Conjunto, números reales, desigualdades, valor absoluto, plano numérico y representaciones graficas de las cónicas Definiciones Formulas Ejemplos de

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Universidad Politécnica territorial Del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Alumna: María Gabriela
Castillo linares
C.I : 28.425.958
Sección : 0401
Matemática Unidad II

2. Matemática
Unidad II
Conjuntos, números reales, desigualdades,
valor absoluto, plano numérico, presentaciones
graficas de las cónicas

3. ¿Que es un conjunto?
Un conjunto es la agrupación de diferentes
elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes.
Por ejemplo: el conjunto de números primos o
el conjunto de planetas del sistema solar.
Tipos de conjuntos
• Conjunto finito
• Conjunto infinito
• Conjunto unitario
• Conjunto vacío
• Conjunto homogéneo
• Conjunto heterogéneo
• Conjunto equivalentes
• Conjuntos iguales

4. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas
como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro
conjunto. De las operaciones con conjuntos
veremos las siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
se define como el
conjunto formado por
los elementos comunes
y no comunes a ambos
conjuntos.
Es la operación que nos
permite formar un conjunto,
sólo con los elementos
comunes involucrados en la
operación.
Es la operación que nos
permite formar un
conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá
todos los elementos que
pertenecen al primero pero
no al segundo.

5. Es la operación que nos permite
formar un conjunto, en donde
de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos
los elementos que no sean
comunes a ambos conjuntos.
Es la operación que nos
permite formar un conjunto
con todos los elementos del
conjunto de referencia o
universal, que no están en el
conjunto.
Ejercicios
1.En un aula de clases hay 34 alumnos, de los
cuales 21 son aficionados al futbol, 18
aficionados al baloncesto y 10 aficionados a
ambos deportes.
• ¿Cuánto no son aficionados a ningún
deporte ? R. 5 estudiantes no son
aficionados a ningún deporte
• ¿Cuántos estudiantes son aficionados a un
solo deporte ? R. 19 estudiantes son
aficionado a un solo deporte
11 8
E
F B
10
5

6. Los números reales son
cualquier número que
corresponda a un punto en la
recta real y pueden
clasificarse en números
naturales, enteros, racionales
e irracionales.
Los números reales se
representan mediante la
letra R ↓
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números
reales pueden clasificarse entre números
naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes
números corresponden a punto en la recta real.
• Números naturales: 1,2,3,4…
• Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
• Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
Números irracionales: √ 5. 2.236067977, π (pi)

7. En matemáticas, una desigualdad es una relación
de orden que se da entre dos valores cuando estos
son distintos (en caso de ser iguales, lo que se
tiene es una igualdad). Algo a notar en las
expresiones de desigualdad matemática es que,
aquellas que emplean: • mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué
sentido la una desigualdad no es igual.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros.
El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la
derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el
• 3x + 3 < 9= 3x < 9-3 = x < 6/3 = x < 2

8. El valor absoluto de un número entero es
el número natural que resulta al suprimir su
signo. El valor absoluto puede ser explorado ya
sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el
valor absoluto se indica encerrando el número,
variable o expresión dentro de barras verticales,
así:
• |20|
• |x|
• |4n − 9|
Cuando tomamos el valor absoluto de un
número, éste es siempre positivo o cero. Si el
valor original ya es positivo o cero, el valor
absoluto es el mismo. Si el valor original es
negativo, simplemente nos deshacemos del
signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5.
El valor absoluto de -5 es también 5.
Recuerda, en situaciones de
valor absoluto no estamos
cambiando la posición ni la
dirección de un número,
sólo estamos ignorando
esos detalles.
Ejercicios
• | 5- 15 | = |-10 | = 10
• |-3 | + 5 = 3 + 5 = 8
• | -9-8 | = | -17 | = 17
• | -3| +|- 2| -|4| = 3+2- 4 = 1

9. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro. Estas
desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla
al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto.
Desigualdades de valor absoluto (<) :
La desigualdad | x | < 4 significa que la
distancia entre x y 0 es menor que 4.
La solución se puede escribir de esta
manera: −4 ≤ x ≤ 4.
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la
distancia entre x y 0 es mayor que 4.
La solución se puede escribir de esta
manera: x < -4 ∨ x > 4

10. 1. |3x-2| < 5
-5< 3x-2 < 5
-5+2<3x-2+2<5+2
-3 < 3x < 7
3 3 3
R. -1< x < 7/3
2. |3x-2| > 4
3x – 2< -4 U 3x-2 > 4
3x < -4 + 2 U 3x > 4+2
3x < -2 U 3x > 6
x< -2/3 U x > 6/3
x < -2/3 U x > 2
R. ( - ∞, -2/3) U (2, +∞)
4. |x+5| ≥ 3
X+5 ≤ - 3 U x + 5 ≥ 3
x ≤ -3-5 U x ≥ 3 - 5
x≤ -8 U x ≥ -2
R.(-∞, -8 ] U [ -2, +∞)
3. |2-3x|≤ 6
-6 ≤ 2-3x ≤ 6
-6-2 ≤ 2-3x-2 ≤ 6-2
-8 ≤ -3x ≤ 4
−8
−3
≤
−3𝑥
−3
≤
4
−3
8
3
≥ x ≥
4
3
R. [-
4
3
;
8
3
]

11. El plano cartesiano esta formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan
en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la
posición de puntos, los cuales se representan por sus
coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de
las equis y uno de las yes, respectivamente, esto indica
que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con
base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)

12. Es simplemente la distancia mínima que hay entre
ambas posiciones, las cuales vienen determinadas por
las sus coordenadas en el eje de las X y en el eje de las
Y.
La distancia mínima es sinónimo del camino más corto
que separa a ambas singularidades.
FORMULA
Sean dos puntos sobre el plano cartesiano, P1 (x1,y1) y
P2 (x2, y2). La distancia que hay entre ellos viene dada
por la siguiente expresión :

13. Antes debemos conocer que es un punto es una figura
geométrica adimensional: no tiene longitud, área,
volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto
físico. Describe una posición en el espacio, determinada
respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Punto medio en matemática, es el punto que se
encuentra a la misma distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es
el punto que se encuentra a la misma distancia de dos
elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos,
rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en
dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único
y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir
esta última condición, pertenece a la mediatriz del
segmento.
En algunos textos de geometría se suele utilizar
una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o
triángulo. A los puntos se les suele nombrar
con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las
rectas con letras minúsculas). La forma de
representar un punto mediante dos segmentos
que se cortan (una pequeña “cruz” +)
presupone que el punto es la intersección.
Cuando se representa con un pequeño círculo,
circunferencia, u otra figura geométrica,
presupone que el punto es su centro.
Dado un segmento, cuyos
extremos tienen por coordenadas
A= (x1, y1) y B (x2,y2)
El punto medio, Pm, tendrá por
coordenadas:
Pm= (
𝑥1+𝑥2,
2
𝑦1+𝑦2
2
)

14. Formula Distancia √(X2-
X1)2+(Y2-Y1)2
1. A(1,7) B (4,3)
d= √ (4-1)2 + (3+7)2
d = √(3)2 + (-4)2
d= √9+16
d= √25
d= 5
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑃𝑚 = (
𝑥1 + 𝑥2,
2
𝑦1 + 𝑦2
2
)
2. A (-3, 6) B(1,2)
Pm=
−3+1,
2
6+2
2
−2
2
,
8
2
R.(-1, 4)

15. Una superficie cónica esta engendrada por el
giro de una recta g, que llamamos generatriz,
alrededor de otra recta e, eje, con el cual se
corta en un punto V, vértice.
g = la generatriz
e = el eje
V = el vértice
Superficie - una superficie cónica de revolución está
engendrada por la rotación de una recta alrededor de
otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo
oblicuo.
Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las
rectas oblicuas.
Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan
las generatrices.
Hojas - las hojas son las dos partes en las que el
vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección - se denomina sección cónica a la curva
intersección de un cono con un plano que no pasa por
su vértice. En función de la relación existente entre el
ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano
respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas.

16. La elipse es la sección producida en
una superficie cónica de revolución
por un plano oblicuo al eje, que no
sea paralelo a la generatriz y que
forme con el mismo un ángulo
mayor que el que forman eje y
generatriz.
α< β < 90o
La elipse es una curva cerrada.
La circunferencia es la sección producida por un plano
perpendicular al eje.
β= 90^o
La circunferencia es un caso particular de elipse.

17. La parábola es la sección producida en una superficie
cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo
paralelo a la generatriz.
α = β
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta
el infinito.
La hipérbola es la sección producida en una superficie
cónica de revolución por un plano oblicuo al eje,
formando con él un ángulo menor al que forman eje y
generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la
superficie cónica.
α> β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga
indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

18. Círculo ( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r
2
El centro es ( h, k ).
El radio es r .
Elipse con el eje
horizontal mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es 2 a .
La longitud del eje menor es 2 b .
La distancia entre el centro y
cualquier foco es c con
c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
Elipse con el eje vertical
mayor
El centro es ( h, k ).
La longitud del eje mayor es 2 a .
La longitud del eje menor es 2 b .
La distancia entre el centro y
cualquier foco es c con
c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
Hipérbola con el eje
horizontal transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es 2 a
La distancia entre los focos es 2 c .
c 2 = a 2 + b 2
Hipérbola con el eje
vertical transversal
El centro es ( h, k ).
La distancia entre los vértices es 2 a
La distancia entre los focos es 2 c .
c 2 = a 2 + b 2

19. Parábola con el eje
horizontal
( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ),
p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h + p, k ).
La directriz es la recta x
= h – p.
El eje es la recta y = k.
Parábola con el eje
vertical
( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ),
p ≠ 0
El vértice es ( h, k ).
El foco es ( h, k + p ).
La directriz es la recta y
= k – p .
El eje es la recta x = h.