1. Problema ndërtimi
1
1Përzgjodhi: Hysen Doko
PROBLEMA NDËRTIMI
Përmblodhi: Hysen Doko
hysen.doko.hd@gmail.com , hysen.doko@univlora.edu.al
Ushtrimi 1: Ndërtoni drejtëzën që pret katër drejtëza të dhëna, dy prej të cilave janë paralele,
kurse dy të tjerat presin planin e caktuar nga dy të parat. Në cilat raste drejtëza e kërkuar nuk
ekziston?
Zgjidhje: Le të jenë dhënë dy drejtëza a b . Ato përcaktojnë një plan . Le të jenë c
dhe d dy drejtëza që presin përkatësisht në pikat C dhe D .
Kërkohet të ndërtohet një drejtëz që pret katër drejtëzat e dhëna.
Analizë. Supozojmë se ekziston drejtëza e që pret katër drejtëzat e dhëna.
Meqenëse pret dy drejtëzat a b që ndodhen në planin atëherë kjo drejtëz ka dy pika
A dhe B të përbashkëta me planin , prandaj ndodhet në planin . Por ajo pret edhe
drejtëzat c dhe d dhe meqënëse ajo ndodhet në planin , atëherë nuk ka ku ti presë tjetër
këto drejtëza veçse në pikat që këto drejtëza kanë në planin , domethënë në pikat C dhe .D
Pra drejtëza që pret katër drejtëza të dhëna është drejtëza CD e caktuar nga pikat C dhe D .
Ndërtim. Ndërtojmë drejtëzën CD të caktaur na pikat C dhe D .
Në qoftë se kjo drejtëz pret dy drejtëzat a b , atëherë ajo është drejtëza e kërkuar.
Vërtetim. Drejtëza CD ndodhet në planin , ka të përbashkët me drejtëzat c dhe d vetëm
pikat C dhe D (sepse vetëm këto pika kanë këto drejtëza në planin ), pra i pret ato si dhe
pret dy drejtëzat a b .
Fig. 1: Rastet e drejtëzave
Diskutim. Në qoftë se drejtëza pret njërën nga dy drejtëzat a b atëherë ajo pret dhe
tjetrën dhe problemi ka një zgjidhje.
Në qoftë se drejtëza CD nuk pret njerën nga dy drejtëzat a b , atëherë ajo nuk pret dje
tjetrën (domethënë është paralele me to), atëherë problemi nuk ka zgjidhje.
2. Problema ndërtimi
2
2Përzgjodhi: Hysen Doko
Ushtrimi 2: Janë dhënë dy drejtëza te kithta a dhe b dhe një pikë A që nuk ndodhet në
to. Ndërtoni planin që përmban pikën e dhënë A dhe është paralel me drejtëzat e dhëna a
dhe b .
Zgjidhje: Analizë. Pranojmë sikur ekziston një plan që përmban pikën e dhënë A dhe është
paralel me dy drejtëzat e dhëna a dhe b .
Pranojmë sikur ekziston një plan që përmban pikën e dhënë A dhe është paralel me dy
drejtëzat e dhëna a dhe b .Nëse nëpër pikën A ndërtojmë drejtëzat 1a a dhe
1b b , atëherë nga teorema “Në qoftë se një drejtëz e dhënë është paralele me një plan të
dhënë dhe nëpër një pikë çfarëdo të planit ndërtohet një drejtëz paralele me drejtëzën e dhënë,
atëherë drejtëza e ndërtuar ndodhet në planin e dhënë”, që domethënë se të dyja drejtëzat 1a
dhe 1b ndodhen në planin . Drejtëzat 1a dhe 1b kanë të përbashkët pikën A , por janë
të ndryshme, sepse në rast të kundërt dy drejtëzat a dhe b , duke qënë paralele me një të
tretë, do të ishin paralele ndërmjet tyre. Kjo do të ishte në kundërshti me kushtin që a dhe
b janë të kithta. Mbetet që drejtëzat 1a dhe 1b të jenë prerëse. Pra plani përcaktohet
nga drejtëzat 1a dhe 1b , që janë prerëse në pikën A dhe janë përkatësisht paralele me
drejtëzat a dhe b .
Ndërtim. Nëpër pikën A ndërtojmë drejtëzat 1a a dhe 1b b . Ndërtojmë planin
që përcaktohet nga drejtëzat prerëse 1a dhe 1b . Plani është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani përmbush kushtet e kërkuara. Ai përmban pikën A . Meqë drejtëza dhe
1a , atëherë 1a .
Meqë drejtëza 1b b dhe 1b , atëherë 1b .
Fig. 2
3. Problema ndërtimi
3
3Përzgjodhi: Hysen Doko
Diskutim. Plani është i vetëm. Supozojmë të kundërtën, sikur do të ekzistonte edhe një plan
tjetër 1 që do të përmbante drejtëzat pikën e dhënë A dhe do të ishte paralel me dy drejtëzat
e dhëna a dhe b .
Ky plan do të përmbante drejtëzat 1a dhe 1b . Në rast të kundërt, duke patur pikën A të
përbashkët me to, do t’i priste ato dhe bashkë me to do të priste dhe drejtëzat paralele a dhe
b . Kjo do të ishte në kundërsht me faktin që plani 1 është paralel me drejtëzat a dhe b
Mbetet qe plani është i vetëm.
Ushtrimi 3: Jepen në hapësirë dy drejtëza të kithta a dhe b . Ndërtoni nëpër drejtëzën
d një plan paralel me drejtëzën a .
Zgjidhje: Analizë. Pranojmë sikur ekziston një plan që përmban drejtëzën e dhënë b dhe
është paralel me drejtëzën e dhënë a . Marrim një pikë B b . Nëse nëpër pikën B
ndërtojmë drejtëzat 1a a , atëherë nga teorema “Në qoftë se një drejtëz e dhënë është
paralele me një plan të dhënë dhe nëpër një pikë çfarëdo të planit ndërtohet një drejtëz paralele
me drejtëzën e dhënë, atëherë drejtëza e ndërtuar ndodhet në planin e dhënë”, ajo do ndodhet
në planin .
Pra plani përcaktohet nga drejtëzat 1a a dhe b që janë prerëse në pikën B .
Ndërtim. Marrim një pikë B b . Nëpër pikën B ndërtojmë drejtëzat 1a a . Ndërtojmë
planin që përcaktohet nga prejtëzat prerëse 1a dhe b . Plani është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani përmbush kushtet e caktuara. Ai përmban drejtëzën b . Meqë drejtëza
1a a dhe 1a , atëherë 1a .
Fig. 3
4. Problema ndërtimi
4
4Përzgjodhi: Hysen Doko
Diskutim. Plani është i vetëm. Supozojmë të kundërtën, sikur do të ekzistonte edhe një plan
tjetër 1 që do të kalonte nëpër drejtëzën b dhe do të ishte paralel me drejtëzën e dhënë .a
Ky plan do të përmbante drejtëzat 1a dhe b . Në rast të kundërt, në qoftë se do të priste
1a atëherë ai do të priste edhe drejtëzën a . Kjo do të ishte në kundërshti me faktin që plani
1 është paralel me drejtëzën a .
Drejtëzat prerëse 1a dhe b janë prerëse në pikën B , në të kundërt ato do të puthiteshin dhe
do të kishim a b , e cila bie në kundërshti me kushtin që a dhe b janë të kithta. Por
drejtëzat prerëse 1a dhe b caktojnë një plan të vetëm. Mbetet që plani 1 dhe të
puthiten, pra ky plan është i vetëm.
Ushtrimi 4: Nga një pikë P e drejtëzës d të ndërtohet plani pingul me drejtëzën d .
Zgjidhje: Analizë. Nëse ekziston plani që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën
d , atëherë drejtëza d do të jetë pingule me dy drejtëza prerëse të planit . Pra plani
përcaktohet nga dy drejtëza prerëse në P , që janë pingule me d .
Ndërtim. Marrim dy plane të ndryshme dhe që përmbajnë drejtëzën d dhe pikën P .
Nga pika P , në planet dhe ndërtojmë përkatësisht drejtëzat b dhe c pingule me
drejtëzën d . Drejtëzat b dhe c janë të ndryshme, por kanë pikën P të përbaskët, prandaj
priten në këtë pikë. Për rrjedhojë ato caktojnë një plan ,b c . Plani është i kërkuari.
Vërtetim. Nga ndërtimi, plani përmban pikën P . Meqënëse drejtëza d është pingule me
dy drejtëzat prerëse b dhe c të planit , atëherë drejtëza d do të jetë pingul me planin
dhe anasjelltas.
Fig. 4
5. Problema ndërtimi
5
5Përzgjodhi: Hysen Doko
Diskutim. Plani që përmban pikën P dhe është pingu me drejtëzën d është i vetëm. Nëse
do të supozonim se ekziston edhe një plan tjetër 1 që do të përmbajë pikën P dhe të jetë
pingul me drejtëzën d , atëherë këto plane do të ishin paralele. Por meqë do të kishin pikën
P të përbashkët, ata do të puthiteshin. Mbetet që plani , i cili përmban pikën P dhe është
pingul me drejtëzën d është i vetëm.
Ushtrimi 5: Nga një pikë P që nuk ndodhet në një drejtëz d të ndërtohet plani pingul
me drejtëzën d .
Zgjidhje: Kemi të bëjmë me një problemë ndërtimi, e cila zgjidhet me teknikën e punës nga
fundi.
Analizë. Nëse ekziston plani që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën d ,
atëherë drejtëza d do të jetë pingule me dy drejtëza të planit , që priten në një pikë O të
ndrejtëzës d . Pra plani përcaktohet nga dy drejtëza b dhe c . Drejtëza b ndodhet
në planin , përmban pikën P , është pingul me drejtëzën d dhe pret ate në pikën O .
Drejtëza c ndodhet në një plan , përmban pikën O dhe është pingule me drejtëzën d .
Ndërtim. Marrim dy plane të ndryshme dhe që përmbajnë drejtëzën d , kurse plani
të përmbajë edhe pikën P . Nga pika P , në planin ndërtojmë drejtëzën b pingule me
drejtëzën d që e pret atë në pikën O . Nga pika O në planin ndërtojmë drejtëzën c
pingul me drejtëzën d . Drejtëzat b dhe c janë të ndryshme por kanë pikën O të
përbashkët, prandaj ato priten në këtë pikë. Për rrjedhojë, to caktojnë një plan ,b c .
Plani është plani i kërkuar.
Vërtetim. Nga ndërtimi, plani përmban pikën P pasi përmban drejtëzën b . Nga ndërtimi
gjithashtu drejtëzat b , c janë prerëse në O . Meqënëse drejtëza .. është pingul me dy
Diskutim. Plani që përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën d është i vetëm. Nëse
do të supozonim se ekziston edhe një plan tjetër 1 që të përmbajë pikën P dhe të jetë pingul
me drejtëzën d , atëherë këto plane do të ishin paralele. Por meqë do të kishin pikën P të
përmbashkët, ata do të puthiteshin.
6. Problema ndërtimi
6
6Përzgjodhi: Hysen Doko
Mbetet që plani i cili përmban pikën P dhe është pingul me drejtëzën d të jetë i vetëm.
drejtëzat prerëse b , c të planit , atëherë drejtëza d do të jetë pingule me planin .
Fig. 5
Ushtrimi 6: Nëpër një pikë B që nuk ndodhet në planin e dhënë , të ndërtohet drejtëza d
që të jetë paralele me planin e dhënë dhe pingul me një drejtëz a të dhënë.
Zgjidhje: Jepen plani , drejtëza a dhe një pikë B .
Analizë. Në qoftë se ekziston një drejtëz b që të përmbajë pikën B , të jetë paralele me planin
e dhënë dhe pingule me një drejtëz të dhënë a , atëherë kjo drejtëz b do të ndodhet në
një plan i cili do të përmbajë pikën B dhe do të jetë pingul me drejtëzën a si edhe në një
plan i cili do të përmbajë pikën B dhe do të jetë paralel me planin . Pra drejtëza b do
të jetë prerja e planeve dhe .
Ndërtim. Nëpër pikën B ndërtojmë planin paralel me planin .
Nëpër pikën B ndërtojmë planin pingul me drejtëzën a .
Planet e ndryshëm dhe kanë të përbashkët pikën B , prandaj priten sipas një drejtëze. Kjo
është drejtëza b e kërkuar.
Vërtetim. Planet e ndryshëm dhe kanë të përmbashkët pikën B , prandaj priten sipas një
drejtëze që përmban pikën B . Pra drejtëza b përmban pikën B .
Drejtëza b ndodhet në planin që është paralel me planin . Pra drejtëza b është paralele
me planin . Drejtëza b ndodhet në planin që është pingul me drejtëzën a . Pra drejtëza
b është pingule me drejtëzën a . Pra drejtëza b është paralele me planin dhe pingule
me drejtëzën a .
7. Problema ndërtimi
7
7Përzgjodhi: Hysen Doko
Fig.2
Diskutim. Në qoftë se drejtëza a do të ishte pingule me planin , atëherë planet dhe
do të puthiteshin. Në këtë rast problema do të kishte një pafundësi zgjidhjesh.
Ushtrimi 7: Nëpër një pikë A të planit ndërtoni në këtë plan drejtëzën a që të jetë pingule
me një drejtëz b të dhënë të hapësirës.
Zgjidhje: Jepen plani , drejtëza b dhe një pikë A që ndodhet në planin .
Analizë. E supozojmë problemin të zgjidhur. Pra është ndërtuar një drejtëz a që ndodhet në
planin , e përmban pikën A dhe është pingule me drejtëzën b .
Meqënëse drejtëza a është pingul me drejtëzën b , atëherë ajo ndodhet në një plan pingul
me drejtëzën b . Por meqënëse drejtëza a përmban pikën A , atëherë ajo ndodhet në një
plan , që përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën b . Por drejtëza a ndodhet në
planin . Pra, drejtëza a do të ndodhet në planin si dhe në planin , që përmban pikën
A dhe është pingu me drejtëzën b . Pra drejtëza a është prerja e planeve dhe .
Fig. 5
Ndërtim. Ndërtojmë planin që përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën b . Prerja
e planeve dhe është drejtëza e kërkuar a .
8. Problema ndërtimi
8
8Përzgjodhi: Hysen Doko
Vërtetim. Nga ndërtimi, drejtëza a përmban pikën A dhe ndodhet në planin . Por ajo
ndodhet edhe në planin , e cila nga ndërtimi është pingul me drejtëzën b . Atëherë drejtëza
b është pingule me secilën drejtëz të këtij plani, pra edhe me drejtëzën a . E thënë ndryshe,
drejtëza a është pingul me drejtëzën b . Pra drejtëza a është drejtëza e kërkuar.
Diskutim. Nga pika A mund të ndërtohet vetëm një plan pingul me drejtëzën b . Planet e
ndryshëm dhe (që janë pingul ndërmjet tyre) kanë të përbashkët një pikë A , prandaj
priten sipas një drejtëze të vetme a . Pra, problemi ka një zgjidhje të vetme.
Ushtrimi 8: Jepen plani , drejtëza b paralele me të dhe një pikë A që ndodhet në planin
. Ndërtoni një drejtëz a që të ndodhet në planin , të përmbajë pikën A dhe të jetë pingule
me drejtëzën b .
Zgjidhje: Jepen plani , drejtëza b paralele me planin dhe një pikë A që ndodhet në
planin .
Analizë. E supozojmë problemin e zgjidhur. Pra ështe ndërtuar një drejtëz a që ndodhet në
planin , përmban pikën A dhe është pingule me drejtëzën b . Ndërtojmë planin dhe
nëpër pikën A ndërtojmë një drejtëz 'b b . Nga teorema e drejtëzave paralele me planin,
'b do të ndodhet në planin .
Meqënëse drejtëza a ndodhet në planin , është pingul me drejtëzën b dhe 'b b ,
atëherë ajo ështe pingule edhe me drejtëzën 'b , pasi formon me të po ate kënd që formon me
drejtëzën b (nga përkufizimi i këndit ndërmjet drejtëzave në hapësirë)
Pra, drejtëza a ndodhet në planin , përmban pikën A dhe është pingul me drejtëzën ' ,b
e cila ndodhet në planin e dhënë , përmban pikën A dhe është paralele me drejtëzën b .
Ndërtim. Ndërtojmë planin që përmban drejtëzën b dhe pikën A . Ndërtojmë nëpër pikën
A një drejtëz 'b b . Në planin ndërtojmë nëpër pikën A një drejtëz 'a b .
Drejtëza a është drejtëza e kërkuar.
9. Problema ndërtimi
9
9Përzgjodhi: Hysen Doko
Vërtetim. Nga ndërtimi, ajo ndodhet në planin , përmban pikën A dhe 'a b . Gjithashtu
nga ndërtimi 'b b , atëherë a b .
Fig. 10
Diskutim. Nga pika A mund të ndërtohet vetëm një drejtëz 'b b , madje ajo ndodhet në
planin . Nëpër planin , nëpër pikën A mund të ndërtohet vetëm një drejtëz a pingul me
'b . Pra problem ka një zgjidhje të vetme.
Ushtrimi 9: Një drejtëz a është paralele me një plan . Të ndërtohet një plan i cili
përmban drejtëzën a dhe është paralel me planin .
Zgjidhje: Një drejtëz a është paralele me një plan . Të ndërtohet nëpër drejtëzën a një
plan paralel me planin .
Analizë. Supozojmë se ekziston një plan që përmban drejtëzën a dhe është paralel me
planin .
Në qoftë se në drejtëzën a do të marrim një pikë A dhe do të ndërtojmë një drejtëz tjetër
b , atëherë b do të ndodhet në planin (në të kundërt ajo do të priste planin dhe
për rrjedhojë edhe planin , gjë që bie në kundërshti me kushtin që a ështe paralele me një
plan )
Në qoftë se në planin do të marrim një pikë B dhe do të ndërtojmë 'a a dhe ' ,b b
atëherë 'a dhe 'b do të ndodhen në planin (në të kundërt ato do të prisnin
edhe planin për rrjedhojë edhe planin , gjë që është në kundërshtim me ndërtimin). Pra
plani caktohet nga dy drejtëzat prerëse a dhe b , kurse plani caktohet nga dy drejtëzat
prerëse 'a dhe 'b .
10. Problema ndërtimi
10
10Përzgjodhi: Hysen Doko
Ndërtim. Marrim një pikë B në planin dhe ndërtojmë planin ,a B . Shënojmë me
'a B . Marrim në planin një drejtëz 'b që përmban pikën B . Ndërtojmë planin
' ,b A . Marrim në planin një drejtëz b që përmban pikën A dhe është paralele me
'b . Ndërtojmë planin ,a b . Plani është plani i kërkuar.
Vërtetim. Nga ndërtimi 'a a dhe 'b b . Drejtëza a dhe b ndodhen në një plan
dhe kanë pikën A të përbashkët, prandaj ato janë prerëse. Meqënëse dy drejtëza a dhe b
të planit janë përkatësisht paralele me dy drejtëza 'a dhe 'b të planit , atëherë të dy
planet dhe janë paralele.
Fig. 11
Diskutim. Mendojmë sikur nga pika A të jetë ndërtuar edhe plani ' paralel me planin . Ai
do të përmbajë drejtëzën a , në të kundërt sikur drejtëza a të priste planin , atëherë ajo
do të priste edhe planin që është paralel me të. Por dy drejtëza prerëse caktojnë një plan të
vetëm, prandaj puthitet me ' . Pra nga pika A mund të ndërtohet vetëm një plan paralel
me planin e dhënë .
Ushtrimi 10: Jepen pikat , ,A B C jo në vijë të drejtë dhe segmentet , ,a b c . Ndërtoni rrethin
të tillë që segmentet e ngjenteve të tij të hequra prej pikave , ,A B C të jenë të barabarta
përkatësisht me , ,a b c .
Zgjidhje: Analizë. Le të jetë ,O R rrethi i kërkuar. Nga kushti, ky rreth është orthogonal
me rrathet 1 2 3, , , , ,A a B b C c . Pra 1 2 3
2
0F O F O F O R . Kështu,
pika O është qendra radikale e rrathëve 1 2 3, , dhe ndodhet jashtë këtyre rrathëve.
Ndërtim. Ndërtojmë qendrën radikale O të rrathëve 1 2 3, , , , ,A a B b C c dhe pikën
1T të rrethit 1 , të tillë që 1
2
OT A
dhe rrethin ,O R ku 1R OT .
11. Problema ndërtimi
11
11Përzgjodhi: Hysen Doko
Vërtetim. ,O R është rrethi i kërkuar. Vërtet nga ndërtimi del se 1OT është tangjente e
rrethit 1 . Kështu, rrathët dhe 1 janë ortogonalë, pra 1
2 2
1F O OT R ; mirëpo
O është qendra radikale e rrathëve 1 2 3, , , prandaj: 2 3 1
F O F O F O
2
,R domethënë rrethi ,O R është ortogonal me secilin prej rrathëve 1 2 3, , .
Rrjedhimisht, ai është rrethi i kërkuar.
Diskutim. Problema ka një zgjidhje të vetme kur qendra radikale e rrathëve 1 , ,A a
2 3, , ,B b C c ndodhet jashtë këtyre rrathëve.
Ushtrimi 11: Pikat M dhe N ndodhen në brinjët AD dhe AB të katërfaqëshit ABCD. Të
ndërtohet prerja e katërfaqëshit me planin , i cili kalon nga pikat ,M N dhe është paralel me
brinjën AC .
Zgjidhje ushtrimi 11:
Analizë. Supozojmë se MNEF është prerja e kërkuar. ABD MN . Nga kushti AC ,
prandaj prerjet e faqeve ABC dhe ACD me planin do të jenë përkatësisht NE dhe MF
paralele me AC .
Ndërtim. Ndërtojmë ,NE AC E BC , ,MF AC F CD . Katërkëndëshi MNEF është
prerja e kërkuar.
Fig. 39
Vërtetim. ,NE AC MF AC NE MF . Plani që kalon nga NE dhe MF është
paralel me AC sepse AC NE .
Diskutm. Problema ka vetëm një zgjidhje sepse nga drejtëzat paralele NE dhe MF kalon një
plan i vetëm.
12. Problema ndërtimi
12
12Përzgjodhi: Hysen Doko
Ushtrimi 12: Janë dhënë plani , drejtëza b dhe pika A . Ndërtoni planin që përmban
pikën A , është paralel me drejtëzën b dhe ështe pingul me planin .
Zgjidhje ushtrimi 12: Jepen plani , drejtëza b dhe pika A . Të ndërtohet plani , i tillë
që A , b dhe .
Analizë. Supozojmë sikur kemi ndërtuar planin , i tillë që A , b dhe .
Shënojmë d . Nëpër pikën A ndërtojmë 'b b . Ajo ekziston dhe është e vetme.
Nga kushti që b dhe nga ndërtimi 'b b , atëherë 'b . Në planin ndërtojmë
AD d , ku D d . Meqënëse AD d dhe , tëherë AD . Pra, plani
përmban drejtëzat prerëse a dhe 'b . Domethënë plani caktohet prej drejtëzës a , që
është ndërtuar nga pika A pingul me planin si dhe nga drejtëza 'b , që është ndërtuar nga
pika A paralele me b .
Fig. 37.
Ndërtim. Ndërtojmë një plan që përmban pikën A dhe drejtëzën b . (Meqënëse C b ,
atëherë ato caktojnë një plan). Në planin , nga pika A ndërtojmë 'b b . Ndërtojmë
AD , ku D . Ndërtojmë planin që përmban drejtëzat prerëse a dhe b . Plani
është plani i kërkuar.
Vërtetim. Plani përmban drejtëzën 'b . Nga ndërtimi 'b b . Atëherë b . Plani
përmban drejtëzën AD . Meqënëse AD , atëherë .
Diskutim. Supozojmë sikur përveç planit kemi ndërtuar edhe një plan ' që plotëson
kushtet e problemit (domethënë ' është i tillë që 'A , 'b dhe ' ). Meqënëse
'b , 'A , 'A b dhe 'b b , atëherë edhe ' 'b . Meqënëse ' , ',A
a , atëherë 'a . Nga pika A e ' mund të ndërtohet vetëm një pingule a mbi
dhe ajo do të ndodhet në ' . Pra planet dhe ' përmbajnë dy drejtëza prerëse, prandaj
janë puthitëse. Pra në këtë rast problemi ka një zgjidhje të vetme.
13. Problema ndërtimi
13
13Përzgjodhi: Hysen Doko
Ushtrimi 13: Të ndërtohet plani i cili përmban pikën e dhënë C dhe është pingul me dy
plane prerëse të dhëna dhe .
Zgjidhje ushtrimi 13: Jepen dy plane prerëse dhe . Shënojmë d . Jepet pika
C në hapësirë. Po pranojmë që C dhe C . Atëherë C d .
Analizë. Supozojmë se ekziston një plan që përmban edhe pikën C edhe është pingul me dy
planet prerëse të dhëna dhe . Meqënëse dhe d , atëherë d . Meqënëse
dhe d , atëherë d .
Pra plani përmban pikën C dhe është pingul me prerjen d të planeve dhe .
Ndërtim. Ndërtojmë planin që përmban pikën C dhe është pingul me d .për këtë,
ndërtojmë planin që përmban pikën C dhe drejtëzën d ; meqënëse C d , atëherë ato
caktojnë një plan. Në planin ndërtojmë CD d , ku D d . Në planin ndërtojmë
DE d . Në planin ndërtojmë DF d . Drejtëzat DE dhe DF janë prerëse,
prandaj caktojnë planin . Plani është plani i kërkuar.
Fig. 38.
Vërtetim. Plani përmban drejtëzat prerëse DE dhe DF . Nga ndërtimi, DE d dhe
DF d , atëherë d . Nga ndërtimi, CD d , atëherë d . Pra plani
përmban edhe pikën C .
Meqënëse d dhe d , atëherë .
Meqënëse d dhe d , atëherë .
Diskutim. Dime që nga një pikë C mund të ndërtohet një plan i vetëm d . Dhe ky është
pingul me secilin prej planeve dhe . Pra, problemi ka një zgjidhje të vetme.
14. Problema ndërtimi
14
14Përzgjodhi: Hysen Doko
Ushtrime të pazgjidhura
Po japim një listë ushtrimesh të pazgjidhura të cilat i lihen lexuesit t’i zgjidhë në punë të
pavarur.
1. Jepen në hapësirë një drejtëz a dhe dy pika të ndryshme B dhe C që nuk ndodhen në
këtë drejtëz. Nëpër pikat e dhëna sa plane të dalluar me drejtëzën e dhënë mund të ndërtoni?
2. Një drejtëz a është paralele me një plan . Në planin jepet një pikë B . Të ndërtohet
nëpër pikën B një drejtëz b paralele me drejtëzën a .
3. Jepen në hapësirë dy drejtëza të ndryshme paralele me njëra – tjetrën a dhe b , dhe
drejtëza c e kithët me to.
a. Ndërtoni nëpër drejtëzën c një plan paralel me dy drejtëzat e tjera.
b. Ndërtoni nëpër drejtëzën a një plan paralel me dy drejtëzat e tjera.
4. Jepen dy drejtëza të ndryshme paralele dhe një pikë A në hapësirë. A mund të ndërtohet
nëpër pikën A një plan paralel me planin e përcaktuar nga këto dy drejtëza?
5. Jepen në hapësirë dy drejtëza ,a b të ndryshme paralele dhe një drejtëz c e kithët me
to. A mund të ndërtohet nëpër drejtëzën c një plan paralel me planin e përcaktuar nga
drejtëzar ,a b ? (Të dallohen të gjitha rastet e mundshme)
6. Pikat A dhe B ndodhen përkatësisht në planet prerëse dhe , por nuk ndodhen në
drejtëzën e prerjes së tyre c . Nëpër pikat A dhe B të ndërtohet plani që të jetë paralel
me drejtëzën c .
7. Jepen dy drejtëza të kithëta ,a b . Te ndërtohen planet paralele ndërmjet tyre dhe
që përmbajnë përkatësisht drejtëzat a dhe b .
8. Është dhënë plani , drejtëza a e cila pret planin dhe pika A që nuk ndodhet në
planin . Ndërtoni nëpër pikën A një drejtëz b që të jetë paralele me planin dhe të
presë drejtëzën a .
9. Jepet dyfaqëshi , ,d dhe pika D që ndodhet në brinjën d të tij. Gjysmëdrejtëza
[ )DA ndodhet në faqen të dyfaqëshit dhe nuk është pingule me brinjën d të tij.
Ndërtoni gjysmëdrejtëzën [ )DB në faqen të dyfaqëshit që të jetë pingule me DA .