SlideShare a Scribd company logo

Pengantar Statistika 2

โ€ข
โ€ข

Statistika Dasar

1 of 59
Download to read offline
UKURAN TENDENSI SENTRAL
A. MEAN = RATA-RATA
1. Rata-rata hitung biasa (mean arithmatik):
๐‘ฟฬ… =
๐‘ฟ๐Ÿ+๐‘ฟ๐Ÿ+๐‘ฟ๐Ÿ‘+ โ€ฆ.+๐‘ฟ๐’
๐’
atau
โˆ‘ ๐‘ฟ๐’Š
๐’
Contoh:
Lima orang mahasiswa mendapatkan nilai statistika sbb: 70, 69, 45, 80, dan 56.
Maka dapat ditulis dgn simbul: X1 = 70, X2 = 69, X3 = 45, X4 = 80, dan X5 = 56.
Dalam hal ini, n = 5 maka nilai rata-rata hitung dapat dihitung sbb:
๐‘‹ฬ… =
๐‘‹1+๐‘‹2+๐‘‹3+ ๐‘‹4+๐‘‹5
๐‘›
=
70+69+45+80+56
5
=
320
5
= 64
2. Rata-rata yang Ditimbang (Dibobot)
Contoh:
Jika ada lima mahasiswa yg mendapat nilai 70, enam mhs mendapat nilai 69, tiga
mhs mendapat nilai 45, dan satu mhs mendapat nilai 80, dan satu mhs mendapat
nilai 56. Maka nilai rata-rata akan lebih mudah jika dihitung sbb:
๐‘ฟฬ… =
โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
dengan bantuan Tabel perhitungan berikut:
Xi fi fi. Xi Dari tabel tsb diperoleh:
โˆ‘๐‘“๐‘– = 16
โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘‹๐‘– = 1035
๐‘‹ฬ… =
โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
=
1035
16
= 64,6
Jadi, nilai rata-rata dari enam belas mahasiswa
adalah 64,6.
70
69
45
80
56
5
6
3
1
1
350
414
135
80
56
Jumlah 16 1035
3. Rata-rata Gabungan
Contoh:
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6 dan 8 dengan nilai rata-rata
masing-masing adalah 145, 118, dan 162.
Maka rata-rata gabungan dari tiga sub sampel tsb dapat dihitung sbb:
๐‘ฟฬ… =
โˆ‘๐’๐’Š.๐‘‹๐‘–ฬ…ฬ…ฬ…
โˆ‘๐’๐’Š
=
(๐‘›1). ๐‘‹1ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…+ (๐‘›2). ๐‘‹2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… +(๐‘›3). ๐‘‹3ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…
๐‘›1+๐‘›2+๐‘›3
=
(10). (145) + (6).(118) + (8).(162)
10 + 6 +8
=
3454
24
= 143,92
4. Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong:
Rumus 1 : ๐‘ฟฬ… =
โˆ‘๐’‡๐’Š.๐‘ฟ๐’Š
โˆ‘๐’‡๐’Š
๏ƒ  Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point)
Nilai Ujian fi Xi fi. Xi
31 โ€“ 40 1 35,5 35,5
41 โ€“ 50 2 45,5 91,0
51 โ€“ 60 5 55,5 277,5
61 โ€“ 70 15 65,5 981,5
71 โ€“ 80 25 75,5 1887,5
81 โ€“ 90 20 85,5 1710,0
91 โ€“ 100 12 95,5 1146,0
โˆ‘ 80 -- 6130,0
Jadi, nilai rata-rata dapat dihitung sbb: ๐‘‹ฬ… =
โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
=
6130
80
= 76,625
Rumus 2 : Cara Koding ๏ƒ  ๐‘ฟฬ… = Xo + p (
โˆ‘๐’‡๐’Š. ๐’„๐’Š
โˆ‘๐’‡๐’Š
) atau AM = Assummed Mean
Keterangan:
Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0
p = lebar/panjang kelas
ci = nilai Coding, di mana untuk nilai ci = 0 ke โ€œatasโ€ diberi tanda +, dan ci = 0
ke โ€œbawahโ€ diberi tanda โ€“
Nilai Ujian fi Xi ci fi. ci
31 โ€“ 40 1 35,5 -3 - 3
41 โ€“ 50 2 45,5 -2 - 4
51 โ€“ 60 5 55,5 -1 - 5
61 โ€“ 70 15 65,5 0 0
71 โ€“ 80 25 75,5 + 1 25
81 โ€“ 90 20 85,5 + 2 40
91 โ€“ 100 12 95,5 + 3 36
โˆ‘ 80 -- + 89
Dengan cara Koding, nilai rata-rata dpt dihitung sbb: ๐‘‹ฬ… = Xo + p (
โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
)
๐‘‹ฬ… = Xo + p (
โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
) = 65,5 + (10) (
89
80
) = 76,625
Contoh lain:
Nilai Ujian fi Xi ci fi. ci
31 โ€“ 40 1 35,5 -5 - 5
41 โ€“ 50 2 45,5 -4 - 8
52 โ€“ 60 5 55,5 -3 - 15
61 โ€“ 70 15 65,5 -2 - 30
71 โ€“ 80 25 75,5 -1 - 25
81 โ€“ 90 20 85,5 0 0
91 โ€“ 100 12 95,5 + 1 + 12
โˆ‘ 80 -- -71
Dengan cara yang sama dengan di atas, maka nilai rata-rata dpt dihitung:
๐‘‹ฬ… = Xo + p (
โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐ถ๐‘–
โˆ‘๐‘“๐‘–
) = 85,5 + (10) (
โˆ’ 71
80
) = 76,625
Ternyata dalam cara Koding (AM), kita bebas menentukan perkiraan rentang
kelas di mana mean berada, dan hasilnya akan tetap sama.
5. Rata-rata Harmonik, dapat dihitung dengan rumus sbb:
H =
๐‘›
โˆ‘(
1
๐‘‹๐‘–
)
=
๐‘›
1
๐‘ฅ1
+
1
๐‘‹2
+
1
๐‘‹3
+ โ€ฆ.+
1
๐‘‹๐‘›
Contoh:
Si A bepergian pulang โ€“ pergi. Waktu berangkat dengan kecepatan 10 km/jam,
sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 km/jam. Berapakah kecepatan
rata-rata pulang โ€“ pergi ?
Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = ยฝ (10 + 20) km/jam =
15 km/jam ๏ƒ  adalah salah.
Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb:
Misal, jarak tempuhnya adalah 100 km, maka ketika pergi diperlukan waktu =
100/10 = 10 jam, sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 100/20
= 5 jam. Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam, sedangkan jarak tempuhnya
200 km ๏ƒ  maka rata-rata kecepatan pergi โ€“ pulang adalah:
=
200 ๐‘˜๐‘š
15 ๐‘—๐‘Ž๐‘š
= 13, 3 km/jam.
Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata-
rata harmonik. Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb:
H =
๐‘›
โˆ‘(
1
๐‘‹๐‘–
)
=
2
1
10
+
1
20
=
40
3
= 13,3 km/jam
B. MODUS = MODE = MODAL
Modus ๏ƒ  adalah fenomena/nilai yang paling banyak muncul.
Contoh: terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb: 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34,
28, 14
Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut:
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak adalah f = 4, yang terjadi untuk nilai 34. Dengan
demikian, maka Modus Mo = 34.
12
14
28
34
1
2
2
4
Data yang memiliki dua modus (bi-modal):
Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter-
banyak ada 2, yaitu data yang bernilai 75 dan 92, yang
masing-masing frekuensinya adalah f = 8. Dengan
demikian, maka Modusnya ada dua, yaitu 75 dan 92.
75
60
92
64
35
8
7
8
7
2
Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong
Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong, maka
Modusnya dapat dihitung dgn rumus:
Mo = b + p (
๐‘1
๐‘1+๐‘2
)
Keterangan:
b = batas bawah nyata kelas modal, yaitu interval kelas yang frekuensinya
terbanyak
p = panjang (lebar) interval kelas modal
b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg
nilainya di bawahnya)
b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg
nilainya di atasnya)
Contoh :
Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima:
1) b = 70,5
2) b1 = 25 โ€“ 15 = 10
3) b2 = 25 โ€“ 20 = 5
4) p = 10
maka Mo = 70,5 + (10) (
10
10+5
)
Mo = 77,17
31 โ€“ 40 1 30,5 โ€“ 40,5
41 โ€“ 50 2 40,5 โ€“ 50,5
53 โ€“ 60 5 50,5 โ€“ 60,5
61 โ€“ 70 15 60,5 โ€“ 70,5
71 โ€“ 80 25 70,5 โ€“ 80,5
81 โ€“ 90 20 80,5 โ€“ 90,5
91 โ€“ 100 12 90,5 โ€“ 100,5
โˆ‘ 80 --
MEDIAN:
Median ๏ƒ  adalah nilai tengah, yaitu nilai yang membatasi antara 50% data
bagian atas dan 50% data bagian bawah.
1. Median untuk banyak data Ganjil.
Misal: Sampel dengan data: 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10
Setelah diurutkan menjadi: 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12
Dalam hal ini, nilai tengahnya adalah data ke-4, yaitu 8. Jadi, median dari
data tersebut adalah Me = 8.
2. Median untuk banyak data Genap
Untuk sampel yg berukuran genap, maka setelah data diurutkan nilainya
dari yg terkecil ke terbesar, Median dapat dihitung dengan merata-rata dua
data tengah.
Misal: sampel dgn data: 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 8
Setelah diurutkan nilainya menjadi: 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19
Dalam hal ini, data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12,
sehingga rata-ratanya adalah 11.
3. Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong
Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi
bergolong, dapat dihitung dengan rumus:
Me = b + p (
ยฝ ๐‘โˆ’๐น
๐‘“
)
Keterangan:
b = batas bawah nyata kelas Median, yaitu kelas di mana Median berada
p = panjang (lebar) interval kelas
N = ukuran sampel (banyaknya data)
F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median
f = frekuensi pada kelas Median
Contoh :
Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif
31 โ€“ 40 1 30,5 โ€“ 40,5 1
41 โ€“ 50 2 40,5 โ€“ 50,5 3
51 โ€“ 60 5 50,5 โ€“ 60,5 8
61 โ€“ 70 15 60,5 โ€“ 70,5 23
71 โ€“ 80 25 70,5 โ€“ 80,5 48
81 โ€“ 90 20 80,5 โ€“ 90,5 68
91 โ€“ 100 12 90,5 โ€“ 100,5 80
โˆ‘ 80 --
Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb
dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai: Kuartil (K), Desil (D), Quantil (Q), dan
Persentil (P), sbb:
1. Kuartil ke-i ๏ƒ  Ki adalah data yg ke
๐‘–.(๐‘)
4
, di mana i = 1, 2, dan 3
Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus:
Ki = b + p (
๐‘–. ๐‘
4
โˆ’๐น
๐‘“
) ๏ƒ  i = 1, 2, dan 3
2. Quantil ke-i ๏ƒ  Qi adalah data yg ke
๐‘–.(๐‘)
5
, di mana i = 1, 2, 3, dan 4
Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus:
Klas Median
Klas Kuartil 3
Klas Kuartil I

Recommended

Modul statistika-ii-part-2
Modul statistika-ii-part-2Modul statistika-ii-part-2
Modul statistika-ii-part-2apriliantihermawan
ย 
Teori pendugaan statistik presentasi
Teori pendugaan statistik presentasiTeori pendugaan statistik presentasi
Teori pendugaan statistik presentasiPerum Perumnas
ย 
Pertanyaan presentasi
Pertanyaan presentasiPertanyaan presentasi
Pertanyaan presentasiMelisa Dewintasari
ย 
13.analisa korelasi
13.analisa korelasi13.analisa korelasi
13.analisa korelasiHafiza .h
ย 
Tabel t, z dan f dan chi kuadrat
Tabel t, z dan f dan chi kuadratTabel t, z dan f dan chi kuadrat
Tabel t, z dan f dan chi kuadratIr. Zakaria, M.M
ย 
Uji Normalitas dan Homogenitas
Uji Normalitas dan HomogenitasUji Normalitas dan Homogenitas
Uji Normalitas dan HomogenitasPutri Handayani
ย 

More Related Content

What's hot

Tabel Nilai Kritis Distribusi T
Tabel Nilai Kritis Distribusi TTabel Nilai Kritis Distribusi T
Tabel Nilai Kritis Distribusi TTrisnadi Wijaya
ย 
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2Ratih Ramadhani
ย 
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajakKeseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajakAnzilina Nisa
ย 
Daftar Distribusi Frekuensi
Daftar Distribusi FrekuensiDaftar Distribusi Frekuensi
Daftar Distribusi Frekuensimaudya09
ย 
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasio
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasioContoh nominal,ordinal,interval,dan rasio
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasiofirman afriansyah
ย 
Uji proporsi satu populasi dan dua populasi
Uji proporsi satu populasi dan dua populasiUji proporsi satu populasi dan dua populasi
Uji proporsi satu populasi dan dua populasiRosmaiyadi Snt
ย 
3 . analisis regresi linier berganda dua peubah
3 .  analisis regresi  linier berganda dua peubah3 .  analisis regresi  linier berganda dua peubah
3 . analisis regresi linier berganda dua peubahYulianus Lisa Mantong
ย 
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsen
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsenMatematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsen
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsenHarya Wirawan
ย 
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-Square
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-SquareTabel Nilai Kritis Distribusi Chi-Square
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-SquareTrisnadi Wijaya
ย 
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...Sylvester Saragih
ย 
Minggu 10_Teknik Analisis Regresi
Minggu 10_Teknik Analisis RegresiMinggu 10_Teknik Analisis Regresi
Minggu 10_Teknik Analisis RegresiM. Jainuri, S.Pd., M.Pd
ย 
Tanya jawab mpp
Tanya jawab mppTanya jawab mpp
Tanya jawab mppAprilia Hapsari
ย 
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Raden Maulana
ย 
Minggu 9_Teknik Analisis Korelasi
Minggu 9_Teknik Analisis KorelasiMinggu 9_Teknik Analisis Korelasi
Minggu 9_Teknik Analisis KorelasiM. Jainuri, S.Pd., M.Pd
ย 

What's hot (20)

Tabel Nilai Kritis Distribusi T
Tabel Nilai Kritis Distribusi TTabel Nilai Kritis Distribusi T
Tabel Nilai Kritis Distribusi T
ย 
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2
uji hipotesis satu rata โ€“ rata bagian 2
ย 
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajakKeseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
ย 
Daftar Distribusi Frekuensi
Daftar Distribusi FrekuensiDaftar Distribusi Frekuensi
Daftar Distribusi Frekuensi
ย 
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasio
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasioContoh nominal,ordinal,interval,dan rasio
Contoh nominal,ordinal,interval,dan rasio
ย 
Kurva Normal
Kurva NormalKurva Normal
Kurva Normal
ย 
Uji proporsi satu populasi dan dua populasi
Uji proporsi satu populasi dan dua populasiUji proporsi satu populasi dan dua populasi
Uji proporsi satu populasi dan dua populasi
ย 
3 . analisis regresi linier berganda dua peubah
3 .  analisis regresi  linier berganda dua peubah3 .  analisis regresi  linier berganda dua peubah
3 . analisis regresi linier berganda dua peubah
ย 
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsen
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsenMatematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsen
Matematika Ekonomi - surplus konsumen dan surplus produsen
ย 
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-Square
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-SquareTabel Nilai Kritis Distribusi Chi-Square
Tabel Nilai Kritis Distribusi Chi-Square
ย 
Proposal PKM-Kewirausahaan LOLOS PKM
Proposal PKM-Kewirausahaan LOLOS PKMProposal PKM-Kewirausahaan LOLOS PKM
Proposal PKM-Kewirausahaan LOLOS PKM
ย 
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
ย 
Minggu 10_Teknik Analisis Regresi
Minggu 10_Teknik Analisis RegresiMinggu 10_Teknik Analisis Regresi
Minggu 10_Teknik Analisis Regresi
ย 
Teknik sampling
Teknik samplingTeknik sampling
Teknik sampling
ย 
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANGVARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
VARIABEL RANDOM & DISTRIBUSI PELUANG
ย 
Materi P3_Distribusi Normal
Materi P3_Distribusi NormalMateri P3_Distribusi Normal
Materi P3_Distribusi Normal
ย 
Distribusi sampling
Distribusi samplingDistribusi sampling
Distribusi sampling
ย 
Tanya jawab mpp
Tanya jawab mppTanya jawab mpp
Tanya jawab mpp
ย 
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
ย 
Minggu 9_Teknik Analisis Korelasi
Minggu 9_Teknik Analisis KorelasiMinggu 9_Teknik Analisis Korelasi
Minggu 9_Teknik Analisis Korelasi
ย 

Viewers also liked

Korelasi Point Biserial
Korelasi Point BiserialKorelasi Point Biserial
Korelasi Point BiserialLina Mursyidah
ย 
Statistik parametrik
Statistik parametrikStatistik parametrik
Statistik parametrikphient_dvero
ย 
Materi satatistik 2
Materi satatistik 2Materi satatistik 2
Materi satatistik 2Ihrom Lestari
ย 
Korelasi dan regresi
Korelasi dan regresiKorelasi dan regresi
Korelasi dan regresiMoch Hasanudin
ย 
11. regresi linier sederhana
11. regresi linier sederhana11. regresi linier sederhana
11. regresi linier sederhanaRivandi Archmage
ย 
Hipotesis 2 rata rata
Hipotesis 2 rata rataHipotesis 2 rata rata
Hipotesis 2 rata rataAdriana Dwi Ismita
ย 
zeffi dok
zeffi dokzeffi dok
zeffi dokZeffy Akmal
ย 
chi square 2 sample & k sample
chi square 2 sample & k sample chi square 2 sample & k sample
chi square 2 sample & k sample Ainur
ย 
Anava 1 arah
Anava 1 arahAnava 1 arah
Anava 1 arahyositria
ย 
Bd06 statistik korelasi
Bd06 statistik korelasiBd06 statistik korelasi
Bd06 statistik korelasiAnan Nur
ย 
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujian
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujianStatistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujian
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujianIsnu Arini
ย 
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerah
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerahHubungan antara pertumbuhan ekonomi daerah
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerahPriyo Hari Adi
ย 
Korelasi dan regresi
Korelasi dan regresiKorelasi dan regresi
Korelasi dan regresiMochamad Fikri
ย 
Analisis korelasi-sederhana
Analisis korelasi-sederhanaAnalisis korelasi-sederhana
Analisis korelasi-sederhanaMitha Viani
ย 
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)Teknik korelasi tata jenjang (rank order)
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)ariyana96
ย 
Statistika presentasi kelompok 2
Statistika presentasi kelompok 2Statistika presentasi kelompok 2
Statistika presentasi kelompok 2Trianingrum
ย 

Viewers also liked (20)

Korelasi Point Biserial
Korelasi Point BiserialKorelasi Point Biserial
Korelasi Point Biserial
ย 
6. korelasi dan regresi
6. korelasi dan regresi6. korelasi dan regresi
6. korelasi dan regresi
ย 
Statistik parametrik
Statistik parametrikStatistik parametrik
Statistik parametrik
ย 
Materi satatistik 2
Materi satatistik 2Materi satatistik 2
Materi satatistik 2
ย 
12 teknik analisis korelasi
12 teknik analisis korelasi12 teknik analisis korelasi
12 teknik analisis korelasi
ย 
Korelasi dan regresi
Korelasi dan regresiKorelasi dan regresi
Korelasi dan regresi
ย 
11. regresi linier sederhana
11. regresi linier sederhana11. regresi linier sederhana
11. regresi linier sederhana
ย 
Hipotesis 2 rata rata
Hipotesis 2 rata rataHipotesis 2 rata rata
Hipotesis 2 rata rata
ย 
zeffi dok
zeffi dokzeffi dok
zeffi dok
ย 
chi square 2 sample & k sample
chi square 2 sample & k sample chi square 2 sample & k sample
chi square 2 sample & k sample
ย 
Anava 1 arah
Anava 1 arahAnava 1 arah
Anava 1 arah
ย 
Bd06 statistik korelasi
Bd06 statistik korelasiBd06 statistik korelasi
Bd06 statistik korelasi
ย 
Minggu 8_Pengujian Hipotesis
Minggu 8_Pengujian HipotesisMinggu 8_Pengujian Hipotesis
Minggu 8_Pengujian Hipotesis
ย 
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujian
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujianStatistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujian
Statistika - Korelasi antara jumlah jam belajar dan nilai hasil ujian
ย 
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerah
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerahHubungan antara pertumbuhan ekonomi daerah
Hubungan antara pertumbuhan ekonomi daerah
ย 
Korelasi dan regresi
Korelasi dan regresiKorelasi dan regresi
Korelasi dan regresi
ย 
Analisis korelasi-sederhana
Analisis korelasi-sederhanaAnalisis korelasi-sederhana
Analisis korelasi-sederhana
ย 
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)Teknik korelasi tata jenjang (rank order)
Teknik korelasi tata jenjang (rank order)
ย 
Analisis korelasi
Analisis korelasiAnalisis korelasi
Analisis korelasi
ย 
Statistika presentasi kelompok 2
Statistika presentasi kelompok 2Statistika presentasi kelompok 2
Statistika presentasi kelompok 2
ย 

Similar to Pengantar Statistika 2

Statistik SMK Kelas XII TI
Statistik SMK Kelas XII TIStatistik SMK Kelas XII TI
Statistik SMK Kelas XII TIsri sayekti
ย 
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)reno sutriono
ย 
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak dataMakalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak dataAisyah Turidho
ย 
x-statistika2-160516023145.pdf
x-statistika2-160516023145.pdfx-statistika2-160516023145.pdf
x-statistika2-160516023145.pdfazizahsiti6
ย 
Makalah Tendensi sentral
Makalah Tendensi sentralMakalah Tendensi sentral
Makalah Tendensi sentralNailul Hasibuan
ย 
Materi SMA X : Statistika (2)
Materi SMA X : Statistika (2)Materi SMA X : Statistika (2)
Materi SMA X : Statistika (2)Ana Sugiyarti
ย 
Tugas tmtt matematika statistika sapta
Tugas tmtt matematika statistika saptaTugas tmtt matematika statistika sapta
Tugas tmtt matematika statistika saptaHMTA
ย 
Statistika2
Statistika2Statistika2
Statistika2kusnadiyoan
ย 
materi-statistika.pptx
materi-statistika.pptxmateri-statistika.pptx
materi-statistika.pptxAryNugroho17
ย 
Makalah ukuran penyebaran data
Makalah ukuran penyebaran dataMakalah ukuran penyebaran data
Makalah ukuran penyebaran dataAisyah Turidho
ย 
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)reno sutriono
ย 
Tugas statistik ekonomi
Tugas statistik ekonomiTugas statistik ekonomi
Tugas statistik ekonomifriska wulandari
ย 
Statistika i (4 sept 2012)
Statistika i (4 sept 2012)Statistika i (4 sept 2012)
Statistika i (4 sept 2012)arahab
ย 
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptx
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptxUkuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptx
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptxSolikhinAjiSaputra
ย 
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran Siti Sholekah
ย 
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptxHILAL779204
ย 
materi-statistika-1.pptx
materi-statistika-1.pptxmateri-statistika-1.pptx
materi-statistika-1.pptxIndahTriMeidasari
ย 
UKURAN GEJALA PUSAT
UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT
UKURAN GEJALA PUSATMeutiah Nahrisyah
ย 

Similar to Pengantar Statistika 2 (20)

Statistik SMK Kelas XII TI
Statistik SMK Kelas XII TIStatistik SMK Kelas XII TI
Statistik SMK Kelas XII TI
ย 
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)
Pertemuan 5 (ukuran pemusatan data dan ukuran letak data)
ย 
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak dataMakalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
ย 
x-statistika2-160516023145.pdf
x-statistika2-160516023145.pdfx-statistika2-160516023145.pdf
x-statistika2-160516023145.pdf
ย 
Makalah Tendensi sentral
Makalah Tendensi sentralMakalah Tendensi sentral
Makalah Tendensi sentral
ย 
Materi SMA X : Statistika (2)
Materi SMA X : Statistika (2)Materi SMA X : Statistika (2)
Materi SMA X : Statistika (2)
ย 
Tugas tmtt matematika statistika sapta
Tugas tmtt matematika statistika saptaTugas tmtt matematika statistika sapta
Tugas tmtt matematika statistika sapta
ย 
Statistika2
Statistika2Statistika2
Statistika2
ย 
materi-statistika.pptx
materi-statistika.pptxmateri-statistika.pptx
materi-statistika.pptx
ย 
Makalah ukuran penyebaran data
Makalah ukuran penyebaran dataMakalah ukuran penyebaran data
Makalah ukuran penyebaran data
ย 
Bahan yola
Bahan yolaBahan yola
Bahan yola
ย 
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)
Pertemuan 6 (ukuran penyebaran data)
ย 
Tugas statistik ekonomi
Tugas statistik ekonomiTugas statistik ekonomi
Tugas statistik ekonomi
ย 
Statistika i (4 sept 2012)
Statistika i (4 sept 2012)Statistika i (4 sept 2012)
Statistika i (4 sept 2012)
ย 
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptx
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptxUkuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptx
Ukuran Penyebaran Data Mean Modus Median.pptx
ย 
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran
Ukuran pemusatan, ukuran penyebaran
ย 
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx
02. Statistika Pemusatan Data Baru.pptx
ย 
materi-statistika-1.pptx
materi-statistika-1.pptxmateri-statistika-1.pptx
materi-statistika-1.pptx
ย 
simp-rata-rata.ppt
simp-rata-rata.pptsimp-rata-rata.ppt
simp-rata-rata.ppt
ย 
UKURAN GEJALA PUSAT
UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT
UKURAN GEJALA PUSAT
ย 

More from Universitas Islam Nahdlatul Ulama (UNISNU) Jepara

More from Universitas Islam Nahdlatul Ulama (UNISNU) Jepara (20)

Materi evaluasi pendidikan
Materi evaluasi pendidikanMateri evaluasi pendidikan
Materi evaluasi pendidikan
ย 
Karya Tulis Ilmiah Ke-2
Karya Tulis Ilmiah Ke-2Karya Tulis Ilmiah Ke-2
Karya Tulis Ilmiah Ke-2
ย 
Karya Tulis Ilmiah Ke-1
Karya Tulis Ilmiah Ke-1Karya Tulis Ilmiah Ke-1
Karya Tulis Ilmiah Ke-1
ย 
Laporan kewirausahaan telor asin
Laporan kewirausahaan telor asinLaporan kewirausahaan telor asin
Laporan kewirausahaan telor asin
ย 
Pedoman Penulisan Karya Ilmiah
Pedoman Penulisan Karya IlmiahPedoman Penulisan Karya Ilmiah
Pedoman Penulisan Karya Ilmiah
ย 
Jenis Karangan
Jenis KaranganJenis Karangan
Jenis Karangan
ย 
Pengantar Statistika 1
Pengantar Statistika 1Pengantar Statistika 1
Pengantar Statistika 1
ย 
Teori dan Psikologi Belajar
Teori dan Psikologi Belajar Teori dan Psikologi Belajar
Teori dan Psikologi Belajar
ย 
Filsafat Ilmu
Filsafat IlmuFilsafat Ilmu
Filsafat Ilmu
ย 
Manajemen Pendidikan
Manajemen PendidikanManajemen Pendidikan
Manajemen Pendidikan
ย 
Proposal Hibah PPM 2013
Proposal Hibah PPM 2013Proposal Hibah PPM 2013
Proposal Hibah PPM 2013
ย 
PPM Kurikulum 2013
PPM Kurikulum 2013PPM Kurikulum 2013
PPM Kurikulum 2013
ย 
SKRIPSI PGSD
SKRIPSI PGSDSKRIPSI PGSD
SKRIPSI PGSD
ย 
Pembelajaran Gaya SD III
Pembelajaran Gaya SD IIIPembelajaran Gaya SD III
Pembelajaran Gaya SD III
ย 
Pembelajaran Gaya SD II
Pembelajaran Gaya SD IIPembelajaran Gaya SD II
Pembelajaran Gaya SD II
ย 
Pembelajaran Gaya SD I
Pembelajaran Gaya SD IPembelajaran Gaya SD I
Pembelajaran Gaya SD I
ย 
Review Artikel Metopen
Review Artikel MetopenReview Artikel Metopen
Review Artikel Metopen
ย 
SDA (Air) Presentasi
SDA (Air) PresentasiSDA (Air) Presentasi
SDA (Air) Presentasi
ย 
Tugas Makalah SDA (Air)
Tugas Makalah SDA (Air)Tugas Makalah SDA (Air)
Tugas Makalah SDA (Air)
ย 
Konsep dasar ipa prof. zuhdan
Konsep dasar ipa prof. zuhdanKonsep dasar ipa prof. zuhdan
Konsep dasar ipa prof. zuhdan
ย 

Recently uploaded

koneksi antar materi pendidikan profesi guru
koneksi antar materi pendidikan profesi gurukoneksi antar materi pendidikan profesi guru
koneksi antar materi pendidikan profesi guruAlfianaNurulWijayant
ย 
Bahan Presentasi Bedah Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptx
Bahan Presentasi Bedah  Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptxBahan Presentasi Bedah  Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptx
Bahan Presentasi Bedah Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptxKanaidi ken
ย 
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdf
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdfPPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdf
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdfAGUSWACHID4
ย 
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdfMuhammadNurBalad
ย 
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM _Pelatihan "Business Process Managem...
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM  _Pelatihan "Business Process Managem...Effective Teamwork yang Solid dalam BPM  _Pelatihan "Business Process Managem...
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM _Pelatihan "Business Process Managem...Kanaidi ken
ย 
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptx
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptxPentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptx
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptxNursyahirsyahmiSyahi
ย 
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdf
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdfCalon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdf
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdfIwanSumantri7
ย 
PPT OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptx
PPT  OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptxPPT  OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptx
PPT OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptxAhmadMuzaniMPdI
ย 
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR) _Pel...
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR)  _Pel...Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR)  _Pel...
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR) _Pel...Kanaidi ken
ย 
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik - Fase E.pdf
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik  - Fase E.pdfModul Ajar Matematika - Laporan Statistik  - Fase E.pdf
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik - Fase E.pdfHaniNovi
ย 
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...MasudinMuhJinan
ย 
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian Tengah
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian TengahSuku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian Tengah
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian TengahPejuangKeadilan2
ย 
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaModul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaModul Guruku
ย 
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi s
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi sppt kurikulum merdeka belajar kelas xi s
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi sindripratiwi83
ย 
Workshop Soal-soal hots presentasi.pdf
Workshop   Soal-soal hots presentasi.pdfWorkshop   Soal-soal hots presentasi.pdf
Workshop Soal-soal hots presentasi.pdfkadekasrama85
ย 
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdf
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdfTeks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdf
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdfKangMargino
ย 
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]Modul Guruku
ย 
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...ainullabib3523
ย 
"Web Development - Inovasi Digital 2024"
"Web Development - Inovasi Digital 2024""Web Development - Inovasi Digital 2024"
"Web Development - Inovasi Digital 2024"Herry Prasetyo
ย 
Demonstrasi Kontekstual tugas Modul 3.2.pdf
Demonstrasi Kontekstual  tugas Modul 3.2.pdfDemonstrasi Kontekstual  tugas Modul 3.2.pdf
Demonstrasi Kontekstual tugas Modul 3.2.pdfResnaningPujiAstuti1
ย 

Recently uploaded (20)

koneksi antar materi pendidikan profesi guru
koneksi antar materi pendidikan profesi gurukoneksi antar materi pendidikan profesi guru
koneksi antar materi pendidikan profesi guru
ย 
Bahan Presentasi Bedah Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptx
Bahan Presentasi Bedah  Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptxBahan Presentasi Bedah  Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptx
Bahan Presentasi Bedah Buku _"STRATEGI DIGITAL MARKETING" by Ken Kanaidi.pptx
ย 
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdf
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdfPPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdf
PPT - Ruang Kolaborasi 3.2 Angkatan 9 - Sesi 1.pdf
ย 
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf
3.1.a.6 Demontrasi Kontekstual Modul 3.1. MN_BALAD.pdf
ย 
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM _Pelatihan "Business Process Managem...
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM  _Pelatihan "Business Process Managem...Effective Teamwork yang Solid dalam BPM  _Pelatihan "Business Process Managem...
Effective Teamwork yang Solid dalam BPM _Pelatihan "Business Process Managem...
ย 
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptx
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptxPentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptx
Pentaksiran Praktikal (Project) Cg Afifah (1) KUMPULAN.pptx
ย 
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdf
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdfCalon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdf
Calon Penelaah Aksi Nyata Sejawat Batch 2.pdf
ย 
PPT OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptx
PPT  OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptxPPT  OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptx
PPT OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR .pptx
ย 
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR) _Pel...
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR)  _Pel...Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR)  _Pel...
Strategi Perbaikan Proses Bisnis + Business Process Reengineering (BPR) _Pel...
ย 
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik - Fase E.pdf
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik  - Fase E.pdfModul Ajar Matematika - Laporan Statistik  - Fase E.pdf
Modul Ajar Matematika - Laporan Statistik - Fase E.pdf
ย 
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 3.1.pdf-MAS'UDIN MUH. JINAN-SGP ANGKATAN-9_SMP ...
ย 
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian Tengah
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian TengahSuku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian Tengah
Suku Bare'e (Baree) di Sulawesi Bagian Tengah
ย 
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaModul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Fisika Kelas 11 Fase F Kurikulum Merdeka
ย 
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi s
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi sppt kurikulum merdeka belajar kelas xi s
ppt kurikulum merdeka belajar kelas xi s
ย 
Workshop Soal-soal hots presentasi.pdf
Workshop   Soal-soal hots presentasi.pdfWorkshop   Soal-soal hots presentasi.pdf
Workshop Soal-soal hots presentasi.pdf
ย 
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdf
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdfTeks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdf
Teks Terjemahan Website Desa Wisata Melung.pdf
ย 
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]
Modul Ajar Informatika Kelas 11 Fase F - [modulguruku.com]
ย 
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...
01. Manual Book - SIPD Republik Indonesia Modul Penatausahaan Pengeluaran - P...
ย 
"Web Development - Inovasi Digital 2024"
"Web Development - Inovasi Digital 2024""Web Development - Inovasi Digital 2024"
"Web Development - Inovasi Digital 2024"
ย 
Demonstrasi Kontekstual tugas Modul 3.2.pdf
Demonstrasi Kontekstual  tugas Modul 3.2.pdfDemonstrasi Kontekstual  tugas Modul 3.2.pdf
Demonstrasi Kontekstual tugas Modul 3.2.pdf
ย 

Pengantar Statistika 2

  • 1. UKURAN TENDENSI SENTRAL A. MEAN = RATA-RATA 1. Rata-rata hitung biasa (mean arithmatik): ๐‘ฟฬ… = ๐‘ฟ๐Ÿ+๐‘ฟ๐Ÿ+๐‘ฟ๐Ÿ‘+ โ€ฆ.+๐‘ฟ๐’ ๐’ atau โˆ‘ ๐‘ฟ๐’Š ๐’ Contoh: Lima orang mahasiswa mendapatkan nilai statistika sbb: 70, 69, 45, 80, dan 56. Maka dapat ditulis dgn simbul: X1 = 70, X2 = 69, X3 = 45, X4 = 80, dan X5 = 56. Dalam hal ini, n = 5 maka nilai rata-rata hitung dapat dihitung sbb: ๐‘‹ฬ… = ๐‘‹1+๐‘‹2+๐‘‹3+ ๐‘‹4+๐‘‹5 ๐‘› = 70+69+45+80+56 5 = 320 5 = 64 2. Rata-rata yang Ditimbang (Dibobot) Contoh: Jika ada lima mahasiswa yg mendapat nilai 70, enam mhs mendapat nilai 69, tiga mhs mendapat nilai 45, dan satu mhs mendapat nilai 80, dan satu mhs mendapat nilai 56. Maka nilai rata-rata akan lebih mudah jika dihitung sbb: ๐‘ฟฬ… = โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– dengan bantuan Tabel perhitungan berikut: Xi fi fi. Xi Dari tabel tsb diperoleh: โˆ‘๐‘“๐‘– = 16 โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘‹๐‘– = 1035 ๐‘‹ฬ… = โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– = 1035 16 = 64,6 Jadi, nilai rata-rata dari enam belas mahasiswa adalah 64,6. 70 69 45 80 56 5 6 3 1 1 350 414 135 80 56 Jumlah 16 1035 3. Rata-rata Gabungan Contoh: Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6 dan 8 dengan nilai rata-rata masing-masing adalah 145, 118, dan 162. Maka rata-rata gabungan dari tiga sub sampel tsb dapat dihitung sbb:
  • 2. ๐‘ฟฬ… = โˆ‘๐’๐’Š.๐‘‹๐‘–ฬ…ฬ…ฬ… โˆ‘๐’๐’Š = (๐‘›1). ๐‘‹1ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…+ (๐‘›2). ๐‘‹2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… +(๐‘›3). ๐‘‹3ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… ๐‘›1+๐‘›2+๐‘›3 = (10). (145) + (6).(118) + (8).(162) 10 + 6 +8 = 3454 24 = 143,92 4. Rata-rata dari Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong: Rumus 1 : ๐‘ฟฬ… = โˆ‘๐’‡๐’Š.๐‘ฟ๐’Š โˆ‘๐’‡๐’Š ๏ƒ  Xi = tanda kelas interval (titik tengah = mid point) Nilai Ujian fi Xi fi. Xi 31 โ€“ 40 1 35,5 35,5 41 โ€“ 50 2 45,5 91,0 51 โ€“ 60 5 55,5 277,5 61 โ€“ 70 15 65,5 981,5 71 โ€“ 80 25 75,5 1887,5 81 โ€“ 90 20 85,5 1710,0 91 โ€“ 100 12 95,5 1146,0 โˆ‘ 80 -- 6130,0 Jadi, nilai rata-rata dapat dihitung sbb: ๐‘‹ฬ… = โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– = 6130 80 = 76,625 Rumus 2 : Cara Koding ๏ƒ  ๐‘ฟฬ… = Xo + p ( โˆ‘๐’‡๐’Š. ๐’„๐’Š โˆ‘๐’‡๐’Š ) atau AM = Assummed Mean Keterangan: Xo = nilai tengah (tanda kelas) pada kelas Ci = 0 p = lebar/panjang kelas ci = nilai Coding, di mana untuk nilai ci = 0 ke โ€œatasโ€ diberi tanda +, dan ci = 0 ke โ€œbawahโ€ diberi tanda โ€“ Nilai Ujian fi Xi ci fi. ci 31 โ€“ 40 1 35,5 -3 - 3 41 โ€“ 50 2 45,5 -2 - 4 51 โ€“ 60 5 55,5 -1 - 5 61 โ€“ 70 15 65,5 0 0 71 โ€“ 80 25 75,5 + 1 25 81 โ€“ 90 20 85,5 + 2 40 91 โ€“ 100 12 95,5 + 3 36 โˆ‘ 80 -- + 89
  • 3. Dengan cara Koding, nilai rata-rata dpt dihitung sbb: ๐‘‹ฬ… = Xo + p ( โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– ) ๐‘‹ฬ… = Xo + p ( โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– ) = 65,5 + (10) ( 89 80 ) = 76,625 Contoh lain: Nilai Ujian fi Xi ci fi. ci 31 โ€“ 40 1 35,5 -5 - 5 41 โ€“ 50 2 45,5 -4 - 8 52 โ€“ 60 5 55,5 -3 - 15 61 โ€“ 70 15 65,5 -2 - 30 71 โ€“ 80 25 75,5 -1 - 25 81 โ€“ 90 20 85,5 0 0 91 โ€“ 100 12 95,5 + 1 + 12 โˆ‘ 80 -- -71 Dengan cara yang sama dengan di atas, maka nilai rata-rata dpt dihitung: ๐‘‹ฬ… = Xo + p ( โˆ‘๐‘“๐‘–. ๐ถ๐‘– โˆ‘๐‘“๐‘– ) = 85,5 + (10) ( โˆ’ 71 80 ) = 76,625 Ternyata dalam cara Koding (AM), kita bebas menentukan perkiraan rentang kelas di mana mean berada, dan hasilnya akan tetap sama. 5. Rata-rata Harmonik, dapat dihitung dengan rumus sbb: H = ๐‘› โˆ‘( 1 ๐‘‹๐‘– ) = ๐‘› 1 ๐‘ฅ1 + 1 ๐‘‹2 + 1 ๐‘‹3 + โ€ฆ.+ 1 ๐‘‹๐‘› Contoh: Si A bepergian pulang โ€“ pergi. Waktu berangkat dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu pulangnya kecepatannya 20 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata pulang โ€“ pergi ? Jawaban spontan dengan rata-rata hitung biasa adalah = ยฝ (10 + 20) km/jam = 15 km/jam ๏ƒ  adalah salah. Sehingga perlu dihitung dengan rata-rata harmonik sbb: Misal, jarak tempuhnya adalah 100 km, maka ketika pergi diperlukan waktu = 100/10 = 10 jam, sedangkan pada saat pulangnya dibutuhkan waktu = 100/20 = 5 jam. Total waktu pulang-pergi adalah 15 jam, sedangkan jarak tempuhnya 200 km ๏ƒ  maka rata-rata kecepatan pergi โ€“ pulang adalah:
  • 4. = 200 ๐‘˜๐‘š 15 ๐‘—๐‘Ž๐‘š = 13, 3 km/jam. Ternyata permisalan jarak yg ditempuh tidak berpengaruh thd hasil nilai rata- rata harmonik. Hal ini akan lebih mudah dihitung dengan rumus sbb: H = ๐‘› โˆ‘( 1 ๐‘‹๐‘– ) = 2 1 10 + 1 20 = 40 3 = 13,3 km/jam B. MODUS = MODE = MODAL Modus ๏ƒ  adalah fenomena/nilai yang paling banyak muncul. Contoh: terdapat sampel dengan nilai-nilai data sbb: 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14 Data tersebut dapat disusun dalam tabel berikut: Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter- banyak adalah f = 4, yang terjadi untuk nilai 34. Dengan demikian, maka Modus Mo = 34. 12 14 28 34 1 2 2 4 Data yang memiliki dua modus (bi-modal): Xi fi Dari tabel tsb dapat diketahui bahwa frekuensi ter- banyak ada 2, yaitu data yang bernilai 75 dan 92, yang masing-masing frekuensinya adalah f = 8. Dengan demikian, maka Modusnya ada dua, yaitu 75 dan 92. 75 60 92 64 35 8 7 8 7 2 Modus dari Data dlm Distribusi Frekuensi Bergolong Jika data telah disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong, maka Modusnya dapat dihitung dgn rumus: Mo = b + p ( ๐‘1 ๐‘1+๐‘2 ) Keterangan: b = batas bawah nyata kelas modal, yaitu interval kelas yang frekuensinya terbanyak
  • 5. p = panjang (lebar) interval kelas modal b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya (yg nilainya di bawahnya) b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sesudahnya (yg nilainya di atasnya) Contoh : Nilai Ujian fi Batas Nyata Kelas modal adalah kelas ke lima: 1) b = 70,5 2) b1 = 25 โ€“ 15 = 10 3) b2 = 25 โ€“ 20 = 5 4) p = 10 maka Mo = 70,5 + (10) ( 10 10+5 ) Mo = 77,17 31 โ€“ 40 1 30,5 โ€“ 40,5 41 โ€“ 50 2 40,5 โ€“ 50,5 53 โ€“ 60 5 50,5 โ€“ 60,5 61 โ€“ 70 15 60,5 โ€“ 70,5 71 โ€“ 80 25 70,5 โ€“ 80,5 81 โ€“ 90 20 80,5 โ€“ 90,5 91 โ€“ 100 12 90,5 โ€“ 100,5 โˆ‘ 80 -- MEDIAN: Median ๏ƒ  adalah nilai tengah, yaitu nilai yang membatasi antara 50% data bagian atas dan 50% data bagian bawah. 1. Median untuk banyak data Ganjil. Misal: Sampel dengan data: 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10 Setelah diurutkan menjadi: 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12 Dalam hal ini, nilai tengahnya adalah data ke-4, yaitu 8. Jadi, median dari data tersebut adalah Me = 8. 2. Median untuk banyak data Genap Untuk sampel yg berukuran genap, maka setelah data diurutkan nilainya dari yg terkecil ke terbesar, Median dapat dihitung dengan merata-rata dua data tengah. Misal: sampel dgn data: 12, 7, 8, 14, 16, 19, 10, 8 Setelah diurutkan nilainya menjadi: 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19 Dalam hal ini, data tengah adalah data ke-4 yaitu 10 dan data ke-5 yaitu 12, sehingga rata-ratanya adalah 11.
  • 6. 3. Median untuk Data Dalam Distribusi Frekuensi Bergolong Nilai Median untuk data yg telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi bergolong, dapat dihitung dengan rumus: Me = b + p ( ยฝ ๐‘โˆ’๐น ๐‘“ ) Keterangan: b = batas bawah nyata kelas Median, yaitu kelas di mana Median berada p = panjang (lebar) interval kelas N = ukuran sampel (banyaknya data) F = frekuensi komulatif sebelum (nilainya di bawah) kelas Median f = frekuensi pada kelas Median Contoh : Nilai Ujian fi Batas Nyata Frekuensi Komulatif 31 โ€“ 40 1 30,5 โ€“ 40,5 1 41 โ€“ 50 2 40,5 โ€“ 50,5 3 51 โ€“ 60 5 50,5 โ€“ 60,5 8 61 โ€“ 70 15 60,5 โ€“ 70,5 23 71 โ€“ 80 25 70,5 โ€“ 80,5 48 81 โ€“ 90 20 80,5 โ€“ 90,5 68 91 โ€“ 100 12 90,5 โ€“ 100,5 80 โˆ‘ 80 -- Ternyata Rumus Median utk data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong tsb dapat diekstensi utk menghitung nilai-nilai: Kuartil (K), Desil (D), Quantil (Q), dan Persentil (P), sbb: 1. Kuartil ke-i ๏ƒ  Ki adalah data yg ke ๐‘–.(๐‘) 4 , di mana i = 1, 2, dan 3 Kuartil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus: Ki = b + p ( ๐‘–. ๐‘ 4 โˆ’๐น ๐‘“ ) ๏ƒ  i = 1, 2, dan 3 2. Quantil ke-i ๏ƒ  Qi adalah data yg ke ๐‘–.(๐‘) 5 , di mana i = 1, 2, 3, dan 4 Kuantil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus: Klas Median Klas Kuartil 3 Klas Kuartil I
  • 7. Qi = b + p ( ๐‘–. ๐‘ 5 โˆ’๐น ๐‘“ ) ๏ƒ  i = 1, 2, 3, dan 4 3. Desil ke-i ๏ƒ  Di adalah data yg ke ๐‘–.(๐‘) 10 , di mana i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 Desil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dgn rumus: Di = b + p ( ๐‘–.๐‘ 10 โˆ’๐น ๐‘“ ) ๏ƒ  i = 1, 2, 3, โ€ฆ.9 4. Persentil ke-i ๏ƒ  Pi adalah data yg ke ๐‘–.(๐‘) 100 , di mana i = 1, 2, 3, 4, โ€ฆ.., 99 Persentil utk Data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong dpt dihitung dengan rumus: Pi = b + p ( ๐‘–.๐‘ 100 โˆ’๐น ๐‘“ ) ๏ƒ  i = 1, 2, 3, 4, โ€ฆ., 99
  • 8. SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi 1. Rentang (range) 2. Rentang antar kuartil 3. Simpangan kuartil (deviasi Kuartil) 4. Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata) 5. Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians 1. Rentang (Range) = skor terbesar โ€“ skor terkecil 2. Rentang antar kuartil ๏ƒ  RAK = K3 โ€“ K1 3. Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil) ๏ƒ  SK = ยฝ (K3 โ€“ K1) 4. Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata) ๏ƒ  RS = โˆ‘|๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ…| ๐‘› Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14 Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb: Xi Xi - ๐‘‹ฬ… | ๐‘‹๐‘– โˆ’ ๐‘‹ฬ…| Nilai rata-rata ๏ƒ  ๐‘‹ฬ… = โˆ‘ ๐‘‹ ๐‘› = 50 5 = 10 RS = โˆ‘|๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ…| ๐‘› = 10 5 = 2,0 8 -2 2 7 -3 3 10 0 0 11 + 1 1 14 + 4 4 โˆ‘ X = 50 0 10 5. Simpangan Baku = Standar Deviasi Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang paling banyak digunakan. Misalkan suatu sampel berukuran n, dengan data: X1, X2, X3, โ€ฆ., Xn. Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut dapat dihitung sbb: a. Estimasi yg sifatnya bias ๏ƒ  s = โˆš โˆ‘(๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ…)2 ๐‘› = โˆš โˆ‘๐‘ฅ๐‘–2 ๐‘›
  • 9. b. Estimasi yg tidak bias ๏ƒ  s = โˆš โˆ‘(๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ…)2 ๐‘›โˆ’1 = โˆš โˆ‘๐‘ฅ๐‘–2 ๐‘›โˆ’1 Keterangan: s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap ฯƒ (simpangan baku populasi) n โ€“ 1 = derajat kebebasan Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14 Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb: Xi Xi - ๐‘‹ฬ… (๐‘‹๐‘– โˆ’ ๐‘‹)ฬ…ฬ…ฬ…2 Nilai rata-rata ๏ƒ  ๐‘‹ฬ… = โˆ‘ ๐‘‹ ๐‘› = 50 5 = 10 s = โˆš โˆ‘(๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ…)2 ๐‘›โˆ’1 = โˆš 30 5โˆ’1 = โˆš7,5 = 2,74 8 -2 4 7 -3 9 10 0 0 11 + 1 1 14 + 4 16 โˆ‘ X = 50 0 30 Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata (๐‘‹ฬ…) terlebih dahulu, sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi. 6. Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar : Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau rumus varians dapat dihitung sbb: ๐‘ 2 = ๐‘›. โˆ‘๐‘‹๐‘–2โˆ’ (โˆ‘๐‘‹๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) ๏ƒ  s = โˆš ๐‘›.๐‘‹๐‘–2โˆ’ (โˆ‘๐‘‹๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14 Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus angka kasar (rumus varians) sbb: Xi ๐‘‹๐‘–2 ๐‘ 2 = ๐‘›. โˆ‘๐‘‹๐‘–2โˆ’ (โˆ‘๐‘‹๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) ๏ƒ  s = โˆš ๐‘›.๐‘‹๐‘–2โˆ’ (โˆ‘๐‘‹๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) s = โˆš (5).(530)โˆ’ (50)2 5 (5โˆ’1) = โˆš 150 20 = 2,74 8 64 7 49 10 100 11 121 14 196 โˆ‘ Xi = 50 โˆ‘๐‘‹๐‘–2 = 530
  • 10. 7. Simpangan dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong: a. Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians): ๐‘ 2 = ๐‘›.โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘–2โˆ’ (โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘‹๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) Keterangan: Xi = tanda kelas (mid-point) fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai n = โˆ‘fi Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb: Nilai fi Xi ๐‘‹๐‘–2 fi. Xi ๐‘“๐‘–. ๐‘‹๐‘–2 31 โ€“ 40 1 35,5 1260,25 35,5 1.260,25 41 โ€“ 50 2 45,5 2070,25 91,0 4.140,50 51 โ€“ 60 5 55,5 3080,25 277,5 15.401,25 61 โ€“ 70 15 65,5 4290,25 982,5 64.353,75 71 โ€“ 80 25 75,5 5700,25 1887,5 142.506,25 81 โ€“ 90 20 85,5 7310, 25 1710,0 146.205,0 91 โ€“ 100 12 95,5 9120, 25 1146,0 109.443,0 JUMLAH 80 -- -- 6130,0 483.310,0 Maka ๐‘ 2 = (80). (483.310) โˆ’ (6130)2 80 (80โˆ’1) = 172,1 ๏ƒ  s = โˆš172,1 = 13,12 b. Dengan Rumus Deviasi : Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb: Nilai fi Xi Xi - ๐‘‹ฬ… (๐‘‹๐‘– โˆ’ ๐‘‹ฬ…)2 ๐‘“๐‘–. (๐‘‹๐‘– โˆ’ ๐‘‹ฬ…)2 31 โ€“ 40 1 35,5 -41,1 1689,21 1.689,21 41 โ€“ 50 2 45,5 -31,1 967,21 1.834,42 51 โ€“ 60 5 55,5 -21,1 445,21 2.226,05 61 โ€“ 70 15 65,5 -11,1 123,21 1.848,15 71 โ€“ 80 25 75,5 -1,1 1,21 30,25 81 โ€“ 90 20 85,5 +8,9 79,21 1.584,20 91 โ€“ 100 12 95,5 +18,9 357,21 4.286,52 JUMLAH 80 -- -- 13.498,80
  • 11. Nilai rata-rata : ๐‘‹ฬ… = 76,625 โˆž 76,6 ๐‘ 2 = โˆ‘๐‘“๐‘–. (๐‘‹๐‘–โˆ’ ๐‘‹ฬ… )2 ๐‘›โˆ’1 = 13.498,80 80โˆ’1 = 170,9 ๏ƒ  s = โˆš170,9 = 13,07 c. Dengan Rumus Koding : Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb: Nilai fi Xi ci ๐‘๐‘–2 fi. ci ๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘–2 31 โ€“ 40 1 35,5 -3 9 -3 9 41 โ€“ 50 2 45,5 -2 4 -4 8 51 โ€“ 60 5 55,5 -1 1 -5 5 61 โ€“ 70 15 65,5 0 0 0 0 71 โ€“ 80 25 75,5 + 1 1 + 25 25 81 โ€“ 90 20 85,5 +2 4 + 40 80 91 โ€“ 100 12 95,5 +3 9 + 36 108 JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235 Rumus : ๐‘ 2 = ๐‘2 [ ๐‘›.โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘๐‘–2 โ€“ (โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) ] = (10)2 [ (80). (235) โ€“ (89)2 80 (80โˆ’1) ] = 172,1 ๏ƒจ S = โˆš172,1 = 13,12 Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini, kita juga bebas menentu- kan letak ci = 0 โ€ฆ? Contoh: Nilai fi Xi ci ๐‘๐‘–2 fi. ci ๐‘“๐‘–. ๐‘๐‘–2 31 โ€“ 40 1 35,5 -4 16 -4 16 41 โ€“ 50 2 45,5 -3 9 -6 18 51 โ€“ 60 5 55,5 -2 4 -10 20 61 โ€“ 70 15 65,5 -1 1 -15 15 71 โ€“ 80 25 75,5 0 0 0 0 81 โ€“ 90 20 85,5 +1 1 + 20 20 91 โ€“ 100 12 95,5 +2 4 + 24 48 JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137
  • 12. Rumus : ๐‘ 2 = ๐‘2 [ ๐‘›.โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘๐‘–2 โ€“ (โˆ‘๐‘“๐‘–.๐‘๐‘–)2 ๐‘› (๐‘›โˆ’1) ] = (10)2 [ (80). (137) โ€“ (9)2 80 (80โˆ’1) ] = 172,1 ๏ƒจ S = โˆš172,1 = 13,12 8. Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel Misal: Sub-sample 1 : berukuran n1, dgn simpangan baku s1 Sub-sample 2 : berukuran n2, dgn simpangan baku s2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.. Sub-sample k : berukuran nk, dgn simpangan baku sk Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + โ€ฆ..+ nk dapat dihitung dengan rumus: ๐‘ 2 = โˆ‘(๐‘›๐‘–โˆ’1).๐‘ 12 โˆ‘๐‘›๐‘–โˆ’๐‘˜ atau ๐‘ 2 = (๐‘›1โˆ’1).๐‘ 12 +(๐‘›2โˆ’1).๐‘ 22 + โ€ฆ +(๐‘›๐‘˜โˆ’1) ๐‘ ๐‘˜2 ๐‘›1+๐‘›2+โ‹ฏ+๐‘›๐‘˜โˆ’๐‘˜ ๐‚ontoh: Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek, menghasilkan s1 = 2,75 , sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua terhadap 23 objek, diperoleh s2 = 3,08. Maka simpangan baku gabungan dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung: ๐‘ 2 = (๐‘›1โˆ’1).๐‘ 12 +(๐‘›2โˆ’1).๐‘ 22 ๐‘›1+๐‘›2โˆ’๐‘˜ = (14โˆ’1).(2,75)2 +(23โˆ’1).(3,08)2 14+ 23โˆ’2 ๐‘ 2 = 8,772 ๏ƒ  s = โˆš8,772 = 2,96
  • 13. Uji โ€“ t 1. t-test dengan satu sampel Contoh : Pengusaha lampu pijar merk A menyatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai rata- rata sekitar 800 jam. Namun akhir-akhir ini telah timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah. Untuk menyelidiki dugaan ini maka dilakukan pengujian terhadap 50 buah lampu yang diambil secara acak dari perdagangan. Setelah diselidiki ternyata rata-rata masa pakai lampu merk A hanya 792 jam. Dari pengujian tersebut diketahui bahwa simpangan baku dari masa pakai lampu adalah 60 jam. Dengan ๏ก = 0.05, ujilah dugaan bahwa kualitas lampu merk A telah berubah. Berdasarkan contoh di atas maka hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut: Ho : ๏ญ = ๏ญo ๏‚ฎ Ho : ๏ญ = 800 jam Ha : ๏ญ โ‰  ๏ญo ๏‚ฎ Ha : ๏ญ โ‰  800 jam Untuk menguji Ho di atas digunakan statistik uji-t dengan rumus : โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(1) Dalam hal ini, ๐‘ฅฬ… = nilai rerata dari sampel ๐œ‡ ๐‘‚ = rerata populasi ๐‘  = standar deviasi dari sampel ๐‘› = ukuran/jumlah sampel. Ternyata bahwa statistik t ini berdistribusi student dengan dk=n-1. Dan untuk menguji hipotesis tersebut digunakan uji-t dua pihak (dua ekor) Kriteria : Terima Ho, jika harga thitung adalah sebagai berikut: -t1-๏ก/2 < thit < t1-๏ก/2 Dalam hal lainnya, Ho ditolak Untuk contoh di atas, diperoleh ๐‘ฅฬ… =792 jam; ๐œ‡ ๐‘‚ = 800 jam; n = 50 dan standar deviasi : s = 60 jam; maka ๐‘ก = ๐‘ฅฬ… โˆ’ ๐œ‡ ๐‘œ ๐‘ /โˆš ๐‘› = 792 โˆ’ 800 60/โˆš50 = โˆ’0,942 Dengan ๏ก = 0.05, maka t1-๏ก/2 ; n โ€“ 1 = t0.875 ; 49 = 2,01 Dalam hal ini, |thit| < t0.975 ; 49 ๏ƒž Ho : diterima (gagal ditolak)
  • 14. Kesimpulan : bahwa masa pakai lampu merk A rata-rata memang masih sekitar 800 jam atau kualitas lampu merk A belum berubah. 2. t-test dengan sampel tidak berkaitan (independent sampel) Banyak penelitian yang berusaha untuk membandingkan antara dua keadaan atau dua populasi. Misalkan, membandingkan efektivitas dua buah metode mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan sebagainya. Uji โ€“ t DUA EKOR Misal : Dua macam makanan A dan B diberikan kepada dua kelompok ayam untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik bagi ayam (dalam hal ini ditandai berdasarkan pertambahan berat badan ayam) tersebut. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 11 ekor ayam yang diberi makanan jenis A dan 10 ekor ayam yang diberi makanan jenis B. setelah jangka waktu tertentu, ditimbang pertambahan berat badan ayam (dalam ons) yang hasilnya adalah sebagai berikut: Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4 Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7 Dengan ๏ก = 0.05, ujilah apakah kedua macam makanan tersebut sama baiknya terhadap penambahan berat ayam atau tidak. Berdasarkan permisalan di atas maka dapat dirumuskan Ho dan Ha nya sebagai berikut: Ho : ๏ญ1 = ๏ญ2 ๏‚ฎ Ho : ๏ญ1 - ๏ญ2 = 0 non directional (dua ekor) Ha : ๏ญ1 โ‰  ๏ญ2 ๏‚ฎ Ha : ๏ญ1 - ๏ญ2 โ‰  0 Dalam hal ini, ada dua populasi (saling independent). Dari populasi I diambil secara acak sampel berukuran n1, sedangkan dari populasi II diambil sampel berukuran n2. Dari kedua sampel tersebut diperoleh harga-harga ๐‘ฅฬ…1, s1 , ๐‘ฅฬ…2 dan s2. Untuk menguji Ho digunakan statistik t dengan rumus sebagai berikut:
  • 15. โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(2) Dimana : ๐‘ฅฬ…1 = nilai rerata sampel pertama ๐‘ฅฬ…2 = nilai rerata sampel kedua ๐‘  = standar deviasi gabungan dari kedua kelompok yang dapat dihitung dengan rumus : โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(2) Statistik t di atas berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 โ€“ 2) Kriteria : terima Ho, jika โ€“t1-๏ก/2 < thit < t1-๏ก/2 dengan dk=(n1 + n2 โ€“ 2). Dalam hal lainnya, Ho ditolak. Berdasarkan contoh di atas, diperoleh harga ๐‘ฅฬ… ๐ด = 3.22 ons ; ๐‘ฅฬ… ๐ต = 3.07 ons ; ๐‘†๐ด 2 = 0,1996 ; ๐‘† ๐ต 2 = 0,1112. nA = 11 dan nB = 10. Simpangan baku gabungan dapat dihitung dengan rumus (3) sebagai berikut: ๐‘ 2 = (๐‘›๐ด โˆ’ 1) โˆ™ ๐‘ 2 ๐ด + (๐‘›๐ต โˆ’ 1) โˆ™ ๐‘ 2 ๐ต ๐‘›๐ด + ๐‘›๐ต โˆ’ 2 = (11 โˆ’ 1)(0.1996) + (10 โˆ’ 1)(0.1112) 11 + 10 โˆ’ 2 ๐‘ 2 = 2,9968 19 = 0,1577 โ†’ ๐‘  = โˆš0.1577 = 0.397 Selanjutnya, dengan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut: ๐‘ก = ๐‘ฅฬ… ๐ด โˆ’ ๐‘ฅฬ… ๐ต ๐‘ โˆš 1 ๐‘› ๐ด + 1 ๐‘› ๐ต = 3.22 โˆ’ 3.07 0.397โˆš 1 11 + 1 10 = 0.862 Harga t tabel = t1-๏ก/2 ; (n1+n2 โ€“ 2) = t0.975 ; 19 = 2,09 Ternyata bahwa thit < ttabel ๏‚ฎ Ho : diterima (gagal ditolak). Kesimpulan : bahwa kedua macam makanan ayam tersebut (tidak berbeda)
  • 16. 3. Uji โ€“ t SATU EKOR (DIRECTIONAL) Contoh : Diduga bahwa pemuda yang gemar berenang rata-rata akan memiliki tinggi badan yang lebih tinggi daripada pemuda sebaya yang tidak suka berenang. Untuk menyelidiki hal ini telah diambil sampel sebanyak 15 orang pemuda yang suka berenang dan 20 pemuda yang tidak suka berenang. Dari hasil pengukuran diperoleh bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah 167.2 cm; sedangkan rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak suka berenang adalah 160.3 cm. Simpangan baku untuk kelompok pemuda yang suka berenang adalah 6,7 cm dan untuk kelompok pemuda yang tidak suka berenang 7,1 cm. dengan ๏ก = 0.05. Ujilah apakah kita mendukung dugaan tersebut! Berdasarkan contoh di atas, maka dapat dirumuskan Ho dan Ha untuk Uji-t satu pihak (satu ekor) sebagai berikut: Ho : ๏ญ1>๏ญ2 ๏‚ฎ atau Ho : ๏ญ1-๏ญ2>0 Ha : ๏ญ1โ‰ค๏ญ2 ๏‚ฎ atau Ha : ๏ญ1-๏ญ2โ‰ค0 Dari contoh di atas diperoleh harga-harga sebagai berikut: ๐‘ฅฬ…1= 167,2 cm ๐‘ 1= 6,7 cm ๐‘›1= 15 ๐‘ฅฬ…2= 160,3 cm ๐‘ 2= 7,1 cm ๐‘›2= 20 Berdasarkan rumus (3) maka dapat dihitung varians dan SD gabungan dari dua kelompok tersebut yaitu: ๐‘ 2 = (๐‘›1 โˆ’ 1) โˆ™ ๐‘ 1 2 + (๐‘›2 โˆ’ 1) โˆ™ ๐‘ 2 2 ๐‘›1 + ๐‘›2 โˆ’ 2 = (15 โˆ’ 1)(6,7)2 + (20 โˆ’ 1)(7,1)2 15 + 20 โˆ’ 2 ๐‘ 2 = 48,07 โ‡’ ๐‘  = โˆš48,07 = 6,933 Selanjutnya dengan menggunakan rumus (2) dapat dihitung harga t sebagai berikut: ๐‘ก = ๐‘ฅฬ…1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…2 ๐‘†โˆš 1 ๐‘›1 + 1 ๐‘›2 = 167,2 โˆ’ 160,3 6,933โˆš 1 15 + 1 20 = 2,913 Sementara itu harga ttabel = t1-๏ก/2 ; (n1+n2 โ€“ 2) ๏‚ฎ uji โ€“t satu ekor t0.95 ; 33 = 1,70. Ternyata bahwa thit < ttabel ๏‚ฎ Ho ditolak. Kesimpulan : dugaan bahwa tinggi badan rata-rata pemuda yang suka berenang adalah lebih tinggi daripada tinggi badan rata-rata pemuda yang tidak suka berenang adsalah terbukti (dapat diterima)
  • 17. Uji-t untuk sampel yang berpasangan (correlated sample) Uji โ€“ t untuk sampel yang berpasangan (paired sample t-test) disebut pula dengan uji โ€“ t antar amatan ulangan atau uji-t perkembangan, karena fungsinya adalah untuk mengetahui perkembangan dari suatu ubahan tertentu yang diamati secara berulang. Pertumbuhan/perkembangan ini bisa terjadi secara alami atau dapat pula karena adanya perlakuan tertentu. Contoh : Latihan tertentu diberikan kepada sekelompok siswa yang berjumlah 10 orang dengan maksud untuk meningkatkan prestasinya. Untuk itu, sebelum diberikan latihan kepada masing-masing siswa diberikan tes awal (pre test) untuk mengetahui kemampuan awalnya. Dan setlah diberikan latihan selama 2 bulan kemudian diadakan tes akhir (post test). Hasil dari dua kali tes tersebut disajikan pada tabel berikut. Berdasarkan data tersebut, maka dengan ๏ก = 0.05 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa pemberian latihan telah dapat meningkatkan . Penyelesaian : Dari masing-masing pasangan data observasi tersebut dicari perbedaannya yaitu d = X1 โ€“ X2 Untuk sampel yang berpasangan, hipotesis null- nya menyatakan bahwa tidak ada perbedaan mean (rerata) dalam populasi. Tabel perhitungan Ho : ๏ญd = 0 Ha : ๏ญd โ‰  0 ๐‘‘ฬ… = โˆ‘ ๐‘‘ ๐‘ = โˆ’11 10 = โˆ’1,10 ๐‘ ๐‘‘2 = โˆ‘ ๐‘‘2 โˆ’ (โˆ‘ ๐‘‘)2 ๐‘› ๐‘ ๐‘‘2 = 19 โˆ’ (โˆ’11)2 10 ๐‘ ๐‘‘2 = 6,9 ๐‘ ๐‘‘ = โˆš6,9 = 2,627 Siswa Nilai pretest X1 Nilai post test X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 7 6 3 5 6 2 7 7 5 5 7 7 5 6 7 5 7 8 6 No. X1 X2 X1 โ€“ X2 d d2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 7 6 3 5 6 2 7 7 5 5 7 7 5 6 7 5 7 8 6 - 1 0 - 1 - 2 - 1 - 1 - 3 0 - 1 - 1 1 0 1 4 1 1 9 0 1 1 ๏“ 52 63 - 11 19
  • 18. Untuk menguji Ho : ๏ญd = 0 digunakan uji โ€“t dengan rumus sebagai berikut: โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (4) Dari perhitungan di atas diperoleh harga t: ๐‘ก = ๐‘‘ฬ… ๐‘ ๐‘‘/โˆš ๐‘› = โˆ’1,10 2,267/โˆš10 = โˆ’1,534 Sementara harga ttabel = t1-๏ก/2 ; (n โ€“ 1) = t0.975 ; 9 = 2,26. Dalam hal ini |thit| < ttabel ๏‚ฎ Ho : diterima (gagal ditolak). Kesimpulan : bahwa pemberian latihan tidak meningkatkan prestasi siswa secara berarti.
  • 19. KORELASI Salah satu teknik satatistik yang kerap kali digunakan untuk mencari hubungan antara dua variabel atau lebih adalah teknik korelasi. Dua variabel yang hendak diselidiki hubungannya tersebut biasanya diberi simbol variabel X dan variabel Y. Bila mana kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan variabel Y, dan turunnya nilai variabel X juga selalu diikuti oleh turunnya nilai variabel Y, maka hubungan yang seperti itu disebut hubungan yang positif. Akan tetapi, sebaliknya bilamana kenaikan nilai variabel X selalu diikuti oleh penurunan nilai variabel Y, dan penurunan nilai variabel X justru diikuti oleh kenaikan nilai variabel Y, maka hubungan antara variabel X dan Y tersebut adalah hubungan yang negatif. Disamping itu, dua variabel X dan Y ada kemungkinannya tidak memiliki hubungan sama sekali, yakni bilamana kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang diikuti penurunan nilai variabel lainnya, dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lainya. KOEFISIEN HUBUNGAN Pada umumnya besar kecilnya hubungan dinyatakan dengan bilangan. Bilangan yang menytatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien hubungan atu koefisien korelasi. Koefisien korelasi itu berkisar antara 0,00 dan +1,00 (korelasi positif) dan atau diantara 0,00 sampai -1,00 (korelasi negatif), tergantung pada arah hubungan positif ataukah negatif. Koefisien yang bertanda positif menunjukkan bahwa arah korelasi tersebut positif, dan koefisien yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif. Sedangkan koefisien yang bernilai 0,00 menunjukkan tidak adanya korelasi antara variabel X dan Y. Bila mana dua variabel mempunyai koefisien korelasi sebesar +1,00 maka berarti bahwa dua variabel tersebut mempunyai korelasi positif yang sempurna. Sebaliknya bilamana dua variabel mempunyai koefisien korelasi -1,00, maka berarti dua variabel tersebut memiliki korelasi negatif yang sempurna. Korelasi yang sempurna semacam itu sangat jarang sekali dijumpai dalam praktik penyelidikan/penelitian. Korelasi antara dua variabel pada umumnya akan berkisar antara +1,00 sampai dengan -1,00. ILUSTRASI:
  • 20. Korelasi Positif Y X Korelasi Negatif Y X Korelasi tidak ada Y X Lingkaran KORELASI PRODUCT MOMENT Untuk menerapkan koefisien korelasi antara dua variabel yang masing-masing mempunyai skala pengukuran interval maka digunakan korelasi product moment yang dikembangkan oleh Karl Pearson. Rumus korelasi product momen ini ada dua macam, yaitu: 1. Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi). 2. Korelasi Product moment dengan rumus angka kasar. Korelasi product moment dengan rumus simpangan (deviasi) ๐‘Ÿฯฐ๐‘ฆ = โˆ‘ฯฐ.๐‘ฆ โˆš(โˆ‘ฯฐ2)(โˆ‘๐‘ฆ2) Dalam hal ini : ๐‘Ÿฯฐ๐‘ฆ = Koefisien korelasi antara variabel X dan Y. ฯฐ = deviasi dari mean untuk nilai variabel X ๐‘ฆ = deviasi dari mean untuk nilai variabel Y โˆ‘ฯฐ. ๐‘ฆ = jumlah perkalian antara nilai X dan Y ฯฐ2 = Kuadrat dari nilai ฯฐ ๐‘ฆ2 = Kuadrat dari nilai y
  • 21. Contoh: Mencari koefisien korelasi antara nilai matematika dengan nilai fisika yang diperoleh siswa. No. Resp. Mat. X Fisika Y X - ๐‘ฟฬ… ๐›ž Y - ๐’€ฬ… y ๐›ž ๐Ÿ ๐ฒ ๐Ÿ ๐›ž . y 1 6,5 6,3 0,0 -0,1 0,00 0,01 0,00 2 7,0 6,8 +0,5 +0,4 0,25 0,16 +0,20 3 7,5 7,2 +1,0 +0,8 1,00 0,64 +0,80 4 7,0 6,8 +0,5 +0,4 0,25 0,16 +0,20 5 6,0 7,0 -0,5 +0,6 0,25 0,36 -0,30 6 6,0 6,2 -0,5 -0,2 0,25 0,04 +0,10 7 5,5 5,1 -1,0 -1,3 1,00 1,69 +1,30 8 6,5 6,0 0,0 0,4 0,00 0,16 0,00 9 7,0 6,5 +0,5 +0,1 0,25 0,01 +0,05 10 6,0 5,9 -0,5 -0,6 0,25 0,36 +0,30 Jumlah 65,0 63,8 - - 3,50 3,59 2,65 ๐‘‹ฬ… = โˆ‘๐‘ฅ ๐‘ = 65,0 10 = 6,50 ๐‘Œฬ… = โˆ‘๐‘ฆ ๐‘ = 63,8 10 = 6,38 โˆฝ 6,40 x = X - ๐‘‹ฬ… y = Y - ๐‘Œฬ… Rumus : ๐‘Ÿฯฐ ๐‘ฆ = ๐‘.โˆ‘x.๐‘ฆโˆ’(โˆ‘๐‘‹)(โˆ‘๐‘Œ) โˆš[๐‘.โˆ‘๐‘‹2โˆ’(โˆ‘๐‘‹)2] [๐‘.โˆ‘๐‘Œ2โˆ’(โˆ‘๐‘Œ)2] Contoh: No. Resp. X Y ๐— ๐Ÿ ๐’€ ๐Ÿ X . Y 1 6,5 6,3 42,25 39,69 40,95 2 7,0 6,8 49,00 46,24 47,60 3 7,5 7,2 56,25 51,84 57,00 4 7,0 6,8 49,00 46,24 47,60 5 6,0 7,0 36,00 49,00 42,00 6 6,0 6,2 36,00 38,44 37,20 7 5,5 5,1 30,25 26,01 28,05 8 6,5 6,0 42,25 36,00 39,00 9 7,0 6,5 49,00 42,25 45,50 10 6,0 5,9 36,00 34,81 35,40 Jumlah 65,0 63,8 426,00 410,52 417,30
  • 22. Jadi, ๐‘Ÿฯฐ๐‘ฆ = ๐‘.โˆ‘x.๐‘ฆโˆ’(โˆ‘๐‘‹)(โˆ‘๐‘Œ) โˆš[๐‘.โˆ‘๐‘‹2โˆ’(โˆ‘๐‘‹)2] [๐‘.โˆ‘๐‘Œ2โˆ’(โˆ‘๐‘Œ)2] ๐‘Ÿฯฐ๐‘ฆ = 10.(417,30)โˆ’(65,0 ๐‘ฅ 63,8) โˆš[10.(426)โˆ’ (65,0)2] [10.(410,52)โˆ’(63,8)2] = 26 โˆš1216,6 ๐‘Ÿฯฐ๐‘ฆ = 0,745 Korelasi product moment pada umumnya juga digunakan untuk menetapkan validitas butir instrument sikap dan karakteristik sikologi yang lain yang skor butirnya dianggap mempunyai skala pengukuran interval. KORELASI POINT-SERIAL Teknik korelasi point-serial digunakan untuk menghitung korelasi antara dua variabel, yang satu berskala nominal dan yang lain berskala interval. Misalnya : Korelasi antara jenis kelamin siswa dengan kecakapan matematika disamping itu, teknik korelasi ini pada umumnya juga digunakan untuk menerapkan koefisien korelasi (validitas butir) antara butir-butir tes yang diskor dikotomi (betul=1, salah=0) dengan skor totalnya yang dianggap berskala pengukuran interval. Apabila gejala yang berskala nominal tersebut diskor secara dikotomi, maka sering disebut korelasi point-biserial (rp-bis). Rumusnya adalah sebagai berikut: ๐‘Ÿ๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘–๐‘  = ๐‘€1โˆ’๐‘€2 ๐‘†๐‘ก . โˆš ๐‘. ๐‘ž atau ๐‘Ÿ๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘–๐‘  = ๐‘€1โˆ’๐‘€๐‘ก ๐‘†๐‘ก . โˆš ๐‘. ๐‘ž Dalam hal ini: rp-bis = koefisien korelasi point-biserial M1 = mean gejala interval kelompok 1 M2 = mean gejala interval kelompok 2 St = standar deviasi total (kelompok 1 dan 2) P = Proporsi dari kelompok 1 Q =1-p Contoh : Korelasi antara jenis kelamin siswa (gejala nominal) dan kemampuan matematika (gejala interval)
  • 23. Tabel: Nilai matematika kelompok pria (1) dan kelompok wanita (2) No. Klp. Pria Xp Klp. Wanita Xw ๐—๐ฉ ๐Ÿ ๐—๐ฐ ๐Ÿ 1 8,6 8,5 73,96 72,25 2 8,4 8,1 70,56 65,61 3 7,8 7,5 60,84 56,25 4 7,2 6,8 51,84 46,24 5 6,9 6,6 47,61 43,56 6 6,7 6,5 44,89 42,25 7 6,6 6,0 43,56 36,00 8 6,5 6,0 42,25 36,00 9 6,4 6,0 40,96 36,00 10 6,2 5,6 38,44 31,36 11 6,0 5,4 36,00 29,16 12 5,8 5,0 33,64 25,00 Jumlah 83,1 78 584,55 519,68 Mean 6,925 6,50 - - P 0,50 0,50 - - โˆ‘x = โˆ‘xp + โˆ‘xw = (83,1 + 78) = 161,1 โˆ‘๐‘ฅ2 = โˆ‘๐‘ฅ๐‘2 + โˆ‘๐‘ฅ๐‘ค2 = (584,55 + 519,68) = 1104,23 SDtot = โˆšโˆ‘๐‘ฅ2 ๐‘ โˆ’ ( โˆ‘x ๐‘ ) 2 = โˆš1104,23 24 โˆ’ ( 161,1 24 ) 2 = โˆš46,01 โˆ’ 45,05 = 0,98 ๐‘ƒ = ๐‘›๐‘ ๐‘ = 12 24 = 0,50 p.q = (0,5). (0,5) = 0,25 rp-bis = ๐‘€1โˆ’๐‘€2 ๐‘†๐‘ก โˆš ๐‘. ๐‘ž = 6,92โˆ’6,50 0,98 โˆš0,25 = 0,217 Korelasi serial Teknik korelasi serial ini digunakan untuk menguji hubungan antara dua variabel, yang satu berskala pengukuran orinal dan yang lain berskala pengukuran interval. Gejala ordinal adalah gejala yang dibedakan menurut golongan atau jenjangnya, tanpa mengukur jarak antara titik yang satu dengan titik yang berikutnya. Misalnya: kemampuan ekonomi (kaya, menengah, miskin) : Kerajinan (rajin, sedang, malas) dan sebagainya.
  • 24. Rumus : ๐‘Ÿ๐‘ ๐‘’๐‘Ÿ = โˆ‘{(๐‘œ๐‘Ÿโˆ’๐‘œ๐‘ก)๐‘€} ๐‘†๐ท๐‘ก๐‘œ๐‘ก.โˆ‘{ (๐‘œ๐‘Ÿโˆ’๐‘œ๐‘ก)2 ๐‘ } Dalam hal ini: or = Ordinat yang lebih rendah pada kurve normal ot = Ordinat yang lebih tinggi pada kurve normal M = Mean (pada masing-masing kelompok) ๐‘†๐ท๐‘ก๐‘œ๐‘ก. = Standar seviasi total Sebagai contoh dibawah ini diuraikan cara menghitung koefisien korelasi serial antara keaktifan membaca buku-buku di perpustakaan dan ujian akhir suatu mata kuliah tertentu. Teknik korelasi serial ini juga sering digunakan untuk menghitung korelasi (menetapkan validitas butir) antara skor butir yang di skor secara dikotomi (dalam hal ini dianggap berskala pengukuran ordinal) dengan skor total butir (yang dianggap berskala pengukuran interval). Teknik korelasi serial yang digunakan untuk menguji korelasi antara skor butir (yang diskor dikotomi) atau terdiri dari dua jenjang dengan variabel yang diskor interval sering disebut korelasi bi-serial atau r-bis. Contoh: Nilai rata-rata ujian akhir semester menurut keaktifan membaca buku di perpustakaan. AKTIF SEDANG PASIF 8,0 6,5 6,0 8,5 6,8 5,6 7,8 6,2 5,4 7,2 7,5 5,2 8,4 6,3 5,0 6,5 6,0 6,4 6,2 6,0 7,0 6,0 6,1 Jumlah skor 46,4 77 27,2 - Jumlah Individu 6 12 5 23 Proporsi 0,261 0,522 0,217 1,00 Mean 7,73 6,42 5,44 -
  • 25. Ordinat yang memisahkan golongan aktif dan golongan (sedang + pasif), dan yang memisahkan golongan pasif dengan golongan (aktif + sedang) dicari pada tabel kurve normal (menggunakan dua buah tabel, yaitu tabel E dan tabel F) dari buku metoda statistika (sudjana, 1986). ๏‚ฎ Untuk P= 0,261 q= 1 โ€“ p = 0,739 |๐‘โˆ’๐‘ž| 2 = 0,478 2 = 0,239 Lihat tabel F untuk daerah seluas 0,239 โ†’ diperoleh harga Z = 0,64 (2389) Lihat tabel E untuk Z = 0,64 โ†’ ordinat : o = 0,3251 atau Y ๏‚ฎ Untuk P=0,261 + 0,522 = 0783 q = 1- p = 0,217 |๐‘ โˆ’ ๐‘ž| 2 = 0,566 2 = 0,283 Lihat tabel F untuk daerah seluas 0,283โ†’2823 โ†’Z = 0,78, diperoleh Z =0,78 โ†’(untuk 0,2823). Lihat tabel E untuk Z = 0,78 โ†’ ordinat o = 0,2943 (Y) ๏‚ฎ Untuk P=1,00 q = 0,00 ยฝ |๐‘ โˆ’ ๐‘ž|= 0,50 โ†’ ordinat o (daftar F) Untuk daerah seluas 0,500 โ†’ Z = 3,99 โ†’ ordinat = 0,0 atau 0,0001 Proporsi-proporsi pada ujung distribusi = 0, berarti ordinatnya juga = 0. ๐‘†๐ท๐‘ก๐‘œ๐‘ก.dihitung seperti biasa dengan rumus-rumus sebagaimana diatas dan diperoleh ๐‘†๐ท๐‘ก๐‘œ๐‘ก.=0,948 Kemudian dimasukkan dengan tabel perhitungan sebagai berikut: TABEL PERHITUNGAN: Golongan N P Ordinat o Or-ot (๐‘ถ๐’“ โˆ’ ๐‘ถ๐’•) ๐Ÿ ๐‘ท (Or-Ot). M Aktif 6 0,261 0 +0,3251 0,4049 +2,513 Sedang 12 0,522 0,3251 -0,031 0,00184 -0,199 Pasif 5 0,217 0,2941 -0,2941 0,3986 -1,600 Total 23 1,00 - - 0,80534 +0,714 ๐‘Ÿ๐‘  ๐‘’๐‘Ÿ = +0,714 (0,948)(0,80534) = 0,714 0,7635 = 0,935 INTRERPRETASI HARGA r Interpretasi terhadap harga atau koefisien korelasi secara konvensional diberikan oleh Guilford (1956) sebagai berikut:
  • 26. Koefisien korelasi r Interpretasi 0,80 โ€“ 1,00 Sangat tinggi 0,60 โ€“ 0,80 Tinggi 0,40 โ€“ 0,60 Cukup 0,20 โ€“ 0,40 Rendah 0,00 โ€“ 0,20 Sangat rendah Disamping itu, untuk menafsirkan harga r (koefisien korelasi) maka dapat dikonsultasikan (dibandingkan) dengan harga kritik r product moment (tabel r). Dalam hal ini, ditentukan tingkat kesalahan (peluang ralat) adalah 5% (yang biasa digunakan pada ilmu-ilmu social) dengan melihat pada tabel r berdasarkan N= banyaknya responden. Contoh: pada perhitungan korelasi product moment dimuka diperoleh harga r=0,745 Harga r kritik (r tabel) pada tingkat kesalahan 5% dan N=10 adalah r tab=0,632. Berarti harga r yang diperoleh dari perhitungan (rhit)=0,745> rtab= 0,632. Hal ini menunjukkan bahwa korelasi antara dua variabel tersebut berarti (signifikan). Jika r hitung ternyata <r tabel maka dikatakan bahwa korelasi antara kedua variabel tersebut tidak berarti (tidak signifikan). Jadi, meskipun ada korelasi tetapi secara statistic kurang berarti. KORELASI RANK ORDER Apabila kelompok data yangakan dikorelasikan keduanya mempunyai skala pengukuran yang berjenjang (data ordinal), maka tidak dapat digunakan rumus korelasi product moment dari person. Untuk itu, digunakan rumus korelasi spearman (spearman correlation atau Rank Correlation). Adapun rumus korelasiyang digunakan adalah: ๐‘Ÿ๐‘  = (๐‘Ÿโ„Ž0)= 1- 6.ฮฃ๐ท๐‘–2 ๐‘ (๐‘2โˆ’1) Dalam hal ini : ๐‘Ÿ๐‘  = Koefisien korelasi spearman ฮฃ๐ท๐‘–2 = Jumlah kuadrat selisih rangking antara Xi dan Yi N = Banyaknya subjek (kasus). Dalam hal ini, ternyata tidak ada asumsi apapun mengenai distribusi X dan Y, yang berarti tidak terdapat pula asumsi mengenai parameter populasi. Karena itulah termasuk dalam statistika bebas distribusi.
  • 27. Contoh: Penilaian 2 orang juri Peserta Juri I Juri II A 70 80 B 85 75 C 65 55 D 50 60 E 90 85 F 80 70 G 75 90 H 60 65 Tabel di atas menggambarkan suatu penilaian yang dilakukan oleh dua orang juri terhadap delapan orang peserta perlombaan. Jika dinyatakan dalam rangking kejuaraan, akan Nampak bahwa juri I memberikan rangking I untuk E, rangking 2 untuk B dan seterusnya. Sedangkan juri II memberikan rangking untuk G, rangking 2 untuk E dan seterusnya. Dalam hal ini, kita tidak berkepentingan dengan skor nilai yang diberikan oleh kedua orang juri terhadap masing-masing peserta. Untuk masalah ini, kita hanya berkepentingan dengan rangking kejuaraan yang diperoleh oleh masing-masing peserta. Oleh karena itu, perlu diuji suatu hipotesis terdapat tidaknya suatu persesuaian atau korelasi antara penilaian yang diberikan oleh juri I dan juri II. Untuk itu, maka digunakan rumus korelasi rank yang diberikan oleh spearman, yang perhitungannya sebagai berikut: Perhitungan: Peserta Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) ๐‘ซ๐’Š ๐Ÿ A 5 3 2 4 B 2 4 -2 4 C 6 8 -2 4 D 8 7 1 1 E 1 2 -1 1 F 3 5 -2 4 G 4 1 3 9 H 7 6 1 1 Jumlah - - - 28 Maka koefisien korelasi spearman dapat dihitung sebagai berikut: ๐‘Ÿ๐‘  = ๐‘Ÿโ„Ž0 = 1- 6.(28) 8 (82โˆ’1) = ๐‘Ÿ๐‘  = ๐‘Ÿโ„Ž0 = ๐ŸŽ, ๐Ÿ”๐Ÿ”๐Ÿ• Contoh berikut adalah apabila terjadi bahwa data pengamatan harganya ada yang sama. Dalam hal ini, maka berarti bahwa data tersebut harus diberikan rangking yang sama.
  • 28. Contoh perhitungan: Peserta Xi Yi Rank Juri I Rank Juri II Beda (Di) ๐‘ซ๐’Š ๐Ÿ 1 96 150 1 1 0 0 2 82 95 6,5 6 0,5 0,25 3 63 75 9 9,5 -0,5 0,25 4 57 75 10 9,5 0,5 0,25 5 82 110 6,5 3 3,5 12,25 6 90 100 3 4,5 -1,5 2,25 7 90 140 3 2 1 1 8 74 83 8 8 0 0 9 87 100 5 4,5 0,5 0,25 10 90 92 3 7 -4 16 Jumlah - - - - - 32,50 Dengan ฮฃ๐ท๐‘–2 = 32,50 dan N=10, maka diperoleh: ๐‘Ÿ๐‘  = ๐‘Ÿโ„Ž0 = 1- 6.(32,50) 10 (102โˆ’1) = ๐ŸŽ, ๐Ÿ–๐ŸŽ๐Ÿ‘ UJI SIGNIFIKANSI r Untuk menuji signifikansi koefisien korelasi (nilai r) yang diperoleh maka dapat dilakukan sebagai berikut: 1. Dengan mengacu pada criteria koefisien korelasi yang diberikan oleh Guilford (1956). 2. Dengan membandingkan nilai r hitung dengan harga r tabel dengan taraf kesalahan (ฮฑ=0,05) atau ฮฑ=0,01 dan db=N-2. 3. Dengan menghitung lebih dulu t hitung berdasarkan harga r hitung yang diperoleh, yakni dengan rumus sebagai berikut: a) ๐‘ก = ๐‘Ÿ. โˆš ๐‘โˆ’2 โˆš1โˆ’๐‘Ÿ2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..untuk korelasi Product Moment b) ๐‘ก = ๐‘Ÿ๐‘ . โˆš ๐‘โˆ’2 1โˆ’๐‘Ÿ2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..untuk korelasi Spearman c) ๐‘ก = ๐‘Ÿ๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘–๐‘ โˆš ๐‘โˆ’2 1โˆ’๐‘Ÿ๐‘โˆ’๐‘๐‘–๐‘ 2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..untuk korelasi Point Biserial d) ๐‘ก = ๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘๐‘–๐‘ . โˆš ๐‘โˆ’2 1โˆ’๐‘Ÿโˆ’๐‘๐‘–๐‘ 2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..untuk korelasi sesial
  • 29. Harga t hitung yang diperoleh selanjutnya dikonsultasikan dengan harga t tabel dengan taraf signifikansi tertentu (missal : ฮฑ=0,05 atau ฮฑ=0,01) dan dengan derajad kebebasan dk=N-2. Bila t hit > t tabel โ†’ maka tolak H0, dan berarti menerima Ha. Sedangkan bila thit < t tabel, maka tidak menolak H0, yang berarti menolak Ha.
  • 30. ANALISIS REGRESI GANDA Model persamaan garis regresi yang akan diperoleh melalui analisis regresi ganda adalah : ลถ = a + b1.X1 + b2.X2 + โ€ฆ + bk.Xk โ€ฆ (1) Dalam hal ini ubahan bebasnya adalah X1, X2, โ€ฆ , Xk (k โ‰ฅ 2) Konstanta a, b1, b2, โ€ฆ , bk dapat dihitung berdasarkan m buah pasangan data X1, X2, โ€ฆ , Xk dengan Y yang diperoleh melalui penelitian (pengamatan). Contoh : Penelitian mengenai prestasi kerja (Y) yang dilakukan terhadap 30 orang ditinjau dari skor tes pengetahuan pada waktu diterima menjadi pegawai (X1) dan skor tes ketrampilannya (X2). Maka bentuk persamaan garis regresinya adalah : ลถ = a + b1.X1 + b2.X2 โ€ฆ. (2) Konstanta a dan koefisisen regresi b1 dan b2 dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut : โˆ‘Y = n.a + b1.โˆ‘X1 + b2.โˆ‘X2 โˆ‘X1.Y = a. โˆ‘X1 + b1. โˆ‘X1 2 + b2. โˆ‘X1.X2 โ€ฆ..(3) โˆ‘X2.Y = a. โˆ‘X2 + b1. โˆ‘X1.X2 + b2. โˆ‘X2 2 Perhitungan data penelitian disajikan seperti contoh tabel berikut : Tabel data untuk regresi ลถ = a + b1.X1 + b2.X2 No X1 X2 Y X1.X2 X1.Y X2.Y X1 2 X2 2 Y2 1 2 3 . . . 30 70 71 72 98 41 43 46 60 10 11 12 25 2870 3053 5880 700 481 2450 410 473 1500 4900 5041 9604 1681 1849 3600 100 121 625 โˆ‘ 2473 1433 494 118758 41430 23989 205425 69101 8538
  • 31. Bedasarkan tabel perhitungan di atas, diperoleh harga โ€“ harga sebagai berikut : โˆ‘X1 = 2473 โˆ‘X2 = 1433 โˆ‘Y = 494 โˆ‘X1.X2 = 118758 โˆ‘X1.Y = 41430 โˆ‘X2.Y = 23989 Jika harga harga diatas dimasukkan ke dalam rumus (3) dengan n = 30, maka akan diperoleh sistem persamaan sebagai berikut : 494 = 30a + 2473 b1 + 1433 b2 โ€ฆ(4) 41430 = 2473a + 205425 b1 + 118758 b2 โ€ฆ(5) 23989 = 1433a + 118758 b1 + 69101 b2 โ€ฆ (6) Untuk mendapatkan harga a, b1, dan b2 dari sistem persamaan di atas, mak perlu kita selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi. Terlebih dahulu kita eliminasi koefisien a yakni dengan jalan mengalikan persamaan (4) dengan 2473 dan persamaan (5) dengan 30, kemudian dikurangkan, sehingga diperoleh : 1221662 = 74190a + 6115729b1 + 3543809b2 1242900 = 74190a + 6162750b1 + 3562740b2 โ€“ -12238 = - 47021b1 - 18930b2 โ€ฆ(7) Selanjutnya kalikan persamaan (4) dengan 1433 dan persamaan (6) dengan 30, kemudian dikurangkan sehingga diperoleh : 707902 = 42990a + 3543809b1 + 2053789b2 719670 = 42990a + 3562740b1 + 2073030b2 - -11768 = - 18931b1 - 19540b2 โ€ฆ(8) Berdasarkan persamaan (7) dan (8) kita eliminsai koefisien b1 dengan jalan mengalikan persamaan (7) dengan (-18931) dan persamaan (8) dengan (-47021), lalu dikurangkan sehingga diperoleh : 402056578 = 890154551b1 + 358382760b2 553343128 = 890154551b1 + 918837361b2 - -151286550 = -560454600b2
  • 32. Maka b2 = 0,2699 ~ 0,270 Berdasarkan persamaan (8) dan dengan memasukkan harga b2 = 0,2699 maka akan diperoleh: -11768 = -18931b1 - (19541).(0,2699), โŸน b1 = 0,343 Dan akhirnya dari persamaan (4), setelah dimasukkan harga b1 = 0,343 dan harga b2 = 0,2699 maka diperoleh : 494 = 30a + 2473(0,343) + 1433(0,2699) Maka diperoleh a = -24,7002 ~ a = - 24,70 Sehingga regresi Y atas x1 dan x2 mempunyaio persamaan garis regresi : ลถ = - 24,70 + 0,343X1 + 0,270 X2 Dalam perhitungan koefisien-koefisien a, b1, dan b2 di atas, ternyata tidak sederhana karena harus menyelesaikan persamaan dengan tiga arus. Demikian pula, jika regresi kita melibatkan tiga prediktor X1, X2, dan X3, maka kita harus menyelesaikan sistem persamaan dengan empat arus. Dan begitu seterusnya, makin banyak jumlah ubahan prediktornya akan semakin banyak sistem persamaan yang harus diselesaikan. Kesulitan โ€“ kesulitan ini sebenarnya dapat diatasi dengan menggunakan metode penyelesaian yang lebih praktis, diantaranya adalah menggunakan aljabar matriks, dengan bantuan program komputer atau dengan metode Doolittle yakni dengan cara merubah dulu skor kasar X dan Y dalam skor deviasi (x, y). Dengan skor kasar, penyelesaian sistem persamaan di atas akan melibatkan tiga bilangan anu, tetapi dengan skor deviasi sistem penyelesaiannya dapat disederhanakan sehingga hanya melibatkan dua bilangan anu. Caranya ialah dengan cara mengurangi nilai setiap ubahan dengan skor rerata ubahan yang bersangkutan, yaitu : , dan Dengan skor deviasi ini, maka persamaan garis regresinya menjadi : Sedangkan konstanta a dapat dihitung dengan mendasarkan harga b1, b2, dan rerata , , dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut : โ€ฆ(10)
  • 33. Sebelum menghitung koefisien a, b1, dan b2 maka terlebih dahulu kita menghitung hargaโ€“ harga jumlah varians dan kovarians sebagai berikut : Atau secara umum berlaku rumus sebagai berikut : Berdasarkan tabel perhitungan di muka, diperoleh : = 82,43 ; = 47,77 ; dan = 16,47 Selanjutnya berdasarkan persamaan (12) diperoleh : โ€ฆ (11) โ€ฆ(12)
  • 34. Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh : a = - b1ฮ‡ - b2ฮ‡ = 16,47 โ€“ (0,343)(82,43) โ€“ (0,270)(47,77) a = - 24,70 sehingga regresi Y atas X1 dan X2 mempunyai garis regresi ลถ = - 24,70 + 0,343X1 + 0,270X2 UJI KEBERARTIAN REGRESI GANDA Sebelum regresi yang diperoleh tersebut digunakan untuk membuat kesimpulan, maka terlebih dahulu diperiksa mengenai kelinieran bentuk regresi dan keberartian koefisien arah regresinya. Dalam kesempatan ini hanya akan dilakukan uji terhadap keberartian koefisien arah regresinya saja, sedangkan uji liniearitas hubungan harus dilakukan antara masing โ€“ masing prediktor X dengan kriterium Y melalui uji Tuna Cocok seperti yang telah dibahas dalam regresi linier sederhana. Untuk menguji keberartian regeresi diperlukan dua macam harga JK (jumlah kuadrat) yaitu untuk regresi JK reg (SSreg) dan untuk sisa / residu yaitu JK res (SSres) yang secara umum dapat dihitung menggunakan rumus :
  • 35. JK reg = b1.โˆ‘x1.y + b2.โˆ‘x2.y + โ€ฆ + bk.โˆ‘xk.y โ€ฆ (13) JK res = โˆ‘(Y-ลถ)2 โ€ฆ (14) Atau yang lebih mudah dengan menggunakan rumus : JK res = JK tot โ€“ JK reg โŸน JK res = โˆ‘y2 โ€“ JK reg โ€ฆ (15) โˆ‘y2 merupakan jumlah kuadrat total, yang besarnya : Masing โ€“masing JK di atas memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya masing โ€“ masing adalah k untuk JK reg dan (N- k - 1) untuk JK res, sehingga harga F dapat dihitung dengan rumus : Atau jika hasil perhitungan di atas dimasukkan ke dalam tabel Anova akan diperoleh : Sumber variasi Dk JK RJK F Regresi Residu k n โ€“ k โ€“ 1 JK reg JK tot โ€“ JK reg JK reg / k JK res / (n โ€“ k โ€“ 1) RJK reg RJK res Total N โ€“ 1 โˆ‘y2 - - Ternyata distribusi statistik ini berdistribusi F dengan dk pembilang k dan dk penyebut (n โ€“ k โ€“ 1). Statistik F ini digunakan untuk menguji keberartian regresi yang mempunyai hipotesis (Ho): bahwa koefisien regresi tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) : bahwa koefisien regresi berarti. Kriteria : Tolak Ho, jika Fh โ‰ฅ F (1 โ€“ ฮฑ); (k, n โ€“ k โ€“ 1 ) Dalam hal lainnya Ho diterima Dengan menggunakan rumus โ€“ rumus di atas, maka marilah kita periksa apakah garis reresi yang kita peroleh tersebut di atas berarti atau tidak. Dengan mendasarkan pada hasil โ€“ hasil perhitungan yang telah dilakukan di atas, maka diperoleh : JK tot = โˆ‘y2 = 403,47 โ€ฆ (16)
  • 36. Berdasarkan rumus (13) maka diperoleh : Jk reg = b1 . (โˆ‘x1.y) + b2 . (โˆ‘x2.y) = (0,343) (707,93) + (0,270) (393,27) โŸนJK reg = 348,73 JK res = JK tot โ€“ JK reg = 403,47 โ€“ 348,73 โŸน JK res = 54,74 Karena ada dua prediktor (k = 2) dan n = 30, maka : Atau, jika hasil perhitungan ini dikmasukkan dalam tabel Anova akan diperoleh : Sumber Variasi dk JK RJK F Regresi Residu 2 27 348,73 54,74 174,365 2,027 86,00 - Total 29 403,47 - - Harga F hitung ternyata jauh lebih besar daripada harga F tabel dengan dk pembilang k = 2 dan dk penyebut = n โ€“ k โ€“ 1 = 27 atau : F hit >>> F (1 โ€“ ฮฑ); (k, n โ€“ k โ€“ 1 ) โŸน Ho ditolak Hasil pengujian ini menunjukan bahwa garis regresi ลถ = - 24,70 + 0,343X1 + 0,270X2 yang diperoleh adalah berarti (bahkan dapat dikatakan sangat berarti), sehingga dapat digunakan untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan / pertautan antara Y denan X1 dan X2. Meskipun keberartian regresi sebagai suatu kesatuan (bersama โ€“ sama) tersebut adalah berarti, namun masih perlu dipertanyakan mana yang lebih berarti antara koefisien 0,343 dan 0,270. Atau dengan kata lain, meskipun sudah terbukti bahwa ubahan prediktor X1 dan X2 secara bersama โ€“ sama adalah mempunyai sumbangan / kontribusi yang sangat berarti di dalam memprediksikan kriterium Y, tetapi yang masih perlu dipertanyakan adalah manakah di antara X1 dan X2 tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti atau berapa besar peranan X1 dan X2 tersebut secara sendiri โ€“ sendiri terhadap fenomena / kriterium Y. Pembahasan mengenai hal ini dapat dilakukan dengan cara penguraian varians atau regresi dengan teknik reduksi bertahap yang akan diberikan kemudian.
  • 37. PERHITUNGAN R GANDA DAN R2 Korelasi antara ubahan kriterium Y dan semua ubahahan prediktor X1, X2, โ€ฆ , Xk secara serempak atau korelasi ganda dapat ditentukan berdasarkan persamaan garis regresi ganda ลถ = a + b1.X1 + b2.X2 + โ€ฆ + bk.Xk. koefisien korelasi ganda yang biasanya diberi simbol Ry.12 โ€ฆ k atau sering hanya disingkat R ini dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : Dari contoh penelitian mengenai peranan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes ketrampilan (X2) terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dari 30 orang pegawai telah diperoleh persamaan garis regresi ลถ = - 24,70 + 0,343X1 + 0,270X2. Berdasarkan perhitungan di muka telah diperoleh harga : JK reg = 348,73 dan JK tot = โˆ‘y2 = 403,47 maka R2 dapat dihitung : Sehingga : Ry.12 = R = โˆšR2 = 0,93 Berdasarkan harga R2 dapat ditafsirakan bahwa 86,4 % variasi prestasi kerja karyawan (Y) akan dapat diprediksi berdasarkan skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor tes ketrampilannya secara bersama โ€“ sama. UJI STATISTIK TERHADAP R2 Secara praktis, (meaningfulness / practically significance) dapat ditafsirkan bahwa variasi kriterium / fenomena yan dapat diprediksikan / dijelaskan oleh k ubahan predictor secara bersama โ€“ sama adalh sebesar R2 (yang biasanya dinyatakan dalam persen). Akan tetapi, harga R2 tersebut masih perlu diuji signifikansinya secara statistic (statistically significane), untukmengetahui apakah harga โ€“ harag R2 tersebut secara statistic berarti ataukah tidak. Untukmenguji keberartian terhadap R2 tersebut dapat digunakan statistic uji F yang rumusnya sebagai berikut : k menyatakan jumlah ubahan predictor, dan n = ukuran sampel โ€ฆ(17) โ€ฆ (18)
  • 38. statistik f ini mempunyai dk pembilang k dan dk penyebut (n โ€“ k โ€“ 1). Adapun hipotesisnya dapat dinyatakan bahwa sumbangan / peranan ubahan โ€“ ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama โ€“ sama adalah berarti melawan hipotesis tandingan bahwa peranan / sumbanagn ubahan โ€“ ubahan predictor terhadap kriterium secara bersama โ€“ sama tidak berarti. Atau : Ho : P op . R2 y . 123 โ€ฆ k = 0 Ha : P op . R2 y . 123 โ€ฆ k โ‰  0 Criteria : tolak Ho jika F hit โ‰ฅ F (1 โ€“ ฮฑ);(k,n โ€“ k โ€“ 1 ) Dalam hal lainnya, Ho diterima. Dari contoh perhitungan di muka ternyata diperoleh R2 = 0,864 denan k =2 dan n = 30, maka berdasarkan persamaan (18) diperoleh : Berdasarkan tabel F dengan dk pembilang 2 dan dk penyebut 27 serta ฮฑ = 0,05 diperoleh harga F 0,95;2.27 = 3,35 Ternyata bahwa F hit >>> F tabel โŸน Ho ditolak. Hal ini berarti bahwa hipotesis yang menyatakan sumbangan X1 secara bersama โ€“ sama terhadap Y tidak berarti ditolak. Kesimpulannya : bahwa sumbangan X1 dan X2 secara bersama โ€“ sama terhadap Y adalah berarti secara statistik. Hal ini menunjukkan bahwa sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama โ€“ sama terhadap kriterium Y yakni sebesar 86,4 % secara statistik adalah juga berarti. UJI KEBERARTIAN KOEFISIEN REGRESI Di muka telah diuji mengenai keberartian regresi Y atas X1 dan X2, dan ternyata bahwa sumbangan atau peranan predictor X1 dan X2 secara bersama- samaterhadap kriterium Y adalah berarti. Namun pertanyaan yang muncul adalah manakah di antara koefisien 0,343 (predictor X1) dan 0,270 (predictor X2) tersebut yang mempunyai sumbangan yang berarti terhadap kriterium Y. untuk itum maka perlu diuji keberartian dari masing โ€“ masing koefisien regresi tersebut. Namun demikian, sebelum dilakukan uji keberartian koefisien regresi (b) masih perlu dilihat ketepatan ramalan dari masing โ€“ masing koefisien regresi tersebut, yaitu dengan cara melihat harga simpangan baku taksiran Y atas X1, X2, โ€ฆ , Xk yang diberi simbol sy.12โ€ฆk
  • 39. (untuk meramalkan simpangan baku taksiran untuk populasi atau ฯƒy.12โ€ฆk) yang dapat dihitung dengan menggunakn rumus sebagai berikut : Makin kecil harga sy.12โ€ฆk maka akan semakin baik ramalan Y atas X1, X2,โ€ฆXk yang dibuat melalui garis regresi : ลถ = a + b1.X1 + b2.X2 + โ€ฆ + bk.Xk Dari contoh di muka, diperoleh persamaan garis regresi : ลถ = -24,70 + 0,343X1 + 0,270X2 dengan n = 30 dan dk res = 54,74, maka berdasarkan persamaan (19) dapat dihitung sebagai berikut : Makam harga simpangan baku taksiran atas X1 dan X2 โŸนsy.12 = 1,42. Deangan adana simpang bnaku y atas X1 dan X2 yakni sy.12โ€ฆk ini, kita akan dapat menghitung simpangan baku koefisien bi yang diperlukan untuk menguji keberartian koefisien regresi. Simpanganbaku koefisien regresi bi yang diberi lambaing sbi dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Di mana adalah jumlah kuadrat penyimpangan ubahan predictor Xi dari harga reratanya atau jumlah varians , dan Ri merupakan koefisien korelasi (ganda) antara ubahan bebas (prediktor) Xi dengan ubahan bebas sisanya. Jadi Ri menyatakan koefisien korelasi ganda antara Xi dengan X1, X2,โ€ฆ,Xi-1, Xi+1,โ€ฆXk. Ternyaa bahwa untuk menguji keberartian koefisien regresi yang sesuai dengan ubahan bebas sisanya, dan untuk itu perlu kita asumsikan bahwa hubungan antara ubahan bebas Xi dengan ubahan bebas sisanya adalah linier. Untuk menguji hipotesis (Ho) yang menyatakan bahwa koefisien regresi yang bertalian denan ubahan bebas / prediktor Xi tidak berarti melawan hipotresis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi berarti, atau : โ€ฆ(19)
  • 40. Ho : Pop bi = 0 dan Ha : Pop bi โ‰ 0 Digunkan statistik uji - t dengan rumus : Criteria : Tolak Ho, jika l t l > t(1-ฮฑ/2);n โ€“ k โ€“ 1 Dalam hal lainnya Ho diterima Kondisi pada contoh di muka dengan persamaan garis regresi ลถ = -24,70 + 0,343X1 + 0,270X2. Dalam hal ini , akan diuji apakah koefisien regresi 0,343 dan 0,270 tersebut berarti ataukah tidak. Untuk itu terlebih dahulu kita hitung simpangan baku taksiran koefisien b1 dan b2 dengan menghitung harga s2 y.12 terlebih dahului sebgai berikut : Jumlah varians ubahan bebas (predictor)Xi dapat dihitung sebagai berikut : Berdasarkan contoh perhitungan di muka telah diperoleh : โˆ‘x1 2 = 1567,37 โˆ‘x2 2 = 651,37 dan โˆ‘y2 = 403,47 Ri ada dua yaitu : R1 dan R2. R1 = R12 adalah koefisien korelasi antara ubahan bebas X1 dengan X2. Dalam hal ini R12 = R21 = r, karena kita hanya memiliki dua ubahan bebas yang dapat dihitung dengan rumus korelasi produk moment. Berdasarkan perhitungan dengan rumus tersebut diperoleh : r12 = r21 = r sehingga : Untuk menguji hipotesis bahwa koefisien regresi yang berkaitan denan X1 (b1) tidak berarti melawan hipotesis tandingan (Ha) bahwa koefisien regresi b1 tersebut berarti dignakan rumus (21) sebagai berikut :
  • 41. Harga t hit ini > t 0,975;27 =2,08 โŸน Ho ditolak. Jadi koefisien regresi berkaitan dengan X1 (yaitu b1) adalah berarti. t hit > t tabel โŸนHo ditolak Kesimpulan : Koefisien regresi yang berkaitan dengan X2 (yaitu b2)adalah berarti. Dengan demikian, secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa skor tes kemampuan teoritis (X1) dan skor kemampuan ketrampilan (X2) baik secara sendiri โ€“ sendiri maupun secara bersama โ€“ sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap prestasi kerja karyawan (Y) dengan persamaan garis regresi ลถ = -24,70 + 0,343X1 + 0,270X2. Adapun besarnya sumbangan predictor X1 dan X2 secara bersama โ€“ sama terhadap Y secara praktis adalah sebesar 86,4% yang ternate secara statistic juga significant. Adapun besarnya prosentase peranan dari masing โ€“ masing prediktur terhadap kriterium Y akan dibahas kemudian. Perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien rgresi b, seperti yang telah disajikan berdasarkan rumus (20) tersebut di atas nampaknya tidak praktis dan memerlukan proses perhitungan yang panjang, terutama jika regresi melibatkan tiga ubahan predictor atau lebih. Hal ini mengingat bahwa kita harus menghitung koefisien regresi dan korelasi ganda tersendiri untuk setiap Xi (bi). Untuk itu, diperlukan cara lain yang lebih praktis yaitu denan menggunakan matriks korelasi yakni matriks yang elemen โ€“ elemennya terdiri dari koefisien korelasi sederhana antara Xi dan Xj. Jika koefisien โ€“ kjoefisien sederhana antara Xi dan Xj ini dilambangkan dengan rij, yang dapat dihitung denan rumus korelasi produk moment dari Pearson, dan matriks korelasi tersebut dilambangkan dengan ล–, maka untuk k buah ubahan bebas (predictor) X1, X2,โ€ฆ , Xk diperoleh matriks korelasi sebagai berikut : 1 r12 โ€ฆ r1k r21 1 โ€ฆ r2k r31 r32 โ€ฆ r3k ล–, = . โ€ฆ . . . โ€ฆ . โ€ฆ (22)
  • 42. . . โ€ฆ . rk1 rk2 โ€ฆ 1 dalam hal ini, r11 = r22 = r33 = โ€ฆ = rkk = 1 (terdapat dalam diagonal dari kiri atas ke kanan bawah), dan rij = rji (i โ‰  j). matriks ล– ini bentuknya simetris. Matriks ล– ini mempunai matriks kebalikan atau invers. Jika matriks invers ini dilambankan dengan ล–-1 dengan elemen โ€“ elemen rij, maka matriks kebalikan akan bebentuk : r11 r12 r13 โ€ฆ r1k r21 r22 r23 โ€ฆ r2k r31 r32 r33 โ€ฆ r3k ล–-1 = . . โ€ฆ . . . . โ€ฆ . . . . โ€ฆ . rk1 rk2 rk3 โ€ฆ rkk matriks kebalikan ล–-1 ini dapat dihitun dari matriks ล– baik dengan aturan matematika maupun program computer. Dari matriks kebalikan ini kita hanya memerlukan elemen โ€“ elemen pada diagonal utamanya saja, ialah elemen โ€“ elemen eii, atau elemen : r11 , r22 , r33 , โ€ฆ , rkk . Berdasarkan rii ini, maka koefisien korelasi anda Ri antara ubahan bebas Xi dengan ubahan bebas sisanya, akan dapat dihitung melalui rumus : Untuk selanjutnya pengujiam terhadap keberartian koefisien regresi bi dapat dilakukan dengan cara yang sama denan yang telah dicontohkan di muka. Adapun contoh perhitungan simpangan baku taksiran untuk koefisien regresi (sbi) dengan menggunakan matriks korelasi ini akan diberikan pada analisis regresi ganda yang ,elibatkan tiga predictor. โ€ฆ(23)
  • 43. ANAVA DUA JALUR Dalam Anava satu jalur kita dihadapkan kepada satu set perlakuan dengan k taraf/ level, sedangkan dalam Anava 2-jalur kita berhadapan dengan dua set perlakuan yang masing-masing mempunyai beberapa taraf/level. Dalam banyak situasi, dapat saja dihadapkan pada dua set perlakuan ini. Misal, di dunia pemasaran, guna meningkatkan jumlah penjualan kita mencoba membuat dua perlakuan sekaligus yaitu : model/jenis pengepakan (jalur 1) dan pengiklanan (jalur 2). Misalnya jenis pengepakan dibedakan atas 3 level (jenis) yaitu jenis A, B dan C. sedangkan untuk pengiklanan hanya dibedakan atas 2 level yaitu dengan pengiklanan dan tanpa pengiklanan. Pengambilan sampel dilakukan terhadap 60 buah toko. Dengan demikian karena ada 6 kemungkinan kombinasi maka masing-masing kombinasi perlakuan sampelnya terdiri dari 10 toko. Dari 10 toko pertama, diambil pengepakan jenis A dengan tanpa pengiklanan, 10 toko kedua dipilih pengepakan jenis B yang tanpa pengiklanan dan seterusnya, sehingga semua sel terpenuhi. Untuk lebih jelasnya lihat skema rancangan analisis sebagai berikut: Jenis pengepakan A B C Tanpa pengiklanan ๐‘‹ฬ…11 ๐‘‹ฬ…11 ๐‘‹ฬ…11 Dengan pengiklanan ๐‘‹ฬ…21 ๐‘‹ฬ…22 ๐‘‹ฬ…23 Dalam eksperimen ini manajer pemasaran tertarik pada tiga pertanyaan berikut: 1. Adakah pengaruh sistematis dari jenis pengepakan terhadap jumlah penjualan? 2. Adakah pengaruh yang sistematis dari jenis pengiklanan terhadap jumlah penjualan? 3. Apakah pengaruh pengiklanan dapat meningkatkan jumlah penjualan pada semua jenis pengepakan? Dalam Anava dua jalur (faktor) ini, kita dapat menguji pengaruh utama (main-effect) dari faktor eksperimen/perlakuan dan juga kombinasi antar perlakuan atau interaksi. Setiap data pengamatan untuk Anava dua jalur ini menggunakan tiga indkes, yakni Xijk. Indeks pertama dan kedua menunjukkan nomor sel, sedangkan indeks yang ketiga menunjukkan nomor pengamatan dalam sel tersebut. Jadi (X23) dengan nomor urut data pengamatan 1. Untuk lebih jelasnya perhatikan skema berikut:
  • 44. FAKTOR I 1 2 3 FAKTOR II 1 x11.1 x11.2 x11.3 . . . x11.n x12.1 x12.2 x12.3 . . . x12.n x13.1 x13.2 x13.3 . . . x13.n ๐‘ฅฬ…100 2 x21.1 x21.2 x21.3 . . . x21.n x22.1 x22.2 x22.3 . . . x22.n x23.1 x23.2 x23.3 . . . x23.n ๐‘ฅฬ…200 ๐‘ฅฬ…010 ๐‘ฅฬ…020 ๐‘ฅฬ…030 Jadi, Xijk (Faktor I, i = 1,2, โ€ฆ, R ; Faktor II, j = 1,2, โ€ฆ, c ; dan jumlah observasi dalam tiap sel k = 1, 2, โ€ฆ, k) PERHITUNGAN UNTUK ANAVA DUA JALUR Untuk memudahkan perhitungan harga jumlah kuadrat (JK) maka akan dikenalkan dengan istilah faktor koreksi (correction factor) yang selanjutnya disingkat CF, dan dalam hal ini akan digunakan dalam perhitungan JK total dan JKantar (Faktor I dan II). Dalam Anava satu jalur faktor koreksi (CF) ini adalah suku : ๐ฝ2 ๐‘ ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข (โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—) 2 โˆ‘ ๐‘›๐‘— โ„ Sedangkan dalam Anava dua jalur yang dimaksud dengan cf adalah : [โˆ‘ โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜ ๐‘› ๐‘˜=1 ๐‘ ๐‘—=1 ๐‘… ๐‘–=1 ] 2 โˆ‘ โˆ‘ ๐‘›๐‘˜๐‘ ๐‘—=1 ๐‘… ๐‘–=1 ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜ 2 ๐‘ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ (1) Dengan demikian maka : (1) ๐ฝ๐‘˜ ๐‘ก๐‘œ๐‘ก๐‘Ž๐‘™ = โˆ‘ โˆ‘ โˆ‘ (๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜ โˆ’ ๐‘ฅฬ…) 2๐‘› ๐‘˜=1 ๐‘ ๐‘—=1 ๐‘… ๐‘–=1 = โˆ‘ โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜ 2 โˆ’ ๐ถ๐น๐‘› ๐‘˜=1 ๐‘ ๐‘—=1 ๐‘… ๐‘–=1 โ€ฆ โ€ฆ (2)
  • 45. (2) JKantar perlakuan a) Faktor I : kolom ๐ฝ๐พ๐‘ = โˆ‘ ๐‘›๐‘…(๐‘ฅ ๐‘ โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2 ๐‘ ๐‘—=1 ๐ฝ๐พ๐‘ = (โˆ‘ ๐‘ฅ010)2 ๐‘›010 + (โˆ‘ ๐‘ฅ020)2 ๐‘›020 + (โˆ‘ ๐‘ฅ030)2 ๐‘›030 โˆ’ ๐ถ๐น โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ โ€ฆ (3) b) Factor II : Baris (Row) ๐ฝ๐พ ๐‘… = โˆ‘ ๐‘›๐‘(๐‘ฅ ๐‘… โˆ’ ๐‘ฅฬ…)2 ๐‘… ๐‘–=1 Dengan demikian: 1) Faktor koreksi : ๐ถ๐น = (โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜) 2 ๐‘ = (1904)2 60 = 60.420,27 2) ๐ฝ๐พ๐‘ก๐‘œ๐‘ก๐‘Ž๐‘™ = โˆ‘ โˆ‘ โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—๐‘˜ 2 โˆ’ ๐ถ๐น๐‘› ๐‘˜=1 ๐‘ ๐‘—=1 ๐‘… ๐‘–=1 ๐ฝ๐พ๐‘ก๐‘œ๐‘ก๐‘Ž๐‘™ = (21.624 + 9.230 + 3.280 + 13.652 + 14.398 + 4.688) โˆ’ 60.420,27 ๐ฝ๐พ๐‘ก๐‘œ๐‘ก๐‘Ž๐‘™ = 66.872 โˆ’ 60.420,27 = 6.469,27 3) JK antar perlakuan a) JK antar jenis pengepakan (antar kolom) ๐ฝ๐พ๐‘ = (โˆ‘ ๐‘ฅ010)2 ๐‘›010 + (โˆ‘ ๐‘ฅ020)2 ๐‘›020 + (โˆ‘ ๐‘ฅ030)2 ๐‘›030 โˆ’ ๐ถ๐น ๐ฝ๐พ๐‘ = (832)2 20 + (680)2 20 + (392)2 20 โˆ’ 60.420,27 โ‡’ ๐ฝ๐พ๐‘ = 4.994,13 b) JK antar pengiklanan (antar baris) ๐ฝ๐พ ๐‘… = (โˆ‘ ๐‘ฅ100)2 ๐‘›100 + (โˆ‘ ์”œ200) 2 ๐‘›200 โˆ’ ๐ถ๐น ๐ฝ๐พ ๐‘… = (944)2 30 + (960)2 30 โˆ’ 60.420,27 โ‡’ ๐ฝ๐พ ๐‘… = 4,26 4) JK dalam kelompok (error) ๐ฝ๐พ ๐ท = โˆ‘ ๐‘ฅ11 2 + โˆ‘ ๐‘ฅ12 2 + โ‹ฏ + โˆ‘ ๐‘ฅ23 2 โˆ’ [ (โˆ‘ ๐‘ฅ11)2 ๐‘›11 + (โˆ‘ ๐‘ฅ12)2 ๐‘›12 + โ‹ฏ + (โˆ‘ ๐‘ฅ23)2 ๐‘›23 ] ๐ฝ๐พ ๐ท = (21.624 + 9.230 + 3.280 + 13.652 + 14.398 + 4.688) โˆ’ [ (464)2 10 + (302)2 10 + (178)2 10 + (368)2 10 + (378)2 10 + (214)2 10 ]
  • 46. ๐ฝ๐พ ๐ท = 66.872 โˆ’ 66.228,8 = 643,20 5) JK interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan) ๐ฝ๐พ ๐‘…๐ถ = ๐ฝ๐พ๐‘ก๐‘œ๐‘ก โˆ’ ๐ฝ๐พ ๐‘… โˆ’ ๐ฝ๐พ๐‘ โˆ’ ๐ฝ๐พ ๐ท = 6.464,73 โˆ’ (4,26 + 4.994,13 + 643,20) โ‡’ ๐ฝ๐พ ๐‘…๐ถ = 823,14 6) Derajat kebebasan (dk) dk antar jenis pengepakan (kolom) : dkc = c โ€“ 1 = 3 โ€“ 1 = 2 dk antar pengiklanan (baris) : dkR = R โ€“ 1 = 2 โ€“ 1 = 1 dk interaksi : dkRc = (R โ€“ 1)(c โ€“ 1) = (2 โ€“ 1)(3 โ€“ 1) = 2 dk dalam kelompok / error : dkD = R.c. (n โ€“ 1) = 2 x 3 x (10 โ€“ 1) = 54 dk Total = dkTot = n.R.c โ€“ 1 = (10 x 2 x 3) โ€“ 1 = 59 Setelah diperoleh harga-harga Jk dan dk-nya maka selanjutnya dimasukkan dalam tabel Rangkuman Anava dua jalur sebagai berikut: Sumber variasi dk JK RJK F Antar: Kolom (pengepakan) Baris (pengiklanan) Interaksi RC Dalam / Error 2 1 2 54 4.994,13 4,26 823,14 643,20 2.497,065 4,26 411,57 11,911 209,642 0,358 34,553 Total 59 6.469,73 - - Harga-harga Fhitung : (1) F antar kolom (pengepakan) : Fhit = 209,642 Harga Ftabel pada ๏ก=0.05 ๏‚ฎ F0.95 ; (2,54) = 3,17 Fhit > F tabel Kesimpulan : bahwa jenis pengepakan berpengaruh terhadap jumlah penjualan (2) F antar baris (pengiklanan) : Fhit =0,358 Harga Ftabel pada ๏ก=0.05 ๏‚ฎ F 0.95 ; (1,54) = 4,02 Fhit < Ftabel Kesimpulan : bahwa pengiklanan tidak mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap jumlah penjualan (3) F interaksi (jenis pengepakan + pengiklanan)
  • 47. Fhit =34,553; sedangkan Ftabel = F0.95 ; (2,54) = 3,17 Fhit > F tabel Kesimpulan : bahwa terdapat interaksi antara pengiklanan dengan jenis pengepakan. Atau bahwa pengiklanan akan berpengaruh (meningkatkan) jumlah penjualan untuk jenis pengepakan tertentu, yaitu jenis A tetapi tidak untuk semua jenis pengepakan. Untuk mengetahui jenis pengepakan mana yang akan meningkat jumlah penjualannya jika dilakukan pengiklanan, maka dapat dilihat dari harga reratanya untuk tiap sel sebagai berikut: ๐ด โˆถ ๐‘ฅฬ…11 = โˆ‘ ๐‘ฅ11 ๐‘›11 = 464 10 = 46,4 ๐‘ฅฬ…21 = โˆ‘ ๐‘ฅ21 ๐‘›21 = 368 10 = 36,8 ๐ต โˆถ ๐‘ฅฬ…12 = โˆ‘ ๐‘ฅ12 ๐‘›12 = 302 10 = 30,2 ๐‘ฅฬ…22 = โˆ‘ ๐‘ฅ22 ๐‘›22 = 378 10 = 37,8 ๐ถ โˆถ ๐‘ฅฬ…13 = โˆ‘ ๐‘ฅ13 ๐‘›13 = 178 10 = 17,8 ๐‘ฅฬ…23 = โˆ‘ ๐‘ฅ23 ๐‘›23 = 214 10 = 21,4 Harga rata-rata dari tiap sel ini selanjutnya disajikan dlm skema sebagai berikut Jenis Pengepakan A B C Pengiklanan ๐‘ฅฬ…11 = 46,4 ๐‘ฅฬ…13 = 30,2 ๐‘ฅฬ…13 = 17,8 Tanpa pengiklanan ๐‘ฅฬ…21 = 36,8 ๐‘ฅฬ…22 = 37,8 ๐‘ฅฬ…23 = 21,4 Berdasarkan data di atas nampak bahwa pengiklanan hanya cocok utk jenis pengepakan tertentu (dapat meningkatkan jumlah penjualan). Jika semua harga Fhitung, baik antar kolom (jenis pengepakan), antar baris (pengiklanan) maupun Finteraksi adalah signifikan, maka kesimpulan harus kita tarik berdasarkan Fiiiii Atau dengan kata lain, kita hanya relevan memperhatikan masalah interaksi dari kurang relevan memperhatikan masalah efek utama (main effect). Selanjutnya untuk harga- harga F yang signifikan perlu pula dilakukan uji lanjut.
  • 48. 1 Contoh Anava: Terdapat 4 waktu (pagi, siang, sore dan malam) untuk menyampaikan pelajaran berhitung kepada anak-anak. Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek perlakuan (waktu pengajaran) terhadap hasil pengajaran. Kecuali waktu pengajaran, faktor-faktor lain yang diduga akan mempengaruhi hasil belajar, seperti: cara mengajar, situasi kelas, dan lain- lain dibuat sama (dikontrol). Dimisalkan ada 20 anak yang dijadikan sampel percobaan. Secara acak diambil 5 anak untuk setiap perlakuan (waktu pengajaran). Setelah percobaan selesai selanjutnya diadakan ujian, dan hasilnya sebagaimana terdapat pada tabel berikut: Waktu pengajaran Jumlah Pagi (1) Siang (2) Sore (3) Malam (4) Hasil ujian 56 55 50 61 64 60 59 62 55 56 43 39 45 46 45 41 43 45 39 42 ๏“xj 286 292 218 210 ๏“xij = 1.006 nj 5 5 5 5 ๏“nj = N = 20 ๐‘‹ฬ…๐‘— 2 16.478 17.086 9.536 8.840 ๏“xij 2 = 51.940 ๐‘‹ฬ…๐‘— 57,2 58,4 43,6 42,0 ๐‘‹ฬ… = 50,3 Perhitungan jumlah kuadrat ๐ฝ๐พ ๐‘‡๐‘œ๐‘ก = โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘— 2 โˆ’ (โˆ‘ ๐‘ฅ๐‘–๐‘—) 2 ๐‘ = 51.940 โˆ’ (1006)2 20 = 1388,2 ๐ฝ๐พ๐‘Ž๐‘›๐‘ก๐‘Ž๐‘Ÿ = (โˆ‘ ๐‘ฅ1)2 ๐‘›1 + (โˆ‘ ๐‘ฅ2)2 ๐‘›2 + โ‹ฏ + (โˆ‘ ๐‘ฅ ๐‘˜)2 ๐‘› ๐‘˜ โˆ’ [ (โˆ‘ ๐‘ฅ1 + โˆ‘ ๐‘ฅ2 + โ‹ฏ + โˆ‘ ๐‘ฅ ๐‘˜)2 ๐‘ ] ๐ฝ๐พ๐ด = (286)2 5 + (292)2 5 + (218)2 5 + (210)2 5 โˆ’ [ (1006)2 20 ] โ‡’ ๐ฝ๐พ๐ด = 1135 JKdalam = JKD = JKtot โ€“ JKA = 1388,2 โ€“ 1135 ๏‚ฎ JKD = 253,2 Dengan k = 4 dan N = 20, maka selanjutnya harga-harga tersebut dimasukkan dalam tabel rangkuman Anava sebagai berikut: Tabel Rangkuman Hasil Anava Sumber Variasi dk JK RJK F Antar kelompok Dalam kelompok 3 16 1135 253.2 378.33 15.825 23.907 Total 19 1388.2 - -
  • 49. 2 Sehingga diperoleh harga: ๐นโ„Ž๐‘–๐‘ก๐‘ข๐‘›๐‘” = ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ด ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท = 378,33 15,825 = 23,907 Dari daftar distribusi F dengan ๏ก = 0.05; dk pembilang ฯ…1 = k โ€“ 1 = 3 dan dk penyebut : ฯ…2 = N โ€“ k = 20 โ€“ 4 = 16 diperoleh harga Ftabel = F(1-๏ก); (ฯ…1, ฯ…2) = F0.05; (3,16) = 3,24 Ternyata bahwa Fhit > Ftabel ๏‚ฎ Ho ditolak Kesimpulan : bahwa keempat waktu pemberian pengajaran berhitung tersebut akan mengakibatkan hasil pengajaran yang berbeda (berpengaruh thd. hasil pembelajaran). UJI LANJUT ANAVA: Bila hasil Anava menunjukkan Ho ditolak, maka perlu dilakukan uji lanjut Anava atau uji rata-rata sesudah Anava. Uji lanjut tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara sebagai berikut: I. KONTRAS ORTOGONAL Jika perbandingan atau kontras mengenai rerata perlakuan (kelompok) telah direncanakan sebelum eksperimen (a priori comparisons), maka dilakukan dengan metode kontras orthogonal. Dalam hal ini, jumlah kontras tidak boleh melebihi dk antar kelompok yaitu k - 1. Langkah : 1. Digunakan untuk menguji perbedaan rerata yang direncanakan sebelum eksperimen dilakukan (A priori comparisons). Kontras antara rerata perlakuan (kelompok) ci untuk sejumlah perlakuan ๐‘ฅฬ…๐‘— , ๐‘— = 1, 2, โ€ฆ , ๐‘˜ didefiniskan sebagai ci = ci1 + ci2 + โ€ฆ + cik dengan syarat : ci1 + ci2 + โ€ฆ + cik = 0, atau ๏“cij = 0 Jumlah kontras tidak boleh melebihi dari d kantar = k - 1 2. Merumuskan hipotesis kontras (perbandingan antar rerata), yaitu: Ha : ci โ‰  0 melawan Ho : ci = 0 3. Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras orthogonal, jika : ๐‘๐‘ = ๐‘๐‘1 โˆ™ ๐‘ฅฬ…1 + ๐‘๐‘2 โˆ™ ๐‘ฅฬ…2 + โ‹ฏ + ๐‘๐‘ ๐‘˜ โˆ™ ๐‘ฅฬ… ๐‘˜
  • 50. 3 Dengan syarat : 1) Jumlah kontras โˆ‘ ๐‘๐‘–๐‘— = 0 2) Dua kontras cp dan cq dikatakan kontras, jika โˆ‘ ๐‘๐‘๐‘— โˆ™ ๐‘๐‘ž๐‘— = 0๐‘˜ ๐‘—=1 4. Menghitung Jumlah Kuadrat (JK) Kontras: 5. Menghitung nilai F (ci) dengan rumus: 6. Mengkonsultasikan harga F(ci) dengan Ftabel, yaitu Fฮฑ; (1, N - k) Kriteria : tolak Ho : ci = 0, jika F(ci) > Ftabel, dan dalam hal lainnya Ho diterima 7. Kesimpulan: jika Ho ditolak ๏ƒ  maka terdapat perbedaan antar rerata yang dikontraskan. Contoh : Ada 4 perlakuan (waktu pemberian pengajaran), yaitu : pagi, siang, sore dan malam. Maka dk antar perlakuan (kelompok) = 4 โ€“ 1 = 3. Karenanya kita hanya dapat membentuk kumpulan kontras paling banyak 3 buah, misalnya sebagai berikut: c1 = x1 - x4 c2 = x2 โ€“ x3 c3 = x1 โ€“ x2 โ€“ x3 + x4 c1, c2, dan c3 masing-masing merupakan sebuah kontras karena jumlah koefisien untuk ci (i = 1, 2, 3) masing-masing sama dengan nol. Kontras c1 membandingkan antara rerata kelompok (perlakuan) I dan IV, kontras c2 membandingkan antara rerata kelompok (perlakuan) II dan III, dan kontras c3 adalah membandingkan antara rerata perlakuan I dan IV dengan rerata perlakuan II dan III. Dan untuk melihat apakah c1, c2 dan c3 tersebut membentuk kontras ataukah tidak maka perlu kita susun daftar koefisien kontras sebagai berikut: Mean (Rerata) ๐‘‹ฬ…1 ๐‘‹ฬ…2 ๐‘‹ฬ…3 ๐‘‹ฬ…4 ๐‘1 ๐‘2 ๐‘3 +1 0 +1 0 +1 -1 0 -1 -1 -1 0 +1
  • 51. 4 Jumlah hasil kali koefisien-koefisien c1 dan c2 adalah : (+1)(0)+(0)(+1)+(0)(-1) +(-1)(0) = 0, sehingga c1 dan c2 merupakan kontras orthogonal (karena ๏“cij = 0). Demikian pula c1 dan c3, serta c2 dan c3 juga membentuk kontras orthogonal. Dengan demikian c1, c2 dan c3 ketiga membentuk kumpulan kontras orthogonal. Jumlah kuadrat kontras atau JK(ci) dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut: โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (3) nj = jumlah data pengamatan untuk tiap perlakuan (kelompok) yang dibandingkan Harga RJK (ci) untuk tiap kontras ditentukan dengan membagi JK(ci) oleh dk kontras yang besarnya satu. Harga F(ci) dihitung dengan membagi RJK(ci) dengan RJK dalam (error) yang mempunyai dk = k(nj-1) = ๏“(nj-1)=N-k, sehingga diperoleh : โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (4) Harga F(ci) tersebut digunakan untuk menguji hipotesis null sebagai berikut: Ho : ci = 0 Kriteria : tolak Ho : ci = 0, jika F(ci) > Ftabel atau F๏ก;(1, N-k), dan dalam hal lainnya Ho diterima. Contoh : Akan kita gunakan pengujian dengan kontras orthogonal untuk menguji perbedaan rerata diantara 4 waktu pemberian pengajaran (perlakuan). Dalam hal ini, dk antar perlakuan (kelompok) = 3, sehingga dapat disusun tiga kontras sebagai berikut: c1 = x1 - x4 c11 = +1 dan c14 = -1 c2 = x2 โ€“ x3 c22 = +1 dan x23 = -1 c3 = x1 โ€“ x2 โ€“ x3 + x4 c31 = +1 ; c32 = -1 ; c33 = -1 ; c34 = +1 Selanjutnya, rumusan hipotesis nullnya sebagai berikut: (1) Ho1 : c1 = 0 ๏‚ฎ Ho1 : ๏ญ1 = ๏ญ4, yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran pagi dan malam. (2) Ho2 : c2 = 0 ๏‚ฎ Ho2 : ๏ญ2 = ๏ญ3, yakni membandingkan antara efek waktu pengajaran siang dengan sore. (3) Ho3 : c3 = 0 ๏‚ฎ Ho3 : ๏ญ1 + ๏ญ4 = ๏ญ2 + ๏ญ3, yakni membandingkan antara rata-rata efek waktu pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata efek pengajaran siang dan sore.
  • 52. 5 Dari perhitungan Anava di atas diperoleh : ๐‘ฅฬ…1 = 57,2 ; ๐‘ฅฬ…2 = 58,4 ; ๐‘ฅฬ…3 = 43,6 ; ๐‘ฅฬ…4 = 42. Dengan n = 5 (untuk masing-masing perlakuan/kelompok), maka dengan menggunakan rumus (3) diperoleh : ๐ฝ๐พ(๐‘1) = (๐‘ฅฬ…1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…4)2 1 ๐‘›1 โ„ โˆ™ ๐‘11 2 + 1 ๐‘›4 โ„ โˆ™ ๐‘14 2 = (57,2 โˆ’ 42,0)2 1/5(+1)2 + 1/5(โˆ’1)2 = 577,6 ๐ฝ๐พ(๐‘2) = (๐‘ฅฬ…2 โˆ’ ๐‘ฅฬ…3)2 1 ๐‘›2 โ„ โˆ™ ๐‘22 2 + 1 ๐‘›3 โ„ โˆ™ ๐‘23 2 = (58,4 โˆ’ 43,6)2 1/5(+1)2 + 1/5(โˆ’1)2 = 547,6 ๐ฝ๐พ(๐‘3) = {๐‘ฅฬ…1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…2 โˆ’ ๐‘ฅฬ…3 + ๐‘ฅฬ…4}2 1 ๐‘›1 โ„ โˆ™ ๐‘31 2 + 1 ๐‘›3 โ„ โˆ™ ๐‘32 2 + 1 ๐‘›3 โ„ โˆ™ ๐‘33 2 + 1 ๐‘›4 โ„ โˆ™ ๐‘34 2 ๐ฝ๐พ(๐‘3) = [57,2 โˆ’ 58,4 โˆ’ 43,6 โˆ’ 42,0]2 1/5(+1)2 + 1/5(โˆ’1)2 + 1/5(โˆ’1)2 + 1/5(+1)2 = 9,80 Berdasarkan tabel rangkuman Anava telah diperoleh harga RJKD = 15,825 dengan dk dalam = 16, maka dengan rumus (4) akan dapat dihitung harga F(ci) sebagai berikut: ๐น(๐‘1) = ๐‘…๐ฝ๐พ(๐‘1) ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท = เฑธ๐พ(๐‘1)/1 ๐ฝ๐พ ๐ท/๐‘ โˆ’ ๐‘˜ = 577,6/1 253,2/16 = 36,499 ๐น(๐‘2) = ๐‘…๐ฝ๐พ(๐‘2) ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท = ๐ฝ๐พ(๐‘2)/1 ๐ฝ๐พ ๐ท/๐‘ โˆ’ ๐‘˜ = 547,6/1 253,2/16 = 34,603 ๐น(๐‘3) = ๐‘…๐ฝ๐พ(๐‘3) ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท = ๐ฝ๐พ(๐‘3)/1 ๐ฝ๐พ ๐ท/๐‘ โˆ’ ๐‘˜ = 9,8/1 253,2/16 = 0,619 Dengan ๏ก = 0.05 maka dari daftar distribusi F diperoleh harga Ftabel = F(๏ก);( ฯ…1, ฯ…2) = F0.05;(1,16) = 4.49. oleh karenanya F(c1) = 36,499 > Ftabel ๏ƒž Ho1 : ๏ญ1 = ๏ญ4 ditolak F(c2) = 34,603 > Ftabel ๏ƒž Ho2 : ๏ญ2 = ๏ญ3 ditolak F(c3) = 0,619 < Ftabel ๏ƒž Ho3 : ๏ญ1 + ๏ญ4 = ๏ญ2 + ๏ญ3 diterima. Kesimpulan: terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang diberikan pagi dan malam, serta antara siang dan sore. Sedangkan rata-rata hasil pengajaran pagi dan malam dengan rata-rata hasil pengajaran siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang berarti. II. PENGUJIAN RERATA SESUDAH ANAVA Jika pengujian perbandingan rerata antar perlakuan (kelompok) tersebut tidak direncanakan sebelum eksperimen dilakukan, maka dilakukan dengan metode yang khusus, diantaranya adalah : (1) Uji Rentang Newman Keuls; dan (2) Uji Scheffe.
  • 53. 6 A. Uji Rentang Newman-Keuls Uji rentang Newman Keuls ini digunakan untuk menguji perbedaan rerata antara dua perlauan (kelompok) yang saling dipasang-pasangkan (uji joli). Dalam hal ini, pembandingan diantara rerata perlakuan berjumlah k/2 (k-1). Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Susunlah k buah rata-rata kelompok (perlakuan) menurut urutan nilainya dari rerata yang paling kecil sampai rerata yang terbesar. 2. Berdasarkan perhitungan Anava di muka ambil harga RJK dalam /error beserta dk-nya. 3. Hitunglah simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan (kelompok) dengan rumus sebagai berikut: โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (5) 4. Gunakan daftar rentang student (Daftar E dalam Sudjana, 1989), untuk ๏ก tertentu. Harga untuk Uji Newman Keuls diambil untuk ฯ… = dk dalam kelompok (error) dan untuk p = 2, 3, โ€ฆ, k. harga-harga yang diperoleh untuk setiap pasangan ฯ… dan p tertentu adalah sebanyak (k โ€“ 1) buah. 5. Kalikan harga-harga yang diperoleh dari Daftar Rentang Student (Daftar E) untuk setiap pasangan ฯ… dan p tersebut dengan ๐‘ ๐‘ฅฬ… ๐‘—-nya masing-masing sehingga diperoleh apa yang disebut Rentang Signifikansi Terkecil (RST) 6. Kemudian bandingkan (konsultasikan) harga-harga berikut dengan RST: a. Selisih rerata terbesar โ€“ rerata terkecil dengan RST untuk p = k โ€“ 1. b. Selisih rerata terbesar โ€“ rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k โ€“ 1. c. Selisih rerata terbesar kedua โ€“ rerata terkecil dengan RST untuk p = k โ€“ 1. d. Selisih rerata terbesar kedua โ€“ rerata terkecil kedua dengan RST untuk p = k โ€“ 2 dan seterusnya sehingga dperoleh sebanyak 1/2k (k โ€“ 1) buah pasangan rerata yang dibandingkan. Kriteria: Jika selisih/perbedaan dua harga rerata yang dipasangkan tersebut lebih besar daripada harga RST-nya masing-masing, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti antar kedua harga rerata perlakuan (kelompok) yang dibandingkan tersebut.
  • 54. 7 Contoh : Akan kita uji perbedaan diantara rerata hasil pengajaran yang diberikan pada waktu pagi, siang, sore dan malam sebagaimana telah dianalisis dengan Anava di atas. Dengan uji Newman Keuls akan diuji rerata kelompok mana saja yang berbeda, yakni sebagai berikut: 1) Rerata perlakuan (kelompok) disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar Rerata : 42,0 43,6 57,2 58,4 Perlakuan : 4 3 1 2 2) Dari tabel rangkuman hasil Anava diperoleh harga RJK dalam = RJKD = 15,825 dengan dk = 16 3) Simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dapat dihitung dengan rumus (5) sebagai berikut: ๐‘ ๐‘ฅฬ…๐‘— = โˆš ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท ๐‘›๐‘— Oleh karena jumlah sampel untuk tiap perlakuan (kelompok) sama, yaitu n = 5, maka simpangan baku rata-rata untuk tiap perlakuan adalah sama, yaitu: ๐‘ ๐‘ฅฬ…๐‘— = โˆš 15,825 5 = 1,779 ๐‘ ๐‘ฅฬ…1 = ๐‘ ๐‘ฅฬ…2 = ๐‘ ๐‘ฅฬ…3 = ๐‘ ๐‘ฅฬ…4 4) Berdasarkan Daftar Rentang Student (Daftar E, Sudjana, 1989), dengan ฯ… =16 dan ๏ก = 0.05 diperoleh harga-harga sebagai berikut: p = 2 3 4 Rentang = 3,00 3,65 4,05 5) Dengan mengalikan masing-masing harga rentang di atas dengan ๐‘ ๐‘ฅฬ… ๐‘— = 1,779 maka diperoleh RST untuk tiap p sebagai berikut: p = 2 ๏‚ฎ RST = 3,00 ร— 1,779 = 5,337 (untuk p = k โ€“ 2) p = 3 ๏‚ฎ RST = 3,65 ร— 1,779 = 6,493 (untuk p = k โ€“ 1) p = 4 ๏‚ฎ RST = 4,05 ร— 1,779 = 7,205 (untuk p = k) 6) Mengkonsultasikan perbedaan antara dua rerata perlakuan yang dipasangkan dengan harga RST masing-masing : a. Rerata terbesar โ€“ terkecil : 2 lawan 4 => Ho1 : ๏ญ2 = ๏ญ4 = (58,4 โ€“ 42,0) = 16,4 > 7,205 ๏‚ฎ Ho1 ditolak.
  • 55. 8 b. Rerata terbesar โ€“ terkecil kedua : 2 lawan 3 => Ho2 : ๏ญ2 = ๏ญ3 = (58,4 โ€“ 43,6) = 14,8 > 6,493 ๏‚ฎ Ho2 ditolak. c. Rerata terbesar โ€“ terkecil ketiga : 2 lawan 1 => Ho3 : ๏ญ2 = ๏ญ1 = (58,4 โ€“ 57,2) = 1,2 < 5,337 ๏‚ฎ Ho3 diterima. d. Rerata terbesar kedua โ€“ terkecil : 1 lawan 4 => Ho4 : ๏ญ1 = ๏ญ4 = (57,2 โ€“ 42,0) = 15,2 > 6,493 ๏‚ฎ Ho4 ditolak. e. Rerata terbesar kedua โ€“ terkecil kedua : 1 lawan 4 => Ho5 : ๏ญ1 = ๏ญ3 ; selisih = (57,2 โ€“ 43,6) = 13,6 > 5,337 ๏‚ฎ Ho5 ditolak. f. Rerata terbesar ketiga โ€“ terkecil : 3 lawan 4 => Ho6 : ๏ญ3 = ๏ญ4 = ; selisih (43,6 โ€“ 42,0) = 1,6 > 5,337 ๏‚ฎ Ho1 ditolak. Dari sebanyak ยฝk (k โ€“ 1) = ยฝ . 4 . (4 โ€“ 1) = 6 buah pasangan harga rerata perlakuan yang dibandingkan berdasarkan uji rerata berpasangan (uji joli) tersebut dapat disimpulkan bahwa: terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang dilakukan pada waktu siang dan malam, siang dan sore, pagi dan malam serta pagi dan sore. Sementara itu, perbandingan rerata yang lain, yaitu pagi dan siang serta sore dan malam tidak memberikan perbedaan yang berarti. B. UJI SCHEFFE Uji Scheffe dilakukan untuk melakukan perbandingan (kontras) kombinasi dari beberapa perlakuan. Langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan Uji Scheffe adalah sebagai berikut: 1) Susun kontras ci yang diinginkan lalu hitung harganya. 2) Dengan ๏ก tertentu, dk pembilang : ฯ…1 = k -1 dan dk penyebut : ฯ…2 = N โ€“ k, dicari harga Ftabel yaitu F(1 - ๏ก); (ฯ…1, ฯ…2). 3) Hitung besaran A, yakni : ๐ด = โˆš(๐‘˜ โˆ’ 1)๐น, dimana harga F yang dimaksud adalah harga Ftabel atau F(1 - ๏ก);(k โ€“ 1),(N โ€“ k) sebagaimana didapat dari langkah 2 di atas. 4) Hitung kekeliruan (simpangan) baku untuk tiap kontras yang akan diuji dengan rumus: โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ (5)
  • 56. 9 5) Bandingkan (konsultasikan harga kontras ci dengan harga A x s(ci). Kriteria : tolak Ho bahwa kontras antara rerata yang dibandingkan sama dengan nol, atau Ho : ci = 0, jika |ci| > A x s(ci), dan dalam hal lainnya Ho diterima. Contoh: misalkan berdasarkan hasil perhitungan Anava di muka, kita bermaksud membandingkan rata-rata efek perlakuan kedua, serta membandingkan efek perlakuan kesatu dengan rata-rata efek dari tiga perlakuan lainnnya. Maka kontrasnya dapat dituliskan sebagai berikut: ๐‘1 = ๐‘ฅฬ…1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…2 ๐‘2 = 3๐‘ฅฬ…1 โˆ’ ๐‘ฅฬ…2 โˆ’ ๐‘ฅฬ…3 โˆ’ ๐‘ฅฬ…4 Nampak bahwa kontras c1 dan c2 di atas adalah tidak orthogonal (karena ๏“cij โ‰  0). Untuk menguji kedua kontras yang tidak orthogonal tersebut akan digunakan Uji Scheffe dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Dari tabel rangkuman hasil Anava di muka, diperoleh : ๐‘ฅฬ…1 = 57,2; ๐‘ฅฬ…2 = 58,4; ๐‘ฅฬ…3 = 43,6; dan ๐‘ฅฬ…4 = 42,0, maka : ๐‘1 = (+1)(57,2) + (โˆ’1)(58,4) = โˆ’1,2 ๐‘2 = (+3)(57,2) + (โˆ’1)(58,4) + (โˆ’1)(43,6) + (โˆ’1)(42,0) = 27,6 2) Dari tabel rangkuman Anava dimuka diperoleh : v1 = 4 โ€“ 1 = 3 dan v2 = N โ€“ k = 20 โ€“ 4 = 16; RJK dalam = 15,825. Dengan ๏ก = 0.05 maka diperoleh harga F0.95 ; (3,16) = 3,24 3) Maka harga ๐ด = โˆš(๐‘˜ โˆ’ 1)๐น๐‘ก๐‘Ž๐‘ = โˆš(4 โˆ’ 1)(3,24) = 3,12 4) Harga simpangan baku untuk masing-masing kontras adalah : ๐‘ (๐‘1) = โˆš ๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท ร— โˆ‘ 1 ๐‘›๐‘—โ„ โˆ™ ๐‘๐‘–๐‘—2 = โˆš15,825 ร— {1/5(+1)2 + 1/5(โˆ’1)2} ๐‘ (๐‘1) = โˆš15,825 ร— 2/5 = 2,516 ๐‘ (๐‘2) = โˆš๐‘…๐ฝ๐พ ๐ท ร— {1/5(3)2 + 1/5(โˆ’1)2 + 1/5(โˆ’1)2 + 1/5(โˆ’1)2} ๐‘ (๐‘2) = โˆš15,825 ร— (9/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5) ๐‘ (๐‘2) = โˆš15,825 ร— 12/5 = 6,163 5) Harga kritik untuk c1 = A x s(c1) = 3,12 x (2,516) = 7,85. Maka : |c1| < A x s(c1) ๏ƒž |-1,2| < 7,85 sehingga Ho1 : ๏ญ1 = ๏ญ2 diterima (gagal ditolak). Kesimpulan : bahwa efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak berbeda secara berarti. Dalam hal ini adalah juga sesuai dengan hasil uji Newman Keuls. Harga kritik untuk c2 = A x s(c2) = 3,12 x (6,163) = 19,229
  • 57. 10 Maka harga c2 > A x s(c2) = 27,6 > 19,229 Ho2 : 3๏ญ1 = ๏ญ2 + ๏ญ3 + ๏ญ4 ditolak Kesimpulan : bahwa efek perlakuan kesatu mempunyai perbedaan yang berarti dengan rata-rata dari tiga efek perlakuan lainnya.
  • 58. TUGAS I STATISTIKA 1. Diberikan data yang disajikan dalam Tabel distribusi bergolong sebagai berikut: No Rentang Skor Frekuensi 1. 61 โ€“ 65 4 2. 66 โ€“ 70 9 3. 71 โ€“ 75 11 4. 76 โ€“ 80 2 5. 81 โ€“ 85 4 6. 86 โ€“ 90 7 7. 91 โ€“ 95 3 Jumlah 40 a. Sajikan data tersebut dalam bentuk histogram. b. Hitung nilai rata-rata, median, dan modus dari data tersebut. c. Hitunglah nilai simpangan baku (standar deviasi)-nya. d. Tentukan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari distribusi data tersebut. 2. Diberikan data dari 4 sub sampel berikut. Kelompok A Kelompok B Kelompok C Kelompok D 48 33 42 53 51 40 45 31 28 48 69 27 57 53 78 42 40 37 58 54 48 60 72 52 68 30 48 73 67 55 82 56 51 60 a. Hitung nilai rata-rata gabungan (grand mean) dari data tersebut. b. Hitung pula simpangan baku gabungan dari data tersebut.
  • 59. SOAL TUGAS 2 STATISTIKA 2013 1. Penelitian mengenai kinerja guru dilakukan dengan mengambil sampel sebanyak 36 orang guru. Dalam penelitian ini, akan diuji hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa โ€œnilai uji kompetensi guru (UKG) mempunyai korelasi yang signifikan dengan tingkat kinerjanyaโ€. Melalui analisis data ternyata diperoleh koefisien korelasi sebesar 0,286. Dengan ฮฑ = 0,05 bagaimanakah kesimpulan dari penelitian tersebut? 2. Penelitian mengenai animo siswa SMP untuk melanjutkan pendidikan ke SMK dilakukan terhadap 40 siswa kelas IX SMP. Dalam penelitian ini, akan diuji hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa โ€œprestasi belajar siswa SMP mempunyai korelasi yang negatif dengan animonya untuk melanjutkan ke SMKโ€ Melalui analisis data diperoleh koefisien korelasi sebesar โ€“ 0,324. Jika ฮฑ = 0,05 simpulkan hasil penelitian tersebut! 3. Penelitian mengenai kinerja dilakukan terhadap 30 orang karyawan, yang diprediksikan berdasarkan kepuasan kerja (X1) dan etos kerjanya (X2). Melalui analisis regresi ganda diperoleh persamaan garis regresi Yโ€™ = 23,57 + 0,586 X1 + 0,658 X2. Disamping itu, juga diperoleh data sebagai berikut: ฮฃX1 = 1192 ฮฃX12 = 69.052 ฮฃX1.X2 = 72.872 ฮฃX2 = 1736 ฮฃX22 = 121.568 ฮฃX1.Y = 116.514 ฮฃY = 2548 ฮฃY2 = 264.480 ฮฃX2.Y = 163.627 Hipotesis penelitiannya menyatakan bahwa โ€œkepuasan dan etos kerja karyawan baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama mempunyai peranan yang signifikan terhadap kinerjanyaโ€. Pertanyaan : a. Rumuskan hipotesisnya (Ha dan Ho) secara matematis ! b. Dengan ฮฑ = 0,05 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja (X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara bersama-sama mempunyai kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y) ! c. Dengan ฮฑ = 0,05 ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa kepuasan kerja (X1) dan etos kerja karyawan (X2) secara sendiri-sendiri mempunyai kontribusi yang signifikan terhadap kinerjanya (Y) ! d. Tentukan besarnya sumbangan efektif dari masing-masing ubahan prediktor X1 dan X2 terhadap kriterium Y ! Selamat Mengerjakan !