estimasi faktor varians apriori, o
2
terhadap faktor varian posteriori 2
0ˆ dapat
diuji kevalidannya melalui uji statistik Chi-Squared distribution, 2
 dengan
dof tertentu. Pengujian dua arah (two tailed test) untuk 2
0ˆ pada selang/daerah
kepercayaan 100(1 - )% adalah:
2
,21
2
02
02
,2
2
0 ˆˆ
dofdof
dofdof






Misalnya untuk selang/daerah kepercayaan 95%, maka  = 0.05; untuk daerah
kepercayaan 99%, maka  = 0.01. Sedangkan a disebut sebagai tingkat
kepercayaan (level of significance).
Pengujian tersebut mengasumsikan bahwa residual v terdistrribusi normal.
Jika 2
0ˆ jatuh diluar selang tersebut akan mengindikasikan bahwa:
 2
0ˆ tidak konsisten dengan ketelitian yang didapat dari proses hitung
perataan, artinya varians pengukuran yang ditetapkan diawal pengukuran
adalah salah.
 Model matematika yang dipakai masih belum lengkap atau salah (masih
mengandung kesalahan sistematis)
 Pengukuran masih mengandung gross error atau blunder.
Interpretasi dari rumusan diatas adalah:
Perhatikan bahwa 1-(/2) terletak didepan/awal kurva, sehingga rumusan
diatas harus diinterpretasikan sedikit berbeda dari artinya semula. Sehingga
lebih disukai penulisan alternatif:

7. SurveiDeformasi Struktur
7
2
,21
2
,2 dofdof
T 

dimana: 2
0
2
0ˆ


 dofT
Contoh:
Jika diketahui 2
0 = 2, dan 2
0ˆ = 3.7, dengan dof = 9; ujilah hipotesa tersebut
dengan uji dua arah untuk selang/daerah kepercayaan 95%.
Solusi alternatif 1:
Untuk selang 95% maka  = 0.05, maka berdasarkan data dari tabel diperoleh:
0.19
7.2
2
9,975.0
2
,21
2
9,025.0
2
,2




dof
dof
75.1
ˆ
33.12
ˆ
2
9,975.0
2
0
2
9,025.0
2
0






dof
dof
Maka: 1.75 < 2
0 < 12.33, sehingga hipotesa H0 dapat diterima.
Solusi Alternatif 2:
2
0
2
0ˆ


 dofT = 9
2
7.3
= 16.65
maka terlihat bahwa 1965.167.2atau2
9,975.0
2
9,025.0  T sehingga
hipotesa H0 diterima.

8. SurveiDeformasi Struktur
8
Contoh Soal:
Diketahui pengukuran beda tinggi pada jaringan sipat datar sebagai berikut:
Pengukuran Beda Tinggi
(m)
l1 5.10
l2 2.34
l3 -1.25
l4 -6.13
l5 -0.68
l6 -3.00
l7 1.70
Dimisalkan bahwa A, B, C adalah tinggi titik-titik A, B, dan C yang
merupakan parameter yang akan dicari. Karena persamaan pengukuran beda
tinggi adalah li = tinggi titik foreside - tinggi titik backside, maka model
matematik yang sesuai adalah model indirect. Sekarang kita susun terlebih
dahulu persamaan observasi untuk semua pengukuran:
BCvl
YBvl
ABvl
CXvl
YCvl
AYvl
XAvl







77
66
55
44
33
22
11

CBv
Bv
BAv
Cv
Cv
Av
Av







7
6
5
4
3
2
1
5.107
0.100
5.107
5.107
10.50.100
Solusi kuadrat terkecil model indirect untuk persamaan linier tersebut adalah:
wAxv 
Sehingga:





















































































70.1
50.104
68.0
13.106
25.106
16.105
10.105
110
010
011
100
100
001
001
7
6
5
4
3
2
1
C
B
A
v
v
v
v
v
v
v
BM X=100.0m
BM Y=107.50m
AB
C
l1
l2l3
l4
l5
l7
l6

9. SurveiDeformasi Struktur
9
A= 1 0 0 w= 105.10
-1 0 0 -105.16
0 0 1 106.25
0 0 -1 -106.13
-1 1 0 -0.68
0 1 0 104.50
0 -1 1 1.70
(ATA)-1
= 0.3809524 0.1428571 0.047619 AT
w = 210.94
0.1428571 0.4285714 0.1428571 102.12
0.047619 0.1428571 0.3809524 214.08
X= 105.14095 AX= 105.14095 V= 0.041
104.48286 -105.14095 0.019
106.18762 106.18762 -0.062
-106.18762 -0.058
-0.6580952 0.022
104.48286 -0.017
1.7047619 0.005

10. SurveiDeformasi Struktur
10
Contoh Soal:
Global Test untuk faktor varians
Persamaan garis y = m x + b, dengan data-data sebagai berikut:
y (observasi) x
3.2 1
3.0 1
2.9 1
4.1 2
6.1 4
5.9 4
Solusi hitung kuadrat terkecil dengan model indirect v = Ax + w adalah:









































































9.5
1.6
1.4
9.2
0.3
2.3
14
14
12
11
11
11
6
5
4
3
2
1
b
m
v
v
v
v
v
v
dan solusi x = 











2.06
0.987692
b
m
vektor residual v:





















0.1107692
0.0892308-
0.0646154-
0.1476923
0.0476923
0.1523077-
v ; a posteriori varians = 0.017923
26
0.071692
ˆ 2
0 


dof
vvT
Global Test untuk selang kepercayaan 95%:
484.02
4,025.0
2
,2/  dof sedangkan 1.112
4,975.0
2
,2/1   dof
0.071692
1
017923.0
4
ˆ
2
0
2
0



 dofT
dari hasil diatas nilai T tidak berada diantara nilai distribusi chi-squared,
sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesa Ho untuk global tersebut ditolak.