Ne ndihme te nxenesve te klases se 10 dhe maturanteve

1. Tema mësimore: Teoremat për rrethin
Rezultatet e të
nxënit
• formulon qartë teoremat që kanë të bëjnë me rrethin,
këndet, rrezet, tangjentet, kordat
▪përdor arsyetimin për
të gjykuar zgjidhjen e
një problemi
gjeometrik me
ndihmën e njohurive të
mësuara.
• vërteton dhe zbaton teoremat e rrethit që u referohen
këndeve, rrezes, tangjentes, kordave
Fjalët kyçe: rreth;
rreze; tangjente;
kënde rrethorë;
kënde qendrore;
kordë; përmesore;
shumëkëndëshi
• merr informacion nga figura gjeometrike të thjeshta dhe jep
informacion nga figura të tilla;

2. Ç’kuptojmë me kënd rrethor?
Po kënd qëndror? Çfarë lidhje ekziston
mes këndit rrethor (qëndror) dhe harkut
ku ai mbështetet?
∆ -Këndi qëndror është sa dyfishi i këndit
rrethor që mbështetet mbi të njëjtin hark.
∆ -Këndi rrethor që mbështetet mbi
diametër, është 90°.
A
B
C
O
Disa teorema për rrethin përfshijnë fakte rreth këndeve në rreth.
A
B
C
D
x
2x

3. Këndet rrethore që mbështeten mbi të njëjtin hark, janë të barabartaNë çdo rreth
Shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar
në një rreth, është 180°.
Katërkëndëshi i
brendashkruar në rreth
Gjeni vlerën e këndeve të panjohur të dhënë në figurën e mëposhtmeZbatim
.
A
B
C
D
A
B
C
D
෣𝐴𝐵𝐶 + ෣𝐴𝐷𝐶 = ෣𝐵𝐴𝐷 + ෣𝐵𝐶𝐷 = 180°
෣𝐴 𝐵𝐶 = ෣𝐴 𝐷𝐶
A
B
C
D
Fillimisht vëmë re që AB është diameter. ෣𝐴 𝐷𝐵 është kënd rrethor që mbështetet në diameter,pra e ka
masën 90°.Pra n= 90° .
𝑚 ฏ𝐴𝐷 = 2 ∙ 118° = 236° pasi mbi të mbështetet këndi rrethor ෣𝐴𝐶𝐷 me masë 118° <=> 𝑚 ฏ𝐵𝐷 = 56°
<=> m෣𝐵 𝐴𝐷 = 𝑝 = 28°.Në trekëndëshin ABD kemi m෣𝐴 𝐵𝐷 = 180° − 90° + 28° = 62°. 𝑃𝑟𝑎 𝑚 = 62°

4. .
Disa teorema për rrethin kanë të bëjnë me rrezet, tangjentet dhe kordat.
 Tangjentja e rrethit në një pikë është pingule me rrezen e rrethit në atë
pikë. OE ⊥ AE
 Segmentet e tangjenteve të rrethit, të hequra nga një pikë jashtë tij:
a janë kongruente; PQ=PR
b formojnë kënde të barabarta me drejtëzën që kalon nëpër këtë pikë dhe
qendrën e rrethit. ෣𝑂𝑃𝑄 ≡ ෣𝑂𝑃𝑅
Drejtëza që kalon nga qendra e rrethit dhe është pingule me një kordë të
tij, është përmesore e kësaj korde
OM ⊥ AB <=> AM = MB
O
E
A

5.  Këndi ndërmjet një tangjenteje dhe një korde, është i barabartë me këndin rrethor që mbështetet
në harkun që tendos korda. ෣𝐸𝐴𝐶 ≡ ෣𝐴𝐵𝐶 ⋮ ෣𝐹𝐴𝐵 ≡ ෣𝐴𝐶𝐵
A
E
F
B
C
Në figurën e dhënë, gjeni këndet a dhe b. Argumentoni përgjigjen tuaj.
Trekëndëshi i dhënë në figurë ka dy brinjë të barabarta, si rrjedhim është
trekëndësh dybrinjënjëshëm. Një trekëndësh dybrinjënjëshëm i ka dy këndet e
bazës të barbartë, pra i ka të dy a. Duke qënë se shuma e këndeve të një
trekëndëshi është 180°, kemi: a+a+39°=180°
2a=180°−39°
2a=141°
a=70,5°
Mësuam që këndi ndërmjet tangjentes dhe kordës është i barabartë me këndin
rrethor që mbështetet në harkun që tendos korda.Pra b=39°

6. Këndi ෣𝐴 𝐵𝐷 dhe këndi ෢ACD janë kënde rrethore të
mbështetura në të njëjtin hark, prandaj ෣𝑚ACD = m෣𝐴𝐵𝐷=64°.
Këndi ෣𝐶𝐷𝐴 është kënd rrethor i mbështetur në diametër,
prandaj ai është kënd i drejtë, m෣𝐶𝐷𝐴=90°. Dimë që shuma e
këndeve të një trekëndëshi është 180°, në trekëndëshin ACD
gjejmë m෣𝐶𝐴𝐷=180°−m෣𝐴𝐷𝐶−m ෣𝐴𝐶𝐷=180°−90°−64°=26°.
OD është rreze e rrethit, ndërsa EF është tangjente me
rrethin.Dimë që rrezja dhe tangjentja e rrethit në të njëjtën
pikë janë pingule, si rrjedhim ෣𝑚EDO=90° dhe m ෢ODF=90°.
Nga teoremat e rrethit dimë që këndi ndërmjet një
tangjenteje dhe një korde, është i barabartë me këndin
rrethor që mbështetet në harkun që tendos korda. Nga kjo
teoremë rrjedh që m ෢ADF=64°. ෢EDF është kënd i shtrirë,
prandaj kemi
m ෢CDE=m ෢EDF−m෣CD𝐴−m෣ADF=180°−90°−64°=26°.
Në figurën e mëposhtme, ∠ABD=64°.
Gjeni këndet ෣𝐴 𝐶𝐷, ෢CAD, ෢ADF dhe
෢CDE.

7. Ushtrimi 1. Dy drejtëza prerëse formojnë 4 kënde, njëri prej të cilëve është 450. Gjeni këndet e tjera.
Ushtrimi 2. Në trekëndëshin kënddrejtë me katete 12 dhe 15 cm, njehsoni lartësinë mbi hipotenuzë.
Ushtrimi 3. Një katror ka syprinë të barabartë me trekëndëshin me bazë 27 cm dhe lartësi 24 cm. Gjeni brinjën e katrorit.
Ushtrimi 4. Nga cilindri me rreze të bazës 10 cm, dhe lartësi 7 cm, është hequr një gjysmësferë me rreze 3 cm. Njehsoni
syprinën dhe vëllimin e trupit të përftuar.
Ushtrimi 5.Përcaktoni nëse trekëndëshi me brinjë 17, 15 dhe 8 është trekëndësh kënddrejtë.
Ushtrimi 6. Dy prej këndeve të balonës janë 1300 dhe 500. Njehsoni këndet e tjera të saj.
Ushtrimi 7. Vëllimi i një cilindri është 510 cm2. Gjeni lartësinë e tij nëse rrezja e bazës është 45 mm.
Ushtrimi 8. Dy trekëndësha ABC dhe MNP janë të ngjashëm me koeficient ngjashmërie 1, 5. Gjeni:
a) raportin e syprinave dhe perimetrave;
b) brinjën më të vogël të trekëndëshit ABC, nëse brinja më e vogël e trekëndëshit MNP është 7 cm më e vogël se
brinja më e vogël e trekëndëshit ABC.
Detyre Ushtrimi 1. Përcaktoni nëse trekëndëshi me brinjë 17, 15 dhe 8 është trekëndësh kënddrejtë.
Ushtrimi 2. Dy prej këndeve të balonës janë 1300 dhe 500. Njehsoni këndet e tjera të saj.
Ushtrimi 3. Vëllimi i një cilindri është 510 cm2. Gjeni lartësinë e tij nëse rrezja e bazës është 45 mm.
Ushtrimi 4. Dy trekëndësha ABC dhe MNP janë të ngjashëm me koeficient ngjashmërie 1, 5. Gjeni:
a) raportin e syprinave dhe perimetrave;
b) brinjën më të vogël të trekëndëshit ABC, nëse brinja më e vogël e trekëndëshit MNP është 7 cm më e vogël se
brinja më e vogël e trekëndëshit ABC.