Dokumen tersebut membahas soal program linear yang melibatkan pembangunan rumah, penjualan buah, penyewaan tempat parkir, dan pembuatan kue. Soal-soal tersebut dipecah menjadi model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan linier untuk menentukan nilai maksimum laba atau keuntungan.

1. Program Linear - IPA
Tahun 2005
1. Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A
diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling
banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B
adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari
penjualan rumah tersebut adalah ........
A . Rp 550.000.000,00 D . Rp 800.000.000,00
B . Rp 600.000.000,00 E . Rp 900.000.000,00
C . Rp 700.000.000,00
Jawab:
misal:
x = rumah tipe A
y = rumah tipe B
100x + 75y ≤ 10.000 ⇒ dibagi 25 4x + 3y ≤ 400 …..(1)
x + y ≤ 125 …..(2)
Keuntungan maksimum : 6000.000 x + 4000.000 y =…?
Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan
sketsa grafik:
Grafik 1 :
4x + 3y ≤ 400
400
titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = = 100
4
Titik potongnya (100 , 0)
400
Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = = 133,3
3
Titik potongnya (0 , 133,3)
Grafik 2 :
x + y ≤ 125
titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125
Titik potongnya (125 , 0)
Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15
www.belajar-matematika.com 1

2. Titik potongnya (0 , 125)
Gambar grafiknya:
125 133,3
100 125
titik potong :
eliminasi x
4x + 3y = 400 x 1 ⇒ 4x + 3y = 400
x + y = 125 x 4 ⇒ 4x + 4y = 500 -
-y = -100
y = 100
x + y = 125
x = 125 - y
= 125 – 100 = 25 didapat titik potong (25, 100)
Titik pojok 6000.000 x + 4000.000 y
(100,0) 600.000.000
(0,125) 500.000.000
(25, 100) 150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000
Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000
Jawabannya adalah B
Tahun 2006
2. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.
Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.
6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat
memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg
dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…..
A. Rp.150.000,00 C. Rp.192.000,00 E. Rp.216.000,00
B. Rp.180.000,00 D. Rp.204.000,00
www.belajar-matematika.com 2

3. Jawab:
Misal : x = mangga ; y = pisang
Model matematikanya:
x ≥ 0 ; y≥0
8000x + 6000y ≤ 1200.000 dibagi 2000
⇔ 4x + 3y ≤ 600 ….(1)
x + y ≤ 180 ….(2)
Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200
Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000
Laba maksimum = 1200x + 1000y
200
180
(60,120)
150 180
Titik potong:
Dari pers (1) dan (2)
eliminasi x
4x + 3y = 600 x1 ⇒ 4x + 3y = 600
x + y = 180 x4 ⇒ 4x + 4y = 720 -
- y = - 120
y = 120
x + y = 180
x = 180 – 120 = 60
titik potong = (60,120)
Titik pojok 1200x + 1000y
(0, 0) 0
(150, 0) 180.000
(60, 120) 192.000
(0, 180) 180.000
Laba maksimum adalah 192.000
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 3

4. Tahun 2007
3. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20
m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp.
1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan
tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah
….
A. Rp. 176.000,00. C. Rp. 260.000,00 E. Rp. 300.000,00
B. Rp. 340.000,00 D. Rp. 200.000,00.
Jawab:
misal x = mobil kecil dan y = mobil besar, maka dapat dibuat persamaan sbb:
4 x + 20 y ≤ 1760 ⇒ x + 5 y ≤ 440 …(1)
x + y ≤ 200 …(2)
dari pers (1) dan (2)
eliminasi x
x + 5 y = 440
x + y = 200 -
4 y = 240
240
y= = 60
4
x + y = 200
x + 60 = 200
x = 200 – 60 = 140
maka hasil maksimum
1000 x + 2000 y = 1000. 140 + 2000. 60 = 140000 + 120000 = Rp. 260.000,-
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 4

5. 4. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M
adalah ….
A. ( 2,5 ) C. ( 2,2/5 ) E. ( 2/5,2 )
B. ( 2,5/2 ) D. ( 5/2,2 )
Jawab:
Cari persamaan garisnya terlebih dahulu:
persamaan garis: ax + by = ab
garis yang melalui titik M(x,y) memotong sumbu x di titik (4,0) dan memotong sumbu y
di
titik (0,5). a=5:b=4
5x + 4y = 20
4y = 20 – 5x
20 5x 5
y= - =5- x
4 4 4
5 5 2
Luas daerah yang diarsir L = x .y = x . (5 - x) = 5x - x
4 4
Luas akan maksimum jika turunan L (L ' )=0
5 2
L = 5x - x
4
5
L'= 5 - x=0
2
5
5= x x=2
2
www.belajar-matematika.com 5

6. Masukkan nilai x :
5 5 5 5
y=5- x=5- .2=5- =
4 4 2 2
jadi koordinat titik M agar mencapai nilai maksimum adalah ( 2,5/2 )
Jawabannya adalah B
Tahun 2008
5. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah ….
A. 88 C. 102 E. 196
B.94 D. 106
Jawab:
Rumus persamaan garis : ax + by = ab
Persamaan garis 1 : titik (0,20) dan titik (12,0)
a b
20 x + 12 y = 240 ⇒ 5x + 3y = 60
Persamaan garis 2 : melalui titik (0,15) dan titik (18,0)
a b
15x + 18 y = 270 ⇒ 5x + 6y = 90
Mencari titik potong persamaan garis 1 dan 2:
titik potong garis 1 dan 2
5x + 3y – 60 = 5x + 6y – 90
5x – 5x -60 + 90 = 6y - 3y
www.belajar-matematika.com 6

7. 30 = 3y
y = 10
mencari x:
5x + 3y = 60
5x + 3 . 10 = 60
5x = 60 – 30
5x = 30
x =6
mencari nilai maksimum yaitu ditentukan dari titik-titik pojok arsiran dan titik potong:
x y f(x,y) = 7x + 6y
0 0 0
12 0 84
6 10 102
0 15 90
terlihat bahwa nilai terbesar/maksimum adalah 102
Jawabannya adalah C
6. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah
kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat
sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual
dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah,
maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….
A. Rp. 600.000,00 C. Rp. 700.000,00 E. Rp. 800.000,00
B. Rp. 650.000,00 D. Rp. 750.000,00
Jawab:
Bahan yg tersedia :
gula = 4 Kg = 4000 gr
tepung = 9 Kg = 9000 gr
Untuk kue A dibutuhkan bahan : 20 gr gula + 60 gr tepung
Untuk kue B dibutuhkan bahan: 20 gr gula + 40 gr tepung
pendapatan maksimum : 4000 x + 3000 y = … ?
www.belajar-matematika.com 7

8. Model matematika:
20x + 20 y ≤ 4000 ⇔ x + y ≤ 200 pemakaian gula
60 x + 40y ≤ 9000 ⇔ 3x + 2y ≤ 450 pemakaian tepung
x ≥ 0; y ≥ 0
titik potong x + y ≤ 200 dengan 3x + 2y ≤ 450 :
eliminasi x
x +y = 200 x 3 ⇒ 3x + 3 y = 600
3x + 2y = 450 x 1 ⇒ 3x + 2 y = 450 -
y = 150
x +y = 200
x + 150 = 200
x = 200 – 150 = 50
titik potongnya (50, 150)
Titik-titik pojoknya adalah (0, 0), (150, 0), (0, 200) dan titik potong (50, 150)
Buat tabel:
x y 4000 x + 3000 y
0 0 0
150 0 600000
0 200 600000
50 150 650000
didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.650.000
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 8

9. Tahun 2009
7. Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga
seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut- turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp.
8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual
sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut- turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp.
9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor.
Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus
dibeli adalah ….
A. 11 sapi dan 4 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau
B. 4 sapi dan 11 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau
C. 13 sapi dan 2 kerbau
Jawab:
Buat model matematikanya :
Misal sapi = x dan kerbau = y
9000.000 x + 8000.000 y ≤ 124000.000 9x + 8y ≤ 124 ….(1)
x + y ≤ 15 …(2)
x ≥ 0; y ≥ 0
Keuntungan harga jual sapi = 10.300.000 – 9000.000 = 1300.000
Keuntungan harga jual kerbau = 9.200.000 – 8000.0000 = 1200.000
Keuntungan maksimum: 1300.000 x + 1200.000 y =…?
Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan
sketsa grafik:
Grafik 1 :
9x + 8y ≤ 124
124
titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = = 13,77
9
Titik potongnya (13,77 , 0)
124
Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = = 15,5
8
www.belajar-matematika.com 9

10. Titik potongnya (0 , 15,5)
Grafik 2 :
x + y ≤ 15
titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 15
Titik potongnya (15 , 0)
Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15
Titik potongnya (0 , 15)
Titik potong (1) dan (2):
substitusi pers 1 dan 2 :
eliminasi x
9x + 8y = 124 x 1 ⇒ 9x + 8y = 124
x + y = 15 x 9 ⇒ 9x + 9y = 135 -
- y = - 11
y = 11
x + y = 15 x = 15 – 11 = 4
titik potongnya (4, 11)
sketsa grafik:
15,5
15
(4 , 11) titik potong
13,77 15
www.belajar-matematika.com 10

11. Titik pojok 1300.000 x + 1200.000 y
(0 , 0 ) 0
(0 , 15 ) 18.000.000
(13,77 , 0 ) 17.901.000
(4 , 11) 5.200.000 + 13.200.000 = 18.400.000
Keuntungan maksimum adalah Rp. 18.400.000 pada titik (4 , 11)
sehingga keuntungan maksimum didapat denagan menjual 4 ekor sapid an 11 ekor
kerbau
Jawabannya adalah B
Tahun 2010
8. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua
mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2
jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1
jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut – turut adalah 12
jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp.
40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang
dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….
A. Rp. 120.000,00 C. Rp. 240.000,00 E. Rp. 600.000,00
B. Rp. 220.000,00 D. Rp. 300.000,00
Jawab:
Misal produk model I = x
produk model II = y
A B
produk model I x 2 1
produk model II y 1 5
waktu kerja 12 15
ditanya keuntungan maksimum : 40.000 x + 10.000 y = …?
Dibuat model matematikanya:
www.belajar-matematika.com 11

12. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 12 ; x + 5y ≤ 15
buat grafiknya:
2x+ y = 12
titik potong dengan sb x jika y=0 2x = 12 x = 6; didapat titik (6,0)
titik potong dengan sb y jika x=0 y = 12 didapat titik (0,12)
Tarik garis dari titik (6,0) ke titik (0,12)
x + 5y = 15
titik potong dengan sb x jika y=0 x = 15; didapat titik (15,0)
titik potong dengan sb y jika x=0 5y = 15 y =3 ; didapat titik (0, 3)
Tarik garis dari titik (15,0) ke titik (0,3)
titik potong 2 garis tersebut adalah:
substitusikan 2 persamaan tsb:
eliminasi x
2x+ y = 12 x1 ⇒ 2x+ y = 12
x + 5y = 15 x2 ⇒ 2x +10y = 30 -
- 9y = -18
y=2
2x + y = 12
2x + 2 = 12
2x = 12-2
10
x= =5
2
www.belajar-matematika.com 12

13. titik potongnya adalah (5,2)
dibuat tabel dengan titik-titik pojok:
titik pojok 40.000 x + 10.000 y
(0, 0) 0
(0, 3) 30.000
(5, 2) 200.000 + 20.000 = 220.000
(6, 0) 240.000
Terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 240.000 di titik (6, 0)
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 13