Dokumen ini membahas transformasi geometri dalam konteks akademis, termasuk rotasi, dilatasi, dan pencerminan dari fungsi matematis. Beberapa persamaan digunakan untuk mencari bayangan objek setelah transformasi tersebut dilakukan. Terdapat pertanyaan dan jawaban yang menunjukkan aplikasi praktis dari konsep-konsep yang dipelajari.

1. Transformasi Geometri - IPA
Tahun 2005
π
1. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut , dilanjutkan dilatasi (0,
2
adalah x = 2 + y - y². Persamaan kurva semula adalah ........
A . y = - x² - x + 4 D. y = -2x² + x + 1
B . y = - x² - x – 4 E . y = 2x² - x - 1
C . y = - x² + x + 4
Jawab:
π  0 − 1
- rotasi pusat O bersudut = R(O, 90 0 ) = 
1 0  
2  
2 0
- dilatasi (0, 2) = 
 0 2

 
 x '   2 0   0 − 1  x 
 ' = 
 y   0 2 1 0   y 
   
      
 0 − 2  x 
=
2 0   y
 
  
Jika A.B = C maka
1. A = C . B −1
2. B = A −1 . C
−1
 x  0 − 2  x' 
 =
 y 2 0   y' 
   
     
1  0 2  x' 
=
0 − ( −4) − 2 0  y' 
  
  
 1
 0  '
= 2 x 
 '
− 1
 y 
0  
 2 
www.belajar-matematika.com 1

2. 1 '
x= y y ' = 2x
2
1
y = - x' x ' = -2y
2
misalkan hasil pemetaannya adalah x = 2 + y - y². x' = 2 + y' - y' 2
masukkan nilai y ' = 2x dan x ' = -2y :
-2y = 2 + 2x – (2x) 2
y = -1 – x + 2x 2 y = 2x 2 - x – 1
Jawabannya adalah E
Tahun 2006
2. Persamaan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan
matriks
 2 0
 − 1 3  dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah….
 
 
A. 3x + 2y – 30 = 0 C. 7x + 3y + 30 = 0 E. 11x - 2y + 30 = 0
B. 6x + 12y – 5 = 0 D. 11x + 2y – 30 = 0
Jawab:
 −1 0
pencerminan terhadap sumbu Y =   

 0 1
 2 0
transformasi dengan 
 − 1 3  dilanjutkan terhadap sumbu Y =

 
 x'   −1 0  2 0  x 
 ' =    
y   0 1  −1 3  y 
     
 x'   − 20  x 
 ' =   
 y   −1 3  y 
    
1
x' = - 2 x x = − x'
2
'
y = -x + 3y 3y = x + y '
1 1
y = x + y'
3 3
1 1 1 1
masukkan nilai x = − x ' menjadi y = ( − x ' )+ y '
2 3 2 3
1 ' 1 '
= y - x
3 6
www.belajar-matematika.com 2

3. Masukkan nilai-nilai tesebut ke dalam persamaan garis awal:
1 ' 1 1 '
4x – y + 5 = 0 4 . (−
x ) – { y' - x }+ 5 = 0
2 3 6
1 1 '
⇔ - 2 x' - y' + x +5=0
3 6
− 12 x ' + x ' 1
⇔ - y' + 5 = 0
6 3
11 ' 1 '
⇔ - x - y +5=0 dikalikan -6
6 3
⇔ 11 x ' + 2 y ' - 30 = 0
Jawabannya adalah D
Tahun 2007
3. Bayangan kurva y = x² – 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan
dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah ….
A. y = ½ x² + 6 C. y = ½ x² – 3 E. y = 3
– ½ x²
B. y = ½ x² – 6 D. y = 6 – ½ x²
jawab:
1 0 
Pencerminan terhadap sumbu x 
 0 −1

 
k 0 2 0
dilatasi pusat O dan faktor skala 2 
0 k 
 
 0 2

   
Pencerminan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan dilatasi pusat O
dan faktor skala 2:
 x'  2 0 1 0   x
 ' = 
 0 2   0 −1
   
 y
y 
      
 2 .1 + 0 .0 2 .0 + 0 . − 1   x   2 0   x 
=
 0 .1 + 2 .0 0 .0 + 2 . − 1   y  =  0 . − 2   y 
    
     
1 '
x' = 2 x x= x ;
2
1 '
y ' = -2y y=- y
2
www.belajar-matematika.com 3

4. masukkan nilai x dan y ke dalam persamaan y = x² – 3
1 ' 1 ' 2
- y =( x ) -3
2 2
1 ' 1 ' 2
- y = x -3 dikalikan 2
2 4
1 ' 1 '
- y'= x 2
- 6 ⇒ y'= - x 2
+6
2 2
1 ' 2
=6- x
2
1 2
Sehingga bayangannya adalah y = 6 - x
2
Jawabannya adalah D
Tahun 2008
4. Persamaan bayangan parabola y = x ² + 4 karena rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh
1800 adalah ….
A. . x = y ² + 4 C. x = –y² – 4 E. y = x ² + 4
B. x = –y² + 4 D. y = –x² – 4
Jawab:
Rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 1800
 x'   cos θ − sin θ   x  cos180 0 − sin 180 0   x
 ' = 
 sin θ    ⇒   
y 
   cos θ 
 y
 
 sin 180 0
 cos180 0  
 y
 
 x'   −1 0   x
⇒ ' = 
 y   0 − 1  
 y
     
x' = - x x = - x'
y' = - y y = - y'
masukkan ke dalam persamaan y = x ² + 4
- y ' = (-x ' ) 2 + 4
- y' = x' 2
+ 4
y' = - x' 2
- 4 ⇔ y = -x 2 - 4
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com 4

5. 5. Persamaan bayangan garis 4y + 3x – 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan
 0 − 1 1 1 
matriks 
 1 1  dilanjutkan matriks 1 −1 adalah ….
  
   
A. 8x + 7y – 4 = 0 C. x – 2y – 2 = 0 E. 5x + 2y – 2 = 0
B. x – 2y – 2 = 0 D. x + 2y – 2 = 0
Jawab:
 0 − 1 1 1 
Transformasi dengan matriks 
 1 1  dilanjutkan matriks
 
1 −1 adalah:

   
 x'  1 1   0 − 1  x 
 ' = 
1 −1
 
1 1   y
 
y 
      
1 0   x
=
 − 1 − 2   y  ⇒ C = A. B
  B = A −1 . C
  
Jika A.B = C
1. A = C . B −1
2. B = A −1 . C
−1
 x  1 0   x' 
  =
 y   −1 − 2
  '
y 
     
 x 1  − 2 0  x' 
  =
 y −2−0  1 1  y ' 
  
    
 − 2 0  x'   x 
'
1  
= -  1 1  y '  =  − 1 x'
    1 '
− y 
2     2 2 
1 ' 1 '
x = x' ; y = - x - y
2 2
masukkan ke dalam persamaan garis 4y + 3x – 2 = 0 :
1 ' 1 '
4 (- x - y ) + 3 . x'- 2 = 0
2 2
- 2x ' - 2 y ' + 3 . x ' - 2 = 0
x ' - 2y' - 2 = 0 ⇒ x – 2 y – 2 = 0
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 5

6. Tahun 2009
6. Bayangan garis 2x – y – 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi
pusat O sejauh 900 adalah ….
A. 2x + y – 6 = 0 C. x – 2y – 6 = 0 E. x – 2y + 6 = 0
B. x + 2y – 6 = 0 D. x + 2y + 6 = 0
Jawab:
1 0 
Pencerminan terhadap sumbu x = 
 0 − 1

 
 cos θ − sin θ   0 − 1
Rotasi (0,90 0 ) = 
 sin θ  = 
 cos θ   1 0 
  
Pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90 0 :
 x'   0 − 1  1 0   x
 ' = 
 1 0   0 − 1
   
 y
y 
      
 0 1  x 
=
1 0  y 
 
  
x' = y y = x'
y' = x x = y'
substitusikan ke dalam persamaan garis 2x – y – 6 = 0 :
2 y' - x' - 6 = 0 x' - 2 y'+ 6 = 0 ⇒ x – 2 y + 6 = 0
Jawabannya adalah E
7. Titik A’(3,4) dan B’(1,6) merupakan bayangan titik A(2,3) dan B(–4,1) oleh transformasi
a b  0 1
T1 =   yang diteruskan T2 = 
 0 1  − 1 1 . Bila koordinat peta titik C oleh transformasi

   
T2oT1 adalah C’(–5,–6), maka koordinat titik C adalah ….
A. (4,5) C. (–4, –5) E. (5,4)
B. (4, –5) D. (–5,4)
www.belajar-matematika.com 6

7. Jawab:
 3   0 1  a b   2 
  =
 4   − 1 1  0 1   3 
  
     
 0 1   2
=
 − a − b + 1
  
 3
   
-2a+3(1-b) = 4
-2a + 3 – 3b = 4
-2a – 3b = 1 2a + 3 b = -1 …(1)
1  0 1   − 4
  =
 6   − a − b + 1
  
 1 
     
4a –b + 1 = 6
4a – b = 5 …(2)
Substitusi pers (1) dan (2) :
Eliminasi a
2a + 3 b = -1 x 4 ⇒ 8a + 12 b = - 4
4a – b = 5 x 2 ⇒ 8a - 2 b = 10 -
14b = - 14
b = -1
4a – b = 5 4a – (-1) = 5
4a + 1 = 5
4a = 4
a=1
Maka:
 − 5  0 1   x  − 5  0 1  x 
  =
 − 6   − a − b + 1
  
 y   =
 − 6  −1 2  y 
 
          
-5 = y
-6 = -x + 2y x = 2y + 6 x = 2 . -5 + 6 =-10+ 6 = -4
Maka titik C adalah (-4,-5)
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 7

8. Tahun 2010
8. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika sudut antara AB dan AC
adalah α maka cos α = ….
1 1
A. 2 C. 0 E. - 2
2 2
1 1
B. D. -
2 2
Jawab:
AB. AC
cos α =
| AB | . | AC |
AB = B – A = (–1,1,0)
AC = C – A = (1, –2,2)
(−1.1) + (1. − 2) + 0 −3 1 1 2 1
cos α = = =- =- =- 2
(−1) 2 + (1) + 0 . 12 + (−2) 2 + 2 2 2 .3 2 2 2 2
Jawabannya adalah E
9. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika AB wakil vektor u dan AC wakil
v maka proyeksi vector u pada v adalah ….
1
A. (i + j +k ) C. 4( j + k ) E. 8( i + j + k )
4
B. - i + k D. 4( i + j + k )
Jawab:
Proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah :
 u.v 
|c| =   . v
 | v |2 
 
AB = u = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1)
AC = v = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)
 u.v 
|c| =  
 2 .v
| v | 
www.belajar-matematika.com 8

9.  (−1. − 4) + 0 + (1.4) 
=

 ( - 4 i +4 k )

 ( 16 + 16 ) 2 
4+4 1
=  ( - 4 i -2 k ) = ( - 4 i +4 k )
 32  4
1
= .4 (- i + k ) = - i + k
4
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 9