Ukuran Gejala Pusat 1. Rerata 2. Rerata Ukur 3. Rerata Harmonik 4. Modus 5. Median

1. Kelompok 5
Anisyafitri 1711442009
Nun Hafizah Nur 1711440005
Muh. Bahrun Nur 1711441004
Meutiah Nahrisyah 1711441014
PROGRAM ICP MATHEMATIC EDUCATION
MATHEMATIC DEPARTMENT
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2017
Ukuran Gejala Pusat

2. Ukuran Gejala Pusat
Ukuran gejala pusat adalah nilai dimana sejumlah data
cenderung berkumpul. Ukuran yang dihitung dari kumpulan data
dalam sampel tersebut disebut statistik dan ukuran yang sama
kalau dihitung dari data populasi atau digunakan untuk populasi
disebut parameter . Jadi, ukuran yang sama dapat bernama
statistik atau parameter bergantung pada apakah ukuran tersebut
digunakan untuk sampel atau popolasi. Beberapa macam ukuran
gejala pusat antara lain : rerata hitung (arithmetic mean), rerata
ukur (geometric mean), rerata harmonis (harmonic mean), modus
(mode), dan median.
.

3. A. Rerata
 Rerata dihitung dengan menggunakan semua nilai dalam data yaitu
jumlah seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data. Simbol rerata
untuk sampel sedangkan untuk populasi dipakai simbol µ. Rumus
rerata adalah:
dengan , = rerata
n = banyaknya sampel
Contoh:
Nilai ujian statistika untuk tujuh orang mahasiswa sebagai berikut:
70,65,70,50,45,69,dan 53. Diperoleh =70, =65, =70, =50, =45,
=69,
=53, dan n=7, maka diperoleh
atau
x
x
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
29,60
7
422
7
53694550706570


x
n
x xxx n


...21
n
x
n
i
ix
 1

4.  Adapun rerata dalam bentuk sebaran frekuensi. Rumus untuk
menghitung rerata akan berubah. Rumus yang digunakan
berbentuk:
dengan, = rerata
= frekuensi
= nilai statistika
= banyaknya kelompok
Perlu diperhatikan bahwa rumus ini disebut rerata
berbobot dengan frekuensi dan nilai data dibagi dengan jumlah
frekuensi.
x
f i
xi
k
n
k
i
i
f 1




 k
i
i
k
i
ii
f
xf
x
1
1
.

5. Contoh :
Dari tabel diatas didapat dan . Sehingga
diperoleh
. Jadi, nilai rerata ujian statistika 20 mahasiswa adalah
56,55
45 4 180
53 2 106
50 6 300
65 2 130
69 5 345
70 1 70
Jumlah 20 1131
xi f i xf ii
.


6
1
20
i
i
f 

6
1
1131.
i
ii xf
55,56
20
1131
x

6. B. Rerata Ukur (Arithmatic Mean)
1) Rata-rata ukur untuk data tidak berdistribusi (dikelompokkan)
Kegunaan rerata ukur antara lain mencari rata-rata
kenaikan/penurunan dalam bentuk presentase, perbandingan tiap
data berurutan yang hampir tetap atau secara tetap, menghitung
rata-rata terhadap presentase atau rasio perubahan suatu gejala
pada data tertentu.Rata-rata ukur dinyatakan dengan rumus :
dengan, RU = Rata-rata ukur
n = Banyak data
= Tiap gejala dalam %
Jika rumus diubah dalam bentuk logaritma, maka menjadi
RU = anti log RU - 100
100...... 321  n
nXXXXRU
321 ,, XXX
n
X
RU i
log
log

7. Contoh :
Diketahui besarnya penghasilan perminggu Yani di Toko Al-Batul
sebagai berikut:
I = Rp. 75.000 IV = Rp. 50.000
II = Rp. 65.000 V = Rp. 68.000
III = Rp. 70.000 VI = Rp. 120.000
Berapa rata-rata ukur perminggu ?
jawab: Minggu Penghasila
n
Presentasi perubahan (%)
I Rp. 75.000
II Rp. 65.000 (65.000 : 75.000) x 100 = 92,86
III Rp. 70.000 (70.000 : 65.000) x 100 = 107, 69
IV Rp. 50.000 (50.000 : 70.000) x 100 = 71,43
V Rp. 68.000 (68.000 : 50.000) x 100 = 136
VI Rp. 120.000 (120.000 : 68.000) x 100 = 176,47

8. Teknik perhitungan presentase perubahan seperti ini tujuannya
supaya selalu diperoleh harga yang positif, sehingga dalam
perkaliannya nanti tidak akan diperoleh harga negatif.
Cara lain dengan menggunakan logaritma
RU = anti log RU – 100
RU = anti log 2,0468 – 100
RU = 111,3782 – 100 = 11,3782
setelah dihitung hasil dari RU =
11,3782%, maka dinyatakan bahwa dari data tersebut telah terjadi
kenaikan penghasilan Yani di Toko Al-Batul. Rata-rata ukur sebesar
11,3782%
47,176;136;43,71;69,107;86,92 54321  XXXXX
3782,111003782,11110047,17613643,7169,10786,92  s
RU
X(%) LogX
92,86 1,9678
107,69 2,0322
71,43 1,8539
136 2,1335
176,47 2,2467
Jumlah   2341,10LogX
n
LogX
LogRU i
0468,2
5
2341,10
LogRU

9. 2) Rata-rata ukur untuk data berdistribusi (dikelompokkan)
Rata-rata ukur dinyatakan dengan rumus :
dengan, RK = Rata-rata kelompok
n =
X = Titik tengah tiap-tiap kelas
Jika rumus berubah dalam bentuk logaritma, maka menjadi
Contoh :
Distribusi frekuensi Nilai Ujian Statistik Universitas CJDW Tahun 2001 data sebagai
berikut :
n fn
n
fff
XXXXRK ....... 3
3
2
2
1
1
 f
n
Xf
LogRK

log..

10. No Nilai
Interval
Frekuensi
tiap-tiap
kelas (f)
Titik
Tengah
tiap-tiap
kelas (X)
Log X f.Log.X
1 60-64 2 62 1,7928 3,5848
2 65-69 6 67 1,8261 10,9566
3 70-74 15 72 1,8573 27,8595
4 75-79 20 77 1,8865 37,7300
5 80-84 16 82 1,9138 30,6208
6 85-89 7 87 1,9395 13,5765
7 90-94 4 92 1,9638 7,8552
n= =70
 f
  1834,132)log.( Xf
Jawab :
RK = 77,32 (anti log)
Jadi, rata-rata kelompok dari Distribusi frekuensi Nilai Ujian Statistik Universitas
CCJDW tahun 2001 sebesar 77,32.
8883,1
70
1834,132log..


n
Xf
LogRK

11. 3) Rata-rata sebagai pengukuran tingkat pertumbuhan (rate of growth)
dengan, Po = Besar data awal periode
Pn = Besar data yang ke-n
r = Rata-rata tingkat pertumbuhan
n = Banyak data atau periode perkembangan
Contoh :
Jika penduduk Indonesia pada Tahun 1990 berjumlah 200 juta jiwa dan
pada Tahun 2000 jumlah penduduknya menjadi 250 juta jiwa. Berapa
besar rata-rata pertumbuhan penduduk Indonesia tiap tahun?
jawab :
atau 2,26%
Jadi, besarnya rata-rata pertumbuhan penduduk Indonesia pertahun
sebesar 2,26%
n
rPoPn )1(  atau 1 n
Po
Pn
r
0226,010226,1125,11
000.000.200
000.000.250
1 1010  n
Po
Pn
r

12. C. Rerata Harmonik (Harmonic Mean)
Rata-rata hermonik adalah jumlah data dibagi dengan jumlah satu persetiap data
1) Menghitung Rata-rata Harmonik Data Tunggal
Rata-rata hermonik adalah jumlah data dibagi dengan jumlah satu persetiap data
dengan, X = Harga/nilai tiap-tiap data
n = banyak data
Contoh :
Nyonya Sri melakukan perjalanan Kereta Api Turangga dari Bandung ke Surabaya
pulang pergi dengan berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang dulu ke
Yogyakarta dengan kecepatan 70 km/jam. Kemudian hari berikutnya dilanjutkan
lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam. Berapakah
kecepatan rata-rata perjalanan Nyonya Sri?
jawab : diketahui kecepatan pertama ( )=90km/jam, kecepatan kedua (
)=70km/jam, dan kecepatan ketiga ( )=80km/jam.
Km/jam
Jadi, kecepatan rata-rata perjalanan = 79,2 km/jam
xxx n
n
RH
1
...
11
21


1X 2X
3X 2,79
80
1
70
1
90
1
3
1
...
11
21





xxx n
n
RH

13. 2) Menghitung Rata-rata Harmonik Berdistribusi (dikelompokkan)
dengan, RHK = Rata-rata Harmonik Kelompok
f = frekuensi
= titik tengah kelas
Contoh :
Distribusi frekuensi Nilai Ujian Statistik Universitas CJDW Tahun 2001
data sebagai berikut:


)(
xi
f
f
RHK
xi
N
o
Nilai
Interval
Frekuen
si (f)
Titik
Tengah
(X)
1 60-64 2 62 0,032
2 65-69 6 67 0,090
3 70-74 15 72 0,208
4 75-79 20 77 0,260
5 80-84 16 82 0,195
6 85-89 7 87 0,080
7 90-94 4 92 0,043
  70f   91,0)/( iXf
iX
f


)(
xi
f
f
RHK 92,76
91,0
70

Jadi, rata-rata Harmonik
untuk Distribusi frekuensi
Nilai Ujian Statistik
Universitas CJDW Tahun
2001 sebesar 76,92.

14. D. Modus
Modus pada suatu data merupakan data yang sering muncul atau data yang paling
tinggi tingkat frekuensinya. Modus digunakan untuk mendapatkan informasi tentang
adanya kategori tertentu yang mendominasi kategori lainnya dalam pengamatan.
Modus merupakan ukuran gejala pusat yang sangat lemah dan jarang digunakan
pada statistika inferensial, tetapi sangat berguna dalam analisis data kualitatif.
Beberapa sifat penting modus sebagai berikut :
 Nilai modus ditentukan oleh butir butir pada titik konsentrasi terbesar, dan tidak
dipengaruhi oleh nilai nilai peubah yang lain.
 Karena modus adalah titim konsentrasi terbesar, ia menentukan bentuk sebaran data.
Jika sebuah sebaran bimodal, ia harus dipecah menjadi lebih dari satu sebaran untuk
menjamin kehomogenan yang lebih tinggi.
 Modus yang sebenarnya untuk data berkelompok sulit dihitung, walaupun rumus
pendekatan sudah ada.
 Modus tidak dapat dimanipulasi lebih lanjut secara aljabar.

15. Untuk memudahkan menentukan modus, pertama susun data dalam
urutan meningkat atau sebaliknya kemudian hitung frekuensinya.
Beberapa kemungkinan tentang modus suatu data
 Apabila pada sekumpulan data hanya mempunyai satu modus, maka
disebut unimodal.
 Apabila pada sekumpulan data mempunyai dua modus, maka data
tersebut dikatakan bimodal.
Rumus (untuk data kelompok)
Dengan, b = batas bawah kelas modus, ialah kelas interval
dengan frekuensi terbesar;
p = panjang kelas modus;
b1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya;
b2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.











bb
bpbMo
21
1

16. Contoh :
1. Modus data tunggal (unimodal)
Sepuluh orang siswa dengan hasil pengukuran tinggi badan sebagai
berikut :
172, 167, 170, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Tentukan modus data tersebut !
Jawab :
Untuk modus data tunggal, tidak menggunakan rumus apapun.
Hanya melalu pengamatan saja.Dan dari hasil pengamatan data
tersebut, modusnya adalah 170.
172, 167, 170, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170.
2. Modus data berkelompok
Tentukan niai modus dari tabel distribusi frekuensi berikut.

17. Kelas
ke-
Nilai ujian F1
1 31-40 2
2 41-50 3
3 51-60 5
4 61-70 13
5 71-80 24
6 81-90 21
7 91-100 12
Jumlah 80
Jawab :
Dik : Kelas modus = kelas ke-5 = 71-
80 = 24
b =71 – 0,5 = 70,5
p = 10
b1= 24 – 13 = 11
b2= 24 – 21 =3
Dit : Median ?
Peny :








311
11
105,70Mo
86,75,70 Mo
36,78Mo










bb
bpbMo
21
1

18. E. Median
Median atau nilai tengah adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data
setelah data tersebut diurutkan.Median menyeimbangkan banyaknya data, yaitu sebuah
barisan yang menurut besarnya dibagi oleh median menjadi dua bagian yang sama banyak.
Median mempunyai beberapa sifat, antara lain :
 Median dipengaruhi oleh posisi setiap butir data dalam barisan, bukan oleh nilai butir tersebut.
Ini berarti bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim.
 Median dapat dilokalisir jika data tidak lengkap, misalnya jika nilai-nilai ekstrim peubah tidak
diketahui, namun lokasi umumnya diketahui.
 Median, secara langsung, tidak dapat ditentukan untuk kasus banyaknya data genap,
walaupun dengan kesepatan umum, median adalah rerata dua nilai peubah yang ditengah.
Jika beberapa butir pada pusat sebaran mempunyai ukuran atau besaran yang sama, median
mungkin tidak dapat ditentukan dalam suatu cara sederhana.
 Median itu sendiri tidak dapat dimanipulasi lebih lanjut secara aljabar dengan memuaskan
seperti rerata hitung dan rerata ukur.
 Median dapat digunakan dalam data ordinal, misalnya tingkat kepuasan atau kesukaan
terhadap sejenis barang atau kondisi tertentu, yang dapat dinyatakan dalam tingkatan baik,
sedang, dan kurang.

19. Untuk menentukan suatu median pada data, urutkan data terlebih
dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur dibawah ini :
 Jika banyak data ganjil – mediannya adalah nilai yang berada tepat di
tengah gugus data.
 Jika banyak data genap – mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data
yang berada ditengah gugus data.
Rumus Median Data Berkelompok :
Dengan, b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median
terletak.
p = panjang kelas median.
n = banyaknya data
f = frekuensi kelas median.
F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil
daripada kelas median.














f
F
n
pbMe 2

20. Contoh :
1. Median data tunggal
o Hitunglah median dari nilai ujian statistika kelas C berikut ini :
8, 4, 5, 6, 7, 6, 7, 7, 2, 9, 10. (data ganjil)
Jawab :
Diurutkan : 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10
Median : 7
o Hitunglah median dari nilai ujian statistika kelas C berikut ini :
8, 4, 5, 6, 7, 6, 7, 7, 2, 9. (data genap)
Jawab :
Diurutkan : 2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
Median :
2. Median data kelompok
Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi dibawah ini;
5,6
2
76



21. Kelas
ke-
Nilai ujian fi fkum
1 31-40 2 2
2 41-50 3 5
3 51-60 5 10
4 61-70 13 23
5 71-80 24 47
6 81-90 21 68
7 91-100 12 80
Jumlah 80
Jawab :
Dik :
letak kelas median : 80= 40 ,
terletak pada kelas ke-5
b : 70,5
p : 10
F : 2+3+5+13=23
f : 24
n : 80
Dit : Median ?
Peny :
2
1














f
F
n
pbMe 2














24
23
2
10
105,70Me
08,75,70 Me
58,77Me

22. F. Sebuah Pertanyaan
Ukuran gejala pusat yang mana digunakan untuk menjelaskan data
statistik? Tidak ada jawaban pasti terhadap pertanyaan ini. Ada situasi
dimana tidak ada ukuran gejala pusat yang betil-betul memuaskan.
Misalnya, jika sangat sedikit data, tidak ada ukuran statistic yang dapat
memberikan informasi kecenderungan memusatnya data. Selanjutnya,
jika data seperti terkonsentrasi pada satu ujung, yang disebut freakisly
deployed, rerata data ini dapat dihitung, tetapi tidak menjelaskan data.
Data yang tersedia, mungkin tidak dapat menggunakan ukuran
gejala pusat tertentu. Misalnya, sebaran yang ujungnya terbuka (open-
end), rerata yang tepat tidak dapat dihitung, tetapi median atau modus
tidak member informasi sebagai ukuran pemusatan.
Ciri ukuran gejala pusat dan kebutuhan masalah yang akan
dipecahkan menentukan ukuran yang akan digunakan. Data mungkin
memerlukan sebuah ukuran tertentu. Dalam masalah seperti rerata skor
tes porsenil atau rerata tingkat keproduktifan pekerja, dimana nilai data
adalah urutan, median adalah ukuran yang tepat digunakan. Skor
keproduktifan ini tidak memiliki sifat aditif, yakni tidak mengindikasikan
satuan jumlah, tetapi posisi individu terhadap individu lain, sehingga
posisi rerata yang sesuai adalah median.

23. Rerata sebagai penyederhanaan dari istilah rerata hitung adalah
yang umum digunakan dan merupakan ukuran gejala pusat yang
sangat terkenal dan disukai, kecuali situasi kurang sesuai. Misalnya,
ada nilai ekstrem, baik ekstrem terkecil maupun ekstrem terbesar, kelas
interval yang ujungnya terbuka, atau kelas interval yang bervariasi, atau
kita ingin betul-betul menetapkan nilai yang paling sering muncul, atau
posisi merata yang lain, maka nilai rerata tidak digunakan. Jika teknik
perhitungan lebih lanjut akan digunakan dalam penelitian, rerata adalah
ukuran yang digunakan. Rerata dari beberapa kelompok data dapat
dihitung rerata gabungannya, kalau ukuran sampel masing-masing
kelompok diketahui. Misalnya, tiga kelompok siswa yang masing-
masing terdiri dari 5, 7, 10 orang dengan rerata nilai matematika
berturut-turut 60, 65, dan 30. Rerata gabungan ketiga kelompok siswa
tersebut dapat dihitung, yaitu Perhitungan
lebih lanjut seperti ini tidak dapat dilakukan untuk median dan modus.
Berdasarkan penjelasan diatas, kita dapat menunjukkan bahwa
rerata gabungan dari beberapa sampel dapat dihitung, tidak seperti
median. Hal ini disebabkan oleh urutan nilai data setiap sampel akan
mengubah urutan data sampel gabungan. Selain itu, rerata sampel
bersifat lebih stabil dibandingkan dengan media sampel. Artinya, jika
dari sebuah populasi diambil semua sampel yang mungkin, kemudian
dari setiap sampel dihitung rerata dan mediannya, maka nilai-nilai
median bervariasi lebih besar bila dibandingkan dengan nilai rerata.
45,47
22
1055
1075
3010657605




24. Sifat stabil inilah antara lain yang menyebabkan statistik rerata lebih
banyak digunakan untuk analisis lebih lanjut dibandingkan dengan statistic
lainnya. Selanjutnya, jika kita mengganti setiap nilai data dengan nilai
reratanya, jumlah semua pengganti ini akan sama dengan jumlah semua nilai
melihat bahwa data 1, 2, dan 3 memiliki nilai rerata 2, dan kalau semua data
itu diganti dengan 2, maka diperoleh kumpulan data baru 2, 2, dan 2. Jumlah
kedua kumpulan data ini sama, yaitu 1+2+3 = 2+2+2 = 6.
Untuk itu, pemilihan ukuran gejala pusat yang sesuai data harus
dilakukan dengan sangat hati-hati. Bahkan, kadang-kadang disarankan untuk
menggunakan lebih dari satu ukuran gejala pusat, walaupun diyakini akan
menambah pekerjaan, baik sebagai pembaca, maupun bagi statistikawan.
Tetapi, tambahan pekerjaan yang menyebabkan kita menggunakan satu
ukuran saja bukan penjelasan yang lengkap. Dengan mempertimbangkan
semua hal ini, statistikawan diarahkan oleh harapan untuk menyajikan
gambaran tepat dari data dan untuk mendapatkan kemudahan. Hal terakhir
ini adalah pertimbangan terakhir unruk memilih ukuran yang sesuai.
Mengakhiri bab ini, kita memberikan sebuah contoh yang akan
membandingkan nilai rerata, rerata ukur, dan rerata harmonis.
Contoh 5.9
Tentukan nilai rerata, rerata ukur, dan rerata harmonis dari data 2, 3, dan 4,
dan tunjukkan hubungan ketiganya!
x

25. Jawaban:
Nilai rerata = = (2+3+4)/3 = 3,00. Rerata ukur U = = 2,88, dan
rerata harmonis = 2,77.
Kita melihat hasil ini menunjukkan bahwa H<U< . Dan dalam hal ini,
hubungan H≤U≤ .
Kita mengahiri bab ini dengan sebuah contoh penggunaan SPSS untuk
data hasil ujian statistika untuk 100 mahasiswa yang diberikan pada Bab
4 halaman 102. Data ini diolah dengan meminta descriptive statistics, dan
hasilnya sebagai berikut.
Descriptive Statistic
SPSS memberikan nilai-nilai statistic deskriptif sesuai permintaan
 Rentang (range) = 83
 Skor minimum (Minimum) = 16
 Skor maksimum (Maximum) = 99
 Jumlah seluruh data (Sum) = 7218
 Rerata (mean) = 72,18
x 3
432 
4
1
3
1
2
1
3

H
x
x
N Rang
e
Min Max Sum Mean
SATAT 100 83 16 99 7218 72,18

26. Kemudian median dan modus juga diberikan oleh SPSS sebagai
berikutKemudian median dan modus juga diberikan oleh SPSS
sebagai berikut.
Jadi, median 76 dan modus 88.
Demikian pembahasan tentang ukuran gejala pusat. Penjelasan
tentang hal yang sama dapat diperoleh juga dalam Simpson dan Kafka
(1957), Supranto (1989), dan Sncdccor dan Cochran (1982).
STAT
N Valid
Missing
100
Mean 72,18
Median 76,00
Mode 88