Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Drejteza dhe Trekendeshi Hysen Doko
Similar to Drejteza dhe Trekendeshi Hysen Doko (20)
More from Hysen Doko
More from Hysen Doko (13)
Drejteza dhe Trekendeshi Hysen Doko
- 1. WORKSHOP FUSHA: GJEOMETRI ELEMENTARE Universiteti i Vlorës “Ismail Qemali” Fakulteti i shkencave Teknike
- 2. Tema: Trekëndëshi Universiteti i Vlorës “Ismail Qemali” Fakulteti i shkencave Teknike
- 3. Koncepte dhe përkufizime • Trekëndëshi me kulme 𝑨, 𝑩, 𝑪 shënohet simbolikisht me ∆ 𝑨𝑩𝑪 . • Brinjët përballë kulmeve përkatës shënohen me a, b, c. • Vektorët korrespondues të brinjëve shënohen 𝒂, 𝒃, 𝒄. • Ka vend barazimi vektorial: 𝒂 + 𝒃 = 𝒄. • Kanë vend mosbarazimet: 𝒂 < 𝒃 + 𝒄, 𝒃 < 𝒂 + 𝒄, 𝒄 < 𝒂 + 𝒃 • Këndet e brendshëm të trekëndëshit shënohen me 𝜶, 𝜷, 𝜸.
- 4. Teorema e Kosinusit Meqë kemi të vërtetë 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 mund të shkruajmë prodhimin skalar të dy vektorëve vetëm në termat e gjatësive të brinjëve të trekëndëshit: 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝟏 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒃 − 𝒄 𝟐 = 𝟏 𝟐 (𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐) Nga ku përftojmë masën e këndit në kulmin A duke ditur edhe formulën 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒃 ∙ 𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶: 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒃 ∙ 𝒄 𝒃𝒄 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄 Kjo është Teorema e Kosinusit.
- 5. Pohime Pohim 1. Një trekëndësh është dybrinjënjishëm atëherë dhe vetëm atëherë kur dy prej këndeve të tij të brendshëm kanë masë të barabartë. Pohim 2. Një trekëndësh është barabrinjës atëhrë dhe vetëm atëherë kur të tre këndet e tij të brendshëm kanë masa të barabarta.
- 6. Masa e këndeve të brendshëm • Teoremë (Shuma e këndeve të një trekëndëshi). Nëse 𝛼, 𝛽 dhe 𝛾 janë tre kënde të brendshme të një trekëndëshi atëherë 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝝅. • Teoremë: Shuma e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi të mysët me n-kënde është (𝒏 − 𝟐)𝝅 .
- 7. Teorema e Pitagorës Këndi i brendshëm 𝛾 është kënd i drejtë atëherë dhe vetëm atëherë kur 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐. Një vërtetim gjeometrik i teoremës së Pitagorës bëhet duke llogaritur sipërfaqen e një katrori me brinjë (a+b) dhe duke e ndarë atë në dy mënyra të ndryshme si në figurë. Mendohet se ky është një vërtetim që Babilonasit e kanë ditur që prej viteve 1900-1600 p.e.s., shumë kohë më parë në krahasim me Pitagorianët (570-480).
- 8. Treshja Pitagoriane Treshja (𝒂, 𝒃, 𝒄) e numrave natyrorë është quajtur treshe Pitagoriane në qoftë se 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐 . Është e qartë se edhe treshja e formës (𝒌𝒂, 𝒌𝒃, 𝒌𝒄) për 𝒌 ∈ ℕ është Pitagoriane. Treshja (𝒂, 𝒃, 𝒄) quhet treshe e thjeshtë Pitagoriane nëse numrat 𝒂, 𝒃, 𝒄 janë të thjeshtë midis tyre. Për të përftuar numra Pitagorianë mjafton 𝒖 < 𝒗 të jenë dy numra natyrorë jo të dy tek, dhe numrat Pitagorianë të përftuar janë: 𝒂 = 𝒗 𝟐 − 𝒖 𝟐 , 𝒃 = 𝟐𝒖𝒗, 𝒄 = 𝒗 𝟐 + 𝒖 𝟐
- 9. Teoremat e Euklidit • Teorema e Kateteve: Në një trekëndësh kënddrejtë: 𝒂 𝟐 = 𝑩𝑪 𝟐 = 𝑩𝑭 ∙ 𝒄, 𝒃 𝟐 = 𝑨𝑪 𝟐 = 𝑨𝑭 ∙ 𝒄 • Teorema e Lartësisë: Në një trekëndësh kënddrejtë: 𝒉 𝟐 = 𝑨𝑭 ∙ 𝑩𝑭
- 10. Kongruenca e trekëndëshave • Teoremë: Dy trekëndësha në plan me gjatësi brinësh 𝑎, 𝑏, 𝑐 dhe 𝑎′ , 𝑏′ , 𝑐′ janë kongruentë nëse 𝑎 = 𝑎′ , dhe 𝑏 = 𝑏′, 𝑐 = 𝑐′. • Teoremë: (Teorema e kongruencës për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë kongruentë nëse kanë të njëjta: 1. Gjatësitë e tre brinjëve (rasti BBB). 2. Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin e përfshirë midis tyre (rasti BKB). 3. Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin që ndodhet përballë brinjës me gjatësi më të madhe. 4. Dy kënde dhe brinjën e përfshirë midis tyre (rasti KBK).
- 11. Ngjashmëria e trekëndëshave • Teoremë: Dy trekëndësha në plan me gjatësi brinjësh 𝑎, 𝑏, 𝑐 dhe 𝑎′, 𝑏′, 𝑐′ janë të ngjashëm kur plotësohen relacionet: 𝒂 𝒃 = 𝒂′ 𝒃′ , 𝒂 𝒄 = 𝒂′ 𝒄′ , 𝒃 𝒄 = 𝒃′ 𝒄′ . • Teoremë: (Teorema e ngjashmërisë për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë të ngjashëm nëse plotësohen kushtet e mëposhtme: 1. Raporti i brinjëve përkatëse të jetë i barabartë. (rasti BBB). 2. Raporti i dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre të jetë i barabartë. (rasti BKB). 3. Raporti i dy brinjëve dhe këndi përballë brinjës më të madhe të jenë të barabartë. 4. Dy kënde të barabartë dhe brinjë midis tyre të përpjesshme. (rasti KBK).
- 12. Teorema e Menelausit Konsiderojmë një trekëndësh me kulme 𝑨, 𝑩, 𝑪. 1. Nëse 𝑳 është një vijë e cila nuk kalon përgjatë kulmeve të trekëndëshit dhe pret zgjatimet e brinjëve të trekëndëshit në tre pika 𝑫, 𝑬, 𝑭, atëherë raporti përpjestimor çon në relacionin: • (*) 𝑨𝑫 𝑫𝑩 ∙ 𝑩𝑬 𝑬𝑪 ∙ 𝑪𝑭 𝑭𝑨 = −𝟏 2. Nëse 𝑫, 𝑬, 𝑭 jane tre pika në AB, BC dhe AC që kënaqin relacionin (*), atëhere ato janë kolineare.
- 13. Teorema Ceva Le të jetë ∆(𝐴, 𝐵, 𝐶) një trekëndësh. Le të jetë 𝑃 një pikë e brendshme ose e jashtme e trekëndëshit, dhe supozojmë se vijat e mëposhtme priten në tre pika 𝐷, 𝐸, 𝐹: 𝐿 𝐴, 𝐵 ∩ 𝐿 𝐶, 𝑃 = 𝐷 , 𝐿 𝐵, 𝐶 ∩ 𝐿 𝐴, 𝑃 = 𝐸 , 𝐿 𝐴, 𝐶 ∩ 𝐿 𝐵, 𝑃 = 𝐹 . Atëherë 𝑨𝑫 𝑫𝑩 ∙ 𝑩𝑬 𝑬𝑪 ∙ 𝑪𝑭 𝑭𝑨 = 𝟏 (∗∗) Anasjelltas, le të na jenë dhënë tre pika 𝐷, 𝐸, 𝐹 në 𝐿 𝐴, 𝐵 , 𝐿(𝐵, 𝐶)dhe 𝐿(𝐴, 𝐶) që plotësojnë relacionin (∗∗). Atëherë secila prej transversaleve të këndeve 𝐿 𝐴, 𝐸 , 𝐿(𝐵, 𝐹) dhe 𝐿(𝐶, 𝐷) janë paralele ose priten në një pikë të përbashkët P.
- 14. Vijat dhe pikat speciale të trekëndëshit Nga Teorema Ceva dhe e anasjellta e saj mund të përftojmë një seri rezultatesh të njohura për pikat e prerjes në një trekëndësh.
- 15. Teorema e Ortoqendrës Tre lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝒐𝒄 e cila quhet ortoqendra e trekëndëshit.
- 16. Teorema e mesoreve Tre mesoret e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝑪. Kjo pikë ndan çdo mesore në raportin 𝟐: 𝟏. Pika 𝑷 𝑪 quhet qendra e trekëndëshit.
- 17. Teorema e përgjysmores së këndit Të treja përgjysmoret e këndeve të brendshme të një trekëndëshi priten në një pikë 𝑷𝒊𝒄.
- 18. Rrethi i brendashkruar trekëndëshit Nëse 𝑷𝒊𝒄 është pika e prerjes së përgjysmoreve të këndeve në një trekëndësh, atëherë: 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷𝒊𝒄, 𝑨𝑩 = 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷𝒊𝒄, 𝑨𝑪 = 𝒅𝒊𝒔𝒕(𝑷𝒊𝒄, 𝑩𝑪) Pra pika 𝑷𝒊𝒄 është qendra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit.
- 19. Teorema e përmesoreve Tre përmesoret e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝒄𝒄. Për këtë pikë kemi që: 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑨 = 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑩 = 𝒅𝒊𝒔𝒕(𝑷 𝒄𝒄, 𝑪) Prandaj rrethi me qendër 𝑷 𝒄𝒄 dhe rreze 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑨 kalon përgjatë tre kulmeve të trekëndëshit. Ai është quajtur rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit dhe 𝑷 𝒄𝒄 është qendra e tij.
- 20. Trekëndëshi i mesëm Konsiderojmë trekëndëshin ∆(𝑨, 𝑩, 𝑪). Trekëndëshi, kulmet e të cilit janë pikat e mesit të brinjëve të trekëndëshit ∆ 𝑨, 𝑩, 𝑪 , përkatësisht 𝑨′, 𝑩′, 𝑪′ dhe që i brendashkruhet trekëndëshit ∆ 𝑨, 𝑩, 𝑪 dhe ka brinjët sa gjysma e tij, quhet trekëndësh i mesëm.
- 21. Drejtëza e Eulerit Pikat 𝑷 𝒐𝒄 , 𝑷 𝒄 dhe 𝑷 𝒄𝒄 të një trekëndëshi jo-barabrinjës janë kolineare. Ato ndahen në raportin: 𝑷 𝒐𝒄 𝑷 𝒄 : 𝑷 𝒄 𝑷 𝒄𝒄 = 𝟐: 𝟏
- 22. Sipërfaqja e trekëndëshit Për të përftuar sipërfaqen e trekëndëshit kënddrejtë me brinjë 𝒂, 𝒃, 𝒄 nisemi nga sipërfaqja e drejtkëndëshit të cilën e njohim si prodhim i dy përmasave të tij. Meqënëse nga çdo trekëndësh mund të ndërtojmë një paralelogram, sipërfaqen e të cilit e njohim, marrim sipërfaqen e trekëndëshit si gjysma e sipërfaqes së paralelogramit: 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂 ∙ 𝒉 𝒂 = 𝟏 𝟐 𝒃 ∙ 𝒉 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒄 ∙ 𝒉 𝒄
- 23. Mesoret e brinjëve të trekëndëshit janë gjithashtu dhe përgjysmuese të sipërfaqeve. Kështuqë raportin 𝒉 𝒂 𝒃 mund ta shprehim me anë të sinusit të këndit 𝜸, dhe në mënyrë të ngjashme për lartësitë e tjera. Kështu që sipërfaqja e trekëndëshit mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente edhe si: 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜸 = 𝟏 𝟐 𝒃𝒄 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟏 𝟐 𝒂𝒄 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜷
- 24. Teorema e Sinusit Nga relacioni i mësipërm duke pjesëtuar me 𝒂𝒃𝒄 rrjedh : 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒂 = 𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒃 = 𝒔𝒊𝒏𝜸 𝒄 I cili njihet me emrin Teorema e Sinusit.
- 25. Formula e Heronit Duke zvendësuar 𝒂+𝒃+𝒄 𝟐 = 𝒑, ku 𝒑 është gjysmëperimetri i trekëndëshit, shprehim sipërfaqen e trekëndëshit me anë të formulës së Heronit: 𝑺 ∆ = 𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)
- 26. Lartësitë e trekëndëshit Nga formula e sipërfaqes 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂 ∙ 𝒉 𝒂 = 𝟏 𝟐 𝒃 ∙ 𝒉 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒄 ∙ 𝒉 𝒄 Mund të llogarisim lartësitë e trekëndëshit në termat e gjatësive të brinjëve: 𝒉 𝒂 = 𝟐𝑺(∆) 𝒂 , 𝒉 𝒃 = 𝟐𝑺(∆) 𝒃 , 𝒉 𝒄 = 𝟐𝑺(∆) 𝒄
- 27. Teoremë: Sipërfaqja e trekëndëshit me brinjë 𝒂, 𝒃, 𝒄 plotëson mosbarazimin: 𝑺 ∆ ≤ 𝟏 𝟑 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 𝟐 Barazimi arrihet vetëm atëherë kur trekëndëshi është barabrinjës. Përfundim: Ndër të gjithë trekëndëshat me perimetër të dhënë, trekëndëshi barabrinjës ka sipërfaqen më të madhe.
- 28. Rrethi i brendashkruar trekëndëshit Qendra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit ndodhet në pikëprerjen 𝑷𝒊𝒄 të përgjysmoreve. Shenojmë me 𝒓 rrezen dhe ndajmë ∆(𝑨, 𝑩, 𝑪) në tre trekëndësha të vegjël si në figurë dhe llogaritim sipërfaqen e cila është: 𝑺 ∆ = 𝒂 ∙ 𝒓 𝟐 + 𝒃 ∙ 𝒓 𝟐 + 𝒄 ∙ 𝒓 𝟐 = 𝒓 𝟐 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒑 ∙ 𝒓 ku 𝒑 është gjysëmperimetri i tij.
- 29. Rrezja e rrethit të brendashkruar Teoremë: Rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit është e barabartë me raportin e sipërfaqes së trekëndëshit dhe gjysëmperimetrit të tij. 𝒓 = 𝑺(∆) 𝒑 = (𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝒑
- 30. Rrezja e rrethit të jashtëshkruar Teoremë: Rrezja e rrethit të jashtëshkrurar trekëndëshit është e barabartë me raportin e prodhimit të tre brinjëve me katërfishin e sipërfaqes. 𝑹 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 𝟒 ∙ 𝑺(∆)
- 31. Rrethi i jashtëm i trekëndëshit Teoremë: Përgjysmorja e një këndi të brendshëm dhe dy këndeve të jashtëm që nuk i bashkangjiten atij në trekëndësh priten në një pikë. Kjo pikë është qendra e rrethit që takon njërën brinjë të trekëndëshit dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera. Rrezja e rrethit të jashtëm të trekëndëshit në lidhje me brinjën korresponduese të trekëndëshit është: 𝒓 𝒂 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒂 , 𝒓 𝒃 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒃 , 𝒓 𝒄 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒄
- 32. Përfundim: Le të jetë 𝒓 rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit dhe 𝒓 𝒂, 𝒓 𝒃, 𝒓 𝒄 përkatësisht rrezet e rrathëve të jashtëm të trekëndëshit. Atëherë: 𝒓 ∙ 𝒓 𝒂 ∙ 𝒓 𝒃 ∙ 𝒓 𝒄 = 𝑺(∆) 𝟐 , 𝟏 𝒓 𝒂 + 𝟏 𝒓 𝒃 + 𝟏 𝒓 𝒄 = 𝟏 𝒓
- 34. Punoi: Drejtoi: Hysen Doko Dr. Orgest Zaka