Nje prezantim i shkurter rreth funksioneve te vazhdueshme dhe thyesave et vazhdueshme

1. UNIVERSITETI “ISMAIL QEMALI”
VLORË
FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
LËNDA: TEORI NUMRASH
SEMESTRI: VJESHTË 2017
DETYRË KURSI
Tema: Fraksionet e vazhdueshme, të fundme dhe
të pafundme.
Punoi: Pranoi:
Hysen Doko Prof. Arben Baushi
VLORË 2018

2. Në matematikë, një thyesë e vazhduar është një shprehje që përftohet përmes procesit
iterativ të paraqitjes së një numri si shumë e pjesës së tij të plotë me të anasjelltin e një
numri tjetër, më pas shkrimit të këtij numri tjetër si shumë e pjesës së tij të plotë me një
tjetër të anasjelltë, e kështu me rradhë. Tek një thyesë e vazhduar e fundme (ose e mbaruar/e
përfunduar), iteracioni/rekursioni (dmth përsëritja) përfundon pas një numri të fundëm
hapash duke përdorur një të plotë në vend të një thyese tjetër të vazhduar. Ndryshe nga kjo,
një thyesë e vazhduar e pafundme është në çdo rast një shprehje infinit (pa fund), ku të
gjithë të plotët njëri pas tjetrit, veç të parit, duhet të jenë pozitivë. Numrat e plotë ai quhen
koefiçentë ose terma të thyesës së vazhduar.
Thyesat e vazhduara kanë një numër vetish të dallueshme që lidhen me algoritmin Euklidian
për numrat e plotë ose realë. Çdo numër racional ka dy shprehje të lidhura ngushtë si një
thyesë e vazhduar e fundme, koefiçentët e të cilit ai mund të përcaktohen duke aplikuar
algoritmin Euklidian për (p,q). Vlera numerike e një thyese të vazhduar të pafundme është
irracionale; ajo përcaktohet nga sekuenca e tij e pafundme me numra të plotë si limiti i
sekuencës së vlerave për thyesat e vazhduara të fundme. Çdo thyesë e vazhduar e fundme e
një sekuence përftohet duke përdorur një prefiks të fundëm të thyesës infinit të vazhduar që
përcakton sekuencën e numrave të plotë. Për më tepër, çdo numër irracional α është vlera e
një thyese të vetme të vazhduar të pafundme, koefiçentët e së cilës mund të gjenden duke
përdorur versionin jo-përfundues të algoritmit Euklidian të aplikuar ndaj vlerave të pamata α
dhe 1 (njëshit). Kjo mënyrë e shprehjes së numrave realë (racionalë e irracionalë) quhet
paraqitje me thyesë të vazhduar e tyre.
1. Formula bazë
Një thyesë e vazhduar është një shprehje e formës
ku ai dhe bi janë ose numra racionalë, ose numra realë, ose numra kompleksë. Nëse
, shprehja quhet thyesë e vazhduar e thjeshtë. Nëse shprehja përmban një numër të
fundëm termash, ajo quhet thyesë e vazhduar e fundme. Nëse shprehja përmban një numër
të pafundëm termash, ajo quhet një thyesë e vazhduar e pafundme.
2. Shënimet për thyesat e vazhduara
Numrat e plotë a0, a1, etj., quhen koefiçentë ose terma të thyesës së vazhduar. Ndokush
mund ta shkurtojë thyesën e vazhduar:

3. në shënimin e Carl Friedrich Gauss, si më poshtë:
ose si [ ],
ose në shënimin e Pringsheim si më poshtë:
|
|
|
|
|
|
ose në një tjetër shënim të lidhur me të si në vijim:
Ndonjëherë përdoren kllapat këndore, si më poshtë:
〈 〉.
Pikë-presja në shënimet me kllapa katrore ose këndore ndonjëherë zëvendësohet me presje.
Ndokush mundet edhe të përkufizojë thyesat e vazhduara të thjeshta të pafundme si limite:
[ ] [ ]
Ky limit ekziston për çdo zgjedhje të a0 dhe të plotëve pozitivë a1,a2,...
3. Thyesat e vazhduara të fundme
Çdo thyesë e vazhduar e fundme paraqet një numër racional, dhe çdo numër racional mund
të paraqitet në saktësisht dy mënyra si thyesë e vazhduar e fundme, me kushtet që koefiçenti
i parë të jetë një i plotë dhe koefiçentët e tjerë të jenë të plotë pozitivë. Këto dy paraqitje
pajtohen përveçse në termat e tyre fundorë. Në paraqitjen më të gjatë, termi fundor në
thyesën e vazhduar është 1; paraqitja më e shkurtër e rrëzon 1-in fundor, por rrit termin e ri
fundor me 1. Elementi fundor në paraqitjen më të shkurtër është kësisoj më i madh se 1,
nëse ekziston. Në simbole, kjo shkruhet:
[ ] [ ].
[ ] [ ].
4. Thyesat e vazhduara të pafundme dhe konvergjentët
Çdo thyesë e vazhduar e pafundme është irracionale, dhe çdo numër irracional mund të
paraqitet në saktësisht një mënyrë si thyesë e vazhduar e pafundme.
Një paraqitje me thyesë të vazhduar të pafundme për një numër irracional është e dobishme
pasi segmentet e saj iniciale ofrojnë përafrime racionale të numrit. Këta numra racionalë
quhen konver-gjentë të thyesës së vazhduar. Sa më i madh të jetë një term në thyesë të
vazhduar, aq më afër është konvergjenti korrespondues me numrin irracional që po

4. përafrohet. Numra si π kanë terma rastësorë të mëdhenj në thyesën e tyre të vazhduar, që i
bën ata të lehtë për t’u përafruar me numra racionalë. Të tjerë numra si e kanë vetëm terma
të vegjël hershëm në thyesën e tyre të vazhduar, çka i bën ata më të vështirë për t’u
përafruar racionalisht. Raporti i artë ϕ ka terma baraz me 1 kudo – vlerat më të vogla të
mundshme – çka e bën ϕ numrin më të vështirë për t’u përafruar racionalisht. Në këtë
kuptim, kësisoj, ai është “më irracionali” i numrave irracionalë. Konvergjentët e numëruar-
çift janë më vegjël se numri origjinal, ndërsa të numëruarit-tek janë më të mëdhenj.
Për një thyesë të vazhduar [ ], katër konvergjentët e parë (të numëruar nga 0 në
3) janë:
( ) ( ( ) ) ( )
( )
Me fjalë, numëruesi i konvergjentit të tretë formohet nga shumëzimi i numëratorit të
konvergjentit të dytë me raportin e tretë, duke shtuar numëratorin e konvergjentit të parë.
Emëruesit formohen ngjashmërisht. Pra, çdo konvergjent shprehet qartësisht në terma të
thyesës së vazhduar si raport i ca polinomeve multivariate të quajtur vazhduesa. Nëse
gjenden konvergjentët e njëpasnjëshëm, me numërues e emërues , atëherë
relacioni rilevant rekursiv është (për secilën palë):
Konvergjentët e njëpasnjëshëm jepen nga formula:
Kësisoj, për të përfshirë një term të ri në një përafrim racional, nevojiten vetëm dy
konvergjentët e mësipërm. “Konvergjentët” inicialë (të kërkuar për dy termat e parë) janë
⁄ dhe ⁄ . P.sh., tabela më poshtë jep konvergjentët për [ ]:
n -2 -1 0 1 2 3 4
an 0 1 5 2 2
hn 0 1 0 1 5 11 27
kn 1 0 1 1 6 13 32
Kur përdorim metodën Babiloniane për të gjeneruar përafrimet e njëpasnjëshme me rrënjën
katrore të një të ploti, nëse ndokush nis me të plotin më të vogël si përafrim të parë,
racionalët e gjeneruar do të shfaqen në listën e konvergjentëve për thyesën e vazhduar.
Specifikisht, përafruesit do të shfaqen në listën e konvergjentëve në pozicionet
0,1,3,7,15,...,2k
-1,... P.sh., zgjerimi i thyesës së vazhduar për √ është
[ ]. Duke krahasuar konvergjentët me përafruesit e derivuar nga metoda
Babiloniane, marrim tabelën vijuese:
n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
an 1 1 2 1 2 1 2 1
hn 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97
kn 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56
( )
( )