SlideShare a Scribd company logo

Trekendeshi Hysen Doko

H
Hysen Doko

Prezantim ne lidhje me trekendeshin.

1 of 33
Download to read offline
DETYRË KURSI
Lënda: Thellime në gjeometrinë
elementare.
Universiteti i Vlorës
“Ismail Qemali”
Fakulteti i shkencave Teknike
Tema:
Trekëndëshi
Universiteti i Vlorës
“Ismail Qemali”
Fakulteti i shkencave Teknike
Koncepte dhe përkufizime
• Trekëndëshi me kulme 𝑨, 𝑩, 𝑪 shënohët simbolikisht me
∆ 𝑨𝑩𝑪 .
• Brinjët përballë kulmeve përkatës shënohen me
a, b, c.
• Vektorët korrespondues të brinjëve shënohen 𝒂, 𝒃, 𝒄.
• Ka vend barazimi vektorial: 𝒂 + 𝒃 = 𝒄.
• Kanë vend mosbarazimet:
𝒂 < 𝒃 + 𝒄, 𝒃 < 𝒂 + 𝒄, 𝒄 < 𝒂 + 𝒃
• Këndet e brendshëm të trekëndëshit shënohen me
𝜶, 𝜷, 𝜸.
Teorema e Kosinusit
Meqë kemi të vërtetë 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 mund të shkruajmë
prodhimin skalar të dy vektorëve vetëm në termat e
gjatësive të brinjëve të trekëndëshit:
𝒃 ∙ 𝒄 =
𝟏
𝟐
𝒃
𝟐
+ 𝒄 𝟐 − 𝒃 − 𝒄
𝟐
=
𝟏
𝟐
(𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐)
Nga ku përftojmë masën e këndit në kulim A:
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝟐𝒃𝒄
Kjo është Teorema e Kosinusit.
Pohime
Pohim 1. Një trekëndësh është dybrinjëshëm
atëherë dhe vetëm atëherë kur dy prej këndeve
të tij të brendëshëm kanë masë të barabartë.
Pohim 2. Një trekëndësh është barabrinjës
atëhrë dhe vetëm atëherë kur të tre këndet e tij
të brendëshëm kanë masa të barabarta.
Masa e këndeve
të brendshëm
• Teoremë (Shuma e këndeve të një
trekëndëshi). Nëse 𝛼, 𝛽 dhe 𝛾 janë tre kënde të
brendshme të një trekëndëshi atëherë
𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝝅.
• Teoremë: Shuma e këndeve të brendshme të
një shumëkëndëshi të mysët me n-kënde është
(𝒏 − 𝟐)𝝅 .

Recommended

Drejteza dhe Trekendeshi Hysen Doko
Drejteza dhe Trekendeshi   Hysen DokoDrejteza dhe Trekendeshi   Hysen Doko
Drejteza dhe Trekendeshi Hysen DokoHysen Doko
 
Trupat gjeometrik
Trupat gjeometrikTrupat gjeometrik
Trupat gjeometrikEsmer Alda
 
Syprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitSyprina e trekëndëshit
Syprina e trekëndëshitRamiz Ilazi
 
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshmeProjekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshme
Projekt; Gjeometria ne programet shkollore e jeten e perditshmesidorelahalilaj113
 
Trekendeshat mat. 9.4
Trekendeshat mat. 9.4Trekendeshat mat. 9.4
Trekendeshat mat. 9.4Stiven Baci
 

More Related Content

What's hot

Projekt Fiskultur - Voleyball
Projekt Fiskultur - VoleyballProjekt Fiskultur - Voleyball
Projekt Fiskultur - VoleyballMarinela Abedini
 
Trapezi dhe delltoidi
Trapezi dhe delltoidi Trapezi dhe delltoidi
Trapezi dhe delltoidi Besjona Jusufi
 
Projekt Matematike
Projekt MatematikeProjekt Matematike
Projekt MatematikeS Gashi
 
Llibri-i-mesuesit-matematika-11
Llibri-i-mesuesit-matematika-11Llibri-i-mesuesit-matematika-11
Llibri-i-mesuesit-matematika-11Ferit Fazliu
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikoreKlea Vyshka
 
Mendimi filozofik ne Antikitet
Mendimi filozofik ne AntikitetMendimi filozofik ne Antikitet
Mendimi filozofik ne Antikitetolinuhi
 
Trekendeshat mat. 9.3
Trekendeshat mat. 9.3Trekendeshat mat. 9.3
Trekendeshat mat. 9.3Stiven Baci
 
Teoremat e rrethit
Teoremat e rrethitTeoremat e rrethit
Teoremat e rrethitTeutë Domi
 
iliada analize , Analize e Iliades
iliada analize , Analize e Iliadesiliada analize , Analize e Iliades
iliada analize , Analize e Iliadesssuseree34b8
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraolinuhi
 
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyre
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyreprojekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyre
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyreFatjon Cane
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteTeutë Domi
 
lasgush poradeci
lasgush poradecilasgush poradeci
lasgush poradeciornela rama
 
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshit
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshitSyprina e katërorit dhe drejtkëndëshit
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshitAdelina Fejzulla
 
Projekt matematik ekuacione
Projekt matematik ekuacioneProjekt matematik ekuacione
Projekt matematik ekuacionemanomano46
 

What's hot (20)

Projekt Fiskultur - Voleyball
Projekt Fiskultur - VoleyballProjekt Fiskultur - Voleyball
Projekt Fiskultur - Voleyball
 
Limiti i vargut
Limiti i vargutLimiti i vargut
Limiti i vargut
 
Trapezi dhe delltoidi
Trapezi dhe delltoidi Trapezi dhe delltoidi
Trapezi dhe delltoidi
 
Projekt Matematike
Projekt MatematikeProjekt Matematike
Projekt Matematike
 
Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet Derivati dhe zbatimet
Derivati dhe zbatimet
 
Llibri-i-mesuesit-matematika-11
Llibri-i-mesuesit-matematika-11Llibri-i-mesuesit-matematika-11
Llibri-i-mesuesit-matematika-11
 
Funksione matematikore
Funksione matematikoreFunksione matematikore
Funksione matematikore
 
Mendimi filozofik ne Antikitet
Mendimi filozofik ne AntikitetMendimi filozofik ne Antikitet
Mendimi filozofik ne Antikitet
 
Trekendeshat mat. 9.3
Trekendeshat mat. 9.3Trekendeshat mat. 9.3
Trekendeshat mat. 9.3
 
Puna
PunaPuna
Puna
 
Teoremat e rrethit
Teoremat e rrethitTeoremat e rrethit
Teoremat e rrethit
 
iliada analize , Analize e Iliades
iliada analize , Analize e Iliadesiliada analize , Analize e Iliades
iliada analize , Analize e Iliades
 
energjia
energjia energjia
energjia
 
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjeraLidhja e matematikes me lendet e tjera
Lidhja e matematikes me lendet e tjera
 
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyre
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyreprojekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyre
projekt: shkrimtaret bashkohor shqiptar dhe veprat e tyre
 
Matematika8
Matematika8Matematika8
Matematika8
 
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyteMenyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
Menyrat e zgjidhjes se ekuacionit te fuqise se dyte
 
lasgush poradeci
lasgush poradecilasgush poradeci
lasgush poradeci
 
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshit
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshitSyprina e katërorit dhe drejtkëndëshit
Syprina e katërorit dhe drejtkëndëshit
 
Projekt matematik ekuacione
Projekt matematik ekuacioneProjekt matematik ekuacione
Projekt matematik ekuacione
 

Similar to Trekendeshi Hysen Doko

Trekendeshat dhe simbolet
Trekendeshat dhe simboletTrekendeshat dhe simbolet
Trekendeshat dhe simboletLediø Bøjka
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdmarjeta tabaku
 
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencat
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencatPunim seminarik-Teoria e numrave,kongruencat
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencatMrChelsea01
 
Trekendeshat mat. 9.5
Trekendeshat mat. 9.5Trekendeshat mat. 9.5
Trekendeshat mat. 9.5Stiven Baci
 
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen DokoFigurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen DokoHysen Doko
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionetcoupletea
 
Trekendeshat mat. 9.1
Trekendeshat mat. 9.1Trekendeshat mat. 9.1
Trekendeshat mat. 9.1Stiven Baci
 
Trekendeshat mat. 9
Trekendeshat mat. 9Trekendeshat mat. 9
Trekendeshat mat. 9Stiven Baci
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Esat_Imeraj
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IXEsat_Imeraj
 

Similar to Trekendeshi Hysen Doko (19)

Trekendeshat dhe simbolet
Trekendeshat dhe simboletTrekendeshat dhe simbolet
Trekendeshat dhe simbolet
 
Matematike
MatematikeMatematike
Matematike
 
Marjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cdMarjeta tabaku tema cd
Marjeta tabaku tema cd
 
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencat
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencatPunim seminarik-Teoria e numrave,kongruencat
Punim seminarik-Teoria e numrave,kongruencat
 
Tema e diplomes msc
Tema e diplomes mscTema e diplomes msc
Tema e diplomes msc
 
Tema e diplomes msc
Tema e diplomes msc Tema e diplomes msc
Tema e diplomes msc
 
TALESI DHE TEOREMA E TALESIT
TALESI DHE TEOREMA E TALESIT TALESI DHE TEOREMA E TALESIT
TALESI DHE TEOREMA E TALESIT
 
Teorema e talesit
Teorema e talesitTeorema e talesit
Teorema e talesit
 
Trekendeshat mat. 9.5
Trekendeshat mat. 9.5Trekendeshat mat. 9.5
Trekendeshat mat. 9.5
 
Matematika 10
Matematika 10Matematika 10
Matematika 10
 
Gjeometri klasa 9
Gjeometri klasa 9Gjeometri klasa 9
Gjeometri klasa 9
 
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen DokoFigurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko
Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko
 
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!PUNIM  SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!
 
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionetLigjerata 10   permutacionet, kombinacionet, variacionet
Ligjerata 10 permutacionet, kombinacionet, variacionet
 
Trekendeshat mat. 9.1
Trekendeshat mat. 9.1Trekendeshat mat. 9.1
Trekendeshat mat. 9.1
 
Trekendeshat mat. 9
Trekendeshat mat. 9Trekendeshat mat. 9
Trekendeshat mat. 9
 
Gjeometria kl-9
Gjeometria kl-9Gjeometria kl-9
Gjeometria kl-9
 
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
Permbledhje ushtrimesh e problema klasa9
 
Matematke- klasa IX
Matematke- klasa IXMatematke- klasa IX
Matematke- klasa IX
 

More from Hysen Doko

Problema ndertimi - Hysen Doko
Problema ndertimi - Hysen DokoProblema ndertimi - Hysen Doko
Problema ndertimi - Hysen DokoHysen Doko
 
Plani mesimor vjetor hysen doko
Plani mesimor vjetor   hysen dokoPlani mesimor vjetor   hysen doko
Plani mesimor vjetor hysen dokoHysen Doko
 
Pikat fikse Hysen Doko
Pikat fikse  Hysen DokoPikat fikse  Hysen Doko
Pikat fikse Hysen DokoHysen Doko
 
Pikat fikse hysen doko
Pikat fikse   hysen dokoPikat fikse   hysen doko
Pikat fikse hysen dokoHysen Doko
 
Funksionet e vazhdueshme Hysen Doko
Funksionet e vazhdueshme   Hysen DokoFunksionet e vazhdueshme   Hysen Doko
Funksionet e vazhdueshme Hysen DokoHysen Doko
 
Elektriciteti Hysen Doko
Elektriciteti   Hysen DokoElektriciteti   Hysen Doko
Elektriciteti Hysen DokoHysen Doko
 
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Hysen Doko
 
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Hysen Doko
 
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen Doko
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen DokoDetyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen Doko
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen DokoHysen Doko
 
Funksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoFunksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoHysen Doko
 
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen Doko
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen DokoFraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen Doko
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen DokoHysen Doko
 
Hysen Doko, Didaktike matematike
Hysen Doko, Didaktike matematikeHysen Doko, Didaktike matematike
Hysen Doko, Didaktike matematikeHysen Doko
 
Ligjet e Njutonit Hysen Doko
Ligjet e Njutonit Hysen DokoLigjet e Njutonit Hysen Doko
Ligjet e Njutonit Hysen DokoHysen Doko
 

More from Hysen Doko (13)

Problema ndertimi - Hysen Doko
Problema ndertimi - Hysen DokoProblema ndertimi - Hysen Doko
Problema ndertimi - Hysen Doko
 
Plani mesimor vjetor hysen doko
Plani mesimor vjetor   hysen dokoPlani mesimor vjetor   hysen doko
Plani mesimor vjetor hysen doko
 
Pikat fikse Hysen Doko
Pikat fikse  Hysen DokoPikat fikse  Hysen Doko
Pikat fikse Hysen Doko
 
Pikat fikse hysen doko
Pikat fikse   hysen dokoPikat fikse   hysen doko
Pikat fikse hysen doko
 
Funksionet e vazhdueshme Hysen Doko
Funksionet e vazhdueshme   Hysen DokoFunksionet e vazhdueshme   Hysen Doko
Funksionet e vazhdueshme Hysen Doko
 
Elektriciteti Hysen Doko
Elektriciteti   Hysen DokoElektriciteti   Hysen Doko
Elektriciteti Hysen Doko
 
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
 
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
Faktoret ndikues ne edukimin e adoleshenteve Hysen Doko
 
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen Doko
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen DokoDetyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen Doko
Detyrat zhvillimore te adoleshentit - Hysen Doko
 
Funksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen DokoFunksionet fuqi - Hysen Doko
Funksionet fuqi - Hysen Doko
 
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen Doko
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen DokoFraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen Doko
Fraktalet ne kulturen Islame Mesjetare - Hysen Doko
 
Hysen Doko, Didaktike matematike
Hysen Doko, Didaktike matematikeHysen Doko, Didaktike matematike
Hysen Doko, Didaktike matematike
 
Ligjet e Njutonit Hysen Doko
Ligjet e Njutonit Hysen DokoLigjet e Njutonit Hysen Doko
Ligjet e Njutonit Hysen Doko
 

Trekendeshi Hysen Doko

  • 1. DETYRË KURSI Lënda: Thellime në gjeometrinë elementare. Universiteti i Vlorës “Ismail Qemali” Fakulteti i shkencave Teknike
  • 2. Tema: Trekëndëshi Universiteti i Vlorës “Ismail Qemali” Fakulteti i shkencave Teknike
  • 3. Koncepte dhe përkufizime • Trekëndëshi me kulme 𝑨, 𝑩, 𝑪 shënohët simbolikisht me ∆ 𝑨𝑩𝑪 . • Brinjët përballë kulmeve përkatës shënohen me a, b, c. • Vektorët korrespondues të brinjëve shënohen 𝒂, 𝒃, 𝒄. • Ka vend barazimi vektorial: 𝒂 + 𝒃 = 𝒄. • Kanë vend mosbarazimet: 𝒂 < 𝒃 + 𝒄, 𝒃 < 𝒂 + 𝒄, 𝒄 < 𝒂 + 𝒃 • Këndet e brendshëm të trekëndëshit shënohen me 𝜶, 𝜷, 𝜸.
  • 4. Teorema e Kosinusit Meqë kemi të vërtetë 𝒂 + 𝒄 = 𝒃 mund të shkruajmë prodhimin skalar të dy vektorëve vetëm në termat e gjatësive të brinjëve të trekëndëshit: 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝟏 𝟐 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒃 − 𝒄 𝟐 = 𝟏 𝟐 (𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐) Nga ku përftojmë masën e këndit në kulim A: 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐𝒃𝒄 Kjo është Teorema e Kosinusit.
  • 5. Pohime Pohim 1. Një trekëndësh është dybrinjëshëm atëherë dhe vetëm atëherë kur dy prej këndeve të tij të brendëshëm kanë masë të barabartë. Pohim 2. Një trekëndësh është barabrinjës atëhrë dhe vetëm atëherë kur të tre këndet e tij të brendëshëm kanë masa të barabarta.
  • 6. Masa e këndeve të brendshëm • Teoremë (Shuma e këndeve të një trekëndëshi). Nëse 𝛼, 𝛽 dhe 𝛾 janë tre kënde të brendshme të një trekëndëshi atëherë 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝝅. • Teoremë: Shuma e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi të mysët me n-kënde është (𝒏 − 𝟐)𝝅 .
  • 7. Teorema e Pitagorës Këndi i brendshëm 𝛾 është kënd i drëjtë atëherë dhe vetëm atëherë kur 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐. Një vërtetim gjeometrik i teoremës së Pitagorës bëhet duke llogaritur siperfaqen e një katrori me brinjë (a+b) dhe duke e ndarë atë në dy mënyra të ndryshme si në figurë. Mendohet se ky është një vërtetim që Babilonasit e kanë ditur që prej viteve 1900-1600 p.e.s., shumë kohë më parë në krahasim me Pitagorianët (570-480).
  • 8. Treshja Pitagoriane Treshja (𝒂, 𝒃, 𝒄) e numrave natyrorë është quajtur treshe Pitagoriane në qoftë se 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒄 𝟐 . Është e qartë se edhe treshja e formës (𝒌𝒂, 𝒌𝒃, 𝒌𝒄) për 𝒌 ∈ ℕ është Pitagoriane. Treshja (𝒂, 𝒃, 𝒄) quhet treshe e thjeshtë Pitagoriane nëse numrat 𝒂, 𝒃, 𝒄 janë të thjeshtë midis tyre. Për të përftuar numra Pitagorianë mjafton 𝒖 < 𝒗 të jenë dy numra natyrorë jo të dy tek, dhe numrat Pitagorianë të përftuar janë: 𝒂 = 𝒗 𝟐 − 𝒖 𝟐 , 𝒃 = 𝟐𝒖𝒗, 𝒄 = 𝒗 𝟐 + 𝒖 𝟐
  • 9. Teoremat e Euklidit • Teorema e Kateteve: Në një trekëndësh kënddrejtë: 𝒂 𝟐 = 𝑩𝑪 𝟐 = 𝑩𝑭 ∙ 𝒄, 𝒃 𝟐 = 𝑨𝑪 𝟐 = 𝑨𝑭 ∙ 𝒄 • Teorema e Lartësisë: Në një trekëndësh kënddrejtë: 𝒉 𝟐 = 𝑨𝑭 ∙ 𝑩𝑭
  • 10. Kongruenca e trekëndëshave • Teoremë: Dy trekëndësha në plan me gjatësi brinësh 𝑎, 𝑏, 𝑐 dhe 𝑎′ , 𝑏′ , 𝑐′ janë kongruentë nëse 𝑎 = 𝑎′ , dhe 𝑏 = 𝑏′, 𝑐 = 𝑐′. • Teoremë: (Teorema e kongruencës për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë kongruentë nëse kanë të njëjta: 1. Gjatësitë e tre brinjëve (rasti BBB). 2. Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin e përfshirë midis tyre (rasti BKB). 3. Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin që ndodhet përballë brinjës me gjatësi më të madhe. 4. Dy kënde dhe brinjën e përfshirë midis tyre (rasti KBK).
  • 11. Ngjashmëria e trekëndëshave • Teoremë: Dy trekëndësha në plan me gjatësi brinësh 𝑎, 𝑏, 𝑐 dhe 𝑎′, 𝑏′, 𝑐′ janë të ngjashëm kur plotësohet relacioni: 𝒂 𝒃 = 𝒂′ 𝒃′ , 𝒂 𝒄 = 𝒂′ 𝒄′ , 𝒃 𝒄 = 𝒃′ 𝒄′ . • Teoremë: (Teorema e ngjashmërisë për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë të ngjashëm nëse plotësohen kushtet e mëposhtme: 1. Raporti i brinjëve përkatëse të jetë i barabartë. (rasti BBB). 2. Raporti i dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre të jetë i barabartë. (rasti BKB). 3. Raporti i dy brinjëve dhe këndi përballë brinjës më të madhe të jenë të barabartë. 4. Dy kënde të barabartë dhe brinjë midis tyre të përpjesshme. (rasti KBK).
  • 12. Teorema e Menelausit Konsiderojmë një trekëndësh me kulme 𝑨, 𝑩, 𝑪. 1. Nëse 𝑳 është një vijë e cila nuk kalon përgjatë kulmeve të trekëndëshit dhe pret zgjatimet e brinjëve të trekëndëshit në tre pika 𝑫, 𝑬, 𝑭, atëherë raporti përpjestimor çon në relacionin: • (*) 𝑨𝑫 𝑫𝑩 ∙ 𝑩𝑬 𝑬𝑪 ∙ 𝑪𝑭 𝑭𝑨 = −𝟏 2. Nëse 𝑫, 𝑬, 𝑭 jane tre pika në AB, BC dhe AC që kënaqin relacionin (*), atëhere ato janë kolineare.
  • 13. Teorema Ceva Le të jetë ∆(𝐴, 𝐵, 𝐶) një trekëndësh. Le të jetë 𝑃 një pikë e brendshme ose e jashtme e trekëndëshit, dhe supozojmë se vijat e mëposhtme priten në tre pika 𝐷, 𝐸, 𝐹: 𝐿 𝐴, 𝐵 ∩ 𝐿 𝐶, 𝑃 = 𝐷 , 𝐿 𝐵, 𝐶 ∩ 𝐿 𝐴, 𝑃 = 𝐸 , 𝐿 𝐴, 𝐶 ∩ 𝐿 𝐵, 𝑃 = 𝐹 . Atëherë 𝑨𝑫 𝑫𝑩 ∙ 𝑩𝑬 𝑬𝑪 ∙ 𝑪𝑭 𝑭𝑨 = 𝟏 (∗∗) Anasjelltas, le të na jenë dhënë tre pika 𝐷, 𝐸, 𝐹 në 𝐿 𝐴, 𝐵 , 𝐿(𝐵, 𝐶)dhe 𝐿(𝐴, 𝐶) që plotësojnë relacionin (∗∗). Atëherë secila prej transversaleve të këndeve 𝐿 𝐴, 𝐸 , 𝐿(𝐵, 𝐹) dhe 𝐿(𝐶, 𝐷) janë paralele ose priten në një pikë të përbashkët P.
  • 14. Vijat speciale të trekëndëshit Nga Teorema Ceva dhe e anasjellta e saj mund të përftojmë një seri rezultatesh të njohura për pikat e prerjes në një trekëndësh.
  • 15. Teorema e Ortoqendrës Tre lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝒐𝒄 e cila quhet ortoqendra e trekëndëshit.
  • 16. Teorema e mesoreve Tre mesoret e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝑪. Kjo pikë ndan çdo mesore në raportin 𝟐: 𝟏. Pika 𝑷 𝑪 quhet qendra e trekëndëshit.
  • 17. Teorema e përgjysmores së këndit Të treja përgjysmoret e këndeve të brendshme të një trekëndëshi priten në një pikë 𝑷𝒊𝒄.
  • 18. Rrethi i brendashkruar trekëndëshit Nëse 𝑷𝒊𝒄 është pika e prerjes së përgjysmoreve të këndeve në një trekëndësh, atëherë: 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷𝒊𝒄, 𝑨𝑩 = 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷𝒊𝒄, 𝑨𝑪 = 𝒅𝒊𝒔𝒕(𝑷𝒊𝒄, 𝑩𝑪) Pra pika 𝑷𝒊𝒄 është qendra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit.
  • 19. Teorema e përmesoreve Tre përmesoret e trekëndëshit priten në një pikë 𝑷 𝒄𝒄. Për këtë pikë kemi që: 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑨 = 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑩 = 𝒅𝒊𝒔𝒕(𝑷 𝒄𝒄, 𝑪) Prandaj rrethi me qendër 𝑷 𝒄𝒄 dhe rreze 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝑷 𝒄𝒄, 𝑨 kalon përgjatë tre kulmeve të trekëndëshit. Ai është quajtur rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit dhe 𝑷 𝒄𝒄 është qendra e tij.
  • 20. Trekëndëshi i mesëm Konsiderojmë trekëndëshin ∆(𝑨, 𝑩, 𝑪). Trekëndëshi, kulmet e të cilit janë pikat e mesit të brinjëve të trekëndëshit ∆ 𝑨, 𝑩, 𝑪 , përkatësisht 𝑨′, 𝑩′, 𝑪′ dhe që i brendashkruhet trekëndëshit ∆ 𝑨, 𝑩, 𝑪 dhe ka brinjët sa gjysma e tij, quhet trekëndësh i mesëm.
  • 21. Drejtëza e Eulerit Pikat 𝑷 𝒐𝒄 , 𝑷 𝒄 dhe 𝑷 𝒄𝒄 të një trekëndëshi jo-barabrinjës janë kolineare. Ato ndahen në raportin: 𝑷 𝒐𝒄 𝑷 𝒄 : 𝑷 𝒄 𝑷 𝒄𝒄 = 𝟐: 𝟏
  • 22. Sipërfaqja e trekëndëshit Për të përftuar sipërfaqen e trekëndëshit me brinjë 𝒂, 𝒃, 𝒄 nisemi nga sipërfaqja e drejtkëndëshit të cilën e njohim si prodhim i dy përmasave të tij. Meqënëse nga çdo trekëndësh mund të ndërtojmë një paralelogram, sipërfaqen e të cilit e njohim, marrim sipërfaqen e trekëndëshit si gjysma e sipërfaqes së paralelogramit: 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂 ∙ 𝒉 𝒂 = 𝟏 𝟐 𝒃 ∙ 𝒉 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒄 ∙ 𝒉 𝒄
  • 23. Mesoret e brinjëve të trekëndëshit janë gjithashtu dhe përgjysmuese të sipërfaqeve. Kështuqë raportin 𝒉 𝒂 𝒃 mund ta shprehim me anë të sinusit të këndit 𝜸, dhe në mënyrë të ngjashme për lartësitë e tjera. Kështu që sipërfaqja e trekëndëshit mund të shkruhet në mënyrë ekuivalente edhe si: 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜸 = 𝟏 𝟐 𝒃𝒄 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟏 𝟐 𝒂𝒄 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜷
  • 24. Teorema e Sinusit Nga relacioni i mësipërm duke pjesëtuar me 𝒂𝒃𝒄 rrjedh : 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒂 = 𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒃 = 𝒔𝒊𝒏𝜸 𝒄 I cili njihet me emrin Teorema e Sinusit.
  • 25. Formula e Heronit Duke zvendësuar 𝒂+𝒃+𝒄 𝟐 = 𝒑, ku 𝒑 është gjysmëperimetri i trekëndëshit, shprehim sipërfaqen e trekëndëshit me anë të formulës së Heronit: 𝑺 ∆ = 𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄)
  • 26. Lartësitë e trekëndëshit Nga formula e sipërfaqes 𝑺 ∆ = 𝟏 𝟐 𝒂 ∙ 𝒉 𝒂 = 𝟏 𝟐 𝒃 ∙ 𝒉 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒄 ∙ 𝒉 𝒄 Mund të llogarisim lartësitë e trekëndëshit në termat e gjatësive të brinjëve: 𝒉 𝒂 = 𝟐𝑺(∆) 𝒂 , 𝒉 𝒃 = 𝟐𝑺(∆) 𝒃 , 𝒉 𝒄 = 𝟐𝑺(∆) 𝒄
  • 27. Teoremë: Sipërfaqja e trekëndëshit me brinjë 𝒂, 𝒃, 𝒄 plotëson mosbarazimin: 𝑺 ∆ ≤ 𝟏 𝟑 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 𝟐 Barazimi arrihet vetëm atëherë kur trekëndëshi është barabrinjës. Konkluzion: Ndër të gjithë trekëndëshat me perimetër të dhënë, trekëndëshi barabrinjës ka sipërfaqen më të madhe.
  • 28. Rrethi i brendashkruar trekëndëshit Qendra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit ndodhet në pikëprerjen 𝑷𝒊𝒄 të përgjysmoreve. Shenojmë me 𝒓 rrezen dhe ndajmë ∆(𝑨, 𝑩, 𝑪) në tre trekëndësha të vegjël si në figurë dhe llogaritim sipërfaqen e cila është: 𝑺 ∆ = 𝒂 ∙ 𝒓 𝟐 + 𝒃 ∙ 𝒓 𝟐 + 𝒄 ∙ 𝒓 𝟐 = 𝒓 𝟐 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒑 ∙ 𝒓 ku 𝒑 është gjysëmperimetri i tij.
  • 29. Rrezja e rrethit të brendashkruar Teoremë: Rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit është e barabartë me raportin e sipërfaqes së trekëndëshit gje gjysëmperimetrit të tij. 𝒓 = 𝑺(∆) 𝒑 = (𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝒑
  • 30. Rrezja e rrethit të jashtëshkruar Teoremë: Rrezja e rrethit të jashtëshkrurar trekëdëshit është e barabartë me raportin e prodhimit të tre brinjëve me katërfishin e sipërfaqes. 𝑹 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 𝟒 ∙ 𝑺(∆)
  • 31. Rrethi i jashtëm i trekëndëshit Teoremë: Përgjysmorja e një këndi të brendshëm dhe dy këndeve të jashtëm që nuk i bashkangjiten atij në trekëndësh priten në një pikë. Kjo pikë është qendra e rrethit që takon njërën brinjtë të trekëndëshit dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera. Rrezja e rrethit të jashtëm të trekëndëshit në lidhje me brinjën korresponduese të trekëndëshit është: 𝒓 𝒂 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒂 , 𝒓 𝒃 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒃 , 𝒓 𝒄 = 𝑺(∆) 𝒑 − 𝒄
  • 32. Konkluzion: Le të jetë 𝒓 rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit dhe 𝒓 𝒂, 𝒓 𝒃, 𝒓 𝒄 përkatësisht rrezet e rrathëve të jashtëm të trekëndëshit. Atëherë: 𝒓 ∙ 𝒓 𝒂 ∙ 𝒓 𝒃 ∙ 𝒓 𝒄 = 𝑺(∆) 𝟐 , 𝟏 𝒓 𝒂 + 𝟏 𝒓 𝒃 + 𝟏 𝒓 𝒄 = 𝟏 𝒓
  • 33. Punoi: Pranoi: Hysen Doko DR. Orgest Zaka