Matematike 11

1. PROJEKT
Lenda:Matematike
Tema:Njohurite gjuhesore ne matematike gjate vitit.
Punoi:Fjoralba Prendi
Drejteza ne planin kartezian

2. 1.Ekuacioni me I thjeshte I drejtezes y=kx+t
2.Koeficienti kendor I drejtezes qe kalon nga pikat M1(x1;y1) dhe M2(x2;y2) tgα=k=
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
3.Ekuacioni I drejtezes me koeficient kendor k dhe qe kalon nga pika M0(x0;y0)
y-y0=k(x-x0)
4.Ekuacioni i drejtezes qe kalon nga pikat M1(x1;y1) dhe M2(x2;y2)
𝒙−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
=
𝒚−𝒚𝟏
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙 − 𝒙𝟎
𝐚
=
𝒚 − 𝒚𝟎
𝒃
Dy drejteza jane paralele atehere dhe vetem atehere kur k1=k2
Dy drejteza jane pingule atehere dhe vetem atehere kur k1xk2=-1
5.Kendi ndermjet dy drejtezave cos𝝋=
vu
vu




6.Largesa e pikes nga drejteza d=√( 𝑿𝒂 − 𝑿𝒃) 𝟐 + √( 𝒀𝒂 − 𝒀𝒃)
𝟐
Ushtrim
1.Te shkruhet ekuacioni I permesores d te segmentit AB me kulme A(-1;4) dhe B(3;2)
Gjejme fillimisht koordinatat e pikes M.Kemi: XM=
𝑿𝒂+𝑿𝒃
𝟐
=
−𝟏+𝟑
𝟐
=1 dhe yM=
𝒀𝒂+𝒀𝒃
𝟐
=
𝟒+𝟐
𝟐
= 𝟑
M(1;3)
Gjejme ekuacionin e segmentit AB.Kemi:
𝒙−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
=
𝒚−𝒚𝟏
𝒚𝟐−𝒚𝟏
=
𝒙+𝟏
𝟑+𝟏
=
𝒚−𝟒
𝟐−𝟒
=> AB:x+2y-7=0
Ekuacioni I permesores d te segmentit AB eshte:
𝒙−𝒙𝟎
𝐚
=
𝒚−𝒚𝟎
𝒃
=>
𝒙−𝟏
𝟏
=
𝒚−𝟑
𝟐
=> d:2x-y+1=0
2.Te gjendet largesa e pikes A(6;11) nga drejteza d me ekuacion 5x+12y+7=0
Largesa e pikes A nga drejteza d eshte gjatesia e segmentit AE,te pingules se hequr nga pika A ne
drejtezen d.Gjejme fillimisht ekuacionin e drejtezes AE:
𝒙−𝟔
𝟓
=
𝒚−𝟏𝟏
𝟏𝟐
=>AE:12x-5y-17=0
Gjejme tani koordinatat e pikes E: {5x+12x+7=0
{12x-5y-17=0 E(1;-1)
Se fundmi,gjejme largesen AE:
AE=√( 𝑿𝒂 − 𝑿𝒃) 𝟐 + √( 𝒀𝒂 − 𝒀𝒃)
𝟐
=√( 𝟔 − 𝟏) 𝟐 + √( 𝟏𝟏 + 𝟏)
𝟐
=13
Funksioni numerik
1.Monotonia e funksionit

3. Funksioni numerik f quhet rrites(zbrites) ne bashkesine A,nese per cdo cift numrash x1,x2ɛA,nga
mosbarazimi x2>x1[x2<x1]=>f(x2)>f(x1) [f(x2)<f(x1)] pra:
Funksioni rrites: (x2>x1)=> [f(x2)>f(x1)]
Funksioni zbrites: (x2>x1)=> [f(x2)<f(x1)] per cdo cift numrash x1,x2ɛA.
Teoreme
Funksioni numeric f eshte rrites(zbrites)ne bashkesine A atehere dhe vetem atehere kur raporti
𝒇(𝒙2)−𝒇(𝒙𝟏)
𝐱𝟐−𝐱𝟏
eshte pozitiv(negativ) per cdo cift numrash x1,x2ɛA(x1≠x2)
Teorema 1
Nese funksionet f,g jane rrites ne bashkesine A,atehere edhe funksioni y=f(x)+g(x) eshte rrites.
Nese funksionet f,g jane zbrites ne bashkesine A,atehere edhe funksioni y=f(x)-g(x)eshte zbrites.

4. Funksionet trigonometrike
sinα=
𝑎
𝑐
cosα=
𝑏
𝑐
tgα=
𝑎
𝑏
cotgα=
𝑏
𝑎
sin2
α+cos2α=1
tgα=
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
sin(90֯-α)=cosα
cos(90֯-α)=sinα
Teorema e
kosinusita2
=b2
+c2
-2bcxcosα
Teorema e sinusit
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
= 2R
cos(x1-x2)=cosx1.cosx2+sinx1.sinx2 cosα+cosβ=2cos
𝛼+𝛽
2
.cos
𝛼−𝛽
2
cos(x1+x2)= cosx1.cosx2-sinx1.sinx2
sin(x1-x2)=sinx1.cosx2-sinx2.cosx1 cosα-cosβ=-2sin
𝛼+𝛽
2
.sin
𝛼−𝛽
2
sin(x1+x2)=sinx1.cosx2+sinx2.cosx1
tg(α-β)=
𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔𝛽
1+𝑡𝑔𝛼.𝑡𝑔𝛽
Ushtrim
1.Te gjendet tg(-690֯)
Kemi tg(-690֯)=-tg690,sepse tg(-x)=-tgx.Funksioni y=tgx eshte periodik me periode 180֯.Prandaj
kryejme pjesetimin e 690֯ me 180֯(heresi 3,mbetja150֯)690֯=3.180֯+150֯
tg(690֯)=tg(3.180֯+150֯)=tg150֯ 150֯=90֯+60֯
gtdjadnarp150֯=tg(90֯+60֯)=-cotg60֯=-√3/2

5. tg(-690֯)=√3/3
2.Te zgjidhet ekuacioni 3sinx-√3cosx=3
Duke pjesetuar te dyja anet me 3,marrim sinx-√3/3Xcosx=1
dmth sinx-tg30֯ .cosx=1 pra
sin(𝑥−30֯)
𝑐𝑜𝑠30֯
=1,pra sin(x-
30֯)=cos30֯=√3/2
α=60֯ =>x-30֯=k.360֯+60֯ ose x-30֯=k.360֯+120֯,dmth x=k.360֯+90֯ ose x=k.360֯+150a֯
erdjaaadPaatPnrPedajPaddgnatP
Plani eshte nje siperfaqe e sheshte e pakufizuar.
Aksioma 1 Ne qofte se dy pika te drejtezes d ndodhen ne planin α,atehere te gjitha pikat e saj
ndodhen ne kete plan.
Aksioma 2 Ne qofte se dy plane kane nje pike te perbashket atehere ato priten sipas nje drejteze
qe kalon nga kjo pike.
Aksioma 3 Neper tri pika qe nuk ndodhen ne nje drejtez kalon nje dhe vetem nje plan.
Teorema 1
Neper nje drejtez d dhe nje pike C jashte saj,kalon nje dhe vetem nje plan.
Teorema 2
Neper dy drejteza d1 dhe d2,te cilat priten nga nje pike A,kalon nje dhe vetem nje plan.
Quajme drejteza paralele te gjitha drejtezat te cilat ndodhen ne nje plan dhe nuk kane asnje pike
te perbashket.
Quajme drejteza prerese drejtezat te cilat kane nje pike te perbashket dhe priten me njera-tjetren
Quajme drejteza te kitheta te gjitha ato drejteza te cilat nuk ndodhen ne nje plan dhe nuk kane
asnje pike te perbashket.
Teoremae tri pinguleve
Drejteza e planit,e cila kalon nga kemba e nje te pjerrete,pingul me projeksionin e saj ne
plan,eshte pingule me kete te pjerret.
Ne qofte se dy plane jane pingule me te njejten drejtez,atehere ato jane paralele.
Ne qofte se dy plane paralele nderpriten nga nje plan i trete,atehere drejtezat e nderprerjes jane
paralele.
Pjesa e hapsires e kufizuar nga dy gjysmeplane quhet dyfaqesh.
Teorem
1.Ne qofte se nje drejtez MO eshte pingule me nje plan α,atehere cdo plan β qe kalon neper kete
drejtez eshte pingul me planin α.
2.Ne qofte se dy plane jane pingule,atehere drejteza e njerit plan qe eshte pingule me
nderprerjen,eshte pingule me planin tjeter.

6. Shumefaqeshat dhe trupat e rrumbullaket.
Shumefaqesh quhet trupi i kufizuar nga shumekendesha.
Prizemn-kendor quhet shumefaqeshi,dy faqe te te cilit jane n-
kendesha qe gjenden ne plane paralele,kurse n-faqet e tjera jane
paralelograme.
Teoreme
Ne qofte se nje prizem e presim me nje plan
paralel me bazat e tij,atehere prerja eshte shumekendesh i barabarte me
shumekendeshat e tjere.
Sa=pxl Sb=6a2
x√3/2 Sp=Sa+Sb V=Sbxh
Piramida quhet shumefaqeshi,nje faqe e te cilit eshte shumekendesh i
cfaredoshem,ndersa faqet e tjera jane trekendesha me kulm te perbashket
Sa=1/2xpxl Sb=
𝒃𝒙𝒍
𝟐
V=1/3xSxh
PARIMI I KAVALIERIT.Ne qofte se dy trupa jane vendosur ne nje planα,ne
menyre qe prerjet perkatese te tyre me cdo plan paralel me kete plan te
kene siperfaqe te barabarta,atehere keta trupa kane vellime te barabarta.
Cilindri quhet ajo pjesë e sipërfaqes cilindrike e cila ndodhet ndërmjet
dy rrafsheve paralele. Cilindri quhet i drejtë nëse rrafshet prerëse janë
normale me boshtin përndryshe quhet i pjerrët. Largësia mes dy rrafsheve prerëse quhet lartësi e
cilindrit.
Sa=2πRl Sb=2πR2
Sp=Sa+Sb V=πR2
h
Koni quhet trupi i kufizuar nga nje siperfaqe konike qe ndodhet nga njera ane e kulmitdhe nga
nje plan i cili pret te gjitha perfueset.
Sa=aπR Sb=πR2
V=1/3πR2
h

7. Sfera Pjese e hapesires e kufizuar nga nje siperfaqe sferike.
S=πR2
Vgjysmesferes=2/3πR3
Vsferes=4/3πR3
Kubi Kuboidi
Kub quhet kuboidi ku te gjitha faqet e tij jane te barabarta. Prizem i drejte me baze katerkendore
S=6a2
V=a3
S=2(ab+bc+ac) V=axbxc
Ushtrime

8. Limitet e funksioneve
Disa teorema
Nese per xϵ[a,+∞] kemi g(x)≥f(x),dhe lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)=+∞ atehere edhe lim
𝑥→+∞
𝑔( 𝑥) = +∞
Nese lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)=+∞ dhe lim
𝑥→+∞
𝑔( 𝑥) = +∞ atehere edhe lim
𝑥→+∞
𝑓( 𝑥) + 𝑔( 𝑥) = +∞
Nese lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)=+∞ dhe lim
𝑥→+∞
𝑔( 𝑥) = +∞ atehere edhe lim
𝑥→+∞
𝑓( 𝑥) 𝑥𝑔( 𝑥) = +∞
Nese lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)=+∞ dhe k>0,atehere lim
𝑥→+∞
𝑘𝑥𝑓( 𝑥) = +∞

9. Funksioni y=f(x),ku f(x) eshte polinom,kur x-->+∞ ka po ate limit qe ka monomi me fuqine me te
larte.
Limiti i nje funksioni racional kur x-->+∞(-∞) eshte i barabarte me limitin e raportit te monomeve
me fuqi me te larte te x-it ne numerues dhe emerues.
Ushtrime