Funksionet komplekse fuqi, vecanerisht funksionet speciale fuqi.

1. UNIVERSITETI “ISMAIL QEMALI”
VLORË
FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
LËNDA: ANALIZË KOMPLEKSE
SEMESTRI: PRANVERË 2018
DETYRË KURSI
Tema: Funksionet fuqi
Punuoi: Pranoi:
Hysen DOKO Msc. Anila DUKA
VLORË, QERSHOR 2018

2. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
2
HYRJE
Pak njohuri rreth numrave kompleksë
Përkufizime të përgjithshme:
1. Një numër kompleks është një numër i formës , ku a dhe b janë numra
realë, kurse i është njësia imagjinare, vlera e së cilës është: √ .
Për shembull: z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i, z3 = 5i, etj…
2. Bashkësia e numrave kompleksë shënohet me dhe ka vend relacioni: .
Pra çdo numër real është numër kompleks (trajta z = a + 0 , ku ).
3. Numri a quhet pjesa reale e numrit kompleks z, dhe shënohet Re(z), kurse numri b
quhet pjesa imagjinare e numrit kompleks z, dhe shënohet Im(z).
Për shembull: z = 2 + 3i; Re(z) = 2, Im(z) = 3
4. Dy numra kompleksë quhen të barabartë atëhere dhe vetëm atëhere kur dhe pjesa
reale dhe pjesa imagjinare respektive e tyre është e barabartë. Pra:
z1 = z2 Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2).
5. Veprime me numrat kompleksë:
a) Mbledhja: Për të mbledhur dy numra kompleksë, mbledhim pjesët reale dhe
pjesët imagjinare repsektive të tyre.
z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 + z2 = 2 + 3i + (-3) + i = -1 + 4i
b) Zbritja: Për të zbritur dy numra kompleksë, zbresim pjesët reale dhe pjesët
imagjinare repsektive të tyre.
z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 - z2 = 2 + 3i - (-3) - i = 5 + 2i
c) Shumëzimi: Për të shumëzuar dy numra kompleksë, kryejmë shumëzimin e dy
kllapave, pra numri i parë shumëzim numrin e dytë.
z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i z1 z2 = (2 + 3i) (-3 + i) = 2 + 2i – 9i -3
= -6 – 7i – 3 = -9 – 7i
d) Pjesëtimi: Për të pjesëtuar dy numra kompleksë, shumëzojmë edhe numëruesin
edhe emëruesin e thyesës me të konjuguarin e numrit kompleks në emërues.
z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + i

3. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
3
Funksionet speciale fuqi
Përkufizim: Një funksion polinomial kompleks është një funksion i trajtës
p(z) = anzn
+ an-1zn-1
+…+a1z + a0, ku n është një numër i plotë pozitiv dhe koeficientët
a konstante komplekse. Në përgjithësi, një funksion kompleks fuqi mund të jetë i
ndërlikuar, por në të shumtat e rasteve rruga e ndërtimit të tij mund të thjeshtohet.
Funksionet fuqi: Kujtojmë nga analiza reale faktin që funksioni i trajtës f(x) = xa
, ku
a është një konstante reale, është quajtur funksion fuqi. Funksioni kompleks fuqi në
ndryshim nga ai real, konstanten a në eksponent ose bazën i ka numra kompleksë. Me
fjalë të tjera, një funksion kompleks fuqi është një funksion i trajtës f(z) = za
, ku a
është një konstante komplekse. Nëse a është numër i plotë, funksioni fuqi za
mund të
llogaritet duke përdorur veprimet algjebrike në trajtën e numrave kompleksë si
shumëzim me vetveten etj. Për shembull: z2
= z dhe z-3
= . Ne gjithashtu mund
të përdorim formulat për të marrë rrënjët komplekse të funksionit fuqi me eksponent
thyesor 1/n. Për shembull ne mund të gjejmë rrënjët e funksionit fuqi z1/4
i cili na jep
katër rrënjët e z.
 Funksioni fuqi zn
Në këtë pjesë do të trajtojmë rastet e funksioneve fuqi zn
, ku n 2. Natyrshëm le të
fillojmë së pari me funksionin më të thjeshtë fuqi, me funksonin kompleks kuadratik
z2
.
Funksioni z2
: Rrënjët e funksionit kompleks fuqi f(z) = z2
janë të thjeshta për tu gjetur
duke përdorur shumëzimin e numrave kompleksë. Për shembull, për z = 2 – i, kemi
f(2 – i) = (2 – i)2
= (2 – i)(2 – i) = 3 – 4i. Për të ndërtuar funksionin = z2
, gjithsesi
na nevojitet edhe pak punë. Fillojmë duke
shprehur z si :
= z2
= ( )2
= r2
(1)
Prej këtu shohim që moduli r2
i pikës është
katrori i modulit r të pikës z, dhe argumenti i
është dyfishi i argumentit të z. Nëse
vendosim në të njëjtën kopje të planit kompleks
pikat dhe z, do të shohim se pika do të jetë e
zhvendosur me në lidhje me boshtin real
pozitiv dhe largesa nga origjina do të jetë r2
.
Është e rëndësishme që faktori zmadhues ose
zvogëlues dhe këndi rrotullues duke u bazuar në = z2
varet nga pozicioni i pikës z
në planin kompleks. Për shembull, f(2) = 4 dhe f( ) = , pika z = 2 është zmadhuar

4. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
4
dyfish, por nuk është rrotulluar, ndryshe nga pika z = , e cila është zvogëluar me ½
dhe është rrotulluar me . Në përgjithësi, funksioni kuadratik z2
nuk zmadhon modulet
e pikave të rrethit njësi |z| = 1 dhe nuk rrotullon pikat e boshtit real pozitiv.
Përshkrimi i grafikut të = z2
në termat e zmadhimit dhe zvogëlimit mund të përdoret
për të përfytyruar imazhin e disa bashkësive speciale. Për shembull, konsiderojmë një
rreze nga origjina që formon një kënd me boshtin real pozitiv. Të gjitha pikat e
kësaj rrezeje kanë argumentin , dhe në lidhje me funksionin = z2
këto pika të
gjitha kanë argumentin 2 . Kështu, imazhet e këtyre pikave kanë largesën r2
nga
origjina dhe këndin 2 në lidhje me boshtin real pozitiv.
Shembull 1: Imazhi i një harku rrethor në lidhje më funksionin = z2
.
Gjeni imazhin e harkut rrethor të përcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2 në lidhje
me = z2
Zgjidhje: Le të jetë C harku rrethor i përcaktuar nga |z| = 2, 0 arg(z) /2. Me C’
shënojmë imazhin e këtij harku në lidhje më = z2
. Përderisa çdo pikë e C ka
modulin 2 dhe grafiku rrethor = z2
modulin e zmadhon me katrorin e modulit të C,
rrjedh që moduli i çdo pike të C’ ka modulin 22
= 4. Rrjedh që imazhi i C’ është harku
rrethor me modul | | = 4, me qendër në origjinë dhe rreze 4. Përderisa argumentet e
pikave të C janë në intervalin [0 ; ] dhe përderisa funksioni = z2
argumentin e
dyfishon për C’, argumenti i C’ është [0 2 ; 2 ] = [0 ; ].
Pra bashkësia C’ është e përcaktuar nga | | = 4 dhe 0 arg( ) . Për më qartë
shohim se si transformohet grafiku në figurat e mëposhtme:
Grafiku i C Grafiku i C’
Shembull 2: Imazhi i një vije vertikale / horizontale në lidhje me = z2
Gjeni imazhin e vijës vertikale x = k në lidhje me = z2

5. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
5
Zgjidhje: Në këtë shembull është e përshtatshme të punojmë me pjesët reale dhe
imagjinare të = z2
me trajtën u(x, y) = x2
– y2
dhe v(x, y) = 2xy. Përderisa vija
vertikale x = k konsiston në pikat z = k + iy, , rrjedh që imazhi i kësaj
vije shkon në pikat = u + iv, ku
u = k2
– y2
, v = 2ky, , (2)
Nëse k 0, atëherë mund të eleminojmë variablin y nga (2) duke zgjidhur ekuacionin
e dytë për y = dhe zvendësuese e kësaj shprehje është shprehja:
u = k2
- , , (3)
Kështu, imazhi i vijës x = k (k 0) në lidhje me = z2
është bashkësia e pikave në
planin që kënaqin ekuacionin (3). Pra imazhi është parabola që krahët i ka të hapura
në drejtimin negativ të boshtit real ku pikat kanë koordinata (k2
, 0) dhe pa pikëprerje
në pikat (0, 2k2
). Vemë re nga (3) që imazhi nuk ndryshon nëse në vend të x = k të
kemi x = -k.
Në grafikët e mëposhtëm shohim se si transformohet grafiku i x = k në lidhje me
= z2
Vijat vertikale x = k në planin z Transformimi në lidhje me = z2
Tani shohim rastin e vijave horizontale y = k, k 0 duke arsyetuar si tek shembulli
me vijat vertikale.
u = - k2
(4)

6. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
6
Përsëri shohim që imazhi në (4) është i pavarur nëse në vend të k kemi –k dhe se vijat
horizontale y = k dhe y = -k, k 0, janë të njëjta në lidhje me = z2
. Nëse k = 0, pra
vija horizontale y = 0 pasqyrohet në boshtin real pozitiv.
Grafikët e mëposhtëm na sjellin më qartë këtë transformim
Vijat horizontale në planin z Imazhi i vijave horizontale në lidhje me = z2
Shembull 3: Imazhi i trekëndëshit në lidhje me = z2
Gjeni imazhin e trekëndëshit me kulme 0, 1 + i dhe 1 – i në lidhje me = z2
.
Zgjidhje: Le të jetë S trekëndëshi me kulme 0, 1 + i dhe 1 – i dhe le të jetë S’ imazhi i
këtij trekëndëshi në lidhje me = z2
. Secila nga tre brinjët e trekëndëshit do të
trajtohet veçmas. Brinja e S që përmban kulmet 0 dhe 1 + i shtrihet në një rreze që del
nga origjina dhe formon këndin radian me boshtin pozitiv të x-eve. Imazhi i këtij
segmenti zhvendoset në një brinjë me gjatësi sa katrori i gjatësisë së brinjës dhe me
kënd sa 2 radian. Moduli i kësaj brinje është √ , kurse i brinjës së S’ është
(√ )2
= 2. I njëjti arsyetim edhe për brinjën tjetër që kalon nga piker 0 dhe 1 – i, ku
moduli përsëri është (√ )2
= 2 kurse argumenti sa dyfishi përsëri, pra 2 ( )
radian.
Kurse brinja që kalon nga pikat 1 + i dhe 1 – i është vijë vertikale me ekuacion
x = 1, e cila me anë të transformimit = z2
transformohet në parabol me krahë të
drejtuar nga kahu negativ i boshtit real. Nga formula (2) dhe (3) kemi:
u = 1 - , -2
Kështu, kemi treguar imazhin e trekëndëshit S në lidhje me transformimin = z2
.

7. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
7
Më poshtë kemi grafikët e S dhe S’.
Trekëndëshi në planin z Transformimi në planin
Funksioni zn
, n 2. Analiza e cila përdorëm për rasin kur n = 2, do të përdoret edhe
për rastin kur n 2. Duke përdorur formulën e Muavrit kemi:
= zn
= rn
(5)
Nëse z dhe = zn
janë në të njëjtën kopje të planit kompleks, do të vemë re se moduli
i do të jetë rn
, kurse argunemti i do të jetë n radian në lidhje me boshtin real
pozitiv. Në figurën më poshtë është ilustruar rasti i = z3
, ku disa rreze janë
transformuar me këtë transformim.
Rrezet në planin z Transformimi i rrezeve në planin

8. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
8
Shembulli 4: Imazhi i një sektori qarkor në lidhje me = z3
Përcaktoni imazhin e një çerek disku të përcaktuar nga |z| 2, 0 arg(z) me
anë të transformimit = z3
.
Zgjidhje: Le të jetë S çerek disku i përcaktuar si më sipër dhe le të jetë S’ imazhi i tij
në lidhje me = z3
. Përderisa modulet e pikave të diskut variojnë nga 0 në 2 dhe
përderisa transformimi = z3
modulet i ngre në fuqi të tretë, rrjedh që modulet e
pikave në S’ të variojnë nga 03
= 0 deri në 23
= 8. Në të njëjtën logjikë, përderisa
argumentet e çerek diskut S variojnë nga 0 në dhe përderisa transformimi = z3
na i
trefishon modulet, rrjedh që modulet e S’ të variojnë nga 0 3 = 0 deri në 3 = .
Pra S’ është treçerek disku i përcaktuar nga | | 8 dhe 0 arg( ) .
Grafikët e mëposhtëm tregojnë qartë këtë transformim
Zona S në planin z Zona S’ në planin
 Funksioni fuqi z1/n
Tani do të shohim funksionet komplekse fuqi të trajtës z1/n
, ku n është një numër i
plotë dhe n 2. Fillojmë përsëri më rastin kur n = 2.
Funksioni kryesor i rrënjës katrore z1/2
: Nga formula e mësipërme (4) pamë që n
rrënjët e n-ta të një numri kompleks jozero z = r(cos + isin ) = r janë shprehur
nga:
√ * ( ) ( )+ = √ , ku k = 0, 1, 2, … , n – 1.
Veçanërisht, për n = 2, kemi që dy rrënjët katrore të z janë:

9. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
9
√ * ( ) ( )+ = √ për k = 0, 1 (6)
Formula (6) nuk përcakton një funksion sepse ai cakton dy numra kompleksë (një për
k = 0 dhe një për k = 1) tek numri kompleks z. Gjithsesi, nga = Arg(z) dhe k = 0 tek
(6) mund të përcaktojmënjë funksion që cakton tek z një rrënjë katrore kryesore të
vetme. Ky funksion është quajtur funksioni i rrënjës katrore kryesore.
Përkufizim: Funksioni kryesor i rrënjës katrore: Funksioni z1/2
i përcaktuar nga
z1/2
= √ (7)
është quajtur funksioni kryesor i rrënjës katrore.
Nëse shënojmë = Arg(z) dhe zvendësojmë z me r tek (7) ne marrim një formulë
alternative për funksionin kryesor të rrënjës katrore për |z| 0:
z1/2
= √ , = Arg(z) (8)
Shembull 5: Vlerat e z1/2
Gjeni vlerat e funksionit të rrënjës katrore kryesore z1/2
për pikat e mëposhtme:
a) z = 4 b) z = -2i c) z = -1 + i
Zgjidhje: Tek secili rast përdorim formulën (7) për të përcaktuar vlerat e z1/2
.
a) Për z = 4, kemi që |z| = 4 dhe Arg(z) = Arg(4) = 0, dhe nga (7) përftojmë:
41/2
= √ = 2e0
= 2
b) Për z = -2i kemi që |z| = |-2i| = 2 dhe Arg(z) = Arg(-2i) = , dhe kemi që:
(-2i)1/2
= √ √
c) Për z = - 1 + i kemi |z| = | - 1 + i| = √ dhe Arg(z) = Arg(-1 + i) = , dhe
përsëri nga formula (7) kemi:
(-1 + i)1/2
= √ √
( )
√
Funksioni fuqi = z1/2
: Funksioni kuadratik z2
është funksioni invers i funksionit
z1/2
, ku rrjedh që moduli i është sa rrënja katrore e modulit të z dhe argumenti i
është sa gjysma e argumentit të z për çdo pikë. Pra nëse z1/2
, kemi që | | = √
dhe Arg( ) = Arg(z).

10. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
10
Shembull 6: Imazhi i një sektori qarkor në lidhje me z1/2
Gjeni imazhin e bashkësisë S të përcaktuar nga |z| 3, , në lidhje
me funksionin e rrënjës katrore kryesore.
Zgjidhje: Le të jetë S’ imazhi i zonës S në lidhje me z1/2
. Përderisa |z| 3 për
pikat e S dhe përderisa z1/2
modulit i merr rrënjën katrore, rrjedh që | | √ për
pikat e S’. Në të njëjtën mënyrë arsyetojmë edhe për argumentin: Përderisa
për pikat e S dhe përderisa z1/2
argumentin e përgjysmon, rrjedh që
arg( ) . Pra bashkësia S’ është bashkësia e përcaktuar nga: | | √ dhe
arg( ) . Shohim në grafikët e mëposhtëm këtë transformim:
Bashkësia S Bashkësia S’ në lidhje me z1/2
Funksioni kryesor i rrënjs së n-të
Përkufizim: Funksioni kryesor i rrënjs së n-të: Për n 2, funksioni z1/n
i përcaktuar
nga z1/n
= √ është quajtur funksioni kryesor i rrënjës së n-të. (9)
Kujtojmë që z1/2
, pra për n = 2 është njëri nga rastet e funksionit z1/n
.
Nga fakti që z = me = Arg(z), ne gjithashtu mund të shprehim funksionin
kryesor të rrënjës së n-të si:
z1/n
= √ , = Arg(z)

11. FUNKSIONET KOMPLEKSE FUQI – H. DOKO
11
Shembull 7: Vlerat e z1/n
Gjeni vlerën kryesore të n-të për pikat z të mëposhtme:
a) z1/3
, z = 1 b) z1/5
, z = 1 - √
Zgjidhje: Në çdo rast përdorim formulën (9).
a. Për z = i, kemi |z| = 1 dhe Arg(z) = . Zvendësojmë këto vlerat tek formula (9)
me n = 3 dhe kemi:
i1/3
= √
( )
√
b. Për z = 1 - √ , kemi që |z| = √ √ √ √ dhe
Arg(z) = . Duke zvendësuar këto vlera tek (9) për n = 5 përftojmë:
(1 - √ )1/5
= √
( )
√
( )
Funksionet shumëvlerësh: Më lart pamë që një numër kompleks jozero z ka n rrënjë të
n-ta të dallueshme në planin kompleks. Kjo do të thotë që procesi i “marrjes së rrënjës
së n-të” i një numri kompleks z nuk përcakton një funksion kompleks sepse ai cakton
një bashkësi n elementëshe të numrit kompleks z. Një mënyrë e ngjashme është gjetja
e argumentit të numrit kompleks z. Sepse simboli arg(z) tregon një bashkësi të
pafundme vlerash, e cila nuk përfaqëson një funksion kompleks. Këto lloj veprimesh
me numrat kompleksë janë shembuj të funksioneve shumëvlerësh. Ky term shpesh
çon në konfuzion sepse një funksion shumëvlerësh nuk është një funksion; një
funksion, nga përkufizimi, duhet të jetë njëvlerësh. Termi funksion shumëvlerësh
është një term standard në analizën komplekse dhe gjithashtu ne do të përdorim atë në
raste të tilla.
Referenca: Teksti: “A first course in Complex Analysis, with applications. Dennis G.
Zill, Patrick”