Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko

REPUBLIKA E SHQIPËRISË
UNIVERSITETI “ISMAIL QEMALI” VLORË
FAKULTETI I SHKENCAVE TEKNIKE
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI I STUDIMIT: MASTER PROFESIONAL NË MËSUESI PËR ARSIMIN
E MESËM NË MATEMATIKË
LËNDA: THELLIME NË GJEOMETRINË ELEMENTARE
SEMESTRI I DYTË
DETYRË KURSI
TEMA: Hapësira Euklidiane. Figurat
gjeometrike elementare dhe vetitë e tyre.
Punuan: Pranoi:
Hysen DOKO Dr. Orgest ZAKA
Endri MALO
Edjol MALO
Xhuljan BYLAJ
Drilon MEÇE
VLORË, MAJ 2019

Hapësira Euklidiane. Figurat gjeometrike elementare dhe vetitë e tyre
Thellime në gjeometrinë elementare. 2
Hyrje: Hapësira euklidiane.
Hapësira euklidiane n
 është një hapësirë afine mbi një hapësirë vektoriale reale ( )n
V  me
prodhim skalar të përcaktuar. Pas specifikimit të një baze ortonormale mund të identifikojmë
hapësirën bazë vektoriale ( )n
V  me hapësirë koordinative n
. Nëse jepen dy pika Q dhe P
të një hapësire Euklidiane n
 përcaktojmë me QP P Q  vektorin që çon Q në P
nëpërmjet një translacioni. Në kuptimin që 1 2 1 2 1 2( , ,...., )P Q x x y y z z     janë
koordinatat e vektorit P Q , atëherë distanca ndërmjet pikave P dhe Q jepet nga formula:
2 2
1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ... ( ).d P Q PQ x x y y z z       
Në këtë mënyrë hapësira Euklidiane bëhet një hapësirë metike. Funksioni 2 2
:f   quhet
izometri nëse e lë distancën ndermjet çdo dy pikave të pandryshuar:
( ( ), ( )) ( , ).d f P f Q d P Q
Është e qartë që çdo izometri e përcaktuar në këtë mënyrë është një funksion injektiv. Çdo
izometri në hapësirën Euklidiane është gjithashtu syrjektive. Kjo nuk qëndron për një
hapësirë merike të çfarëdoshme, siç tregon edhe shembulli i mëposhtëm.
Shembull 1: Konsiderojmë hapësirën metrike  0,X   të perberë nga gjysma e vijës në
Funksioni :f X X i përcaktuar nga ( ) 1f x x  është një izomeri e X në X si në
kuptimin e mësipërm, por nuk është syrjektiv.
Bashkësia  e gjithë izomerive të hapësirës Euklidiane është grup. Fillimisht e përkufizojmë
atë nëpërmjet nocioneve të algjebrës lineare dhe më vonë, në seksionin 3.4, e përshkruajmë
në mënyrë të thjeshtë me anë të gjeometrisë elementare.
Teoremë 1: Le të jetë : n n
f  një izomeri. Atëherë ekziston një matricë ortogonale A
dhe një vektor n
B të tillë që:
( )f P AP B  për çdo N
P .
Vërtetim: Mund të supozojmë pa e cënuar përgjithësimin se izometria f nuk i lëviz
koordinatat e origjinës 0 n
R . Thënë ndryshe, mund të zëvedësojmë f me një izometri të re
*
( ) ( ) (0)f P f P f  . Prodhimi skalar në hapësirën Euklidiane mund të shprehet në termat e
distancës nga origjina e koordinatave.
 2 21
,
4
P Q P Q P Q     2 21
(0, ) (0, ) .
4
d P Q d P Q   
Nëse (0) 0f  dhe funksioni f ruan distancën midis pikave, atëherë f ruan gjithashtu edhe
prodhimin skalar, ( ), ( ) ,f P f Q P Q . Konsiderojmë bazën ortonormale 1 2, ,..., .ne e e

Atëherë vektorët * * *
1 1 2 2( ), ( ),..., ( )n ne f e e f e e f e   gjithashtu formojnë një bazë
ortonormale. Kjo bazë e re mund të shprehet si një kombinim linear i bazës fillestare me anë
të një matrice ortogonale A .
*
1
n
i ij j
j
e a e

  .
Nga transformimi i vektorit ( )f P në lidhje me bazat ortonormale
* * *
1 1 2 2( ), ( ),..., ( )n ne f e e f e e f e   rrjedh që:
* *
1 1
1 , 1
( ) ( ), ,
n n
i ij j
i i j
f P f p e e P e a e
 
   .
Prandaj f është i formës së pretenduar.
Përkufizim 1: Dy nënbashkësi 1 2,  të një hapësire euklidiane quhen kongruente nëse
ekziston një izometri f  me 1 2( )f    . Dy nënbashkësi të hapësirës euklidiane quhen të
ngjashme nëse ekziston një funksion : n n
f   , një mbivendosje e izometrive dhe
pasqyrimeve, që çon 1 në 2 .
Një kurbë C jepet nga një prej parametrizimeve të saj, :[ , ] n
a b  . Zgjedhim një numër të
fundëm pikash 0 0 1 1 2 2( ), ( ), ( ),..., ( )k kP t P t P t P t       në kurbë që korrespondojnë në
një varg rritës të parametrave 0 1 2 ... ka t t t t b      . Nëse zvendësojmë kurbën nga një
vijë poligonale P e përcaktuar nga ato pika dhe matim gjatësinë e saj, përftojmë:
1
1 1
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
k k
i i
i i i i
i i i i
t t
L P P P t t
t t
  
 
  

   

  .
Gjatësia ( )L C e një kurbe do të përcaktohet si superiori i gjatëesive të të gjitha këtyre
shumëkëndëshave që përafrojnë kurbën:
( ) sup( ( ))L C L P .
Nëse kurba është të paktën njëherë e diferencueshme atëherë ne mund të përdorim teoremën e
kalkulusit diferencial për të përfituar formulën e thjeshtë:
( ) '( )
b
a
L C t dt  .
Këtu '( )t është derivati i :[ , ] ( )n
a b V  në lidhje me parametrin t . Nëse, mbas zgjedhjes
së sistemit koordinativ, ( ) ( ( ), ( ), ( ))t x t y t z t  që është një kurbë në hapësirën
tredimensionale, llogarisim gjatësinë e saj:

2 2 2
( ) ( '( )) ( '( )) ( '( ))
b
a
L C x t y t z t dt  
Sipërfaqja (vëllimi) e një nënbashkësie të hapësirës euklidiane është më e vështira. Fillimisht
mund të vërtetojmë që nuk është koncept i përgjithsëm i vëllimit në sensin që çdo
nënbashkësi n
A  e numrave jonegative (ose të pafundme) ( ) [0, ) { }A     është
caktuar në mënyrë të tillë që “masa e vëllimit” të jetë invariante nën grupin izometrik të
hapësirs Euklidiane dhe të kënaqë “në mënyrë të arsyeshme” kushtin për shumën:
11
( )i i
ii
A A 
 

 
 
 

për çdo bashkësi 1 2, ,....A A . Nga ana tjetër, nëse jepet një nënbashkësi e mbyllur n
A  ne
mund ta përafrojmë atë nga brenda dhe jashtë nëpermjet dy kubave të ndara në hapësirën
Euklidiane:
*
1
1 1
k l
i
i j
W A W
 
  ,
dhe mund të masim në mënyrë të përafërt vëllimin e të dy kubave.
Brendësia (jashtësia) e vëllimit të bashkësisë A përkufizohet si superior (inferior), i këtyre
vëllimeve:
1
( ) ( )
k
i
i
V A sup vol W

 
  
 
 , *
1
( ) ( )
l
j
j
V A inf vol W

 
  
 
 .
Një bashkësi e mbyllur n
A  quhet Zhordan e matshme nëse vëllimi i brendshëm dhe i
jashtëm janë të barabarta.
( ) ( ) ( )V A V A V A 
Të gjitha nënbashkësitë e planit dhe hapësirës që trajtohen në gjeometrinë euklidiane
elementare kanë sipërfaqe, përkatësishtt edhe vëllim. Këto mund të llogariten nëpërmjet
llogaritjes së integralit, dhe mund të shohim më vonë një përdorim të formulave të njohura
nga analiza. Për shembull, nëse :[ , ]f a b  është një funksion pozitiv dhe konsiderojmë
nënbashkësinë:
2
{( , ) /A x y a x b    dhe 0 ( )}y f x 
në plan, atëherë sipërfaqja e bashkësisë llogaritet nga formula:
( ) ( )
b
a
S A f x dx  .

Kjo formulë është një rast i veçantë i parimit të kavalierit, një rezultat me rëndësi të madhe.
Kjo pohon se dy trupa në n
 kanë një vëllim të njëjtë n-dimensional nëse ekziston një
hiperplan i tillë që çdo plan paralel me të pritet nga dy pjesë të trupit me vëllime të njëjta
(n-1)-dimensionale. Mund të përdorim këtë parim për të llogaritur vëllimin e turpave në
hapësirën tre dimensionale.
Një ndër vetitë më të rëndësishme të planit Euklidian është se ai mund të identifikohet me
fushën të të gjithë numrave kompleks. Dyshes 2
( , )x y  të numrave realë i shoqërojmë
numrin kompleks z x yi  . Në këtë mënyrë bashkësitë në planin Euklidian mund të
përshkruhen duke përdorur numrat kompleksë. Në hapësirën vektoriale tre-dimensionale
2
( )V  prodhimi vektorial i dy vektorëve është gjithashtu një vektor i cili ndodhet në 2
( )V  .
Nëse 1 1 1( , , )a x y z dhe 2 2 2( , , )b x y z janë dy vektorë të dhënë më koordinata atëherë :
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( , , )a b y z z y z x x z x y x y     .
Nëse a dhe b janë paralelë, atëherë 0a b  . Nëse jo, dy vektorët e hapësirës përcaktojnë
një plan dy-dimensional në hapësirë dhe janë brinjët e një paralelogrami P në këtë plan.
Atëherë:
( )S P a b 
Në fakt, rrjedh nga 1 2 0z z  që 1 1
1 2 2 1
2 2
det ( )
x y
a b x y x y S P
x y
 
     
 
.
Nga prodhimi vektorial dhe prodhimi skalar formohet prodhimi i përzierë i tre vektorëve
3
, , ( )a b c V  në hapësirë:
( ) ,a b c a b c   .
Prodhimi i përzierë i tyre vektorëve është një numër dhe në koordinata ai jepet në mënyrë
eksplicite nga:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
( ) det
x y z
a b c x y z
x y z
 
     
  
, ku 3 3 3( , , )c x y z .
Kur të tre vektorët janë linearisht të varur prodhimi i perzier i tyrë ka vlerë 0 . Nga ana tjetër
tre vektorë linearisht të pavarur në hapësirë formojnë një trup në hapësirë, i cili është
paralelopiped, vëllimi i të cilit jepet nga:
( )V a b c  .
Drejtëzat, pozicioni relativ i tyre, dhe figurat gjeometrike që formohen nga segmente luajnë
një rol të rëndësishëm në gjeometrinë elementare. Le të prezantojmë disa fakte të njohura për

drejtëzat. Fillimisht, drejtëza është një nënbashkësi n
L  e hapësirës Euklidiane e cila mund
të paraqitet në formën:
 ,L P ta t  
për një pikë P dhe një vektor a . Kjo paraqitje e drejtëzës në terma të P dhe a nuk është
aspak unike. Gjithsesi, ajo mundet pothuajse të bëhet unike nëse vendosen disa kushte të
tjera. Për shembull, mund të përcaktohet një pikë P L në drejtëz në mënyrë që ajo të ketë
distancë minimale nga një pikë e fiksuar n
O  e hapësirës Euklidiane. Këmba e a është për
më tepër e normalizuar te 1. Atëherë vektorët OP dhe a janë reciprokisht ortogonalë dhe a
është i përcaktuar në mënyrë të vetme, deri në zgjedhjen e një shenje. Për çdo dy pika të
ndryshme , n
A B  ekziston në hapësirën Eukliduane një dhe vetëm një drejtëz që përmban
ato pika. E shenojmë këtë drejtëz me ( , )L A B . Vektori drejtuues i drejtëzës është :
 
( )B A AB
r L
B A AB

 

,
ku ,A B janë dy pika të ndryshme të drejtëzës. Vektori drejtues është i përcaktuar në mënyrë
të vetme. Dy drejtëza në n
 quhen paralele në qoftë se vektorët drejtues të tyre kanë
koordinata të përpjesshme. Në plan, dy drejtëza të ndryshme janë paralele kur nuk kanë asnjë
pikë të përbashkët. Drejtëzat jo-paralele që nuk priten në dimensionet më të larta të hapësirës
Euklidiane quhen të kithëta. Pikat quhen kolineare nëse ndodhen në të njëjtën drejtëz. Tre
pika , ,A B C në hapësirën tre-diensionale janë kolineare kur prodhimi vektorial
( ) ( ) 0A C B C AC BC      .
Ushtrime
1. Çdo drejtëz 2
L  në plan mund të paraqitet nga ekuacioni 0Ax By C   . Jepni
një paraqitje të drejtëzës { : }P ta t  që kalon nga pika P dhe ka vektor drejtues .a
2. Le të jetë dhënë drejtëza me ekuacion 0Ax By C   dhe le të jetë 0 0( , )P x y një
pikë tjetër në plan. Llogarisni distancën nga pika tek drejtëza:
0 0
2 2
Ax By C
d
A B
 


.
3. Konsideroni trekëndëshin në plan, brinjët e të cilit jepen nga ekuacionet:
2 3 0x y   , 2 1 0x y   , 2 3 1 0x y   .
Llogarisni ekuacionin e lartësisë së trekëndëshit që është pingul me brinjën e tretë.

Figurat gjeometrike elementare dhe vetitë e
tyre.
Gjeometria Euklidiane merret me vijat, trekëndëshat, rrathët dhe vetitë e tyre. Në hapësirë
gjithashtu hasim edhe shumëfaqëshat. Do të nisim me figurën gjeometrike më bazike, vijën
në plan.
2.1. Vija
2.1.1. Teoremat e incidencës. Prej të gjitha teoremave të gjeometrisë elementare, teorema e
incidencës është më e thjeshta, sepse ajo trajton vetëm vijat, pikat, paralelizimin apo
gjatësinë. Për këtë arsye vendoset në fillim të trajtimit të figurave elementare gjeometrike dhe
vetive të tyre.
Teorema 1 (Teorema e incidencës). Le të jenë 1L dhe 2L dy vija që priten në një pikë S në
planin 2
 , pra 1 2 { }L L S  . Më pas, le të jenë *
1L dhe *
2L dy vija paralele që priten në
pikat përkatëse me vijat 1L dhe 2L :
*
1 1 1{ }L L P  *
2 1 2{ }L L P 
*
1 2 1{ }L L Q  *
2 2 2{ }L L Q 
pra gjatësitë e segmenteve kënaqin relacionet:
1 1 2 2
1 1 2 2
.
SP PP SP
SQ Q Q SQ
 
Vërtetim: Mjafton të vërtetojmë ekuacionin e parë, pasi të tjerat janë ekuivalente. Meqë
1 1Q L dhe 2 2Q L shtrihen në vijat përkatëse, ekzistojnë parametrat 1 2,t t  që kënaqin
barazimet:
1 1 1( )Q S t P S   , 2 2 2( )Q S t P S   .
Diferenca e të dyjave sjell:

(*) 1 2 1 1 2 2( ) ( )Q Q t P S t P S    
Meqë *
1L dhe *
2L janë paralele, ekziston një parametër 3t  që kënaq barazimin
1 2 3 1 2( )Q Q t P P   . Prandaj
(**) 1 2 3 1 3 2( ) ( )Q Q t P S t P S    
Vijat 1 2L L priten. Meqë vektorët 1P S , 2P S nuk janë paralelë, atëherë ata janë
linearisht të pavarur në plan. Nga barazimet (*) dhe (**) rrjedh që 1 2 3t t t  . Prandaj
1 2 3t t t  , nga të cilat arrijmë në përfundim:
1 2 1 2
1 2 3
1 2 1 2
SQ SQ Q Q
t t t
SP SP PP
    
Raporti AC:BC i tre pikave të ndryshme kolineare A, B, C është raporti përpjestimor ndërmjet
vektorëve AC dhe BC :
AC
AC BC
BC
 .
Vlera absolute e këtij numri është e barabartë me raportin e dy segmentëve. Shenja tregon
nëse segmentet janë të orjentuar me drejtim të njëjtë ose të kundërt. Në drejtëzën lineare
marrim pikën 0A  si zero dhe 1B  si njësh. Atëhere për C raporti përkatës
përpjestimor është funksioni i përcaktuar nga formula:
1
AC C
BC C


Në veçanti nëse na jepen pikat A dhe B, pika e tretë kolineare C është e përcaktuar në mënyrë
unike nga raporti përpjestimor.
Numrat 1 2 3, ,t t t të para në vërtetimin e teoremës së incidencës janë raportet përpjestimore të
pikave korresponduese. Nëse nuk i kalojmë në vlerën absolute do të marrim një version të
orjentuar të teoremës së incidencës nga ekuacioni 1 2 3t t t  .
Teoremë 2 (Teorema e orientuar e incidencës). Sipas hipotezës së teoremës së incidencës
kemi:
1 1 2 2
1 1 2 2
SP PP SP
SQ Q Q SQ
 
për raportin përpjestimor.
Le të jenë vijat 1L dhe 2L me preje 1 2 { }L L S  dhe dy vija jo domosdoshmërisht paralele
*
1L , *
2L me pika prerjeje të dhëna:

*
1 1 1{ }L L P  *
2 1 2{ }L L P 
*
1 2 1{ }L L Q  *
2 2 2{ }L L Q 
Supozojmë se 1 1 2 2
1 1 2 2
.
SP PP SP
SQ Q Q SQ
  Studiojmë pozicionin e mundshëm të vijave *
1L , *
2L .
Ashtu si më sipër, kemi:
1 1 1( )Q S t P S   , 2 2 2( )Q S t P S   ,
dhe gjithashtu
1 1 1( )Q S t P S   , 2 2 2( )Q S t P S   .
Prandaj
1 2
1 2
1 2
SQ SQ
t t
SP SP
   ,
mund të lindë edhe dy raste. Nëse parametrat 1 2t t janë të barabartë, atëherë
1 1 1( )Q S t P S   , 2 2 2( )Q S t P S   dhe gjithashtu 1 2 1 1 2( )Q Q t P P   . Vijat *
1L , *
2L janë
gjithashtu paralele. Në një rast tjetër 1 2t t  kemi :
1 1 1( )Q S t P S   , 2 2 2( )Q S t P S   .
Prandaj:
1 2 1 1 2( ) ( ) ( )Q S Q S t P P     .
Përdorim përsëri hipotezën dhe nga ekuacioni i fundit arrijmë në përfundimin që:
1 1 2
1 1 2 1 1 2 1 2
1 1 2
, ( ) ( )
SQ Q Q
t Q S Q S t PP Q Q
SP PP
      
dhe së fundmi:
1 2 1 2( ) ( )Q S Q S QQ    .
Nëse konsiderojmë vektorët 1a Q S  dhe 2b Q S  , mund ta shkruajmë këtë ekuacion në
një mënyrë tjetër:
a b a b   .
Kjo sjell që vektorët a dhe b janë ortogonalë, pra këndi në S ndërmjet 1L dhe 2L është kënd
i drejtë. Për më tepër,
1 1 1( )Q S t P S   , 2 1 2( )Q S t P S    .

Le të zgjedhim kulmin (0,0)S  si origjinë të koordinatave, vija 1L përgjatë boshtit të y dhe
vendosim pikat 1
(0,1)P  , 1 1(0, )Q t . Atëherë vija 2L përfaqëson boshtin e x-eve në të cilin
pikat e mbetura mund të parametrizohen si:
2 ( ,0)P a , 2 1( ,0)Q at 
për një konstante pozitive a . Ky konfiguracion i vijës gjithashtu kënaq relacionet e teoremës
së incidencës:
1 2
1 1 2
1SP SP
SQ t SQ
  dhe
1 2
2
1 2 11
2 1
.
2( )
PP
Q Q tt
 
Le të përmbledhim këtë përfundim.
Teoremë 3: Nëse kemi barazimin në teoremën e incidences
1 2 1 2
1 2 1 2
SP SP PP
SQ SQ Q Q
  , atëherë
vijat
* *
1 2,L L janë paralele ose kemi konfiguracionin e mëposhtëm:
(1)
* *
1 2,L L nuk janë paralele.
(2) Këndi ndërmjet 1L dhe 2L është i drejtë.
(3) S ndodhet ndërjmet iP dhe iQ për i që ka vlera ekzaktësisht 1 ose 2.
Konkluzion 1: Nëse këndi mdërmjet 1L dhe 2L në kulmin S nuk është i drejtë dhe nëse
1 2 1 2
1 2 1 2
SP SP PP
SQ SQ Q Q
  ,
atëherë
* *
1 2,L L janë paralele.
2.1.2 Teorema e Pappus-it. Le të përmendim sërish çfarë përkufizuam me vijë unike që
kalon nëpër dy pika , n
P Q  nga ( , )L P Q . Teorema e Pappus-it (si teorema e Desargues-it,
trajtuar pak më parë) konkludon në paralelizmin e vijës së tretë nga paralelizmi i dy vijave të
para.

Teoremë 4: (Teorema e Pappus-it). Le të jenë 1L dhe 2L dy vija të ndryshme në
2
 , le të jenë
1 2 3 1 2, , P P P L L tre pika të ndryshme në 1L dhe le të jenë 1 2 3 2 1, , Q Q Q L L tre pika të
ndryshme në 2L që nuk ndodhen në një drejtëz. Nëse vijat
2 1 3 2( , ) || ( , )L P Q L P Q dhe 1 2 2 3( , ) || ( , )L P Q L P Q
janë paralele, atëherë vijat 1 1 3 3( , ) || ( , )L P Q L P Q janë gjithashtu paralele.
Vërtetim: Fillimisht konsiderojmë rastin kur vijat 1L dhe 2L kanë pikprerje pikën S. duke u
mbështetur në këtë përcaktojmë pikat ( 2,3)i  :
1( )i iP S t P S   , 1( )i iQ S s Q S   .
Meqë 1 2 2 3( , ) || ( , )L P Q L P Q , ekziston numri a , i tillë që 1 2 2 3( )P Q a P Q   . Nga ku
kemi:
1 2 1 2 2 3( ) ( ) ( )P S Q S P Q a P Q      
2 3(( ) ( ))a P S Q S   
2 1 3 1( ( ) ( )).a t P S s Q S   
Nga ky ekuacion marrim:
2 1 2 3 1(1 )( ) ( )( ).at P S s as Q S    
Nëse njëri prej koefiçentëve në ekuacionin e fundit nuk është zero, atëherë pikat 1 1, ,P Q S do
të jenë kolineare. Prandaj:
2 1,at  3 2.as 
Shfrytëzojmë hipotezën e dytë 2 1 3 2( , ) || ( , )L P Q L P Q në mënyrë të ngjashme. Së pari ekziston
një numër b , i tillë që 2 1 3 2( )P Q b P Q   . Nga kjo arrijmë në përfundimin se:
2 1 2 3 1(1 )( ) ( )( )bs Q S t bt P S    
dhe marrim
2 1bs  , 3 2.bt t

Duke kombinuar këto ekuacione:
2
3
1
,
t
t
b ab
  2
3
1
.
s
s
a ab
 
Në veçanti, 3 3t s . Kjo sjell që:
3 3 3 3( ) ( )P Q P S Q S    
3 1 3 1 3 1 1( ) ( ) ( )t P S s Q S t P Q      .
Domethënë vijat 1 1( , )L P Q dhe 3 3( , )L P Q janë paralele. Në rastin e vijave paralele 1L dhe 2L
me vektor drejtues v paraqesim pikat si më poshtë:
1i iP P t v  , 1i iQ Q s v  .
Nga 1 2 3 2( )P Q a Q P   dhe 1 1 1 2 1 2( ) ( )P Q P Q Q Q    
2 3 2 1 2 1 3 2( ) ( )a P Q s v a P t v Q s v s v        .
përfitojmë:
1 1 2 3 3(1 )( ) ( ) .a P Q s as at v    
Sërish të gjithë koefiçentët mund të hiqen. Në veçanti 1a  domethënë
1 2 2 3P Q P Q   .
Në mënyrë të ngjashme duke përdorur hipotezën 2 1 3 2( )P Q b P Q   marrim 1b  ;
domethënë:
2 1 3 2P Q P Q  
Duke zbritur dy ekuacionet e fundit, ne gjejmë 1 3 1 3,P P Q Q   prandaj vijat 1 1( , )L P Q dhe
3 3( , )L P Q janë paralele.
2.1.3 Teorema e incidencës në hapësirë. Konsiderojmë përsëri teoremën e incidencës,
fillimisht për tre vijat paralele * * *
1 2 3, ,L L L të cilat takohen në 2
 nga dy vija prerëse 1 2,L L .
Kemi relacionin:
1 2 1 2
1 3 1 3
,
PP Q Q
PP Q Q

referuar nga Teorema e Talesit, në të cilën kulmi S është i çfarëdoshëm. Aplikojmë
teoremën e incidencës tek vijat * *
1 2( , )L L , nga ku:

2 2
1 1
SP SQ
SP SQ

Nga ku rrjedh:
1 1 2 1 1 2
1 1
SP PP SQ Q Q
SP SQ
 
 dhe 1 2 1 2
1 1
.
PP Q Q
SP SQ

Duke aplikuar teoremën e incidencës tek dyshja e vijave * *
1 3( , )L L përfitojmë në mënyrë të
ngjashme relacionin:
1 3 1 3
1 1
.
PP Q Q
SP SQ

Nga dy ekuacionet
1 2 1 2
1 1
PP Q Q
SP SQ
 dhe 1 3 1 3
1 1
PP Q Q
SP SQ

përfitojmë direkt:
1 2 1 2
1 3 1 3
PP Q Q
PP Q Q
 .
Me fjalë të tjera, në planin 2
 teorema e Talesit është një rrjedhim direkt i teoremës së
incidencës. Tani do të formulojmë dhe vërtetojmë teoremën e Talesit në hapësirën Euklidiane
të dimensioneve të larta.
Teoremë 5: (Teorema e Talesit). Le të jenë 1 2 3, ,H H H n
 tre hiperplane paralele në
hapësirën Euklidiane, dhe 1 2,L L dy vija te cilat i presin këto plane ( 1L dhe 2L nuk është e
thënë të priten me njëra-tjetrën). Shënojmë pikën e prerjes se hiperplaneve dhe vijës me
1P L H   dhe 2 ,( 1,2,3)Q L H     . Atëherë:

1 2 1 2
1 3 1 3
PP Q Q
PP Q Q

Vërtetim: Ndërtojmë një sistem koordinativ në mënyrë që 3H të jetë një hiperplan
 1 1
0n n n 
   . Atëherë
     1 1 1
3 2 2 1 10 , ,n n n
H H h H h  
     
Parametrizojmë vijat 1 2,L L duke filluar nga pikat e bazës 3P dhe 3Q :
   1 3 2 3,L P tv L Q t   
Meqë 1 2,L L nuk janë paralele me hiperplanet 1 2 3, ,H H H duke vendosur
 1 1,..., ,n nv v v  dhe 1 1( ,..., , )n n   
kemi që 0, 0.n nv   Tani 1P dhe 1Q takohen në hiperplanin 1H . Duke krahsuar dy
komponentët e fundit të të këtyre pikave arrihet në përfundimin që :
1
1 3
n
h
P P v
v
  1
1 3
n
h
Q Q 

 
Edhe përfundimi me pikat e prerjes 2P dhe 2Q është i ngjashëm:
2
2 3
n
h
P P v
v
  2
2 3
n
h
Q Q 

 
Kjo sjell që
1 2
1 2
n
h h
P P v
v

  , 1 2
1 2
n
h h
Q Q 


  , 1
1 3
n
h
P P v
v
  , 1
1 3
n
h
Q Q 

 

dhe përfundimisht:
1 2 1 2 1 2
1 3 1 1 3
PP h h Q Q
PP h Q Q

 
2.1.4. Teorema e Dezargut.
Teoremë 6: (Teorema e Dezargut). Le të jenë 1 2 3, ,L L L tre vija të planit 2
 të cilat priten në
një pikë   1 2 3S L L L   . Le të jenë 1 2, ' ; , 'A A L B B L  dhe 3, 'C C L përkatësisht, dy
pika në secilën prej vijave që takohen në pikën S . Nëse vijat
( , ) ( '; ')L A B G A B dhe ( , ) ( '; ')L B C L B C
janë paralele, atëherë vijat ( , ) ( '; ')L A C G A C janë gjithashtu paralele.
Vërtetim: Marrim  0,0S  në origjinën e koordinatave dhe vijën 1L përgjatë boshtit të
x eve . Meqë , , 'S B B dhe , , 'S C C janë kolineare, këto pika jepen nga
   ,0 , ' ',A a A a a  ,  1 2 1 2, , ' ( , );B b b B b b  dhe 1 2 1 2( , ), ' ( , )C c c C c c  .
Meqë AB dhe ' 'A B janë paralele, atëherë mund të ekzistojë një numër   me
( ' ') ( );B A B A   domethënë:
1 1' ( ),b a b a    2 2.b b 
Pikat B dhe 'B nuk ndodhen në vijën 1L . Prandaj 2 0b  dhe kemi   . Veçanërisht,
' .a a a   Më pas përdorim hipotezën e dytë në mënyrë të ngjashme. Meqë || ' 'BC B C
ekziston numri   i tillë që ( ' ') ( );C B C B   domethënë
1 1( ) ( ) 0,c b       2 2( ) ( ) 0.c b      
Nëse njëri nga numrat ( ),( )     është i ndryshëm nga zero, atëherë dyshja 1 2( , )b b
mund të jetë e përpjesshme me dyshen 1 2( , )c c . Si pasojë, vijat 2L dhe 3L do të puthiteshin,

sepse kalojnë nga pika  0,0S  . Prandaj e vetmja mundësi është       . Në çdo
rast,
1 2 1 2' ' ( , ) ( ',0) ( , ) ( ,0) ( ),C A c c a c c a C A         
dhe ky është përfundimi i Teoremës së Dezargut.
Vërrejtje 1: Teorema e Dezargut është rrjedhim i teoremës së Pappus-it.
2.2. Trekëndëshi
Le të përmëndim fillimisht disa koncepte. Trekëndëshi me kulme , ,A B C shënohët
simbolikisht me ( , , )A B C . Brinjët që ndodhen përballë kulmeve , ,A B C shënohen me
, ,a b c respektivisht; gjithashtu të njëjtat shënime përdoren edhe për të treguar gjatësinë e
këtyre brinjëve. Vektorët korrenspondues do të shënohen me simbolet , , .a b c Atëherë
a b c 
dhe
,a b c  ,b a c  .c a b 
Këndet e brendshëm të trekëndëshit me kulme , ,A B C shenohen , ,   respektivisht;
Ndërsa këndet shtues të jashtëm do të shenohen me , ,A B C   . Nga përkufizimi shuma e
këndit të brendëshëm dhe këndit shtues të jashtëm që kane të njëjtin kulm është  . Për më
tepër, shënojmë lartësitë (vija e cila kalon nga kulmi dhe është pingul me faqen përballë) mbi
brinjët , ,a b c me , ,a b ch h h respektivisht.
Meqë a b c  mund të shkruajmë prodhimin skalar të dy vektorëve vetëm në termat e
gjatësive të brinjëve të trekëndëshit:
2 2 2
2 2 21 1
, ( ) ( )
2 2
b c b c b c b c a        

Kështu përftojmë formulën që jep masën e këndit qe ndodhet në kulmin A :
2 2 2
,
cos
2
b c b c a
bc bc

   
 
Kjo formulë e rëndesishme e cila jep relacionin midis një këndi të trekëndëshit dhe gjatësive
të brinjëve të tij njihet si teorema e Kosinusit.
Një trekëndësh quhet dybrinjëshëm nëse dy prej brinjëve të tij kanë gjatësi të barabara. Këto
dy brinjë quhen brinjët anësore të trekëndëshit; ndërsa brinja e tretë quhet bazë e
trekëndëshit.
Pohim 1. Një trekëndësh është dybrinjëshëm atëherë dhe vetëm atëherë kur dy prej këndeve
të tij të brendëshëm kanë masë të barabartë.
Vërtetim. Nëse dy brinjë të një trekëndëshi kanë gjatësi të barabarta, atëherë barazia e dy
këndeve rrjedh direkt nga formula e dhënë. Anasjelltas, supozojmë se cos cos  . Atëherë
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ( ) )
0
2 2 2
b c a b c a a b c a b
bc ac abc
      
  
Në çdo trekëndësh c a b  , përndryshe kulmet do të ishin kolinearë, prandaj nga ekuacioni
fundit ne marim që a b .
Një trekëndësh quhet barabrinjës në qoftë se gjatësitë e të treja brinjëve të tij janë të
barabarta. Duke aplikuar pohimin 1 kemi:
Pohim 2. Një trekëndësh është barabrinjës atëhrë dhe vetëm atëherë kur të tre këndet e tij të
brendëshëm kanë masa të barabarta.
2.2.1. Këndet e brendshëm dhe të jashtëm të trekëndëshit.
Teoremë 7 (Teorema e këndit shtues të jashtëm). Çdo kënd i brendshëm në një trekëndësh
është më i vogel se secili prej këndeve shtues të jashtëm që nuk i bashkëngjiten atij.
Vërtetim: Nëse  dhe  janë kënde të brendshëm te kulmeve A dhe B , atëherë:
cos 
2 2 2
2
b c a
bc
 
, cos 
2 2 2
2
a c b
ac
 
.
Për këndin shtues të jashtëm B kemi:
cos cos( ) cosB        
2 2 2
2
a c b
ac
 
Shkruajmë:
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ( ) )
2(cos cos )B
b c a a c b a b c a b
bc ac abc
 
      
   

Nga mosbarazimi Cauchy – Sch ars (Shënim: Vektorët nuk janë të përpjesshem)
2 2 2 2 2 2 2
( ) | | | | | | | | 2 , | | | |a b a a b a a b a b c c           
shohim se diferenca cos cos 0B   është pozitive. Funksioni kosinus është zbritës në
 0, , kështu që B  .
Teoremë 8 (Shuma e këndeve të një trekëndëshi). Nëse ,  dhe  janë tre kënde të
brendshme të një trekëndëshi atëherë
      .
Vërtetim: Nga kulmi A i trekëndëshit me kënd të brendshëm  ndertojmë një kënd  dhe
konsiderojmë vijën 1S që del nga A. Nëse kjo vijë do të priste vijën ( , )L B C në pikën P do
të kishim një trekëndësh ( , , )C A P me kënd të brendshëm  në kulmin A dhe të njëjtin
kënd shtues të jashtëm  në kulminC . Kjo bie në kundërshtim me teoremën e këndit shtues
të jashtëm. Kështu që drejtëza S është paralele me ( , ).L B C
Arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për këndin  për të marrë vijën 2S që del nga kulmi A, e
cila është përsëri paralele me ( , )L B C . Bashkimi 1 2S S është gjithashtu një vijë e drejtë e
cila kalon nga pika A . Shuma totale e masës së këndeve në kulmin A nga njëra anë është e
barabartë me  , ndërsa nga ana tjetër është     . Kështu që       .
Vërejtje 2. Në të njëjtën mënyrë teorema e këndit ndërrues vijon nga teorema e këndit shtues
të jashtëm: Nëse 1L dhe 2L janë dy vija paralele, dhe në qoftë se L është një vijë tjetër e cila
pret 1L dhe 2L , atëherë L është ose pingule me të dyja vijat, ose këndi midis 1L dhe L me
këndin midis 2L dhe L , të cilët janë më të vegjël se
2

, janë të barabartë.
Një shumëkëndësh i mysët me n kënde mund të ndahet ekzaktësisht në n trekëndësha duke
bashkuar një pikë fikse të brendshme me secilin prej kulmeve të tij. Shuma totale e këndeve
të këtyre trekëndëshave është n . Duke zbritur këndin 2 në pikën e brendshme që
zgjodhëm marrim:
Teoremë 9. Shuma e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi të mysët me n kënde është
( 2)n  .

2.2.2. Teorema e lartësisë. Teorema e kateteve, Teorema e Pitagorës. Nëse njëri prej
këndeve të brendshëm të trekëndëshit është kënd i drejtë trekëndëshi quhet trekëndësh
kënddrejtë. Nëse konsiderojmë sërish formulën
cos 
2 2 2
2
a b c
ab
 
përfitojmë teoremën e Pitagorës.
Teoremë 10 (Teorema e Pitagorës). Këndi i brendshëm  është kënd i drëjtë atëherë dhe
vetëm atëherë kur 2 2 2
a b c 
Vërejtje 3. Formula për kosinusin e dy këndeve të tjerë në një trekëndësh kënddrejtë është
gjithashtu e ngjashme. P.sh. nëse në rastin e mësipërm do të kishim kënd të drejtë në kulmin
C , atëherë
cos 
2 2 2
2
b c a
bc
  2 2 2 2
( )
2
b a b a b
bc c
  
 
Pra kosinusi është raporti i gjatësisë së brinjës anëshkruar këndit  me hipotenuzën.
Vërejtje 4. Një vërtetim gjeometrik i teoremës së Pitagorës bëhet duke llogaritur siperfaqen e
një katrori me brinjë ( )a b dhe duke e ndarë atë në dy mënyra të ndryshme (shikoni figurën
e mëposhtme). Mendohet se ky është një vërtetim që Babilonasit e kanë ditur që prej viteve
1900-1600 p.e.s., shumë kohë më parë në krahasim me Pitagorianët (570-480). Konsiderohet
e rëndësishme sepse nuk është e njëjtë me vërtetimin e Euklidit.
Vërejtje 5. Treshja ( , , )a b c e numrave natyrorë është quajtur treshe Pitagoriane n.q.s
2 2 2
a b c  . Është e qartë se treshja e formës ( , , )ka kb kc ku k  është Pitagoriane.
Treshja ( , , )a b c quhet treshe e thjeshtë Pitagoriane nëse numrat , ,a b c janë të thjeshtë midis
tyre. Nuk është e vështirë të përftosh treshe Pitagoriane. P.sh. , n.q.se u v janë dy numra
natyrorë relativisht prim me njëri-tjetrin dhe mos të jenë të dy numra tek, atëherë
2 2
,a v u  2 ,b u v  2 2
c v u 

është një treshe Pitagoriane e thjeshtë. Anasjelltas, çdo treshe e tillë mund të përftohet në këtë
mënyrë. Kjo metodë ishte e njohur nga Babilonasit, të cilët kanë demostruar në tabelat prej
argjile një seri të gjatë me treshe Pitagoriane. Njëra përmbante prezantimin e tresheve
Pitagoriane të formuara nëpërmjet shembullit të mëposhtëm. Ekuacioni 2 2 2
a b c  është
ekuivalent me
2 2
1
a b
c c
   
    
   
Në këtë mënyrë çdo treshe Pitagoriane lidhet me një pikë racionale ,
a b
x y
c c
  në rrethin
njësi  1 2 2 2
( , ) : 1x y x y    .
Projeksioni stereografik njëdimensional ( , )
1
y
x y t
x
 

është një funksion bijektiv që çon
 1
/ 1 në , dhe imazhet e pikave racionale në 1
janë numrat racionalë:
2
2 2
1 2
,
1 1
t t
t
t t
 
  
  
Kljo lidh numrin racional
u
t
v
 me
2 2
2 2 2 2
2
,
v u uv
u v u v
 
 
  
Dhe kështu përftojmë formulën e dëshiruar. P.sh. ne mund të marrim treshet e mëposhtme:
Nëse nuk marrim eksponentin 2, por një numër më të madh 2n  , problemi arrin në gjetjen e
numrave të plotë ( , , )a b c që janë zgjidhje për ekuacionin n n n
a b c  (Problemi i Ferma-it).
Është vërtetuar (nga Andre iles, 1993), që ky problem nuk ka zgjidhje.
Le të jetë ( , , )A B C një trekëndësh me kënd të drejtë  =
2

. Nga kulmi C heqim lartësinë
mbi brinjën c përballë tij. Shënojmë me F pikën e prerjes së lartësisë me brinjën c dhe

lartësinë (dhe gjatësinë e saj) me h . Brinjët CA dhe CB të trekëndëshit, të cilat formojnë
këndin e drejtë, quhen katete.
Teoremë 11 (Teorema e kateteve për trekëndëshat). Në një trekëndësh kënddrejtë:
22
,a BC BF c 
22
b AC AF c 
Teoremë 12 (Teorema e lartësisë për trekëndëshat). Në një trekëndësh kënddrejtë:
2
h AF BF
Vërtetim : Duke aplikuar teoremën e Pitagorës për të tre trekëndëshat kënddrejtë kemi:
2 2 2
,a b c  2 2 2
| | ,a h BF  2 2 2
| |b h AF 
dhe | | | |AF BF c  . Kjo sjell që:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 | | | | | | 2| || | 2| | 2| |a c b h BF c AF BF AF BF BF BF c         
Kjo vërteton teoremën e kateteve. Në mënyrë të ngjashme per teoremën e lartësive kemi:
2 2 2 2 2 2 2 2
| | | | | | 2| || |h b AF c a AF BF AF BF h        dhe marrim 2
| || |.h AF BF
2.2.3. Teoremat e kongruencës dhe ngjashmërisë. Në kapitullin e parë, përkufizuam se dy
bashkësi janë kongruente nëse ekziston një izometri (në kuptimin e algjebrës lineare) që lidh
njërën bashkësi me tjetrën. Teorema e mëposhtme shpreh se për trekëndëshat ky përkufizim
është ekuivalent me vetinë e njohur që gjatësitë e brinjëve janë të përputhshme. Më tej do të
përdorim vetëm këtë karakteristikë elementare të kongruencës së trekëndëshave, e cila
gjithashtu mund të merret edhe si përkufizim.
Teoremë 13. Dy trekëndësha në plan me gjatësi brinjësh , ,a b c dhe ', ', 'a b c janë kongruentë
në qoftë se ',a a 'b b dhe 'c c .
Vërtetim. Meqë 'a a mundemi, më anë të një lëvizjeje Euklidiane, fillimisht të bëjmë
brinjët a dhe 'a të përputhshme. Kulmet korrenspondues 'B B dhe 'C C gjithashtu
përputhen. Konsiderojmë sistemin koordinativ me origjinë 'B B dhe boshtin e x-eve
përgjatë ( , )L B C . Atëherë
'B B (0,0) , ' ( ,0)C C a 

Le të jetë kulmi i tretë i trekëndëshit me koordinata ( , )A x y . Nga
2 2
( )b AC x a y    dhe 2 2
c AB x y  
rrjedh që:
2 2 21
( ),
2
x a b c
a
   2 2
y c x   .
Këto janë dy mundësitë e mundshme për kulmin e tretë , 'A A të trekëndëshit. Trekëndëshi
korrenspondues transformohet nga njëri tek tjetri sipas pasqyrimit në lidhje me boshtin e
x -eve.
Teorema e mëposhtme na lejon të përcaktojmë kongruencën e trekëndëshave nga vetitë e tre
brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit. Rezultatet (2) dhe (4) njihen me emrin teorema BKB
dhe teorema KBK, ku janë përdorur simbolet e brinjë-kënd-brinjë dhe kënd-brinjë-kënd
respektivisht.
Teoremë 14. (Teorema e kongruencës për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë kongruent
nëse kanë të njëjta:
(1) Gjatësitë e tre brinjëve (BBB).
(2) Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin e përfshirë midis tyre (teorema BKB).
(3) Gjatësinë e dy brinjëve dhe këndin që ndodhet përballë brinjës me gjatësi më të
madhe.
(4) Dy kënde dhe brinjën e përfshirë midis tyre (teorema KBK).
Vërtetim. Le të jenë ,a b dy brinjë të trekëndëshit dhe  këndi i përfshirë midis tyre.
Duke shtjelluar formulën cos 
2 2 2
2
a b c
ab
 
veçojmë brinjën e tretë c ,
2 2
2 cosc a b ab    .
Shohim se gjatësia e brinjës së tretë c përcaktohet prej ,a b dhe  . Kjo tregon se kushti parë
është i mjaftueshëm për kongruencën e trekëndëshave.
Le të shqyrtojmë kushtin e katërt. Le të jenë ,  këndet e dhënë dhe a brinja e përfshirë
midis tyre. Njësoj si më parë
2 2 21
cos ( )
2
a c b
ac
    , 2 2 21
cos ( )
2
a b c
ab
    .
Dhe më pas shohim se
sin
sin( )
a
b

 


,
sin
sin( )
a
c

 



Janë zgjidhjet e vetme të sistemit të ekuacioneve; prandaj ,b c janë të përcaktuara nga , ,a   .
Vemë re se te dyja shprehjet kanë kuptim. Me të vërtetë, 0 ,
2

   prandaj 0      .
Meqë funksioni i sinusit është pozitiv në intervalin  0, , numrat realë ,b c janë pozitivë,
ashtu si duhet të jenë edhe brinjët e trekëndëshit. Në vend se të shkojmë në një proces të
lodhshëm për të zgjidhur këte sistem ekuacionesh në mënyrë të drejtëpërdrejtë, ne do të
mjaftohemi duke treguar se shprehjet për b dhe c janë vërtetë zgjidhjet e kërkuara dhe do të
japim një argument se kjo zgjidhje është e vetme.
Nëse vendosim formulat për b dhe c në teoremën e kosinusit për cos , pas thjeshtimeve
marrim:
2 2 2
2 2 21 sin ( ) sin sin
( )
2 2sin sin( )
a c b
ac
   
  
  
  
 
.
Duke përdorur teoremën për sinusin e shumës së dy këndeve, pra për sin( )  , duke
shtjelluar termat në katror dhe duke pasur parasysh formulën themelore të trigonometrisë
2 2
cos sin 1x x  marrim:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
( )
2
sin cos sin cos ) sin sin
2sin sin( )
sin (cos 1) sin cos 2sin sin cos cos sin
2sin sin( )
sin sin sin cos 2sin sin cos cos sin
2sin sin( )
sin (1 sin ) si
a c b
ac
     
  
        
  
        
  
 
 
  


   


   


 

2 2
n cos 2sin sin cos cos
2sin sin( )
sin cos sin cos
cos cos ,
sin( )
     
  
   
 
 



 

Ekuacioni i fundit rrjedh sërish nga teorema e shumës. Kështu ,b c vërtetojnë ekuacionin e
parë. Në mënyrë të ngjashme tregojmë se ato vërtetojnë edhe ekuacionin e dytë.
Tani le të shohim unicitetin e zgjidhjes. Nuk është e vështirë të derivohet ekuacioni kuadratik
në lidhje me b dhe c . Për rrjedhojë, pjesa e mësipërme e ligjit të kosinusit mund të shkruhet
në mënyrë ekuivalente si
(*) 2 2 2
2 cos ,ac a c b    2 2 2
2 cosab a b c   
Duke mbledhur këto relacione dhe duke thjeshtuar marrim
(**) cos cosa b c     , meqë
cos
.
cos
a c
b





Duke vendosur këto në ekuacionin e parë (*) marrim:
2 2 2
2 2
2 2 2
cos 2 cos
2 cos ,
cos cos cos
a c ac
ac a c
 

  
    
i cili është ekuivalent me:
2 2 2 2 2 2
( ) (cos cos ) 2 cos sin sin 0.f c c ca a            
Ky është ekuacioni kuadratik i kërkuar për c . Nëse në vend të kësaj vendosim shprehjen për
b nga (**) tek formula e parë e (*) marrim të njëjtin ekuacion kuadratik. Në mënyrë të
ngjashme ne mund të derivojmë shprehjen për c nga ekuacioni (**), emërtojmë
( cos ) / cosc a b    , dhe e vendosim atë në ekuacionin e parë. Kjo çon në ekuacionin
kuadratik:
2 2 2 2 2 2
( ) (cos cos ) 2 cos sin sin 0.f b b ba a           
Logjikisht secili prej këtyre ekuacioneve pranon dy zgjidhje, që rezultojnë në katër
kombinime të mundshme të cilat duhet të diskutohen hap pas hapi. Një shikim më i mprehtë
në grafikët e funskioneve ( )f c dhe ( )f b rizgjidh pyetjen më shpejt: Këto janë funksione
kuadratike me koefiçentët pranë fuqisë së dytë me shenjë të kundërt. Nëse për shembull
2 2
cos cos 0   atëherë ( )f c është një parabol me degë të drejtuara lart, ku
2 2
(0) sin 0.f a    Një parabol e tillë mund të ketë vetëm një rrënjë pozitive, të emërtuar
shprehja e deklaruar për .c Nga (**) dalim në përfundim se b është e përcaktuar në mënyrë
unike. Nëse në të kundërt 2 2
cos cos 0   , argumentohet në mënyrë të ngjashme për
( ).f b
Në mënyrë të njëjtë, rezultati i mëposhtëm bazohet në përkufizimin e ngjashmërisë të dhënë
më sipër. Ai mund të përdoret si një përkufizim për trekëndëshat e ngjashëm.
Teoremë 15. Dy trekëndësha në plan me brinjë , ,a b c dhe ', ', 'a b c janë të ngjashëm kur,
plotësohet relacioni i mëposhtëm:
'
'
a a
b b
 ,
'
'
a a
c c
 ,
'
'
b b
c c
 .
Vërtetim: Procesi i vërtetimit bëhet në mënyrë analoge si teorema e kongruencës. Fillimisht
nga formula:
2 2 21
cos ( ),
2
b c a
bc
   
dhe nga kushti, rrjedh që këndet në të dy trekëndëshat janë të barabartë. Nga lëvizjet
Euklidiane mund të kuptojmë se pikat B dhe 'B përputhen dhe segmentet a edhe 'a janë
paralele. Meqë '  , segmentet c dhe 'c duhet të jenë paralele gjithashtu. Konsiderojmë
distancat përreth pikës 'B B nga raporti
' 'a c
a c
 . Kjo ngjashmëri sjell pikën A në 'A dhe
C në 'C , pra sjell segmentin AC në ' 'A C . Meqë pika 'B B nuk zhvendoset kemi gjetur
një figurë të ngjashme që përfton dy trekëndëshat nga njëri-tjetri. Nëse merret parasysh kriteri

i mëparshëm i ngjashmërisë dhe aplikohet formula e këndit si më parë, kushtet e nevojshme
dhe të mjaftueshme mund të riformulohen në mënyrë analoge.
Teoremë 16: (Teorema e ngjashmërisë për trekëndëshat). Dy trekëndësha janë të ngjashëm
nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:
(1) Raporti i brinjëve respektive të jetë i barabartë.
(2) Raporti i dy brinjëve dhe këndi ndërmjet tyre të jetë i barabartë.
(3) Raporti i dy brinjëve dhe këndi përballë brinjës më të madhe të jenë të barabartë.
(4) Dy kënde të barabartë.
2.2.4 Teorema e Menelausit. Teorema e Menelausit përshkruan raportin e përpjestimit në
një trekëndësh për një vijë që kalon përgjatë tij. Një vijë e tillë nganjëherë quhet transversale
e trekëndëshit.
Teoremë 17: (Teorema e Menelausit). Konsiderojmë një trekëndësh me kulme , ,A B C .
(1) Nëse L është një vijë e cila nuk kalon përgjatë kulmeve të trekëndëshit dhe pret
zgjatimet e brinjëve të trekëndëshit në tre pika , ,D E F dhe nëse:
( , ) { },L L A B D  ( , ) { },L L B C E  ( , ) { }.L L A C F 
Raporti përpjestimor çon në relacionin:
(*) 1.
AD BE CF
DB EC FA
   
(2) Nëse , ,D E F jane tre pika në ( , ), ( , )L A B L B C dhe ( , )L A C që kënaqin relacionin
(*), atëhere ato janë kolineare.
Vërtetim: Le të jenë , ,l m n gjatësitë e pinguleve nga pikat , ,A B C mbi vijën L . Këto
pingule janë paralele, dhe nga teorema e orjentuar e incidencës kemi:
,
AD l
DB m
  ,
BE m
EC n
  .
CF n
FA l
 
Prandaj, shenja në barazimin e parë duhet të zgjidhet pozitivisht nëse D qëndron në
segmentin AB dhe ndryshe negative. E njëjta gjë vlen për të dyja identitetet e tjera, nëse E
qëndron midis B dhe C edhe F midis A dhe C . Transversalia L shkurton një ose tre anët e
trekëndëshit jashtë trekëndëshit, kështu që kombinimi i vetëm i mundshëm është  dhe

. Në të dyja rastet implikimi i parë i teoremës rrjedh menjëherë. Nga ana tjeter,
supozojmë per një moment që ( , )L B C dhe ( , )L D F janë paralele. Nga teorema e incidencës
së orientuar do të kishim:
'
AD AF
DB FC

Dhe / 1EB EC  do të vijonte nga relacioni (*). Kjo nuk është e mundur në një trekëndësh të
padegjeneruar. Prandaj ( , )L B C dhe ( , )L D F duhet të takohen në një pikë, të cilën e
shënojmë me 'E . Pingulet ', ', 'l m n nga , ,A B C mbi vijën ( , ', )L D E F së bashku me pikën
'E kënaqin
' ' ' '
' ' ' '
BE m m l DB FA
E C n l n AD CF
      
Nga relacioni (*) shohim se që kjo është e barabartë me
BE
EC
; d.m.th. 'E E . Në veçanti
,D E dhe F janë kolineare.
2.2.5. Teorema Ceva. Një grup i teoremave klasike në gjeometrinë e trekëndëshave permban
vijat speciale të trekëndëshit si: lartësitë, pergjysmoret dhe mesoret. Ato janë shembuj të
vijave transversale të cilat kalojnë nga kulmet e trekëndëshit. Teorema Ceva përshkruan
raportin përpjestimor në një trekëndësh për tre vija trensversale të këndëve, duke supozuar se
ato takohen në një pikë të përbashkët P.
Teoremë 18. Le të jetë ( , , )A B C një trekëndësh me kulme , ,A B C .
(1) Le të jetë P një pikë e brendshme ose e jashtme e trekëndëshit, dhe supozojmë se
vijat e mëposhtme priten në tre pika , ,D E F :
 ( , ) ( , ) ,L A B L C P D   ( , ) ( , )L B C L A P E  ,  ( , ) ( , )L A C L B P F  .
Atëherë
(**) 1
AD BE CF
DB EC FA
   .
(2) Anasjelltas, le të na jenë dhënë tre pika , ,D E F në ( , ), ( , )L A B L B C dhe ( , )L A C që
plotësojnë relacionin (**). Atëherë secila prej transversaleve të këndeve
( , ), ( , )L A E L B F dhe ( , )L C D janë paralele ose priten në një pikë të përbashkët P.

Vërtetim. Konsiderojmë trekëndëshin ( , , )A B E dhe vijën ( , )L C D . Nga teorema e
Menelausit:
1
AD BC EP
DB CE PA
   
Duke aplikuar teoremën e Menelausit në ( , , )A C E dhe vijën ( , )L B F marrim
1
AF CB EP
FC BE PA
   
Teorema Ceva rrjedh menjëherë nga keto dy ekuacione.
Për të anasjelltën ne konsiderojmë vijat ( , )L B F dhe ( , )L A E . Nëse ato janë paralele, atëherë
nga teorema e orientuar e incidencës,
BE FA
EC AC
 , e cila duke u zëvendësuar në (**) jep
relacionin
AD AC
DB CF
 ; d.m.th. ( , )L F B është paralele me ( , )L C D . Në qoftë se ( , )L B F dhe
( , )L A E priten në një pikë, të cilën e shënojmë P , ne konsiderojmë transversalen ( , )L P C
dhe pikën e prerjes së saj 'D me ( , )L A B . Teorema Ceva (1), tashmë është vërtetuar, kur
aplikojmë në ( , , )A B C dhe në pikën P , jep:
'
1
'
AD BE CF
D B EC FA
   .
Së bashku me (**) rrjedh që
'
'
AD AD
D B DB
 , prandaj 'D D .
2.2.6. Vijat speciale të trekëndëshit. Nga teorema Ceva dhe e anasjellta e saj mund të
përftojmë një seri rezultatesh të njohura për pikat e prerjes në një trekëndësh.
Teoremë 19. (Teorema e ortoqendrës). Tre lartësitë e trekëndëshit priten në një pikë ocP , e
cila quhet ortoqendra e trekëndëshit.

Vërtetim. Do të japim vërtetimin e këtij rezultati për situatën kur pika ocP ndodhet në
brendësi të trekëndëshit. Vërtetimi në rastin tjetër kur pika ocP ndodhet jashtë trekëndëshit
lihet i lirë për lexuesin në ushtrimin 15. Përcaktojmë segmentet 1 2 6, ,...,c c c si në figurë, e cila
sjell që 1
2
c AD
c DB
 , etj. Tre lartësitë e trekëndëshit përcaktojnë gjashtë trekëndësha kënddrejtë,
për të cilët mund të aplikojmë teoremën e Pitagorës gjashtë herë:
2 2 2 2 2
1 2 1 3 1 6
2 2 2 2 2
3 4 2 5 3 2
2 2 2 2 2
5 6 3 1 1 4
( ) ,
( ) ,
( )
c c h c h c
c c h c h c
c c h c h c
    
    
    
Duke eleminuar lartësitë:
2 2 2 2
1 2 4 5 6 3( ) ( )c c c c c c     ( )I
2 2 2 2
3 4 6 1 2 5( ) ( )c c c c c c     ( )II
2 2 2 2
3 4 1 5 6 2( ) ( )c c c c c c     ( )III
Duke kombinuar këto tre ekuacione, dmth duke formuar ( ) ( ),I II ( ) ( ) ,I I I I dhe
( ) ( ),II III marrim:
1 1 2 6 5 6
3 3 4 2 1 2
5 5 6 4 3 4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
  
  
  
Më pas formojmë prodhimin e këtyre ekuacioneve:
1 3 5 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 2 3 4 5 6( )( )( ) ( )( )( )c c c c c c c c c c c c c c c c c c      
dhe marrim:
1 3 5
2 4 6
1.
c c c
c c c


Përfundimi i njëjtë ndiqet edhe për trekëndëshat e padegjeneruar nga e anasjellta e teoremës
Ceva.
Tre mesoret e trekëndëshit kënaqin hipotezën e teoremës Ceva. Kështu që:
Teoremë 20: (Teorema e mesoreve). Tre mesoret e trekëndëshit priten në një pikë CP . Kjo
pikë ndan çdo mesore në raportin 2:1 (nga kulmi tek brinja). Pika CP është qendra e
trekëndëshit.
Vërtetim: Mjafton të vërtetojmë raportin 2:1. Përdorim nocionin e mëposhtëm:
Nga pjesa (2) e teoremës së ngjashmërisë për trekëndëshat (Teorema 16), trekëndëshat
( , , )F E C dhe ( , , )A B C janë të ngjashëm, për këndet e tyre në C përkojnë dhe
2
BC AC
EC FC
  . Prandaj gjatësia e segmentit EF është
2
c
dhe e anasjellta e teoremës së
incidencës implikon që ( , )L A B dhe ( , )L E F janë paralele. Duke zbatuar teoremën e
incidencës tek dyshja e vijave ( , )L B F dhe ( , )L A E dhe vijave paralele ( , )L A B dhe
( , )L E F arrijmë që
2
2C
C
AP c
EP c
  .
Tani diskutojmë përgjysmoret e këndeve. Këto gjithashtu priten në një pikë të vetme, e cila
është qendra e rrethit që i brendashkruhet këtij trekëndëshi.
Teoremë 21: (Teorema e përgjysmores së këndit). Të treja përgjysmoret e këndeve të
brendshme të një trekëndëshi priten në një pikë icP .
Vërtetim: Marrim në konsideratë trekëndëshin dhe dy përgjysmore të tij të cilat priten në
pikën P .

Heqim pingulet nga pika P mbi çdo brinjë të trekëndëshit dhe shënojmë këmbët e këtyre
pinguleve me , ,D E F . Trekëndëshat ( , , )A D P dhe ( , , )A P E janë kongruentë meqë ata
kanë një brinjë të përbashkët ( )AP dhe dy kënde të barabartë (këndet e drejta dhe këndin në
kulmin A të përgjysmuar). Në mënyrë të ngjashme trekëndëshat ( , , )B D P dhe  , ,B P F
janë kongruentë, dhe prandaj DP FP . Nga kjo arrijmë në përfundimin se .FP EP
Kështu kemi katërkëndëshin PFCE me dy kënde të drejta dhe dy brinjë të barabarta,
.FP EP Kjo sjell menjëherë që trekëndëshat ( , , )P F C dhe ( , , )P E C janë kongruentë,
dhe prandaj vija ( , )L P C është përgjysmore e këndit me kulm në C .
Konkluzion 2: Nëse icP është pika e prerjes së përgjysmoreve në një trekëndësh, atëherë:
( , ) ( , ) ( , )ic ic icdist P AB dist P AC dist P BC 
Rrethi me qendër icP dhe rreze sa ( , )icdist P AB takon trekëndëshin ekzaktësisht në këmbët e
pinguleve nga icP mbi brinjët e trekëndëshit. Ai quhet rrethi i brendashkruar trekëndëshit dhe
icP është qendra.
Pika e prerjes së tre përmesoreve të trekëndëshit trajtohet në mënyrë të ngjashme.
Teoremë 22: Tre përmesoret e trekëndëshit priten në një pikë ccP . Për këtë pikë kemi:
( , ) ( , ) ( , )cc cc ccdist P A dist P B dist P C 
Prandaj rrethi me qendër ccP dhe rreze ( , )ccdist P A kalon përgjatë tre kulmeve të
trekëndëshit. Ai është quajtur rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit dhe ccP është qëndra e tij.
Vërtetim: Fillimisht është e qartë që dy përmesoret mbi brinjët AB dhe AC priten në një
pikë P . Meqë trekëndëshi ( , , )A P D dhe ( , , )D P B janë trekëndësha kënddrejtë dhe kanë
brinjë të përbashkët ( DP dhe AD DB ), rrjedh që
.AP BP

Njësoj, trekëndëshat ( , , )A P E dhe ( , , )P E C janë kongruentë (trekëndësha kënddrejtë me
dy brinjë të barabarta), prandaj:
.AP CP
Nga pika P heqim pingulen mbi vijën ( , )L C B . Pika e prerjes ndan segmentin CB në dy
pjesë me gjastësi x dhe y . Atëherë
22 2
22 2
,
x l BP
y l CP
 
 
ku l është gjatësia e pingules. Meqë BP CP sjell që x y , domethënë kjo pingule është
përmesore e BC .
Vërrejtje 6: (Trekëndëshi i mesëm). Konsiderojmë trekëndëshin ( , , )A B C . Trekëndëshi,
kulmet e të cilit janë pikat e mesit të brinjëve të ( , , )A B C , respektivisht ', ', 'A B C i
brendashkruhet trekëndëshit ( , , )A B C dhe ka brinjët sa gjysma e tij, quhet trekëndëshi i
mesëm.
Përmesoret e trekëndëshit ( , , )A B C janë lartësitë e trekëndëshit ( ', ', ')A B C . Meqë çdo
trekëndësh ka trekëndësh të mesëm dhe anasjelltas, çdo trekëdnësh i mesëm ka një

trekëndësh të jashtëm, teoremat që lartësitë dhe përmesoret e trekëndëshit priten në një pikë
ccP janë ekuivalente me njëra-tjetrën.
Gjithsej kemi katër pikprerje të dukshme në një trekëndësh. Këto janë pikprerja e lartësive
ocP dhe pikprerja e mesoreve cP . Më tej, pikprerja icP e përgjysmoreve që është qendra e
rrethit të brendashkruar trekëndëshit dhe pika ccP e përmesoreve e cila është qendra e rrehit të
jashtëshkruar trekëndëshit.
2.2.7. Drejtëza e Eulerit tek trekëndëshi. Në një trekëndësh barabrinjës pikat ,oc cP P dhe
ccP përputhen. Nëse trekëndëshi nuk është barabrinjës këto pika janë të ndryshme. Këto tre
pika të ndryshme të trekëndëshit ndodhen në të njëjtën drejtëz, e cila quhet drejtëza e Eulerit.
Teoremë 23. (Drejtëza e Eulerit) Pikat ,oc cP P dhe ccP të një trekëndëshi jo-barabrinjës janë
kolineare. Ato ndahen në raporin:
: 2:1oc c c ccP P P P 
Vërtetim. Nga ndërtimi segmentet e mëposhtëm janë paralel:
(1) oc ccAP DP , sepse të dy segmentet janë pingul me BC ;
(2) oc ccBP EP , sepse të dy segmentet janë pingul me AC ;
(3) AB DE me raport : 2:1AB DE  , sepse DE është vijë emesme për ( , , )A B C
Kështu trekëndëshat ( , , )ocA B P dhe ( , , )ccD E P janë të ngjashëm me koefiçent
ngjashmërie 2. Kjo sjell që edhe brinjët e tjera të kenë raport 2:1; d.m.th.
2:1oc ccAP DP 
Këndi ( )FDA është më i vogël se
2

, meqë trekëndëshi ( , , )A D F është kënddrejtë në
kulmin F. Nga ana tjetër këndi ( , , )
2
ocF D P

 . Prandaj pikat ocP dhe ccP shtrihën në anë të

ndryshme të segmentit AD . Le të jetë *P pikëprerja e segmentit oc ccP P me AD . Atëherë,
për këndet:
- ( * ) ( * )oc ccP P A DP P , sepse të dy këndet ndodhen në dy anë të ndryshme të
vijave ( , )L A D dhe ( , )oc ccL P P që priten në pikën *P .
- ( *) ( *)oc ccP AP P DP , meqë ocAP dhe ccDP janë paralele.
Prandaj trekëndëshat ,( , *)ocA P P dhe ,( , *)ccD P P janë të ngjashëm (kënde të barabartë)
dhe gjithashtu * : * 2:1oc ccP P P P  . Kjo sjell që:
* : * 2:1AP DP  dhe * : * 2:1oc ccP P P P 
Kështu mesorja AD ndahet nga pika *P në raportin 2:1. Por dimë gjithashtu se pika e
prerjes së mesoreve cP e ndan mesoren në të njëjtin raport, prandaj pikat * cP P përputhen.
Kështu cP ndodhet në segmentin që kalon nga pikat ocP dhe ccP . Pohimi në lidhje me raportin
e përpjestimit rrjedh nga ekuacioni i fundit:
* : * 2:1oc ccP P P P  .
Një lidhje të ngushtë me drejtëzën e Eulerit ka rrethi i Feuerbach-it, i njohur ndryshe edhe si
rrethi i nëntë pikave, për të cilin do të diskutojmë në seksionin 2.3.3.
2.2.8. Sipërfaqja e trekëndëshit, formula e Heronit. Le të përcaktojmë siperfaqen e
trekëndëshit me brinjë , ,a b c . Nisemi nga një concept i thjeshtë i sipërfaqes së
drejtëkëndëshit si prodhim i dy përmasave. Nga kjo rrjedh se sipërfaqja e paralelogramit
ABCD është prodhim i bazës me lartësinë.
Siperfaqe e cila është e barabartë me sipërfaqen e drejtëkëndëshit ' 'ABA D . Meqë nga çdo
trekëndësh mund të përftojmë një parallelogram duke bërë ndërtimet e përshtatshme,
siperfaqen e të cilit e njohim, prandaj siperfaqja e trekëndëshit do të jetë
1 1 1
( )
2 2 2
a b cS a h b h c h      
Mesoret e brinjëve të trekëndëshit formulohen në të njëjtën mënyrë edhe si mesore të
sipërfaqeve. Raporti ah
b
mund të shprehet në termat e sinusit të këndit  , sinah
b
 , dhe në

mënyrë të ngjashme edhe me lartësitë e tjera; prandaj siperfaqja e trekëndëshit mud të
shkruhet në mënyrë ekuivalente si:
1 1 1
( ) sin sin sin
2 2 2
S ab bc ac        
Nga këto formula rrjedh relacioni:
sin sin sin
a b c
  
 
që zakonisht njihet si teorema e sinusit. Duke shkruajtur
2
a b c
p
 
 për gjysëmperimetrin,
siperfaqja e trekëndëshit mund të shprehet vetëm në termat e gjatësive të brinjëve të tij. Kjo
njihet si formula e Heronit.
Teoremë 24. (Formula e Heronit). Trekëndëshi me brinjë , ,a b c dhe gjysëmperimetër p ka
sipërfaqe:
( ) ( )( )( )S p p a p b p c    
Vërtetim. Njohim formulën e mëposhtme për këndin e një trekëndëshi me kulm A:
2 2 2
cos
2
b c a
bc

 

Kjo sjell që:
(*)
2
sin ( )( )( )p p a p b p c
bc
     .
Duke patur parasysh se 2 2
sin cos 1   marrim
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 sin 4 ( ) .b c b c b c a    
Pastaj aplikojmë dy herë faktorizimin e diferencës së katrorëve 2 2
( )( )x y x y x y    dhe
marrim:
2 2 2
4 sinb c  2 2 2 2 2 2
2 2bc b c a bc b c a            
2 2 2 2
( ) ( )b c a a b c          
    b c a b c a a b c a b c         .
Nga përkufizimi i gjysëmperimetrit, kjo jep (*). Meqë sipërfaqja e trëkëndëshit mund të
shprehet
sin
( )
2
b c
S
 
  rrjedh menjëherë formula e Heronit.

Vërejtje 7. Nga formula e sipërfaqes
1 1 1
( ) sin sin sin
2 2 2
S ab bc ac        
Mund të llogarisim lartësitë e trekëndëshit në termat e gjatësive të brinjëve
2 ( )
a
S
h
a

 ,
2 ( )
b
S
h
b

 ,
2 ( )
c
S
h
c


Duke përdorur inekuacionin gjeometrik dhe kuptimin algjebrik të tij:
3
1 2 3
1 2 3
3
x x x
x x x
  
  
 
,
marrim
3 3 2
3 3 2
( )
3 3 3 3
p a b c p p p
S p p
      
      
   
dhe kështu:
2
1
( )
23 3
a b c
S
  
   
 
Barazimi për këtë sipërfaqe arrihet kur arrihet barazim ne inekuacionin
3
1 2 3
1 2 3
3
x x x
x x x
  
  
 
Kjo ndodh kur 1 2 3x x x  . Kjo sjell që
,p a p b p c     d.m.th. a b c  .
Teoremë 25. Sipërfaqja e trekëndëshit me brinjë , ,a b c plotëson mosbarazimin
2
1
( )
23 3
a b c
S
  
   
 
Barazimi arrihet atëhërë dhe vetëm atëherë kur trekëndëshi është barabrinjës.
Konkluzion 3. (Zgjidhja e problemit izoperimetrik për një trekëndësh). Ndër të gjithë
trekëndëshat me perimetër të dhënë trekëndëshi barabrinjës ka sipërfaqen më të madhe.
2.2.9. Rrethi i brendashkruar, rrethi i jashtëshkruar dhe rrethi i jashtëm i trëkëndëshit.
Qendra e rrethit brendashkruar trekëndëshit ndodhet në pikëprerjen icP të përgjysmoreve.
Shënojmë rrezen e rrethit me r . Nëse ndajmë trekëndëshin ( , , )A B C në tre trekëndësha më
të vegjël ( , , )icA B P , ( , , )icB C P dhe ( , , )icA C P dhe llogarisim sipërfaqet e tyre marrim

( )
2 2 2
a b c
S r r r pr     .
Kështu përftojmë një formulë eksplicite për rrezen r të rrethit të brendashkruar trekëndëshit.
Teoremë 26. Rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit është e barabartë me raportin e
sipërfaqes së trekendëshit dhe gjysëmperimetrit të tij.
( ) ( )( )( )
.
S p a p b p c
r
p p
   
 
Përcaktojmë rrezen e rrethit jashtëshkruar trekëndëshit në menyrë të ngjashme.
Teoremë 27. Rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit është e barabartë me raportin e
prodhimit të tre brinjëve me katërfishin e sipërfaqes:
4 ( )
a b c
R
S
 


Vërtetim. Nga kulmi A dhe qendra ccP e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit heqim një vijë
dhe shënojmë me E pikën tjetër në të cilën kjo vijë pret rrethin . Për më tepër, le të jetë D
këmba e pingules ah . Këndet ( )ADB dhe ( )ACE janë të drejtë, meqë ky i fundit është
kënd rrethor i cili mbështetet mbi diametër. Këndet ( )ABD dhe ( )AEC janë të barabrtë,
meqë të dy janë kënde rrethorë që mbështeten mbi të njëjtën kordë AC . Prandaj ( , , )A B D
dhe ( , , )A C E janë të ngjashëm. Në veçanti, arrimë në përfundimin se

: :2ah c b R , nga ku 2 ab c R h  
Rezultati rrjedh nga 2 ( ) aS a h   .
Rethi i cili ndodhet jashtë trekëndëshit dhe takon çdo brinjë të trekëndëshit, qendra e të cilit
është pikëprerje e përgjysmoreve të këndeve shtues të jashtëm quhet rrethi i jashtëm i
trekëndëshit. Ekzistojnë gjithsej tre rrathë të tillë.
Teoremë 28. Përgjysmorja e një këndi të brendshëm dhe dy këndeve të jashtëm që nuk i
bashkangjiten atij në një trekëndësh, priten në një pikë të perbashkët. Kjo pikë eshtë qendra e
rrethit qe takon njëren brinjë të trekëndëshit dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera. Rrezja e
rrethit të jashtëm të trekëndëshit në lidhje me brinjën korrensponduese të trekëndëshit është:
( )
,a
S
r
p a



( )
,b
S
r
p b



( )
,c
S
r
p c



Vërtetim. Vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e teoremës 21 (në seksionin 2.2.6).
Sërish konsiderojmë pikëprerjen P të përgjysmoreve të dy këndeve dhe nga kjo pikë heqim
pingulet në zgjatimet e brinjëve, si në figurë.
Më pas argumentojmë njësoj si në rastin e përgjysmoreve të këndeve të brendëshëm.
Llogarisim rrezen e rrethit te jashtëm të trekëndëshit nga krahasimi vijues i siperfaqeve. Është
e qartë se ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )A B C A P B B C P A C P      . Rrezja br shërben si lartësi për
secilin prej tre trekëndëshave. Duke kaluar tek sipërfaqja marrim
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
b b r bS c r a r b r p b r         .
Nga kjo formulë për rrethin e jashtëm të trekëndëshit dhe nga teorema 24 marrim relacione
të vlefshme në lidhje me trekëndëshin.
Konkluzion 4. Le të jenë r rrezja e rrethit të brendashkruar trekëndëshit dhe ,a br r , cr rrezet
e rrathëve të jashtëm të trekëndëshit. Atëherë
2
( ( )) ,a b cr r r r S    
1 1 1 1
a b cr r r r
   .

2.3. Rrethi
2.3.1. Korda, sekantet dhe tangentet ndaj rrethit. Rrethi me qendër Z dhe rreze r
konsiston në të gjitha pikat e planit që distancën nga qendra Z e kanë r :
   2 2
( , ) : ( , ) :C Z r P d P Z r P P Z r       
Teoremë 29. Le të jetë C një rreth në plan dhe 2
L  një drejtëz. Atëherë prerja C L ka
të shumtën dy pika.
Vërtetim. Le të jetë 0 0( ; )Z x y qendra e rrethit dhe  1 2 1 2( , ):L x tx y ty t    një
drejtëz me vektor drejtues 2 2( , )v x y . Prerja C L jepet nga zgjidhja e ekuacionit
 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) .x y t t x x x y y y x x y y r         
Ky është një ekuacion i fuqisë së dytë në lidhje me t, prandaj ka të shumtën dy zgjidhje.
Përkufizim 1. Drejtëza L quhet sekante ndaj rrethit C në qoftë se C L përmban dy pika.
Drejtëza L quhet tangente ndaj rrethit C në qoftë se C L përmban vetëm një pikë.
Teoremë 30. Le të jetë L tangente ndaj rrethit C me qendër Z , dhe le të jetë P pika e
prerjes:  C L P  . Atëherë vektori ( )r L i drejtëzës është ortogonal me vektorin PZ .
Vërtetim. Le të parametrizojmë drejtëzën:  :L P tv t   . Atëherë
2
2
P tv Z r   ,
dhe kështu
2 22 2
2 , .t v t v P Z P Z r      
Meqë
2 2
P Z r  rrjedh që  2
2 , 0t t v v P Z     , d.m.th:
2
2 , 0t v AB P Z     nëse 0t 
2
2 , 0t v AB P Z     nëse 0t 
Kjo sjell që , 0v P Z    .
Përkufizim 2. Le të jetë L sekante e C dhe le të jenë L C = ,A B pikat e prerjes së saj
me rrethin. Segmenti që bashkon pikat A dhe B quhet kordë e rrethit.
Tani do të diskutojmë teoremat e tangents dhe sekantes.
Teoremë 31. (Teorema e tangentes). Le të jetë C një rreth dhe L një sekante që pret rrethin
në pikat L C   ,A B . Le të jetë P L një pikë e sekantes e cila ndodhet jashtë rrethit,

dhe le të jetë 'L një tangente ndaj rrethit e cila kalon nga pika P . Atëherë, për pikën e
takimit  'C L C  , kemi:
2
.AP BP CP 
Vërtetim. Ndërtojmë vija ndihmëse dhe marrim në shqyrtim disa kënde. Nëse r është rreze
e rrethit, atëherë:
AM BM CM r  
Meqë ( , , ), ( , , )A M B A M C  dhe ( , , )C M B janë trekëndësha dybrinjëshëm, disa nga
këndet e tyrë janë të barabartë. Masat e këndeve në M janë të tilla që:
2 ( 2 ( )) ( 2 ( )) ( 2 ( )),CAM BCM ABM        
Dhe kemi 2( ( ) ( ) ( ))CAM BCM ABM   
Këndi ( )
2
MCP

 është kënd i drejtë sepse 'L është tangente ndaj rrethit. Kjo sjell që:
( ) ( ) ( ) ( )
2
BCP BCM CAM ABM

   
dhe ( ) ( ).BCP CAB Gjithashtu:
( )PCA  ( )
2
CAM

 ( ) ( ) ( )ABM BCM PBC    .
Trekëndëshat ( , , )A C P dhe ( , , )B C P kanë ty kënde të barabartë, pra
( ) ( ) ( )CAP CAB BCP  dhe ( ) ( ).ACP PBC Kështu, dy trekëndëshat janë të
ngjashëm, prandaj:
,
CP AP
BP CP
 d.m.th.
2
AP BP CP 

Teorema e tangentes tregon në veçanti se produkti AP BP nuk varet nga vendndodhja e
sekantes së rrethit. Më vonë do ta formulojmë veçmas këtë rast special.
Konkluzion 5. (Teorema e sekantes). Nëse L dhe 'L janë dy sekante të rrethit C që
kalojnë nga pika P e cila ndodhet jashtë rrethit, me pika prerjeje
 , ,L C A B   ' ', ' ,L C A B 
Atëherë:
' ' .AP BP A P B P  
Në veçanti, në rastin e dy tangenteve ndaj rrethit në pikën P , pra në rastin kur 'A A dhe
'B B kemi 'AP A P . Tani do të flasim për teoremën e kordës, e cila pohon të njëjtin
fakt si teorema e sekantes, por për dy korda të një rrethi.
Teoremë 32. (Teorema e kordës). Le të jenë L dhe 'L dy korda të rrethit C të cilat presin
rrethin në pikën  ,L C A B  dhe  ' ', 'L C A B  . Nëse L dhe 'L priten në pikën P që
ndodhet në brendësi të rrethit, atëherë
' ' .AP BP A P B P  
Vërtetim. Fillimisht marrim në konsideratë vetëm një kordë dhe një pikë P në të.

Atëherë trekëndëshi ( , , )A M B është një trekëndësh dybrinjëshëm. Në veçani:
( ) ( ) ( ) ( )PAM BAM ABM PBM   .
Nga formula për këndin e një trekëndësi kemi:
2 22
cos( ( )) cos( ( ))
2
AP r MP
PAM PBM
r AP
 
 

2 22
.
2
BP r MP
r BP
 

Duke i pozicionuar këto ekuacine në mënyrë të përshtatshme marrim:
22
( ) ( ) 0AP BP r MP AP BP      .
Nëse 0,AP BP  d.m.th nëse P nuk është në mesin e segmentit AB rrjedh që:
22
.AP BP r MP  
Nëse P është mesi i segmentit, atëherë, nga teorema e Pitagorës, ky ekuacion qëndron sërish.
Për të gjitha pikat P konsiderojmë:
22
.AP BP r MP  
Ana e djathtë e këtij ekuacioni është e pavarur nga vija L , pra edhe nga pikat e prerjes ,A B
me rrethin. Ajo varet vetëm nga pika .C
Prerja e artë është një ndarje e segmentit AB nga një pikë S , në mënyrë të tillë që:
2
AB SB AS  .
Meqë SB AB AS  mund të përcaktojmë distancën e pikës P nga pika A :
5 1
2
AS AB

  .

Një aplikim i teoremës së tangentes çon në proçesin e ndërtimit gjeometrik për gjetjën e pikës
S . Për të bërë këtë ndërtojmë një pingule me gjatësi
2
AB
me fillim në pikën B të segmentit
AB dhe shënojmë me M pikën e mbarimit të kësaj pinguleje. Më pas ndërtojmë rrethin me
qendër në pikën M dhe me rreze
2
AB
. Atëherë drejtëza që kalon nga pikat A dhe B është
tangent me këtë rreth. Shënojmë me D pikën e prerjes së segmentit AM me rrethin.
Caktojmë pikën S në segmentin AB të tillë që AD AS . Kjo është prerja e artë.
Në fakt, teorema e tangentes çon në relacionin:
2 2
2
2
AB
AB AD AD AD AD AB
 
       
 
.
Meqë pikat D dhe S kanë distancë të barabartë nga pika A , kemi që AS AD dhe
pohimi rrjedh menjëherë.
Ndërtimi i prerjes së artë me vizore dhe kompas çon në ndërtimin e një dhjetëkëndëshi të
rregullt. Nëse s eshtë gjatësia e brinjës së dhjetëkëndëshit të rregullt i cili brendashkruhet në
një rreth me rreze 1, atëherë 2sin( ).
10
s

 Nga formula
5 3
sin(5 ) 16sin ( ) 20sin ( ) 5sinx x x x  
mund të llogarisim vlerën e sin( )
10

si rrënjë reale të polinomit 2 3
1 16 20 5 .t t t   Nga kjo
del se
5 1
2
s

 .
Prandaj dhjetëkëndëshi i rregullt mund të ndërtohet si më poshtë: Fillojmë me një rreth C i
cili ka rreze 1. Më pas ndërtojmë prerjen e artë të kësaj rrezeje. Përdorim këto gjtësi të
përcaktuara, duke filluar nga pika 1A e cila ndodhet ne rreth dhe me pas gjejmë pikën 2A që
gjithashtu ndodhet në rreth dhe ka distancë sa prerja e artë nga 1A . Përsërisim këte process
duke filluar nga pika 2A e kështu me radhë derisa përftojmë dhjetë pika në rreth që formojnë

dhjetëkëndëshin e rregullt. Lexuesi mund të gjejë një ndërtim tjetër alternativ të
pesëkëndëshit të rregullt me ndihmën e numrave kompleksë në ushtrimet e kapitullit 3.
2.3.2. Këndi rrethor dhe këndi qendror.
Teoremat e këndeve për një rreth fillojnë me një prej teoremave më të njohura të Talesit.
Teoremë 33. (Teorema e Talesit). Le të jetë ( , , )A B C një trekëndësh mbi një gjysëmrreth.
Atëhërë ( ) .
2
ACB

 Me fjalë të tjera, diametri i rrethit shtrihet mbi një kënd të drejtë nëse
kulmi i këtij këndi ndodhet ne rreth.
Vërtetim. Nëse M është qendra e rrethit, atëherë ( , , )A M C dhe ( , , )C M B janë
trekëndësha dybrinjënjeshëm. Dy kënde janë të barabartë: ( ) ( )MAC MCA   , dhe
( ) ( )MCB MBC   . Meqë ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )CMA BMC          , del se
2

   , dhe ky është ekzaktësisht këndi ( )ACB .
Teorema e këndit qendror, që jep lidhjen midis këndit qendror dhe atij rrethor, është një
rrjedhim i teoremës së Talesit. Fillimisht le të përkufizojmë keto kënde.
Përkufizim 3. Le të jetë C një rreth.
(1) Këndi me kulm në rreth quhet kënd rrethor
(2) Kendi me kulm në qendrën e rrethit quhet kënd qendror.
Teoremë 34. (Teorema e këndit qendror). Le të jetë ( )ABC një trekëndësh me kulme në
rrethin C . Nëse ( )ACB  është kënd rrethor që mbështetet mbi kordën AB dhe
( )BMA  është kënd qendror i cili mbështetet mbi të njëjtën kordë, atëherë 2  .
Vërtetim. ( , , )A M C dhe ( , , )B M C janë trekëndësha dybrinjënjëshëm. Segmenti CM
ndan këndin rrethor në ( ) ( )ACM MCB   .
Atëherë:
2 ( ) ( ) ( )AMC CMB BMA   =( 2 ( )) ( 2 ( ))ACM MCB      2 2    

prandaj   2  .
Në veçanti do të marrim një relacion midis këndeve rrethorë mbështetur mbi të njëjtën kordë
që nuk përmban më këndin qendror.
Konkluzion 6. Të gjithë këndet rrethorë që mbështeten mbi një kordë nga e njëjta anë e saj
janë të barabartë. Shuma e dy këndeve rrethorë që mbështëten mbi të njëjtën kordë në dy
anët e kundërta të saj është  .
Vërtetim. Dy kënde rrethorë që mbështeten mbi një kordë nga e njëjta anë e saj kanë kënde
qendror përkatës të barabartë. Nga ana tjetër dy kënde rrethorë qe mbështeten mbi një kordë
në anë të ndryshme të saj kanë kënde qëndrorë korrenspondues të tillë që shuma e tyre eshtë
2 , prandaj shuma e ketyre këndeve rrethorë do të jetë  .
Vërejtje 8. Nëse pika P ndodhet në brendësi të rrethit dhe mbi kordën AB , atëherë këndi
( )APB është më i madh se këndi rrethor i mbështetur mbi këtë kordë. Në fakt, trekëndëshi
( , , )A P B përfshihet në trekëndëshin ( , , )A B C me një kënd të brendshëm në pikën C .
Këndet e trekëndëshit ( , , )A P B që ndodhen në kulmet A dhe B janë më të vegjël, prandaj
përftohet rezultati i mësipërm. Një rezultat i njëjtë qëndron edhe për pikat P jashtë rrethit.
2.2.3. Rrethi i Feurbach në një trekëndësh. Tani do të diskutojmë për rrethin e Feurbach, i
cili është i lidhur ngushtë me drejtëzën e Euler-it. Gjithashtu do të përdorim teoremën e
Talesit për vërtetim.

Teoremë 35. (Rrethi i Feurbach ). Tre pikat e mesit të brinjëve të trekëndëshit, tre këmbët e
lartësive dhe tre qendrat e segmenteve , ,oc oc ocAP BP CP ndodhen në një rreth. Rrezja e rrethit
të jashtëshkruar trekëndëshit është sa dyfishi i rrezes së rrethit të Feurbach. Qendra e rrethit
të Feurbach ndodhet në drejtëzën e Eulerit dhe në qendër të segmentit oc ccP P .
Vërtetim. Vërtetimi do të jepet shkurtimisht. Marrim në konsideratë dy kënde të trekëndëshit
dhe brinjët përballë tyre. Pikat e mesit të këtyre brinjëve, së bashku me qendrat e segmenteve
që bashkojnë keto kulme me ortoqendrën ocP , formojnë një drejtëkëndësh. Prandaj, dy prej
brinjëve të këtij katërkëndëshi janë paralele me brinjën e tretë të trekëndëshit, dhe dy brinjët e
tjera janë paralele me drejtëzen që kalon nga kulmi i tretë i trekëndëshit dhe ortoqendra. Këto
drejtëza presin brinjën e tretë të trekëndësht dhe janë pingul me të. Pika e prerjes së lartësive
që presin dy brinjët fikse të trkëndëshit ndodhet në rrethin jashtëshkruar drejtëkëndëshit që ne
kemi ndërtuar, meqë përmbahen në këndin e drejtë përgjatë diagonales. Krijohen gjithsej tre
drejtëkëndësha. Në çdo rast dy prej drejtkëndëshave kanë një diagonale të përbashkët.
Prandaj tre kulme te çdo drejtkëndëshi ndodhen në të njëjtin rreth, gjë e cila vërteton
teoremën.
2.3.4. Drejtëza e Simpsonit dhe drejtëza e parë e Steinerit. Nëse M është një pikë që
ndodhet në rrethin e jashtëshkruar një trekëndëshi ne mund të lidhim tre drejtëza të dhëna me
M . Fillimisht diskutojmë drejtzën e Simpsonit në pikën M .
Teoremë 36. Le të jetë ( )ABC një trekëndësh dhe M një pikë në rrethin e jashtëshkruar
trekëndëshit . Le të jenë , ,a b cM M M projeksionet ortogonale të M në zgjatimin e brinjëve
, ,a b c të trekëndëshit. Atëherë , ,a b cM M M ndodhen në një drejtëz, e quajtur drejtëza e
Simpsonit për pikën M .
Vërtetim. Konsiderojmë katerkëndëshin b cMM AM . Meqë ( )bMM A dhe ( )cMM A janë
kënde te drejta, pikat bM dhe cM ndodhen në rrethin e Tales-it përgjatë segmentit AM .

Meqë ( )b cAM M dhe ( )cAMM janë dy kënde rrethorë që mbështeten mbi të njëjtin
segment cAM , ata janë të barabratë.
(*) ( ) ( )b c cAM M AMM
Në mënyrë të ngjashme arrijmë në përfundimin se:
(**) ( ) ( ).b a aCM M CMM
Gjithashtu:
(***) ( ) ( ),MAB MCB
sepse të dy janë kënde rrethorë që mbështeten mbi kordën AB .
Këndet ( ) ( )cMAB MAM dhe ( ) ( )aMCB MCM janë gjithashtu të barabartë. Kjo
sjell që:
( )b cAM M
(*) (***)
( ) ( ) ( )
2 2
cAMM MAB MCB
 
    
(**)
( ) ( )a b aCMM CM M  .
Prandaj ( ) ( )b c b cAM M AM M , dhe për rrjedhim ,a bM M dhe cM janë kolineare.
Drejtëza e parë e Steinerit është paralele me drejtëzën e Simpsonit. Fillimisht do ta
përkufizojmë si drejtëzën që kalon përgjatë kulmit A dhe pikës së prerjes 'M M të
drëejtëzës ( , )aL M M me rrethin e jashtëshkruar trekëndëshit. Në figurën e mësipërme ne
kemi treguar si drejtëzën e Simpsonit ashtu dhe drejtëzën e parë të Steinerit. Ne kemi:
Teoremë 37. Drejtëza e Simpsonit dhe drejtëza e Steinerit janë paralele.

Vërtetim. ( )b aCM M është këndi midis drejtëzës së Simpsonit dhe drejtëzës ( , )L A C . Në
vërtetimin e teoremës së mësipërme treguam se *
( ) ( ) ( )b a a bCM M CMM CM M  .
Këndi *
( )CMM është kënd rrethor që mbështetet mbi kordën *M C . Prandaj
* *
( ) ( )CMM CAM . Ky i fundit është këndi midis drejtëzës së parë të Steinerit dhe
drejtëzës ( , ),L A C nga e cila drejtëza e Simpsonit dhe drejtëza e parë e Steinerit krijojnë të
njejtin kënd.
Drejtëza e dytë e Steinerit është temë e teoremës 14 në seksionin 3.4. Në të ndodhet
ortoqendra dhe reflektimet e pikës M në brinjët e trekëndëshit.
2.3.5. Katërkëndëshat e brendashkruar dhe tangent të rrethit.
Përkufizim 4. Katërkëndëshi brinjët e të cilit takojnë rrethin quhet katërkendësh tangent i
rrethit. Katërkëndëshi brinjët e të cilit janë korda të rrethit quhet katërkëndësh i
brendashkruar rrethit.
Pohimi i teoremës që vijon është rrjedhim i menjëhershëm i pjesës së parë të konkluzinit 6.
Teoremë 38. Në çdo katërkëndësh që i brendashkruhet një rrethi shuma e këndeve të kundërt
është  . Anasjelltas, çdo katërkëndësh me këtë veti i brendashkruhet një rrethi.
Vërtetim. Duhet të vërtetojmë se kulmet e katërkëndëshit ndodhen në një rreth kur shuma e
këndeve të kundërt është  . Konsiderijmë rrethin që përcaktojnë tre kulmet , ,A B C të
katërkëndëshit. Segmentet ,AB BC dhe AC janë korda të këtij rrethi. Le të jetë *
D një pikë
arbitrare në harkun nga A në B . Atëherë katërkëndëshi *
ABCD është i brendashkruar në
rreth. Në veçanti, kjo rrjedh nga hipoteza se *
( ) ( )ADC AD C . Nëse pika D nuk ndodhet
në rreth, atëherë këndi ( )ADC do të jetë më i madh (ose më i vogël) se sa këndi rrethor
*
( )AD C (Siko vërejtjen 8).
Nëse aplikojmë teoremën e sekantes (konkluzionin 5) për segmentet (në një katërkëndësh
tangent ndaj rrethit) nga kulmi dhe deri tek pika e takimit me rrethin ne marim pjesën e parë
të teoremës që vijon.
Teormë 39. Në çdo katërkëndësh tangent ndaj një rrethi shumat e gjatësive të brinjëve të
kundërta janë të barabarta. Anasjelltas, çdo katërkëndësh me këtë veti është katërkëndësh
tangent ndaj një rrethi.
Vërtetim. Nga dy kulme ,A B të katërkëndëshit marrim në konsideratë përgjysmoret e
këndeve të cilat takohen në një pikë të brendshme. Më pas projektojmë këtë pikë takimi
pingul me tre brinjët që lidhen nga të dy kulmet. Nga simetria pingulet janë të barabarta.
Shënojmë me r gjatësinë e tyre.

Pingulet e ndajnë secilën prej tre brinjëve në dy pjesë, gjatësitë e të cilave i shënojmë
, , ,a b c d si në figurë. Më pas projektojmë pikën e prerjes së përgjysmoreve mbi brinjën e
katërt. Le të jetë x gjatësia e pingules dhe 1 2,c c gjatësitë e segmenteve korrenspondues në
brinjën e katërt. Nga teorema e Pitagorës marrim relacionin e mëposhtëm.
2 2 2 2
1 ,x d d r   2 2 2 2
1 ,x c c r  
nga kjo kemi:
11 1 1( )( ) ( )( ).c d c d c d c d    
Nëse shuma e gjatësive të brinjëve të kundërta është e barabartë, atëherë 1 1c d c d   . Kjo
sjell që 1 1c d c d   dhe gjithashtu 1 1, ,c c d d  prandaj x r . Prandaj rrethi me rreze r
dhe qendër pikëprerjen e përgjysmoreve të dy këndeve është rrethi i brendashkruar
katërkëndëshit.
2.2.6. Inversioni në një rreth. Rrethët C në plan dhe inversioni i tyre janë veçanërisht të
lehtë për tu përshkruar kur plani identifikohet nëpërmjet numrave kompleks . Në të vërtetë,
në koordinata reale 2
( , )x y  , rrethi mund të jepet nga një ekuacion i trajtës:
2 2
1 2( ) 0E x y F x F y G    
ku 1 2, , ,E F F G janë numra real. Nëse 0E  dhe 1 2( , ) 0F F  ekuacioni nuk përshkruan një
rreth, por një drejtëz. Per këtë arsye koncepti i rrethit shpesh zgjerohet duke përfshirë
gjithashtu edhe një drejtëz. Shpesh flitet për rrathë të gjeneruar, duke nënkuptuar objekte
gjeometrike të cilët mund të jenë rrathë ose drejtëza. Në qoftë se 0E  ekuacioni është
ekuivalent me
2 2 2 2
1 2 1 2
2
4
2 2 4
F F F F EG
x y
E E E
    
      
   
.
Rrethi real përftohet vetëm nëse 2 2
1 2 4F F EG  . Qendra dhe rrezja e tij mund të
përcaktohen menjëherë nga ekuacioni. Në rastin kur 2 2
1 2 4F F EG  , përftohet vetëm një
pikë dhe ne rastin tjeter në planin real ekuacioni nuk paraqet asnjë pikë.

Nëse kalojmë në numrat kompleksë, z x iy  dhe 1 2
1
( )
2
F F iF  ,
atëherë ekuacioni i rrethit të gjeneruar merr trajtë:
2
0E z F z F z G
 
      
Dhe përshkruan një bashkësi joboshe në qoftë se
2
F EG . Për 0E  , marrim një drejtëz
dhe në rastin tjetër një rreth me qendër
F
E


dhe rreze
2
F EG
E

. Nga këto formula shohim
menjëherë një karakteristik të rrathëve të gjeneruar që presin pingul boshtin real . Ky kusht
kërkon që qendra e rrethit të jetë një numër real. Ketë rezultat do ta shohim si një teoremë më
vete, e cila do të jetë e vlefshme në trajtimin e gjeometrisë hiperbolike në kapitullin 4.
Teoremë 40. Një rreth i gjeneruar
2
0E z F z F z G
 
       pret -në pingul atëherë dhe
vetëm atëherë kur
__
F F është numër real.
Le të jetë 0( , )C C z r një rreth me qendër 2
0z   dhe rreze r . Nëse 0z z është një
pikë e planit e ndryshme nga qendra, atëherë konsiderojmë drejtëzën 0( , )L z z dhe një pikë *
z
në të e cila kënaq relacionin:
* 2
0 0z z z z r    .
Një përcaktim i drejtëpërdrejtë i kësaj pike çon në formulën:
2
*
0
0
r
z z
z z
 
 

.
Në këtë mënyrë kemi funksionin:
   0 0:CS z z   ,
2
0
0
( )C
r
S z z
z z
 
 

i cili quhet reflektim ose inversion në rrethin C. Teorema e Talesit dhe teorema e Kateteve
(teorema 11) lejojnë një ndërtim gjeometrik për imazhin e pikës *
z . Nëse z ndodhet jashtë
rrethit C , ndërtojmë gjymërrethin që ka si diametër 0z z dhe projektojmë prerjen e tij z me
C në një drejtëz 0( , ),L z z duke marrë *
z ; në rastin tjetër, nëse z ndodhet në brendësi të
rrethit C , pingulja nga z në 0( , )L z z pret C në një pikë z , dhe tangentja ndaj C që kalon
nga z pret 0( , )L z z në *
z . Në secilin rast, konfigurimi është si në figurën e mëposhtme
(thjesht ndërrohet z dhe *
z ):

Zgjerojmë planin duke marë një pikë me distancë  dhe konsiderojmë planin e zgjeruar
    . Zgjerojmë reflektimin në një funksion bijektiv në duke vendosur
0( )cS z   , 0( )cS z  .
Teoremë 41. Çdo reflektim i një rrethi është funksion qe çon një rreth të gjeneruar në plan
në një rreth të gjeneruar.
Vërtetim. Reflektimi në një rreth të çfarëdoshëm C është një kompozim i ty translacioneve
dhe një reflektimi në rreth me qendër 0 dhe rreze r. Meqë translacioni çon rrethin e
gjeneruar në një rreth të gjeneruar, është e mjaftueshme të vërtetojmë që rezultati për
reflektimet në rreth përqendrohet në 0. Në mënyrë analitike kemi:
2
*
( )
r
z S z
z
  .
Rrethi i gjeneruar
2
0E z F z F z G       transformohet në S në:
2
2 2 4
0
F F G
E z z z
r r r
      .
Nëse trajtojmë ty numrat kompleks 1,z z  si vektorë në 2
, atëherë kemi formulën
1, ,z z z z     për produktin skalar Euklidian. Nëse pasqyrojmë kurbën ( )t në rrethin me
qendër 0 , atëherë vektori tangent ndaj kurbës së pasqyruar llogaritet nga formula:
2
2
( ( ))' '( )
( )
r
S t t
t
 

   .
Nga këto dy formula rrjedh menjëherë që pasqyrimet me qendër 0 janë funksione të cilët
ruajnë këndet; d.m.th këndi midis dy kurbave prerëse nuk ndryshon. Funksione të tilla janë
quajtur konformal. Translacioni është gjithashtu një funksion konformal.
Prandaj:
Teoremë 42. Çdo reflektim i rrethit është një funksion konformal.

Kompozimi i dy reflektimeve 1S dhe 2S është një transformim linear i pjesshëm. Nga kjo
kuptojmë se funksioni i planit kompleks të zgjeruar     në vetvete jepet nga një
matricë invertible 2 2:
( )
az b
L z
cz d



.
Nga përkufizimi, çdo numër i formës / 0z mund të interpretohet si  për 0z  ,dhe
/ 0
( ) lim ( )
0z
a c nëse c
L L z
nëse c

   
 
Meqë ( )L z nuk ndryshon kur shumëzojmë matricën me një konstante të ndryshme nga zero,
matrica (2 2) me numra kompleks , , ,a b c d mund të zgjidhet nga grupi (2, )SL . Për më
tepër, ( )L z është funksioni identitet ekzaktësisht për 21 ; prandaj transformimi linear i
pjesshëm mund të identifikohet në mënyrë bijektive me grupin  (2, ) (2, ) / 1PSL SL  .
Transformimi linear i pjesshëm është funksion që ruan këndet dhe çon rrethin e gjeneruar në
një rreth të gjeneruar.
Teoremë 43. Le të na jenë dhënë dy treshe,  1 2 3, ,z z z dhe  1 2 3, ,   , që përfaqësojnë dy
pika të ndryshme në . Atëherë ekziston një dhe vetëm një transformim linear i pjesshëm
:L  me ( )i iL z  .
Vërtetim. Transformimi linear i pjesshëm
3 21
2 3 1
( )
z zz z
L z
z z z z

 
 
çon treshen  1 2 3, ,z z z në  0, ,1 . Kështu çdo treshe e pikave të ndryshme në mund të
lidhet me treshen  0, ,1 nën veprimin e (2, )PSL , dhe prandaj çdo dy treshe mund të
lidhen njëra me tjetrën. Uniciteti, siç u tha më sipër rrjedh duke marë në konsideratë pjesën
që vijon; le të jetë L një transformim linear i pjesshëm me (0) 0L  , ( )L    dhe (1) 1L  .
Në përshkrimin e L nga matrica që përmban numrat , , ,a b c d kemi 0b c  dhe a d .
Prandaj L Id është identitet.
Konkluzion 7. Tre pika të ndryshme të planit ndodhen ekzaktësisht në një rreth të gjeneruar.
Vërtetim. Transformojmë tre pikat në treshen  0, ,1 nga ndonjë L . Imazhi i tyre ndodhet
në vijën    . Kur kryejmë transformimin mbrapsht, vija transformohet në një rreth të
gjeneruar (nga teorema 41). Nëse të tre pikat ndodhen në një rreth të dytë të gjeneruar,
transformimi L do ti lidhte sërish ato me vijën    , gjë që është e pamundur.

Konkluzion 8. Dy rrathë të gjeneruar mund te transformohen nga njëri tek tjetri nga një
transformim linear i pjesshëm.
Konsiderojmë katër pika në planin e zgjeruar 1 2 3 4, , ,z z z z  dhe përkufizojmë raportin kryq
nga:
1 3 1 4
1 2 3 4
2 3 2 4
( : ; : ) .
z z z z
z z z z
z z z z
 
 
 
Nëse njëra nga pikat është  interpretojmë këtë shprehje si vlerë të limitit korrespondues,
për shembull:
2 4
2 3 4
2 3
( : ; : ) ,
z z
z z z
z z

 

4 2
1 2 4
4 1
( : ; : ) .
z z
z z z
z z

 

Natyrisht raporti kryq është translacion invariant. Nëse S është një reflektim në rrethin
(0, )C r me qendër 0 rrjedh menjëherë që:
1 2 3 4 1 2 3 4( ( ): ( ); ( ): ( )) ( : ; : ).S z S z S z S z z z z z 
I njëjti relacion qëndron për çdo reflektim të rrethit, meqë secili prej tyre është një kompozim
i dy translacioneve dhe një reflektimi në rrethin (0, )C r . Nga këtu shohim që raporti kryq
është invariant në lidhje me kompozimin e dy reflektimeve të rrathëve. Kështu që këta
gjenerojnë një grup (2, ).PSL E gjithë kjo tregon invariancën e raportin kryq në lidhje me
veprimin (2, ).SL
Teoremë 44. Nëse L është një transformim linear i pjesshëm dhe 1 2 3 4, , ,z z z z  janë pika
të ndryshme, atëherë:
1 2 3 4 1 2 3 4( ( ): ( ); ( ): ( )) ( : ; : ).L z L z L z L z z z z z
Konkluzion 9. Katër pikat 1 2 3 4, , ,z z z z  ndodhen në një rreth të gjeneruar kur raporti
kryq i tyre është numër real.
Vërtetim. Përcaktojmë transformimin linear të pjesshëm L që çon pikat  1 2 3, ,z z z në
{0, ,1} . Invarianca e raportit kryq në L sjell:
1 2 3 4 4
4
1
( : ; : ) (0: ;1: ( )) .
( )
z z z z L z
L z
  
Nga kjo formulë shohim që pika 4( )L z shtrihet në rrethin e përgjithësuar pikërisht kur
raporti kryq është real. Konkluzioni rrjedh nga teorema 41 dhe teorema 44.
2.3.7. Teorema e Ptolemy për katër pika në një rreth. Teorema e Ptolemysë shpreh faktin
që katër pika në një plan shtrihen në një rreth të zakonshëm në termat e distancave të

përbashkëta. Le të jenë katër pika 1 2 3 4, , ,z z z z  në një plan të dhënë. Konsiderojmë
distancat .ij i jd z z 
Teoremë 45: Çdo katër pika 1 2 3 4, , ,z z z z  kënaqin 12 34 13 24 23 14,d d d d d d 
13 24 12 34 23 14,d d d d d d  dhe 14 23 12 34 13 24.d d d d d d  Barazimi në njërën nga këto
mosbarazime ndodh nëse katër pikat shtrihen në një rreth të zakonshëm.
Vërtetim: Inekuacioni i dytë dhe i tretë mund të derivohen nga i pari nga një ripozicionim i
pikave. Të dyja anët e inekuacionit të parë janë translacione invariante. Për shkak të kësaj, pa
u larguar nga e përgjithshmja, supozojmë se 1 0z  . Mosbarazimi i trekëndëshit jep:
2 3 2 4 2 3 3 4 3 4 2 4z z z z z z z z z z z z    
Që mund të shkruhet në mënyrë të njëvlershme si:
2 3 4 3 2 4 4 2 3z z z z z z z z z        .
Ky është saktësisht inekuacioni 12 34 13 24 23 14d d d d d d  . Nëse arrihet barazimi atëherë
ekziston një numër real  i tillë që:
2 3 3 4 3 4 2 4( ) ( ).z z z z z z z z  
Meqë 1 0z  numri  është raport kryq i katër pikave. Me fjalë të tjera barazimi (në cilindo
prej tre mosbarazimeve) ndodh atëherë dhe vetëm atëherë kur raporti kryq i katër pikave
është real. Pohimi për rastin e barazimit është si rrjedhojë e konkluzionit 9.
2.4. Prerjet konike
2.4.1. Prerja e konit nga një plan. Marim në konsideratë një kon C me kulm (0,0,0)S 
në origjinë me gjysmën e këndit të hapjes
2

 . Ekuacioni per C në është
2
2 2
2
,
tan ( )
z
x y

  0
2

  .

Parametrizojmë këtë kon nga  ( , ) 0,2 :t   
cos ,x t  sin ,y t  tan .z t 
Gjeometrisht kjo do të thotë për 0t  parametrizojmë planin që përcaktohet nga 0z 
përgjatë koordinatave polare dhe projektojmë pikat e tij në gjysmën e sipërme të konit. Pikat
me 0t  i korrespondojnë gjysmës së poshtme të konit. Le të jetë  një plan në hapësirën
Euklidiane 3
që nuk përmban kulmin (0,0,0)S  . Shënojmë këndin midis vektorit normal
 të planit  dhe boshtit të konit (0,0,1) me  . Përcaktojmë  nga ekuacioni
0Ax By Cz D    .
Atëherë 0D  sepse kulmi i konit nuk ndodhet në plan. Nëse 0  , atëhere boshti i konit
dhe plani  janë pingulë; kështu  jepet nga ekuacioni 0Cz D  . Në këtë rasti prerja
C  është rreth. Në rastin e dytë special
2
  ekuacioni për  është i pavarur nga z ;
domethënë 0C  , dhe imazhi në planin 0z  i prerjes konike C  konsiston në një
drejtëz. Supozojmë që 0
2

  . Atëhere 2 2
0A B  nuk zhduket dhe ne mund ta
normalizojmë vektorin ( , , )A B C në ekuacionin e planit në mënyrë që 2 2
1A B  . Llogaritja
e këndit  jep formulat:
2
cos ,
1
C
C
 

1
tan
C

 .
Zgjedhim një kënd 0 , shënojmë me 0cosA  dhe 0sinB  . Bashkësia C  është
përshkruar në parametrizimin e konit nga ekuacioni ( cos sin tan ) 0t A B C D      .
Duke vendosur 0cosA  dhe 0sinB  dhe duke ndryshuar në një kënd të ri *
0    , të
cilin do ta paraqesim sërish me  . Kemi ekuacionin eksplicit të mëposhtëm për C  :
(cos tan ) 0t C D   

Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko

Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko

Similar to Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko (14)

More from Hysen Doko

More from Hysen Doko (10)

Figurat gjeometrike elementare dhe vetite e tyre Hysen Doko