Referensi untuk makalah vektor

1. A. Proyeksi Skalar dan Vektor Ortogonal 2 Vektor
Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek
dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini
mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada
proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau
vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah
proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada
pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor
ortogonal.
Perhatikan gambar dibawah ini
Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis
tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas
pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua
proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah:

2. Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor
ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk
menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.
 Proyeksi skalar ortogonal 𝑎⃗pada arah vektor𝑏⃗⃗
| 𝑐⃗| =
𝑎⃗ • 𝑏⃗⃗
|𝑏⃗⃗|
 Proyeksi skalar ortogonal 𝑏⃗⃗ pada arah vektor 𝑎⃗
| 𝑐⃗| =
𝑎⃗ • 𝑏⃗⃗
| 𝑎⃗|
Pembuktian :
Akan dibuktikan bahwaproyeksi skalar atau panjang proyeksi dari 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah
| 𝑝⃗| = |
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
|dan proyeksi orthogonal 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah 𝑝⃗ = (
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
2) 𝑏⃗⃗
Bukti :
Pada gambar segitiga diatas, cos θ =
| 𝑝⃗|
| 𝑎⃗⃗|
... (1)
Sedangkan rumus perkalian skalar dua vektor cos θ =
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑎⃗⃗|| 𝑏⃗⃗|
... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
{
cos θ =
| 𝑝⃗|
| 𝑎⃗⃗|
cos θ =
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑎⃗⃗|| 𝑏⃗⃗|
maka
| 𝑝⃗|
| 𝑎⃗⃗|
=
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑎⃗⃗|| 𝑏⃗⃗|
( dengan mencoret penyebut | 𝑎⃗| )

3. Didapat | 𝑝⃗| =
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
.
Karena | 𝑝⃗| adalah panjang vektor, maka nilainya harus positif, jadi
| 𝑝⃗| = |
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
| (Terbukti)
Sedangkan vektornya | 𝑝⃗| searah dengan 𝑏⃗⃗. Sehingga dapat dikatakan bahwa vektor 𝑝⃗
kelipatan dari vektor 𝑏⃗⃗
𝑝⃗ = 𝑘𝑏⃗⃗ dimana 𝑘 =
| 𝑝⃗|
| 𝑏⃗⃗|
Jadi 𝑝⃗ =
| 𝑝⃗|
| 𝑏⃗⃗|
× 𝑏⃗⃗ dengan mensubtitusikan | 𝑝⃗| =
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
didapat
𝑝⃗ = (
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
2) 𝑏⃗⃗ ( Terbukti )
Sehingga diperoleh rumus :
 Proyeksi Skalar Ortogonal 𝑎⃗dan𝑏⃗⃗
| 𝑝⃗| = |
𝑎⃗ • 𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
|
 Proyeksi Vektor Ortogonal 𝑎⃗dan𝑏⃗⃗
𝑝⃗ = (
𝑎⃗ • 𝑏⃗⃗
|𝑏⃗⃗|
2 ) 𝑏⃗⃗
Latihan Soal :
1. Pada gambar di bawah ini tentukan:
a. Panjang proyeksi 𝑎⃗pada 𝑏⃗⃗
b. Proyeksi vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗
Catatan: Kerjakan secara Geometri dan Aljabar!

4. 2. 𝑢⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗− 10𝑘⃗⃗ dan 𝑣⃗ = −2𝑖⃗+ 4𝑗⃗− 4𝑘⃗⃗, maka tentukan:
a. Panjang proyeksi vektor 𝑢⃗⃗pada 𝑣⃗
b. Proyeksi vektor 𝑢⃗⃗ pada 𝑣⃗
c. Proyeksi ortogonal vektor 𝑣⃗ pada 𝑢⃗⃗
d. Panjang proyeksi vektor 𝑢⃗⃗ pada (𝑢⃗⃗ -𝑣⃗)
3. Diketahui A( 2, 4, 1), B(3, 4, -1), dan C(-2, -4, -7). Maka tentukan
a. Panjang proyeksi vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b. Proyeksi vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. Diketahui 𝑎⃗ = 2𝑖⃗ + 3𝑗⃗ − 6𝑘⃗⃗, | 𝑏| = 8 dan |𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗| = 10 . tentukan:
a. 𝑎⃗ • 𝑏⃗⃗
b. Proyeksi skalar 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗
c. Proyeksi vektor 𝑏⃗⃗ pada 𝑎⃗
5. Kerjakan soal ini secara aljabar dan geometri !

5. Pada gambar di atas adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M
titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan
a. panjang proyeksi vektor 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b. panjang proyeksi vektor 𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c. proyeksi vektor 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d.proyeksi vektor𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pada 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Pembahasan
1. Secara Geometri
 Geser vektor a⃗⃗ sehingga pangkal kedua vektor bertemu
 Proyeksikan vektor 𝑎⃗ (biru) ke vektor 𝑏⃗⃗ (merah)
 Hasil proyeksinya adalah vektor 𝑝⃗ (hijau)
Panjang proyeksinya | 𝑝⃗| = 5 dan proyeksi vektornya 𝑝⃗ = (5
0
)
Secara Aljabar:
Vektor 𝑎⃗ berarah ke kanan 5 satuan dan ke atas 2 satuan
𝑎⃗ = (5
2
) dan | 𝑎⃗| = √52 + 22 = √29
Vektor 𝑏⃗⃗ berarah kekanan 6 satuan dan keatas 0 satuan, sehingga:
𝑏⃗⃗ = (6
0
) dan |𝑏⃗⃗| = √62 + 02 = 6
Panjang proyeksinya | 𝑝⃗| =
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
=
(5
2
) • (6
0
)
6
=
30+0
6
= 5

6. Proyeksi vektornya 𝑝⃗ = (
𝑎⃗⃗•𝑏⃗⃗
| 𝑏⃗⃗|
2) 𝑏⃗⃗ = (
(5
2
) • (6
0
)
62 ) 𝑏⃗⃗ =
30 +0
36
𝑏⃗⃗ =
5
6
𝑏⃗⃗ =
5
6
(6
0
) = (5
0
)
B. Persamaan Bidang yang Tegak Lurus
Vektor dan Melalui Titik Terminal
Vektor 𝑁̅⊥bidang W sehingga 𝑁̅ disebut Vektor Normal dari bidang W Jika
𝑁̅ = Ai + Bj + Ck
𝑃𝑄̅̅̅̅ = (x– x1) i +(y – y1) j + (z –z1) k → 𝑃𝑄̅̅̅̅terletak pada bidang W Sehingga 𝑃𝑄̅̅̅̅⊥ 𝑁̅ →
𝑁̅o 𝑃𝑄̅̅̅̅= 0
Atau :
Persamaan bidang melalui titik (x,y,z) dengan normal bidang 𝑁̅ = Ai + Bj + Ck
Bukti:
Bilaterdapattiga titikyangtidakkolinear,makaketigatitikitumenentukansebuahbidangrata.
Misalkanketigatitikitumasing-masingP 1 1 1( , , )x y z ,Q 2 2 2( , , )x y z danR 3 3 3( , , )x y z .Dan misalkan
vector-vektorarahbidangituadalah:
A(x– x1)+ B(y – y1)+ C(z –z1) = 0

7.  2 1 2 1 2 1, ,PQ x x y y z z    dan  3 1 3 1 3 1, ,PR x x y y z z   
Untuk sembarangtitik ( , , )X x y z padabidangV berlaku:
PX PQ PR   dimana , R  (2)
Tetapi, dari gambar tampak pula bahwa
OX OP PX  (3)
Substitusi (2) ke (3) diperoleh:
OX OP PQ PR    (4)
Atau
       1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1, , , , , , , ,x y z x y z x x y y z z x x y y z z          (5)
Yang merupakan bentuk vektorpersamaan bidang rata yang melalui tiga titik.
Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai:
       1 1 1, , , , , , , ,a a a b b bx y z x y z x y z x y z    (6)
Merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vektor atau persamaan vektoris yang melalui
titik 1 1 1P( , , )x y z dengabvektor-vektorarahnya:  , ,a a aa x y z dan  , ,b b bb x y z
Atau:
1
1
1
..............................................................( )
.............................................................(b)
...................................
a b
a b
a b
x x x x a
y y y y
z z z z
 
 
 
  
  
   ............................( )c
 
 
 
 
 
Yang disebut perbagai persamaane parameter bidang rata
Jika  dan  pada persamaan (a) dan (b), dengan cara mengalikan by pada (a) dan
mengalikan bx pada (b), kemudian diperkurangkan, diperoleh:
1 1( ) ( )b b
a b a b
x x y y y x
x y y x

  


Dengan cara serupa, diperoleh:
1 1( ) ( )a a
a b a b
y y x x x y
x y y x

  


Selanjutnya,  dan  disubstitusikan ke (c) 1 a bz z z z    , diperoleh
   1 1 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b b b a a a bx y y x z z x x y y y x z y y x x x y z          (7)
Atau

8.       2 21 1 1( ) ( ) 0a b a b a b a ba b a b
y z y x x z x x y y x y y x z z        (8)
Atau
 1 1 1( ) ( ) 0A x x B y y C z z      (9)
Yang merupakan bidang rata melalui titik 1 1 1( , , )x y z dengan vektornormal  , ,A B C .
Selanjutnya, (9) dapat dituliskan sebagai:
 1 1 1 0
: 0
Ax By Cz Ax By Cz
V Ax By Cz D
      
   
Yang merupakan persamaan linier bidang rata dengan
; ;a a a a a a
a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
y z z x x y
y z z y A z x x z B x y y x C
y z z x x y
        
dan 1 1 1( )D Ax By Cz   
 , ,m A B C disebut vektor normal bidang rata V=0, dengan
 , , a a a a a a
a a a
b b b b b b
b b b
i j k
y z z x x y
m A B C i j k x y z a b
y z z x x y
x y z
      
Yang merupakanvektoryangtegakluruspada bidangratayangdibentukoleh a dan b ,yaitu:
: 0V Ax By Cz D   
Latihan Soal:
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ; R(2,4,3).
Penyelesaian :
𝑃𝑄̅̅̅̅ = i – j + 4k
𝑃𝑅̅̅̅̅= -I + 2j + 2k
𝑁̅ = 𝑃𝑄̅̅̅̅ x 𝑃𝑅̅̅̅̅ = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 −1 4
−1 2 2
| = -10i + 6j + k
Maka diperoleh, persamaan bidang :
A(x –x1)+ B(y – y1)+ C(z – z1) = 0
-10 (x – 3)– 6(y –2)+1(z –1) = 0
Vektor 𝑃𝑄̅̅̅̅ dan 𝑃𝑅̅̅̅̅ terletak pada Bidang

9. -10x −6y + z + 41 = 0
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2); tegak lurus pada bidang 𝑢̅ =
2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang 𝑣̅ = x – y + 3z = 0
Penyelesaian :
𝑢̅ = 2x + 3y + z = 8 → 𝑁̅u = 2i + 3j + k
𝑣̅ = x – y + 3z = 0 → 𝑁̅v = I – j + 3k
Dicari bidang W yang tegak lurus bidang 𝑢̅ dan 𝑣̅ , berarti 𝑁̅u tegak lurus 𝑁̅v atau
𝑁̅w = 𝑁̅u x 𝑁̅v = |
𝑖 𝑗 𝑘
2 3 1
1 −1 3
| = 10i + 5j + 5k
Persamaan bidang W :
10 (x – 4) – 5 (y – 1) – 5 (z + 2) = 0
10x – 5y – 5z – 45 = 0
2x – y – z = 9
3. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang melalui titik
(1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)!
Penyelesaian:
Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga
[x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2]
[x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5]
Persamaan parameter :
x = 1 + 
y = 1 + 2 + 2 
z = 2 + 3 + 5 
4. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik (1,1,2), (2,3,5), dan (1,3,7)!
Penyelesaian:
Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x1,y1,z1]+ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]+ [x3-x1, y3-y1, z3-z1], sehingga
[x,y,z] = [1,1,2]+ [2-1,3-1,5-2]+ [1-1,3-1,7-2]
[x,y,z] = [1,1,2]+ [1,2,3]+ [0,2,5]
Untuk mengubah persamaan vektoris ke persamaan linier dapat dilakukan dengan cara
mencari vektor normal sebagai hasil cross product [1,2,3] x [0,2,5] = [4,-5,2]
Sehingga: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 ……........................................................ (9)
4(x – 1) + (-5)(y – 1) + 2(z – 2) = 0

10. 4x – 5y + 2z - 3 = 0
5. Tentukan persamaan bidang rata melalui tiga titik (2,-1,1), (3,2,-1), dan (-1,3,2)
Penyelesaian:
2 1 1
3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 1 2 1
x y z  
    
   
atau
1 1 1
1 3 2 0
3 4 1
x y z  
 

Sehingga persamaannya yaitu:
11 5 13 30x y z  